Методика преподавания арифметики (Чичигин) 1952 год - старые учебники

III. Вычитание целых чисел

IV. Умножение целых чисел

V. Деление целых чисел

Глава II. Обыкновенные дроби

I. Основные вопросы методики преподавания дробей

II. Новые идеи, связанные с изучением дробей

Глава III. Изучение дроби как нового числа

I. Выяснение понятия дроби

II. Классификация дробей и первые тождественные преобразования их

III. Сравнение дробей (первый цикл)

IV. Главное свойство дроби

V. Сокращение дробей

VI. Признаки делимости чисел

VII. Составление делителей данных чисел

VIII. Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю и составление наименьшего общего кратного нескольких чисел

Глава IV. Действие над обыкновенными дробями

I. Сложение дробей

II. Вычитание дробей

III. Умножение дробей

IV. Деление дробей

V. Отношения

Глава V. Десятичные дроби

I. Определение десятичной дроби 177

II. Изучение десятичных дробей 177

III. Действия над десятичными дробями 184

IV. Совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями 207

Глава VI. Проценты

I. Изучение процентов в средней школе 216

II. Выяснение понятия о процентах 220

III. Решение задач на проценты 222

IV. Промилле и вычитания с ними 230

Глава VII. Решение задач, содержащих пропорциональные величины

I. Об изучении пропорциональной зависимости в курсе арифметики средней школы 233

II. Решение задач на тройное правило 238

III. Решение задач на сложное тройное правило 246

IV. Решение задач на пропорциональное деление 248

Глава VIII. Пропорции 256

Глава IX. Решение арифметических задач

I. Задачи и значение их в курсе арифметики 273

II. Основные приёмы решения сложных арифметических задач 281

III. Классификация сложных арифметических задач 287

IV. Методика решения задач 295

Приложения 307

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данная работа предназначается в качестве учебного пособия для студентов учительских институтов и учителей средней школы. Она посвящена разработке основных вопросов методики преподавания арифметики дробей. Особенности построения и изложения данного курса такие:

1) Учение о делимости чисел излагается не как самостоятельная тема, а в непосредственной связи с изучением дробей — сравнением их, сокращением и приведением их к общему знаменателю. Но весь этот материал по указанной теме легко может быть выделен из общего текста и пройден отдельно.

2) Кратное отношение двух чисел определяется как частное, полученное при делении одного числа на другое, и рассматривается в непосредственной связи с делением дробей.

3) Проценты рассматриваются как особый вид десятичных дробей.

4) Пропорции изучаются в самом конце курса арифметики после изучения пропорциональных величин.

В основу данной работы положен непосредственный опыт преподавания в средней школе самого автора, руководство педагогической практикой студентов физико-математического факультета педагогического и учительского институтов, наблюдение за работой молодых учителей, только что окончивших педагогический институт, некоторое обобщение опыта лучших учителей, под руководством которых проводилась и проводится педагогическая практика студентов, и обработка лекций по курсу методики преподавания математики в педагогическом институте.

Во втором издании книги основное содержание её сохранилось полностью; в некоторых местах в текст внесены небольшие дополнения, изменения и уточнения; весь текст подвергся тщательной редакционной обработке; исправлены замеченные ошибки и опечатки в первом издании.

Все замечания и пожелания, касающиеся этой книги, прошу направлять по адресу: Москва, Чистые пруды, 6, Министерство просвещения, Учпедгиз, редакция математики.

ВВЕДЕНИЕ

I. ШКОЛЬНЫЙ КУРС АРИФМЕТИКИ

1. Учебный план и программа по арифметике

Арифметика в средней школе по своему удельному весу занимает одно из первых мест в учебном плане. Так, в начальной школе на изучение арифметики отводится по 7 часов в неделю во II и IV классах и по 6 часов в I и III классах, что в общей сложности составляет около 860 часов; в средней школе в V классе отводится 7 часов ив VI — 2 часа в неделю, что составляет около 290 часов.

Курс арифметики в средней школе имеет вполне определённее содержание: в первых четырёх классах в основном изучается арифметика целых чисел и арифметика именованных чисел; там же вводится ознакомление учащихся с простейшими обыкновенными дробями и с процентами. В V классе изучается систематический к>рс обыкновенных и десятичных дробей и проценты; в VI классе основная работа по арифметике состоит в решении задач в связи с изучением пропорций и пропорциональных величин.

Время от времени в программы по арифметике вносятся некоторые изменения, но они не касаются основного содержания этого курса V

2. Цели преподавания математики вообще и арифметики в частности В постановлении ЦКВКП(б) о школе от 5 сентября 1931 г. указывается задача средней школы: «Дать достаточный объем общеобразовательных знаний и подготовить... вполне грамотных людей, хорошо владеющих основами наук и усвоивших точно очерченный круг систематизированных знаний». В другом поста-

1 Программы средней школы. Математика, 1951 г., и программы начальной школы, 1951 г

новлении ЦК ВКП (б) о начальной и средней школе от 25 августа 1932 г. говорится, что «... школа знакомит учащихся как в теории, так и на практике со всеми главными отраслями производства...». Наконец, в программе ВКП (б) сказано: «Школа должна быть... проводником идейного организационного воспитательного влияния в целях воспитания поколения, способного окончательно установить коммунизм».

Из этих трёх документов вытекают общие цели, которые ставятся перед каждым учебным предметом, в том числе и перед математикой, в частности, перед арифметикой: воспитательные, образовательные и практические.

а) Воспитательные цели. Один из принципов советской дидактики состоит в том, чтобы обучение в школе было воспитывающим. Поэтому при обучении математике школа должна:

1) развить диалектико-материалистическое мировоззрение, чувство национальной гордости и советского патриотизма;

2) воспитать волю и настойчивость, уважение к истине;

3) развить логическое "мышление, привычку критически относиться к собственным и чужим суждениям;

4) развить воображение, внимание, аккуратность в выполнении работы.

б) Образовательные цели состоят в том, чтобы дать учащимся ряд математических понятий и знаний, приведённых в определённую и стройную систему.

Математика изучается в средней школе во всех её классах. По учебному плану на неё отводится большое количество часов. Учащиеся получают огромное количество понятий и знаний, которые должны быть приведены в определённую и стройную систему. Поэтому в процессе обучения надо научить учащихся соответствующим образом обрабатывать получаемые знания, объединять и обобщать создаваемые понятия, приводить их в систему.

В процессе обучения математике надо научить учащихся в каждой задаче, понимая последнюю в самом широком смысле этого слова, различать, что дано, что надо найти и как это сделать.

Всё это, вместе взятое, должно помогать развитию и повышению способности учащихся к правильному, логическому мышлению.

в) Практические цели:

1) научить учащихся приобретённые знания и навыки применять в практической повседневной жизни при решении разного рода задач;

2) приучить их распознавать математическую сущность в явлениях окружающей жизни.

Помимо общих целей, имеются ещё специальные цели, которые обусловливают введение в учебный план на определённой ступени обучения каждого отдельного математического предмета — арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии. Эти специальные цели обычно излагаются в обтяснительной записке к программам по математике.

Так, в объяснительной записке к программе по арифметике в начальной школе сказано: «Преподавание арифметики должно*

содействовать развитию логического мышления детей, уменью» устанавливать зависимости между величинами, делать правильные умозаключения». И дальше: «Около половины всего времени, отведённого в школе на классные уроки и домашние работы по арифметике, должно быть использовано для решения арифметических задач. Уменье решать арифметические задачи составляет одну из. основных сторон общеобразовательного значения арифметики. При? решении задач развивается математическое мышление учащихся, их сообразительность» г.

В объяснительной записке к программе по арифметике в средней школе сказано: «Преподавание арифметики имеет целью научить, учащихся сознательно, быстро, уверенно и наиболее рационально производить действия с целыми и дробными числами и применять знания к решению задач и выполнению простейших расчётов практического характера» 2.

Ко всему этому следует добавить ещё две цели: 1) возбуждение интереса к количественной стороне явлений окружающего мира и 2) подготовка к изучению дальнейших отделов математики.

Действительно, при преподавании арифметики надо прежде всего возбуждать интерес учащихся к ней, а это возможно сделать в том случае, если изучаемый материал по арифметике будет вытекать из решения тех задач, которые даёт окружающая жизнь (конечно,, в упрощённой и доступной форме), а приобретённые знания и навыки будут немедленно и непосредственно прилагаться к решению новых задач, содержание которых может быть заимствовано из других школьных предметов — из географии, истории, естествознания и т. п. Но при этом надо иметь в виду, чтобы интерес учащихся был обращён не только к форме и конкретному содержании* задачи, а и к количественной стороне тех или иных явлений и фактовг к выяснению зависимости между величинами, к «великанам и карликам в мире чисел» и к соответствующим конкретным представлениям, которые характеризуются этими числами.

Преподавание арифметики имеет целью также подготовить учащихся к восприятию и изучению других школьных предметов, в первую очередь математических — алгебры, геометрии и тригонометрии. Арифметика указывает правила и приёмы выполнения тех действий, которые в алгебре и в других математических дисциплинах только обозначаются. Арифметика нужна и при изучении таких предметов, как физика, химия, биология и социально-экономические науки.

В арифметике впервые проводится «различение конечного процесса и бесконечного»: натуральный ряд чисел, бесконечный процесс деления, бесконечные десятичные дроби. Эти факты сами по себе составляют очень ценную сторону математического мышления и расширяют кругозор учащихся. Введение буквенной символики при изучении арифметики, хотя бы в очень ограниченных размерах, и подстановка числовых значений букв в данный комплекс их подводит учащихся к понятию функциональной зависимости (например, изменение результатов действий при изменении компонентов)

3. Задачи методики арифметики

Первое и самое главное требование к каждому человеку, который посвящает себя деятельности преподавателя, состоит в тем, что он должен знать свой предмет. В настоящее время этого мало: преподавание есть такое дело, которому надо много и упорно учиться и в котором надо всё время упражняться (Гербарт). Даже самый талантливый преподаватель, как и самый даровитый художник, нуждается не только в предварительном обучении и руководстве, но и в дальнейшем самосовершенствовании, в глубоком и упорном изучении своего дела. Методика преподавания каждого школьного предмета и является одним из таких руководств после изучения психологии, общей педагогики и истории педагогики, которое помогает будущему или начинающему преподавателю ознакомиться с основными методами, приёмами и средствами преподавания данного школьного предмета. К методическому руководству обращается иногда и опытный преподаватель, как к справочнику, в тех случаях, когда он встречает неожиданные затруднения в своей преподавательской работе.

Таким образом, основная задача методики арифметики состоит в том, чтобы быть руководством для практической работы преподавателя в школе. Это чисто практическая задача, разрешение которой составляет основное содержание методических руководств по арифметике. В них разрешается преимущественно один вопрос — вопрос о том, как следует преподавать арифметику, т. е. какими методами, приёмами и средствами надо пользоваться при обучении арифметике.

В соответствии с этим основное содержание методики арифметики состоит:

1) в создании и разработке методов, приёмов и средств преподавания арифметики на научной, психологической, педагогической и дидактический базе; в основ) этих методов и приёмов должно быть положено требование, чтобы учащиеся понимали изучаемый материал и сознательно усваивали его с наименьшей затратой необходимых усилий;

2) в создании и разработке приёмов и средств для развития и закрепления необходимых навыков;

3) в создании и разработке приёмов применения усвоенных

1 Власов, Доклады на II Всероссийском съезде преподавателей математики в 1913 г., стр. 26.

знаний и приобретённых навыков к решению разного рода задач в школе и в повседневной жизни.

Но этим не может быть исчерпано всё содержание методики арифметики. Помимо указанного вопроса о том, как надо преподавать, встаёт ещё и такой вопрос: почему при обучении арифметике надо пользоваться теми или иными методами и приёмами, почему изучаемый материал надо проходить в той или иной последовательности. Ответ на вопрос почему? является второй основной задачей методики арифметики. Решение этой задачи должно составить общее введение в эту методику, а также введение в методику преподавания каждой отдельной, более или менее значительной темы школьного курса арифметики. Это даст возможность подготовить будущего или начинающего преподавателя к надлежащему пониманию специальной, чисТо практической части методики, поможет ему более сознательно отнестись к отдельным методическим деталям и вызовет более значительный интерес ко всему педагогическому процессу в целом.

В задачу методики арифметики, наконец, входят ещё два вопроса: что надо преподавать и зачем данный предмет входит в учебный план школы. Ответы на эти вопросы даны в программах школьного курса арифметики и в предыдущем изложении (цели обучении).

И. МЕТОДЫ И ПРИЕМЫШ/ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ ОБУЧЕНИИ АРИФМЕТИКЕ

Преподавание математики в средней школе, особенно арифметики, представляет собою очень сложный процесс. Не менее сложным и трудным делом является проведение даже одного урока по арифметике на ту или иную тему. В последнем случае преподаватель при подготовке к уроку ставит перед собою такие вопросы:

1) тема урока (чёткая формулировка её); 2) методы, которыми будет сделан необходимый вывод; 3) каким приёмом будет излагаться учебный материал урока; 4) какой потребуется числовой заданный материал; 5) какие вспомогательные средства потребуются на уроке для того, чтобы учебный материал сделать понятным и доходчивым до учащихся; 6) как создавать, развивать и закреплять практические навыки учащихся? Решение первого вопроса в этой многогранной подготовительной работе преподавателя вытекает из того плана, который составляет каждый преподаватель на определённый период (чаще всего на одну четверть учебного года). Второй вопрос — подбор числового или заданного материала — будет подробно разобран в дальнейшем изложении методики преподавания отдельных тем. То же самое следует сказать о шестом вопросе. В данном месте более подробно будут рассмотрены третий, четвёртый и пятый вопросы.

Какими методами будет сделан необходимый вывод? Оставляя в стороне философское истолкование термина «метод», можно ограничиться общеизвестным определением этого термина в дидактике: метод — это путь, заранее намечаемый для достижения поставленной цели. Метод — это последовательность тех шагов, которые делаются по направлению к намеченной цели. Действовать методично — значит действовать последовательно: правильно располагать употребляемые средства, целесообразно и экономно сочетать их.

Объём понятия «метод» в области преподавания математики составляют: индукция и дедукция, анализ и синтез и аналогия. Это — три группы научных методов, при помощи которых на протяжении тысячелетий создавалась и развивалась математика. Эти же три группы методов применяются и при преподавании математики в средней школе, в частности, при преподавании арифметики.

1. Научные методы

Из истории математики известно, что она на первых этапах своего развития создавалась преимущественно индуктивным путём. Изучение арифметики в школе можно рассматривать как процесс создания её, а потому изучение очень многих вопросов курса арифметики, если не всех, целесообразно начинать тоже индуктивным путём.

Индуктивный метод получил своё название от слова индукция, что в переводе с латинского языка означает наведение. В логике под индукцией разумеется умозаключение от частного к общему. Сущность этого метода в школьном применении состоит в следующем: 1) учащиеся получают ряд однотипных задач или примеров (по нескольку дробей со знаменателем 10, со знаменателем 100 и т.п.);

2) они выявляют в них общие и существенные характерные признаки (знаменатели у всех дробей первой группы 10, второй группы 100= = 10-10 и т. д.) и 3) формулируют общий вывод (определение десятичной дроби). Ещё пример: вводится понятие о простых и составных числах. Преподаватель даёт учащимся ряд чисел и предлагает им определить, на какие числа делится каждое из данных чисел без остатка (пользуясь известными признаками делимости чисел или непосредственным делением на такие числа как 7, 11, 19 и т. п.). Учащиеся выполняют эту работу и по предложению преподавателя распределяют все данные числа на три группы: единица, простые и составные числа. Затем они сами придумывают числа для пополнения двух последних групп и составляют определения, какие числа называются простыми и какие — составными.

Процесс этот довольно трудный и требует большого напряжения и внимания со стороны учащихся и самого преподавателя. Последний всё время должен руководить работой: он указывает учащимся объекты наблюдения, сосредоточивает их внимание на нужных признаках, помогает выделять существенные признаки и делать общий вывод. Но эта трудность вполне окупается полученными результатами: 1) учащиеся принимают самое активное участие во всех этапах работы; 2) благодаря этому они понимают весь ход работы по частям и в целом; 3) они приучаются к аналити-

ческой работе (выделение существенных признаков); 4) приучаются к творческой работе (придумывают сами соответствующие примеры или задачи); 5) прочно усваивают изучаемый материал.

Но это только одна сторона работы. Полученные общие выводы или правила учащиеся тотчас же применяют к решению соответствующих задач. Так, в приведённом примере с помощью индукции было создано общее понятие о простых и составных числах. Теперь учащиеся могут решать задачи об отнесении каждого нового числа в группу простых или составных чисел (с помощью таблицы простых чисел или непосредственным делением). Этот процесс подведения частных случаев — данных чисел — под известное общее понятие есть простейший пример другого научного метода — дедукции. В развёрнутом виде предыдущее решение задачи может быть представлено так: 1) единица делится только на единицу, все простые числа делятся только на единицу, и каждое из них «само на себя», а все составные числа, кроме того, делятся и на другие числа; 2) данное число, отличное от единицы, делится только на единицу и «само на себя» (или делится и на другие числа); 3) следовательно, данное число — простое (или составное). Приведённое рассуждение есть пример дедуктивного умозаключения (от общего к частному) и называется силлогизмом.

Дедукция в переводе с латинского языка означает подведение (частных случаев под общее понятие). Как видно из приведённого примера, дедукция тоже может и должна применяться в школьном преподавании арифметики. Те общие выводы и заключения, которыми располагает дедукция, подводя под них новые частные случаи, могут быть предварительно получены описанным индуктивным путём, а в отдельных случаях могут быть сообщены учащимся в готовом виде самим преподавателем или же взяты ими непосредственно из учебника. Дедуктивные заключения в форме силлогизма очень трудны для учащихся пятых и даже более старших классов. Поэтому преподаватель должен оказывать им всемерную помощь в этом деле: на первых порах он требует от них связной формулировки только каждой отдельной посылки или отдельного суждения, например: какие числа называются простыми? На что делится данное число? Как можно назвать данное число? В связи с решением большого числа задач учащиеся будут постепенно приучаться строить и полные силлогизмы в простейших случаях.

Индукция и дедукция в школьном применении их не должны противопоставляться одна другой, а должны сопутствовать друг Другу: индуктивным путём учащиеся создают большую часть общих выводов или общих заключений, под которые потом они дедуктивным путём подводят частные случаи.

Итак, с помощью индукции и дедукции в процессе школьного обучения создаётся весь тот материал, который составляет основное содержание школьного курса арифметики.

Другая группа научных методов, которые применяются и должны применяться при обучении арифметике, — это анализ и синтез.

Анализ — греческое слово; в буквальном переводе означает разделение объекта, вещественного или логического, на его составные части... В логике анализ заключается в расчленении понятия, мысли (суждения) или целой логической концепции (совокупности суждений) на составляющие понятия или суждения х. Под анализом подразумевают также ход мысли от неизвестного (целого) к известному (частям целого).

Когда учащийся решает вопрос о том, делится ли данное число ка 4 или нет, он разбивает его на два слагаемых — на сотни и десятки с единицами, потому что число, состоящее только из сотен, делится на 4; затем он рассматривает второе слагаемое и определяет делимость или неделимость его на 4. При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями учащийся должен сначала привести их к общему знаменателю. С этой целью он сосредоточивает своё внимание только на знаменателях данных дробей, как бы отделяя их от числителей; затем он всматривается в структуру каждого . 5 7 И 11 .

знаменателя (например,-- ± уд~; Те и т IL) и только после

этого намечает наиболее рациональный приём для того, чтобы сделать знаменатели дробей равными. Всё это — примеры простейших случаев применения анализа. При решении сложных арифметических задач тоже иногда применяется аналитический метод, когда рассуждения начинаются с основного вопроса данной задачи (от неизвестного к известному); в результате такой работы получается план решения задачи. Аналитический метод при обучении арифметике заставляет учащихся принимать самое активное участие в общеклассной работе. Благодаря этому они понимают каждый отдельный этап работы, цель и значение её; с помощью предварительного анализа они приучаются составлять план своей работы.

В то же время этот метод требует от учащихся очень большого напряжения сил и внимания, вследствие чего они быстро утомляются. Это обстоятельство преподаватель должен учитывать при применении аналитического метода.

Синтез — тоже греческое слово; в переводе оно означает соединение (разрозненных частей в одно целое); синтезом называется также ход мысли от известного (частей целого) к неизвестному (целому).

В школьном обучении арифметике синтез имеет очень широкое применение. Так, в большинстве случаев сложные арифметические задачи решаются синтетическим способом, когда из всей совокупности данных чисел выбирается одна пара их и к ней подбирается соответствующий вопрос (с помощью известных данных находится искомое число). Синтетически излагается решение задачи и в том случае, когда предварительно был составлен план решения её с помощью анализа.

1 Большая советская энциклопедия, т. 2, стр. 5РЗ.

Изложение учебного материала в учебниках арифметики (как и в других учебниках математики) почти всегда имеет синтетическую форму. Общий обзор пройденного материала, подведение итогов, формальное изложение доказательств или обоснований в общеклассной работе тоже проводится в синтетической форме.

Зта форма с внешней стороны характеризуется плавностью и связностью изложения, логической последовательностью и стройностью. Она приучает учащихся к слушанию связной речи или к чтению её по учебнику, заставляет их самостоятельно улавливать и устанавливать связи между отдел ными суждениями. Отвечая заданный урок, учащиеся и сами должны стараться излагать его в синтетической форме.

Применение синтетического метода в школьном преподавании имеет и отрицательные стороны. Учащиеся только слушают, а потому отсутствует активное участие их в работе в обычном смысле эгоГО слова. Они упускают иногда связи между отдельными суждениями, вследствие чего им становится не всегда понятным дальнейшее изложение.

Эти отрицательные качества синтетического метода можно в значительней мере ослабить или совсем изжить, если в школьном преподавании он будет в той или иной степени предваряться или сопровождаться аналитическим методом, с помощью которого сначала намечается план работы, а затем — выполнение плана в синтетическом изложении.

Третий научный метод — аналогия — тоже имеет широкое применение в процессе обучения арифметике. Аналогия — эго сходство понятий или предметов. Умозаключение по аналогии или по сходству состоит в отыскании некоторых общих свойств, характеризующих понятия или предметы. Так при решении задач одного и того же типа учащиеся обнаруживают сходство этих задач, имеющих различное конкретное содержание, что помогает им применить известный приём при решении данной задачи. Правила выполнения действий над десятичными дробями аналогичны соответствующим правилам действий над целыми числами и т. д.

2. Приёмы преподавания арифметики

Различают два основных приёма, которые применяются при обучении арифметике тем или иным методом: монологический — в форме рассказа преподавателя, и диалогический — в форме вопросов и ответов. Надо заметить, что всё программное содержание курса арифметики в V и VI классах даёт очень мало учебного материала для изложения его монологически, в форме рассказа. Так, преподаватель может на уроке сообщать отдельные исторические сведения в связи с изучением некоторых вопросов программы, например о дробях, которыми пользовались древние египтяне или халдеи, о нуле и вообще об истории цифр. После изучения той или иной значительной темы преподаватель может

в форме рассказа или лекции сделать сводку и обобщение накопившегося материала, уже знакомого учащимся, например, общий обзор признаков делимости чисел, способов приведения дробен к общему знаменателю, обзор задач на пропорциональное деление, на процентные вычисления.

Такие лекции по арифметике в V и VI классах могут длиться не более 10 — 15 минут, чтобы не ослабевало внимание учащихся. С той же целью во время рассказа или лекции преподаватель задаёт учащимся контрольные вопросы, чтобы поддерживать интерес к тому, о чём идёт речь, поддерживать внимание и подчёркивать наиболее важные моменты в своём изложении. Попутно с рассказом преподаватель на классной доске может делать краткие записи в определённом порядке: план содержания или схему выводов (например, схему задач на процентные вычисления, на пропорциональное деление), собственные имена, новые трудные слова, хронологические даты. Эти записи учащиеся переносят в свои тетради, что будет способствовать более прочному и отчётливому запоминанию излагаемого материала.

Но большая часть материала по арифметике в классе изучается в диалогической форме — в форме вопросов и ответов, или, как иногда говорят, в форме беседы. Наиболее часто применяется так называемый эвристический приём. Он состоит в том, что преподаватель предлагает учащимся целый ряд соответственно подобранных текстовых задач или числовых примеров; затем или в процессе решения, или по окончании решения их он ставит целый ряд вопросов, последовательно связанных между собой, чтобы, во-первых, помочь учащимся выявить общие признаки, характеризующие эти задачи или решение их, и, во-вторых, подвести их к необходимому выводу. Вопросы преподавателя должны быть только наводящими, но не подсказывающими; они не должны выходить за пределы общего развития учащихся на данной ступени обучения. Ответы на эти вопросы по форме могут быть полными или краткими; иногда они могут быть даже однословными. Например, изучается приведение дробей к общему знаменателю в связи с сравнением величины их (сравнение дробей с равными знаменателями уже известно учащимся): 1) преподаватель предлагает последовательно одну группу дробей за другой, а учащиеся должны сравнить их величины (например:

При решении первой задачи ставятся вопросы: а) какие дроби вообще можно сравнивать (с равными знаменателями), б) какие знаменатели в данных дробях (разные: 12 и 24), в) какая зависимость между этими числами (24 делится на 12 без остатка, или 24 есть число, кратное 12), г) можно ли знаменатели этих дробей сделать равными (можно), д) как это сделать (или 12 умножить на 2, или 24 разделить на 2), е) как изменится величина дроби в каждом из этих случаев (в первом случае дробь уменьшится в два раза, а во втором — увеличится в два раза), ж) как можно сохранить

величину каждой дроби, если будет изменён знаменатель (надо соответственно числитель первой дроби умножить на 2, а числитель второй — разделить на 2), з) какой приём из двух указанных нужно применить (5 умножить на 2 можно, all разделить на 2 без остатка нельзя). После умножения числителя и знаменателя первой дроби на 2 учащиеся сравнивают обе дроби, пользуясь уже известным правилом. При решении второго и следующих примеров описанный процесс постепенно сокращается. Затем преподаватель помогает учащимся сделать общий обзор этой работы и сформулировать выводы. ,

Применение эвристического приёма требует значительно больше времени в общеклассной работе по сравнению с монологическим приёмом, особенно на первых порах. Но как только учащиеся привыкнут к нему, излишне затраченное время окупится, и дальнейшая работа пойдёт более быстрыми темпами. Особенно большая ценность этого приёма состоит в том, что он всё время поддерживает активность учащихся, постепенно приучает их анализировать данные условия и формулировать выводы.

При подготовке к уроку преподаватель должен особенно тщательно подбирать необходимый заданный материал, вдумчиво формулировать вопросы, последовательно располагать их и предвидеть возможные ответы учащихся. В ходе урока преподаватель должен быть готовым к изменению намеченного плана урока, если в этом будет надобность, особенно в связи с некоторыми неожиданными ответами учащихся или их вопросами.

Существует ещё одна разновидность диалогического приёма, известная под именем сократического или сократовского приёма. Сущность этого приёма заключается в том, что преподаватель задаёт учащимся ряд последовательных вопросов, на которые они дают ответы, приходя в конце концов к ложному утверждению. Вот пример применения сократического приёма. Преподаватель предлагает задачу такого содержания: «Производительность труда рабочих повысилась на 25%; как изменится время выполнения той же работы?» Обычно учащиеся, не задумываясь, сразу же отвечают, что и время сократится на 25%. Преподаватель даёт новые варианты той же задачи: как изменится время, потребное для выполнения той же работы, если производительность труда рабочих повысится на 50%? на 75%? на 100%? на 200%? Учащиеся сначала продолжают отвечать, как и раньше: время уменьшится на 50%, на 75%, на 100% и потом сообразят, что пришли к нелепости. Примерно такая же картина получается при изучении главного свойства дроби, когда учащимся предлагается задача: «Как изменится правильная дробь, если к числителю и знаменателю её прибавить по равному числу?» Учащиеся тоже сначала могут дать ответ, что величина дроби не изменится...

В предыдущем изложении были описаны монологический и Диалогический приёмы преподавания в их чистом виде. При изучении арифметики монологический приём, как было сказано раньше,

применяется сравнительно редко и небольшими дозами (не более 10 — 15 минут). Но отсюда нельзя сделать вывода о том, что во всех остальных случаях применяется только диалогический приём. Преподавание в школе — дело живое, а потому уложить весь процесс преподавания в строго намеченные рамки не только нельзя, но иногда это будет даже вредно. На практике обычно у вдумчивого преподавателя на одном и том же уроке переплетаются разные приёмы: от небольшого сообщения в форме рассказа преподаватель переходит к постановке ряда вопросов; ответы учащихся дают новый материал для обобщения и выводов, которые опять делаются и самим преподавателем и учащимися по вопросам первого.

3. Вспомогательные средства при обучении арифметике

Успех работы по арифметике, как и по другим предметам, в значительной мере зависит от того, в какой мере в процессе обучения возбуждается н поддерживается интерес учащихся. С этой целью преподаватель на каждом уроке должен давать им нечто новое; даже при повторении программного материала надо возбуждать и поддерживать интерес новизной — или освещая этот материал с новой точки зрения, или несколько расширяя рамки его, если это понятно и доступно учащимся.

Второе требование для возбуждения интереса и поддержания его заключается в том, чтобы в процессе обучения арифметике сами учащиеся принимали активнее участие. Индуктивный метод и эвристический приём в значительной мере отвечают этому требованию. Той же цели служат такие могучие вспомогательные средства, как наглядность и лабораторные работы учащихся.

Один из основных принципов дидактики гласит: обучение должно быть наглядным. Принцип наглядности означает требование, чтобы знания учащихся основывались на живом и непосредственном восприятии ими самими изучаемых явлений или их изображений.

В. И. Ленин дал знаменитый тезис о диалектико-материалистическом развитии мышления: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности».

У всякого человека есть потребность «видеть» — видеть всё своими глазами; эта потребность имеется и у детей. Школа удовлетворяет эту потребность, применяя при обучении детей наглядные пособия. Наглядные пособия по арифметике можно подразделить на естественные, представляющие собою отдельные предметы или совокупности их в окружающей обстановке (пальцы рук, столы, стулья, окна, двери и т. п.), и искусственные; последние в свою очередь можно подразделить на вещественные и графические. Вещественные наглядные пособия: счётные палочки, 2) пучки, связанные из этих палочек, 3) арифметический ящик, 4) счёты и другие счётные приборы (например, абак),

5) эталоны мер длины, площади, объёма, веса. Графические наглядные пособия: 1) таблицы (сложения, умножения, простых чисел, преобразования обыкновенных дробей в десятичные и в проценты), 2) диаграммы (линейные, круговые, фигурные).

Для того чтобы наглядные пособия достигали тех целей, ради которых они употребляются при обучении арифметике, нужно, чтобы они обладали такими свойствами: 1) по своему устройству и форме были просты, а по окраске достаточно ярки; 2) были достаточно велики, чтобы их могли видеть все учащиеся; 3) были легко переносимы.

При обучении арифметике в V классе применяются те же наглядные пособия, которые применялись и в начальной школе, а именно: арифметический ящик, разрядная сетка, абак, классные и торговые счёты, дробные палочки и круги, процентный транспортир; в кружковой работе большой интерес представляют «палочки Непера».

Арифметический ящик имеется в каждой школе. Он, как известно, имеет форму куба и заполняется деревянными кубиками, брусками и пластинами. В начальной школе он широко применяется при счёте единицами и группами, при изучении нумерации и при измерении объёмов. В V классе то же пособие применяется при повторении нумерации целых чисел и при изучении нумерации десятичных дробей (не более чем с тремя десятичными знаками), когда каждая пластина принимается за одну десятую часть объёма куба, полный брусок — за одну сотую (или за один процент), единичный кубик — за одну тысячную (или промилле). Из деталей арифметического ящика молено легко конструировать различные модели параллелепипедов.

При изучении нумерации как целых чисел, так и десятичных дробей большое значение имеет прибор, известный под именем абака. В настоящее время основные элементы этого прибора имеются на больших классных счётах: на верхней горизонтальной планке основной рамы укрепляются вертикально металлические штифты (проволочки) на расстоянии 5 см, на которые можно надевать те же косточки — шашки, которые имеются на обыкновенных счётах. Если этот прибор применяется при изучении или при повторении нумерации целых чисел, то для большей наглядности и отчётливости к горизонтальной планке надо прикрепить широкую ленту с делениями через 15 см и в каждом делении выше штифтов сделать надписи классов: 1-й класс — единицы, 2-й класс — тысячи, 3-й — миллионы и т. д. Если ленту разграфить ещё через 5 см, то на ней можно отметить и классы, и разряды (черт. 1).

При изучении нумерации десятичных дробей тот же прибор видоизменяется так: на разграфлённой ленте (через каждые 5 см) классы целых чисел и разряды их проставляются не с правого конца, а примерно с середины ленты влево, а справа отмечаются десятичные доли — десятые, сотые, тысячные (см. черт. 2).

На такой разграфлённой доске учащиеся пишут цифры мелом, затем анализируют запись, учитывая поместное значение цифр, и переносят эту запись на классную доску и в тетради.

Той же цели — освоению нумерации, а также решению задач на сложение и вычитание целых чисел и десятичных дробей — служат общеизвестные классные счёты и индивидуальные торговые счёты.

При изучении обыкновенных дробей, в частности, при сравнении величины их, а также при преобразовании дробей из одного вида в другой, хорошим пособием являются «дробные палочки» и «дробные круги». Первые представляют собой набор палочек или брусков равной длины; каждый брусок принимается за единицу. Одни из них поперечными полосками разбиваются на половинки, другие — на трети, третьи — на четверти и т. д. Дробные круги — круги из фанеры или из картона одинаковых радиусов, каждый из которых разделён на секторы — половинки, трети, четверти и т. д