§ 4. ВИДЫ ОТНОШЕНИЙ

13.Разбиение множества на классы 35

14.Эквивалентность .37

15.Порядок 40

16.Включение 43

6 5. ВАЖНЕЙШИЕ ОТНОШЕНИЯ

17.Отношения эквивалентности . 44

18.Отношения порядка 49

19.Отношения включения 53

20.Другие отношения .'57

Заключение 59

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс математики I—V классов представляет системупонятий, одни из которых характеризуют множества предметов (треугольник, натуральное число), а другие — отношения между элементами множеств (меньше, конгруэнтно). Заметим, что первые из этих понятий определяют полностью каркас курса, тогда как вторые, хотя и занимают большое место, не образуют Самостоятельной логической системы. В то же время, по выражению академика А. Д. Александрова [1], современная математика есть наука об отношениях в самом абстрактном смысле.

То внимание, которое уделяется в этой работе отношениям, объясняется большим значением вопросов об отношениях в курсе математики IV—V классов, недостаточной методической разработанностью их изложения, отсутствием соответствующих пособий для учителя. Теоретические сведения и упражнения подбирались с таким расчетом, чтобы они были доступны не только учителям, впервые знакомящимся с этими вопросами, но и могли быть частично использованы в непосредственной работе с учащимися и более полно на занятиях кружка, могли служить своеобразным' «факультативным курсом» для IV—V классов. Доступность этих материалов гарантируется тем, что они почти в полном объеме предлагались учащимся II—IV экспериментальных классов (возраст 7—10 лет) и успешно усваивались ими.

Изложение вопроса об отношениях невозможно без явного использования некоторых теоретико-множественных понятий. Поэтому совершенно естественно их включение в рассматриваемый круг вопросов. Что касается чисел и величин, то они служат источником важных и простых примеров отношений и широким полем применения теоретических сведений.

Важнейшие частные виды отношений — функции или отображения —требуют специального рассмотрения и поэтому в этой работе не затрагиваются.,

Отношения в курсе математики рассматриваются преимущественно на бесконечных множествах, что вполне естественно для их многочисленных приложений. Однако для понимания самих отношений и их свойств методически оправдано применение конечных множеств с небольшим числом элементов. По тем же соображениям нецелесообразно систематически рассматривать отношения на пустом и

одноэлементном множествах. Применение конечных множеств дает возможность широко использовать графы как наглядную основу изучения отношений, что делает это изучение доступным и интересным.

В нашу задачу не входило составление курса математики для IV и V классов на основе теории отношений. Мы стремились вооружить учителя самыми необходимыми сведениями об отношениях, без которых невозможно вести серьезное преподавание современного курса математики.

Работая над этим пособием, учитель должен иметь в виду, что никакое выучивание краткого или полного конспекта не может обеспечить усвоения новых для него знаний. Это достигается лишь в результате необходимых -целенаправленных действий, которые производит человек при выполнении специально подобранных упражнений. Такие упражнения имеются в каждом пункте.

В первом параграфе собраны простейшие сведения из теории множеств, в трех последующих параграфах излагаются необходимые учителю вопросы еб отношениях. В последнем, пятом параграфе производится систематический обзор важнейших отношений, встречающихся в курсе математики IV—V классов. Эти отношения, как правило, рассматриваются на стандартных бесконечных множествах. Например, параллельность рассматривается на множестве прямых плоскости, отношение «меньше» — на множестве рациональных чисел. В заключении на частном примере обсуждается серьезный вопрос о порядке введения свойств отношений. Имеющиеся там предложения учитель может использовать при обучении учащихся.