ВВЕДЕНИЕ

В процессе научно-исследовательской работы в области математики играют важную роль и часто используются: метод обобщений, рассуждения по аналогии, интуиция, метод от противного, метод математической индукции и другие, более специальные, методы /алгебраические методы, методы функционального анализа, метод возмущений и т.п./.

В дальнейшем кратко охарактеризуем и проиллюстрируем на соответствующих примерах некоторые из указанных методов. Основное внимание следует обратить на один из распространенных в математике методов - метод обобщений. Он играет фундаментальную роль в построении новых теорий, в разработке новых понятий, положений и доказательств.

У.Сойер называет обобщение одним из самых важных факторов развития математики. В процессе обобщения отбрасываются все лишние, второстепенные данные и акцентируется внимание на основных фактах и закономерностях. Поэтому обобщение, как правило, упрощает соответствующие формулировки я делает их более удобными для восприятия, дает возможность выявлять и исследовать основные закономерности. В результате обобщений разработаны многие математические теории: групп, булевых алгебр,

меры я интеграла, линейных пространств, спектральная операторов я многие другие, а также установлен ряд математических понятий: линяя, мощности множества, функции, метрического иля топологического пространства, функции от элемента алгебры и в частности матрицы и др.

Однако обобщение - не однотипный и не шаблонный процесс. Обобщение того или иного понятия или результата можно получить различными путями и методами. В дальнейшем рассмотрим некоторые из таких методов.

В разд.5 формулируются некоторые примеры и задачи, которые могут послужить основой для исследовательской работы студентов. Основную цель, которая при этом преследовалась, кратко можно сформулировать и обосновать словами Ньютона: "Я занимался до сих пор решением ряда задач, ибо при изучении наук примеры полезнее правил"1.

I. ПЕРВЫЙ СПОСОБ ОБОБЩЕНИЯ - ПО АНАЛОГИИ

Метод аналогий необычайно распространен как в науке, так и в технике. Многие приборы, аппараты и машины конструируются по аналогии либо с некоторыми живыми организмами, либо с другими приборами /самолеты, радиолокаторы, автомобили и т.п./.

Не является исключением в этом отношении и математика. Многие математические теории отроятся по аналогии с уже разработанными /различные неевклидовы геометрии; бесконечномерные пространства и теория операторов в таких пространствах; различные теории интеграла; исследование близких в некотором смысле классов дифференциальных уравнений; построение функционального исчисления в алгебрах и др./. При этом в математике аналогии существуют не только между теориями, но и между доказательствами, построениями, понятиями, обозначениями и т.п.

I Ньютон И. Всеобщая арифметика. - М., 1948, с. 243.

I. Кватернионы. Как известно, современная теория комплексных чисел отроится следующим образом. Комплексным числом навивают упорядоченную пару (&, 6) действительных чисел а и б При этом в множестве комплексных чисел определяют операции сложения и умножения:

(о, б ) + (с ,d) = (а+с., б+d),

( Q ,б) (Q,d ) = (ас - de/, ad + бс ).

Указанные операции ассоциативны, коммутативны, обратимы, операция умножения связана с операцией сложения дистрибутивным законом. Отождествляя комплексное число (а >о) с действительным числом ^а , множество действительных чисел R иктчат в множество комплексных чисел С (R <= с ) Если теперь обозначить комплексное число (0,1) буквой L , получим 4**-/. При этом произвольное комплексное число (ос, 6) мото представить в виде ( а , б) = a + 6i,.

Комплексное число £ = а - 6L /или, что то же самое, 2 = (a_t~6) называют сопряженным относительно числа Z = Q + 6L Произведение Z Z является действи- тельным неотрицательным числом: Ц 4 о О Число 121“ Vi z' “ "у/а^л-*-б^£ называют модулем комплексного числа Z

По аналогии о предыдущим можно рассматривать множество Н • элементами которого являются упорядоченные пары (Я, л/ комплексных чисел И и Л Если ври этом определить операцию сложения так же, как и в случае комплексных чисел, а операцию умножения - равенством ( Z, Л ? (U, IT) - (ZU-jlLr, ИГ+Лй ), окажется, что многие свойства этих операций такие же, как и в случае комплексных чисел, а именно: операции сложения и умножения в Н ассоциативны, обратимы и операция умножения связана ' с операцией сложения как левым, так и правым дистрибутивным законом, т.е. d + $) = djQ 't-cCjf,

2- SfSS'

17. Модель плоскости. Для обоснования непротиворечивости системы аксиом /а следовательно, и соответствующей аксиоматической теории/ строят модель. В школьных курсах геометрии сформулированы системы аксиом Г.Вейля и метрическая система аксиом А.Н. Колмогорова. Однако модели указанных систем аксиом /плоскости или пространства/ в школьных учебниках не строятся. В связи с этим целесообразно построить соответствующие системам аксиом планиметрии /или стереометрии/ модели плоскости /пространства/, а также строго обосновать их эквивалентность.

18. Анализ одного "решения" задачи о квадратуре круга. Задача о квадратуре круга состоит в следующем: можно ли, пользуясь только циркулем и линейкой, построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга? Нац этой задачей около 2000 лет бились как специалисты, так и дилетанты. Впрочем, последние продолжают "решать" эту задачу и в наше время, хотя уже в прошлом веке было доказано, что задача о квадратуре круга неразрешима^.

Среди многих тысяч людей, предпринимавших попытки решить задачу о квадратуре круга, особое место занимает английский философ Томас Гоббс, который в 1665 г. опубликовал одно из первых своих "решений" рассматриваемой задачи. Приведем его построения в изложении Мартина Гарднера.

Внутри единичного квадрата проведены дуги <ХС и 6d /рис.6/. Каждая из них равна четверти окружности единичного радиуса. Точка делит дугу пополам. Проведем отрезок чо , параллельный стороне квадрата, и продолжим его за точку на расстояние, равное чф /т.е. отложим на продолжении отрезок /. Проведем отрезок и продолжим его до пересечения со стороной квадрата в точке t Гоббс утверждал, что отрезок St точно равен дуге бу , а так как дуга бу

I Доказано, что пользуясь только циркулем и линейкой, можно строить лишь алгебраические числа, т.е. такие числа, которые являются корнями многочлена с рациональными коэффициентами. Поскольку было доказано, что число не является алгебраическим /такие числа называют трансцендентными/, следовательно, Л нельзя построить с помощью циркуля и линейки. Значит, неосуществима также и квадратура круга с помощью лишь циркуля и линейки.