Методика преподавания математики в средней школе (Брадис) 1954 год - старые учебники

 § 7. Индукция и дедукция. Интуиция. Аналогия. Анализ и синтез. Доказательство от противного. Доказательство по методу совершенной индукции

§ 8. Математическая система. Строгость в определениях и доказательствах

Глава II. Математика как учебный предмет

§ 9. Две цели изучения математики в школе

§ 10. Преподавание математики после постановлений ЦК ВКП(б) о школе. Содержание и задачи методики математики

§ 11. Крупнейшие русские и зарубежные методисты-математики

§ 12. Основные принципы обучения математике

§ 13. Школьная математика в свете задач политехнического обучения

§ 14. Начальный (пропедевтический) и основной (систематический) курсы

§ 15. Учебный план и программа математики в средней школе

§ 16. Политико-воспитательная работа на уроках математики

Глава III. Методы и формы обучения математике

§ 17. Систематическое изложение материала преподавателем. Лекция и урок 64

§ 18. Эвристический метод. Катехизический метод 65

§ 19. Решение задач 67

§ 20. Самостоятельная работа учащихся 77

§ 21. Наглядность при обучении математике 79

§ 22. Внеклассная и внешкольная работа по математике 82

Глава IV. Организация обучения математике

§ 23. Распределение программного материала. Календарный план 84

§ 24. Изучение учебника, научной и методической литературы. Математическое самообразование учителя 86

§ 25. Подготовка учителя к уроку 88

§ 26. Домашние задания 91

§ 27. Контрольные письменные работы 94

§ 28. Повторение пройденного 96

§ 29. Учёт успеваемости (текущий, четвертной, годовой). Экзамены письменные и устные 99

§ 30. Меры предупреждения неуспеваемости. Помощь отстающим 102

§ 31. Дополнительная работа особо успевающих 103

§ 32. Математический кабинет 104

Глава V. Формализм в школьном курсе математики и борьба с ним. Другие недочёты постановки преподавания математики

§ 33. Что такое формализм в знаниях учащихся по математике 106

§ 34. Проявления формализма в работе учителя математики 110

§ 35. Ошибки в планировании учебной работы по математике 112

§ 36. Подавление инициативы учащихся и некоторые другие ошибки учителя математики 113

§ 37. О чём должен в первую очередь заботиться начинающий учитель математики 117

Список документов, книг и статей по вопросам, относящимся к 1-й части 119

ЧАСТЬ 2

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ АРИФМЕТИКИ

Глава II. Общие Соображения об изучении арифметики в средней школе

§ 1. Арифметика как наука и как предмет изучения в школе 122

§ 2. Знания и навыки по арифметике, приобретаемые в начальной школе и подлежащие развитию и закреплению з средней школе 124

§ 3. Построение курса арифметики в средней школе. Учебнаялитература 127

§ 4. Арифметические задачи 130

§ 5. Арифметика и другие математические дисциплины 134

§ 6. Нумерация устная и письменная 135

§ 7. Четыре арифметических действия 137

§ 8. Устные вычисления 140

§ 9. Некоторые сведения о делимости чисел 141

§ 10. Первое расширение понятия числа: нуль как число 145

Глава III. Обыкновенные дроби

§ 11. Предварительное знакомство сапростейшими долями 146

§ 12. Объём теоретических сведений о дробях, предусмотренный программой математики для V класса 147

§ 13. Второе расширение понятия числа: дробь как число 149

§ 14. Сложение и вычитание дробей 154

§ 15. Умножение дробей 155

§ 16. Деление дробей 159

§ 17. Задачи на все действия с дробями 160

§ 18. Типичные затруднения и типичные ошибки. Выводы 162

Глава IV. Десятичные дроби. Проценты

§ 19. Преимущества десятичных дробей. Медрическая система мер 164

§ 20. Последовательные шаги в изучении десятичных дробей 165

§ 21. Проценты и промилли 168

§ 22. Обращение обыкновенных недесятичных дробей в десятичные 173

§ 23. Периодические дроби 174

§ 24. Смешанные вычисления с обыкновенными дробями, десятичными и недесятичными 176

Глава V. Приближённые вычисления

§ 25. Точные и приближённые значения величин. Правила округления 177

§ 26. Простейшие понятия и правила теории приближённых вычислений (первый круг сведений) 179

§ 27. Низшая и высшая границы (второй круг сведений по приближённым вычислениям) 182

§ 28. Границы абсолютных и относительных погрешностей (третий круг сведений по приближённым вычислениям) 185

§ 29. Некоторые общие соображения о методике приближённых вычислений в средней школе 187

Глава VI. Отношения и пропорции. Пропорциональные величины

§ 30. Понятие отношения двух чисел 189

§ 31. Пропорции 191

§ 32. Прямая и обратная пропорциональность 193

§ 33. Задачи на пропорциональные величины. Тройные правила 195

§ 34. Задачи на пропорциональное деление 196

§ 35. Арифметические упражнения и функциональная пропедевтика 6 курсе алгебры 201

Список книг и статей по вопросам, относящимся ко 2-й части 202

ЧАСТЬ 3

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ АЛГЕБРЫ

Глава 7. Общие соображения об изучении алгебры в средней школе

§ 1. Эволюция взглядов на алгебру как науку 204

§ 2. Основные линии развития школьного курса алгебры. Алгебра как учебный предмет 206

§ 3. Цели изучения цокольного курса алгебры. Его программа 209

§ 4. Учебная и методическая литература по алгебре 211

§ 5. Алгебраические задачи 215

Глава II. Развитие понятия числа в семилетней школе

§ 6. Введение отрицательных чисел. Множество рациональных чисел 218

§ 7. Сложение и вычитание рациональных чисел 221

§ 8. Умножение и деление рациональных чисел1 222

§ 9. Задачи на все действия с рациональными числами 225

§ 10. Извлечение квадратного корня. Таблицы квадратов и квадратных корней 226

Глава III. Тождественные преобразования в семилетней школе

§ 11. Буквенная символика 229

§ 12. Виды и назначение тождественных преобразований 234

§ 13. Приведение подобных членов. Сложение и вычитание многочленов 235

§ 14. Умножение одночленов и многочленов. Формулы сокращённого умножения 236

§ 15. Деление одночленов и многочленов 240

§ 16. Разложение многочленов на множители 241

§ 17. Алгебраические дроби 243

Глава IV. Уравнения 1-й степени и их системы

§ 18. Элементарное учение об уравнениях и их системах 244

§ 19. Решение уравнений 1-й степени с одним неизвестным и задачи на их составление 249

§ 20. Решение системы двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными и задачи на их составление 254

§ 21. Другие системы уравнений 1-й степени 256

§ 22. Понятие о неравенстве и его использование в семилетней школе 257

Глава V. Функциональная зависимость

§ 23. Введение идеи функции в общеобразовательный курс математики 259

§ 24. Задачи изучения функций в средней школе 261

§ 25. Функциональная пропедевтика 264

§ 26. Раздел «Функции и их графики» в VIII классе 265

§ 27. Изучение функций в IX и X классах 267

Глава VI. Развитие понятия числа в старших классах средней школы

§ 28. Введение иррациональных чисел. Множество действительных чисел 270

§ 29. Введение мнимых чисел. Множество комплексных чисел 273

Глава VII. Тождественные преобразования в старших классах средней школы

§ 31. Преобразование выражений, содержащих радикалы 278

Глава VIII. Уравнения и неравенства в старших классах средней школы

§ 32. Уравнения квадратные и приводящиеся к ним 281

§ 33. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком радикала 283

§ 34. Системы уравнений степени выше первой 284

§ 35. Неравенства 285

§ 36. Исследование уравнений 287

§ 37. Теорема об остатке от деления многочлена на разность вида (х—а) и её следствия 288

Глава IX. Последовательности и прогрессии. Элементы теории пределов

§ 38. Значение изучения прогрессий в курсе алгебры 289

§ 39. Прогрессии из конечного числа членов 291

§ 40. Различные задачи на прогрессии 292

§ 41. Место понятия предела в школьном курсе математики 294

§ 42. Изучение элементов теории пределов в IX классе 296

Глава X. Логарифмы

§ 43. Обобщение понятия о показателе степени и показательная функция 300

§ 44. Определение-логарифма. Логарифм как функция, обратная по отношению к показательной. Общие свойства, логарифмов 302

§ 45. Десятичные логарифмы 304

§ 46. Таблицы логарифмов 307

§ 47, Практика вычислений с логарифмами 309

§ 48. Логарифмическая, функция 310

§ 49. Уравнения показательные и логарифмические 312

§ 50. Счётная логарифмическая линейка 314

Глава XI. Комбинаторика. Бином Ньютона

§ 51. Теория соединений и теория вероятностей 315

§ 52. Перёстановки 317

§ 53. Размещения и сочетания 318

§ 54. Бином Ньютона 319

Список книг и статей по вопросам, относящимся к 3-й части 322

ЧАСТЬ 4

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ

Глава I. Общие соображения об изучении геометрии в средней школе

§ 1. Три стадии в развитии науки геометрии 324

§ 2. Цели изучения геометрии в средней школе 327

§ 3. Содержание школьного курса геометрии 330

§ 4. Наглядность в преподавании геометрии 334

§ 5. Учебная литература по геометрии 336

Глава II. Первые шаги в изучении геометрии

§ 6. Геометрические сведения и навыки, приобретаемые в начальной школе 337

§ 7. Работа по геометрии в V классе 339

§ 8. Первые уроки геометрии в VI классе. Основные понятия и аксиомы 343

§ 9. Работа над определениями 345

§ 10. Изучение первых теорем и их применение 347

Глава III, Дальнейшее развёртывание геометрии в семилетней школе

§ 11. Общий характер изучения геометрии в семилетней школе 351

§ 12, Учение о треугольниках 352

§ 13. Теория параллельных 354

§ 14. Учение о четырёхугольниках и об окружностях 357

§ 15. Задачи на построение 362

§ 16. Внеклассная работа по геометрии в семилетней школе 365

Глава IV. Измерение геометрических величин

§ 17. Длина отрезка и отношение отрезков 366

§ 18. Измерение углов и дуг окружности 370

§ 19. Площади многоугольников 371

Глава V. Геометрическое применение элементов теории пределов

§ 20. Длина окружности 373

§ 21. Площадь круга 377

Глава VI. Изучение стереометрии

§ 22. Особенности работы над стереометрическими разделами 379

§ 23. Стереометрический чертёж 382

§ 24. Задачи на построение в стереометрии 386

§ 25. Прямые и плоскости в пространстве 387

§ 26. Многогранники 389

§ 27. Измерение объёмов. Принцип Кавальери 391

§ 28. Круглые тела 395

Список книг и статей, относящихся к 4-й части 398

ЧАСТЬ 5

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ

Глава I. Общие соображения об изучении тригонометрии в средней школе

§ 1. Исторические сведения. Современная тригонометрия 401

§ 2. Тригонометрия как учебный предмет в общеобразовательной средней школе 404

§ 3. Линейное и концентрическое изложение тригонометрии 405

§ 4. Учебники тригонометрии 407

§ 5. Некоторые другие учебники и учебные пособия по тригонометрии 408

§ 6. Тригонометрические задачи 409

§ 7. Различные варианты начального курса 413

§ 8. Определения тригонометрических функций острого угла. Две главные задачи на тригонометрические функции 415

§ 9. Таблицы тригонометрических функций 417

§ 10. Решение прямоугольных треугольников 419

§ 11. Начальный курс тригонометрии 421

Глава III. Общие определения тригонометрических функций

§ 12. Направленные Отрезки {векторы). Проекции 422

§ 13. Обобщение понятия дуги и угла. Направленные дуги и углы 424

§ 14. Определения тригонометрических функций 426

§ 15. Некоторые свойства тригонометрических функций, непосредственно вытекающие из их определений 429

§ 16. Связь с общим понятием функции 433

Глава IV. Тригонометрические равенства и неравенства

§ 17. Формулы приведения к дуге I четверти 434

§ 18. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента 438

§ 19. Формулы сложения и вычитания 439

§ 20. Формулы умножения и деления 441

§ 21. Представление тригонометрических сумм в виде произведений 442

§ 22. Некоторые замечательные тригонометрические неравенства 444

§ 23. Приближённые тригонометрические формулы 445

Глава V. Таблицы и графики тригонометрических функций

§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций 447

§ 25. Устройство и употребление 4-значных тригонометрических таблиц 453

§ 26. Некоторые другие таблицы 457

§ 27. Графики тригонометрических функций 458

Глава VI. Обратные тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения

§ 28. Общие выражения для значений аргумента, соответствующих данным значениям тригонометрических функций 462

§ 29. Обратные тригонометрические функции. Их многозначность и главные значения. Графики обратных тригонометрических функций 464

§ 30. Некоторые задачи на обратные тригонометрические функции 467

§ 31. Трудности, связанные с изучением обратных тригонометрических функций в школе 468

§ 32. Тригонометрические уравнения. Их классификация и методы решения 469

§ 33. Примеры решения тригонометрических уравнений, сводящихся к алгебраическим и основным тригонометрическим 474

§ 34. Примеры трансцендентных тригонометрических уравнений 477

§ 35. Когда и в каком объёме рассматривать решение треугольников? 479

§ 36. Решение прямоугольных треугольников 480

§ 37. Соотношения между сторонами и углами в косоугольном треугольнике 482

§ 38. Основные случаи решения треугольников 484

§ 39. Особые случаи решения треугольников 487

§ 40. Другие геометрические приложения тригонометрии 489

§ 41. Тригонометрия и алгебра 492

§ 42. Применения тригонометрии в механике и физике 493

§ 43. Тригонометрия, топография, астрономия 494

Список книг и статей по вопросам, относящимся к 5-й части 495

ПРЕДИСЛОВИЕ

Работая над этой книгой, автор преследовал две цели. Во-первых, надо было дать изложение основных идеи науки методики преподавания математики, освещая принципиальные её вопросы, указывая различные её течения, по необходимости касаясь и самой математики, и её истории. Предназначая книгу для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов, автор предполагал у читателя знание тех математических дисциплин, какие изучаются на I и II курсах, не говоря уже о курсе элементарной математики, изучаемом в средней школе. Во-вторых, в книге, предназначенной для студентов, будущих учителей математики, нельзя было не отвести много места тем вопросам, которые неизбежно встают перед молодым советским учителем средней школы, призванным вести обучение математике в тех конкретных условиях в смысле учебного пдана, программы, учебников, какие мы имеем в настоящее время. Начинающего учителя интересует вопрос о том, как лучше всего провести работу по действующей программе и по принятым в нашей школе учебникам, и автор считал, что учителю надо помочь и в этом отношении, что книга по методике должна быть и практическим руководством, хотя есть опасность, что такое руководство может быстро устареть, так как в стране ведётся интенсивная работа по улучшению программ и обновлению используемых учебников. Имея в виду работу по действующей ныне программе математики для средней школы и по принятым в настоящее время учебникам, автор считал целесообразным указывать на возможность введения некоторых новшеств, уже проверенных на опыте отдельных учителей.

Ставя перед собой две эти цели, автор сознаёт, что полностью не достиг ни той, ни другой, но надеется, что при всех наличных недочётах книги она всё же облегчит первые шаги начинающего учителя, поможет ему избежать некоторых часто допускаемых ошибок.

Настоящее, третье, издание является частичной переработкой первых двух. Заново написан § 13 первой части «Школьная математика в свете задач политехнического обучения». Учтено большое количество замечаний, высказанных по поводу отдельных мест книги. Автор приносит глубокую благодарность всем товарищам, поделившимся своими пожеланиями об исправлениях в книге. Особой признательностью он обязан проф. И. Я. Депману и Н. М. Бескину, выступившим с большими и содержательными докладами на организованном издательством обсуждении книги, а также кафедре математики Ростовского-на-Дону государственного педагогического института, С. М. Чуканцову (Калуга) и Н. И. Благовещенскому (Владивосток), приславшим подробные рецензии, одна из которых была опубликована в журнале «Математика в школе» (№ 3 за 1951 г.). Подавляющее большинство пожеланий, не требующих коренной переработки книги, автором выполнено. Коренную переработку книги, особенно в геометрической части, автор считает необходимой, но по ряду причин вынужден отложить её до следующего издания, если в таком окажется надобность.

16 января 1954 г. В. Брадис

г. Калинин, Государственный педагогический институт имени М. И. Калинина

Часть первая

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Глава I

МАТЕМАТИКА КАК НАУКА

§ 1. Зарождение математики. Первый основной этап её развития: математика как наука о числах, величинах, геометрических фигурах.

Содержавший и происхождение математической науки точно и полно характеризуется следующими словами Фридриха Энгельса:

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путём мы получаем точки, лишённые измерений, линии, лишённые толщины и ширины, разные а и Ь, х и у, постоянные и переменные величины... Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей; из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и механики» (Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, 1948, стр. 37).

Следуя схеме, предложенной академиком А. Н. Колмогоровым в его статье «Математика» [I, 30] , всю историю математики можно разбить на три основных этапа: первый, когда шло образование и разработка понятий действительного числа, величины, геометрической фигуры; второй, главным содержанием которого являлось изучение изменения величин и геометрических преобразований; третий, когда математика стала наукой о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира во всей их общности. Рассмотрим последовательно эти три этапа.

Ссылки в прямоугольных скобках здесь и в дальнейшем относятся к спискам литературы, приведённым в конце каждой части. Римская цифра означает номер части, арабская — номер работы по списку.

Первобытный человек, размышляя, например, о том, хватит ли наличного запаса оружия для всех участников намеченной охоты, ещё не умея считать, уже выполнял одну простейшую математическую операцию: он устанавливал соответствие между элементами двух множеств, множества копий и множества охотников. Много раз выполняя подобную операцию в процессе удовлетворения самых различных своих потребностей, человек замечал нечто общее во всех множествах, для которых это соответствие оказывалось взаимно однозначным. Общественный характер жизни людей заставлял давать этому общему некоторое название. Так, все множества, допускающие взаимно-однозначное соответствие элементов с множеством пальцев руки (короче — эквивалентные, или равносильные, этому множеству), характеризовались словом «пять» (от слова «пясть» — кисть руки). Не обращая внимания на свойства элементов, входящих в рассматриваемое множество в каждом отдельном случае, т. е. отвлекаясь от них, человек постепенно выработал понятие о числах 1, 2, 3, 4, 5 ..., о натуральном числе вообще как характеристике того общего, что имеется во всех равносильных конечных множествах. Человек научился считать.

Аналогично возникли и другие математические понятия о действиях над натуральными числами, о дробях, о прямой линий, о длине отрезка, о площади, об объёме и т. д. Первый основной этап развития математики, охватывающий длинный ряд веков от первых шагов человека на этом пути математической абстракции примерно до начала XVII в., можно в самых общих чертах характеризовать тем, что математика овладела понятием натурального, а затем рационального числа; научилась называть и записывать произвольно большие числа; освоила арифметические действия, установила свойства и способы измерения таких величин, как длина, угол, площадь, объём, признав существование иррационального числа; установила свойства простейших геометрических фигур и тел —многоугольников, круга, многогранников, цилиндра, конуса, сферы, некоторых кривых. На протяжении этого первого этапа математика была призвана удовлетворять непосредственные потребности, возникавшие в хозяйственной и военной деятельности человека: простой счёт голов скота, разного рода дележи, сравнение длин различных путей, разбивка земельных участков и измерение их площади, определение объёмов, всевозможные денежные расчёты и т. д. Большие требования к математике уже на весьма ранних ступенях её развития предъявила астрономия, что привело к созданию тригонометрии, в первую очередь сферической. Ещё большие требования к математике со стороны механики и физики сказались значительно позже. Исключением являлись работы Архимеда (III в. до н. э.), которые не укладывались в рамки этих простейших понятий математики и которые, далеко опередив свою эпоху, относятся по существу к следующему этапу развития математики.

История не сохранила сведений о самых первых шагах развития математики. О них можно только догадываться. Но имеются идущие весьма далеко в глубь веков совершенно достоверные сведения о математическом творчестве в Египте (со второго тысячелетия до н. э.) и в Месопотамии (центр — Вавилон), примерно такой же древности. До нас дошли многочисленные задачи арифметического, геометрического и алгебраического содержания, которые решались египтянами и вавилонянами по определённым правилам, иногда с помощью специальных таблиц; но общих теорий, из которых вытекали бы эти правила, ещё не существовало. Поэтому не удивительно, что среди этих правил были и такие, которые давали при некоторых условиях хорошие результаты, при других — ошибочные. Например, для определения площади равнобедренного треугольника египтяне брали половину произведения основания не на высоту, а- на боковую сторону.

Существенно иное направление развитие математики получило в Греции, где, начиная с VII в. до н. э., стала разрабатываться математическая теория, сперва рассматривавшая на основе дошедших из Египта и Вавилона сведений отдельные, не связанные друг с другом вопросы, а затем приводившая эти отрывки в систему. Из науки эмпирической, устанавливавшей свои результаты только через опыт и наблюдение, математика трудами Фалеса, Пифагора, Гиппократа, Эвдокса, Евклида, Архимеда, Аполлония и ряда других греческих учёных превратилась в науку дедуктивную, получающую свои результаты как логические выводы из немногих исходных предложений (аксиом), принимаемых — конечно, на основании опыта—за истинные. Вершины своего расцвета греческая математика достигла в работах Евклида и Аполлония по геометрии, Диофанта по арифметике и алгебре, Птолемея по тригонометрии, Архимеда по геометрии и механике. Весьма многие блестящие достижения греческой математики не потеряли своего значения до настоящего времени, но были и недостатки, обусловленные в конечном счёте особенностями рабовладельческого общества, существенно тормозившие дальнейшие успехи. Прежде всего это был отрыв теории от практики, убеждение, что истинная наука не должна интересоваться жизненными потребностями людей, что применять науку на практике — значит унижать её. Господствовала идеалистическая философская школа Платона, установившая в математике ряд запретов и ограничений, из которых некоторые сохранили своё отрицательное значение до настоящего времени (например, искусственное ограничение циркулем и линейкой при геометрических построениях). Лишь немногие учёные, как Демокрит, Архимед и некоторые другие, правильно рассматривали взаимоотношение теории и практики, опыта и логической дедукции. Инженерная деятельность, получившая невиданный до того времени размах в Римской империи, использовала греческую математику далеко не полностью. Так, крупнейший римский архитектор Витрувий, живший в I в. до н. э.,брал отношение длины окружности к диаметру равным 3g, хотя ещё за два столетия до него Архимед дал более точное и не менее удобное значение этого отношения.

Одновременно с греческой и в основном независимо от неё развивалась индусская математическая наука. В Индии не было характерного для греческой математики отрыва теории от практики, логики от опыта, и хотя индусская математика далеко не достигла того уровня, каким отличалась математика греков, она создала много ценного, прочно вошедшего в мировую науку и сохранившегося до нашего времени. Сюда относится общепринятая десятичная система счисления с основанной на ней техникой арифметических действий, разработка правил над отрицательными числами и радикалами, правила решения общих уравнений 1-й и 2-й степени, введение синуса и т. д.

Наследниками как греческой, так и индусской математической культуры стали народы, объединённые в VII в. н. э. арабским халифатом. Среди них чрезвычайно важную роль в истории культуры сыграли народы, населяющие Среднюю Азию и Закавказье (хорезмийцы, узбеки, таджики, азербайджанцы и др.) и ныне входящие в СССР. Научные работы писались тогда на арабском языке, который был международным языком стран Ближнего и Среднего Востока. Это и послужило поводом называть «арабами» всех учёных этих стран. Они сохранили и существенно пополнили греческую и индусскую математику в течение средневековья, когда европейская наука после распространения враждебного ей христианства переживала длительный период упадка. Начиная с VIII в. н.э. на арабский язык переводятся сочинения индусских и греческих математиков, и в дальнейшем европейцы ознакомились со многими такими работами только через арабские переводы.

К важнейшим из оригинальных работ этого времени принадлежат сочинения знаменитого хорезмского математика IX в. Магомета-ибн-Мусы-аль-Ховарезми (по другому начертанию Мухаммед-бен-Муса аль-Хорезми), т. е. Магомета сына Мусы из Хорезма.

От его работы «Альджебр альмукабала» ведёт начало самое название науки алгебры. Искажённое в латинском переводе прозвище Альховарезми превратилось в слово алгорифм, обозначающее совокупность математических операций, при помощи которых решается данная общая задача.

Лишь в недавнее время стали известны замечательные достижения таджикского математика XV в. Гияс-эддина, открывшего и систематически применявшего десятичные дроби за 150 лет до того, как к ним пришли в Западной Европе; он первым, задолго до Ньютона, дал формулу бинома для любого натурального показателя [I, 59]. Отметим ещё азербайджанского математика XIII в. Насир-эддина Туси, много сделавшего для геометрии и тригонометрии.

Время с XII по XV в. является периодом освоения Европой древней математической науки. Этого требовали и развивающиеся торговые операции крупного масштаба, связанные с денежными расчётами, постройкой кораблей, вождением их через моря, а потом и океаны, вообще потребности богатевшей буржуазии, особенно итальянской. Наряду с переводами математических сочинений с арабского и греческого на латинский язык, интернациональный язык науки того времени, появилось, и несколько оригинальных математических сочинений, имевших преимущественно характер учебников. Лучшими из них были книги Леонардо Пизанского (Фибоначчи), опубликованные в начале XIII в., а именно: «Книга об абаке» и «Практика геометрии».

В конце XV в. было изобретено книгопечатание, существенно ускорившее развитие математики и науки вообще. В XVI в. было сделано несколько крупных математических открытий: найдено решение уравнений 3-й и 4-й степени в радикалах, установлены методы приближённого вычисления действительных корней уравнений любой степени счисленными коэффициентами, сделаны первые шаги по введению комплексных чисел, достигнуты большие успехи в деле создания алгебраической символики и т. д.

Древнейшее дошедшее до нас русское математическое сочинение написано в 1134 г. Это «Кирика диакона и доместика Новгородского Антониева монастыря учение им же ведати человеку числа всех лет». Оно посвящено преимущественно различным расчётам, относящимся к календарю, в частности к определению сроков религиозных праздников. По ряду других источников («Русская Правда» Ярослава Мудрого, летописи, международные договоры, данные археологии) можно заключить, что общий уровень математических познаний русских людей XII — XVI вв. был не ниже, чем в Западной Европе того же времени, несмотря на татарское иго, долго тормозившее дальнейшее развитие русской культуры вообще.

Первый основной этап развития мировой математической науки имеет для учителя математики в средней школе большой интерес, так как здесь дело идёт преимущественно об элементах математики, о той базе всего дальнейшего развития математики, которая под названием «элементарная математика» является объектом изучения в школе (начальной и средней). Читателю, желающему подробнее ознакомиться с историей математики на этом и следующем этапах, рекомендуется обратиться к упомянутой статье академика А. Н. Колмогорова и к специальной литературе по истории математики, указанной в конце настоящей первой части.

§ 2. Второй основной этап развития математики: математика как наука об изменении величин и о геометрических преобразованиях.

Научное творчество в области элементарной математики продолжалось и после XVI в. Достаточно напомнить открытие логарифмов, доведение до современного вида школьной алгебры и тригонометрии, работу над геометрической системой Евклида. Но господствующую линию развития математики в XVII и XVIII вв., а также в первой половине XIX в. определяют две новые основные идеи: движение и изменение, «...вся природа,— говорит Ф. Энгельс,— начиная от мельчайших частиц её до величайших тел, начиная от песчинки и кончая солнцем, начиная от протиста и кончая человеком, находится в вечном возникновении и уничтожении, в непрерывном течении, в неустанном движении и изменении» (К. Маркс и Ф. Энгельс, т. XIV, стр. 484). Но математика первого этапа, занимавшаяся числами, величинами и фигурами, брала лишь отдельные моменты существования тех или других вещей, лишь несовершенно отображала количественные отношения и пространственные формы действительности, представляла собой нечто вроде моментального фотоснимка с этих текущих, движущихся отношений и форм. В связи с развитием производительных сил и общественных отношений, вызвавшим бурный рост естественных наук, в XVII в. основным объектом изучения стали зависимости между переменными величинами — от изучения чисел наука перешла к изучению функций.

«Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного,— к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла. Создаётся анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального и интегрального исчислений, позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений, и интегрирование этих уравнений выдвигается в виде одной из важнейших задач математики... Таким образом, рядом с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определении) функции. Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Одно и то же движение и одно и то же преобразование может перемещать или преобразовывать самые различные фигуры. Поэтому геометрия начинает изучать движение и преобразования сами по себе» (академик А. Н. Колмогоров, статья в БСЭ, т. 38, стр. 368—369).

Принципиальную важность перехода математики от первого ко второму основному её этапу, от изучения отдельных моментов существования вещей к изучению процессов их изменения и развития, хорошо характеризуют следующие слова Ф. Энгельса: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем» («Диалектика природы», 1948, стр. 208).

XVII и XVIII вв.— период величайших завоеваний математической науки на этом новом этапе её развития, связанный с именами Декарта, Ферма, Ньютона, Лейбница, Эйлера, Лагранжа, Лапласа и ряда других исследователей. Эти завоевания были подготовлены всем предшествующим развитием математики

и обусловлены теми требованиями со стороны естествознания (астрономии, механики, физики) и техники (применения машин), какие были поставлены перед математикой XVII в. в связи с ростом буржуазного общества и развитием капитализма, имевшим тогда прогрессивный характер. «Авторы XVII в. понимают и любят подчёркивать большое практическое значение математики. XVII век был эпохой, когда рост буржуазного общества позволил ему выдвинуть перед наукой задачи на несколько веков вперёд с полным сознанием их практической ценности. Опираясь на свою тесную связь с математическим естествознанием, математика XVII в. смогла подняться на новый этап диалектического развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые формально-логические категории математики, получили своё первое оправдание в соответствующих соотношениях действительного мира. Так, например, реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике. Поэтому вопрос заключался не в том, можно ли логически оправдать это понятие, а в том лишь, как это сделать» (БСЭ, т. 38, стр. 370).

Понятие функции, являясь основным понятием математики на рассматриваемом этапе, полностью сохранило своё первостепенное значение и до настоящего времени, но за истекшее время оно существенно эволюционировало. Первоначально функцию рассматривали как переменную величину, значения которой определяются в зависимости от выбираемых по произволу значений другой переменной (независимой переменной, или аргумента) по^некоторой формуле, называемой аналитическим выражением этой функции. Так, Л. Эйлер в своём «Введении в анализ» говорит: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств» (перевод с латинского Е. Л. Пацановского, ОНТИ, 1936, стр. 30). Дальнейшее развитие математики привело к значительно более общему пониманию функции, основанному на понятиях множества, элемента множества, соответствия элементов двух множеств: если каждому элементу х множества М поставлен в соответствие некоторый элемент у множества V, то говорят, что на множестве М задана однозначная функция, и пишут …. При этом элементы М называются значениями аргумента, а элементы N — значениями функции. Элементами множеств М и N могут быть объекты любой природы, но наиболее важен тот случай, когда это — числа. Если это не числа, а точки, то мы имеем простейший случай геометрического преобразования (точечное преобразование). Примером последнего может служить изображение на чертеже, т. е. на куске плоскости, какого-нибудь сооружения (здания, машины): каждой точке сооружения соответствует получаемая по определённому закону, различному для различных методов изображения определённая, точка чертежа.

Развитие математики в России в XVII и XVIII вв. характеризуется следующими фактами. Появляется много рукописей математического содержания, посвящённых частью арифметике, частью геометрии и её приложениям в землемерии. Учреждаются школы: «Математических и навигацких, т. е. мореходно-хитростных наук школа» в Москве, переведённая в 1715 г. в Петербург и преобразованная в Морскую академию («Академию Морской Гвардии»), «цифирные школы» в разных городах, «гарнизонные» и другие военные школы. Появляется замечательное руководство элементарной математики, составленное Л. Ф. Магницким и вышедшее в 1703 г. под названием «Арифметика»; наряду с арифметикой оно содержало начатки алгебры, геометрии и тригонометрии. В 1724 г. была основана Петербургская академия наук, в которой с первых же лет работали крупнейшие математики того времени: братья Николай и Даниил Бернулли, Христиан Гольдбах, а с 1727 г. знаменитый Леонард Эйлер, проведшей в Петербурге в общей сложности 30 лет своей жизни и опубликовавший большую часть своих работ в изданиях Академии (473 мемуара). В 1755 г. заботами величайшего русского учёного Михаила Васильевича Ломоносова был основан первый русский университет (в Москве). Появились многочисленные русские переводы лучших иностранных учебников математики, появился и ряд оригинальных учебников арифметики, алгебры, геометрии, тригонометрии, анализа, не уступавших по научному уровню лучшим западноевропейским учебникам того времени. Всего за первую половину XVIII в. на русском языке вышло 30 учебников, посвящённых математике целиком или имеющих специальные математические разделы,, а за вторую половину этого века таких книг вышло уже 98 (см. статью А. П. Юшкевича «Математика и её преподавание в России в XVIII— XIX вв.» в журнале «Математика в школе» за 1947—1948 гг.).

Если содержание математической науки на первом основном этапе её развития модсно кратко, хотя и не совсем точно, охарактеризовать термином «элементарная математика», которым обычно обозначают весь материал, изучаемый в начальной и средней школе, то математику второго основного этапа можно назвать (тоже не вполне точно) «классической высшей математикой». Именно ей посвящены в основных своих частях курсы высшей алгебры, математического анализа, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии, изучаемые на 1-ми 2-м годах обучения в пединститутах.

До сравнительно недавнего времени изучение математики в средней школе не выходило сколько-нибудь существенно за рамки того, что математическая наука установила до начала XVII в., а в высшей школе — за рамки того, что вошло в неё до середины XIX в. В настоящее время всеми передовыми работниками в области преподавания математики общепризнано, что основное понятие математики XVII—XVIII вв., а именно понятие функции, должно прочно войти в круг вопросов, изучаемых в средней школе. Высшая же школа должна знакомить будущих учителей математики и с важнейшими завоеваниями математической науки на третьем, современном нам основном этапе её развития, к рассмотрению которого и переходим.

§ 3. Третий основной этап развития математики: математика как наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира во всей их общности.

С XIX в. до наших дней продолжается интенсивное дальнейшее развитие классической высшей математики.

В теснейшей связи со многими блестящими достижениями на старых путях развития математики перед математикой открылись новые горизонты: оказалось, что математика переросла прежние рамки, ограничивающие её изучением чисел, величин и процессов их изменения, геометрических фигур и их преобразований, что она является наукой о более общих количественных отношениях, для которых числа и величины оказываются лишь весьма частными случаями, и о более общих пространственных формах, частный случай которых представляют обычные геометрические образы пространства одного, двух, трёх измерений.

Поясним это обстоятельство, имеющее первостепенное значение для правильного понимания современной математики, двумя примерами.

Изучая в арифметике и в алгебре разного рода числа (целые, рациональные, действительные,, комплексные, гиперкомплексные), мы имеем дело со множествами, для элементов которых установлены некоторые операции (сложение, умножение и др.), обладающие определёнными свойствами. Оказалось, что во многих вопросах математики, механики и физики мы встречаемся со множествами, элементами которых являются объекты иной природы (например, подстановки в алгебре, движения и преобразования в геометрии и т. п.), для которых существует некоторая операция, позволяющая по любым двум элементам данного множества однозначно определять третий его элемент. Операция эта имеет черты сходства с умножением (или сложением) чисел, а именно: если элементы обозначать буквами Л, £, С,..., а результат операции, применённой к любым двум элементам А и В, через АВ, то основные свойства операции выражаются следующим образом: 1) (АВ)С= А(ВС); 2) существует элемент Е такой, что АЕ = Ау каков бы ни был элемент А; 3) для каждого элемента А существует обратный элемент Л—1 такой, что ЛЛ—1 = Е. Каждое множество элементов, для которых существует подобная операция, называется группой. Теория групп, созданная сначала для нужд алгебры, скоро нашла применение в самых разнообразных отделах математики и естествознания (геометрия, анализ, физика). Таким образом, в теории групп рассматриваются с единой точки зрения количественные и пространственные отношения объектов весьма разнообразной природы (числа, функции, движения, преобразования), лишь бы только для них имела смысл операция, удовлетворяющая описанным выше требованиям.

В качестве другого примера следует указать на переворот в науке, вызванный открытиями гениального русского математика Н. И. Лобачевского, установившего, что наряду с геометрией Евклида существуют ещё и другие геометрии, отличающиеся от евклидовой и вместе с тем изучающие пространственные отношения реального мира в такой же мере, как и евклидова геометрия. В исследованиях Лобачевского, коренится основная для всего дальнейшего развития математики идея о различных «пространствах» как объектах математического исследования. В наиболее общем виде понятие «пространства» изучается теперь в топологии, под именем топологического пространства. Так называется любое множество, для элементов которого установлено понятие окрестности, имеющее черты сходства с окрестностями точек на плоскости или в обычном пространстве (евклидовом), а именно: окрестностями данного элемента должны быть некоторые совокупности элементов данного множества, обладающие следующими свойствами: 1) окрестность данного элемента а содержит элемент а\ 2) в каждой из двух любых окрестностей одного и того же элемента а содержится некоторая третья окрестность того же элемента;-3) если элемент Ь содержится в данной окрестности элемента а, то в той же окрестности содержится и некоторая окрестность Ь.

Элементы топологического пространства называются точками. Созданное сначала в интересах геометрии понятие «пространства» приобрело чрезвычайно важное значение в других отделах математики и естествознания (анализ, физика и механика).