Перед чтением книги следует ознакомиться с «Указаниями к пользованию книгой» (стр. 8). Книга рассчитана на увлекающихся математикой школьников старших классов и студентов младших курсов вузов, на преподавателей математики и вообще на всех любителей этой науки; она может быть использована в работе школьных и студенческих математических кружков.

Два раздела книги объединяются общностью цели и обращены к одному и тому же читателю, но значительно различаются по своему характеру. В разделе первом «Задачи по комбинаторике и теории вероятностей» собрано 100 задач, которые при большом различии формулировок и методов решения объединены общей постановкой вопроса. Все эти задачи относятся к одной сравнительно узкой области математики— к комбинаторике, лишь слегка затрагиваемой в курсе средней школы. Задачи первого раздела, как правило, не очень сложны и довольно близки к школьным; исключение в этом отношении составляет лишь последний цикл «Задачи на подсчет вероятностей», содержащий ряд очень трудных задач.

В противоположность этому второй раздел «Задачи из разных областей математики» очень разнообразен по содержанию. Собранные здесь задачи заимствованы из различных областей математики, чаще всего высшей,— название книги имеет в виду в первую очередь именно этот раздел. Указания на то, к каким математическим дисциплинам относятся те или иные задачи, вместе с дополнительной литературой, по которой можно более подробно ознакомиться с этими дисциплинами, даны в кратких введениях к отдельным циклам. Сами циклы задач здесь чаще всего не связаны друг с другом. И если в первом разделе авторы стремились отразить элементарные методы комбинаторики с известной полнотой, то второй раздел по самому своему характеру, разумеется, не может претендовать ни на какую полноту.

Ряд задач книги посвящен классическим теоремам, играющим значительную роль в современной науке; так, например, предложения задач 132 и 166 относятся к числу наиболее глубоких результатов замечательного русского математика П. Л. Чебышева. Другие задачи заимствованы из серьезных математических журналов, иногда из самых свежих их номеров. Некоторые из приведенных в книге задач предлагались на занятиях школьного математического кружка при Московском государственном университете и на олимпиадах московских

школьников (номера задач, предлагавшихся на олимпиадах, приведены на стр. 10).

Первый раздел книги составлен А. М. Ягломом, а второй — совместно обоими авторами; окончательное редактирование всей книги производилось авторами коллективно. Отдельные задачи были сообщены авторам В. Г. Болтянским, Е. Б. Дынкиным, М. И. Граевым, С. Л. Каменомостской, Н. И. Коробовым, Я. А. Смородинским, В. А. Успенским и Н. Н. Ченцовым; последний, а также Г. М. Адельсон- Вельский и М. М. Бонгард принимали участие также и в написании решений некоторых задач. Ряд замечаний, способствующих улучшению книги, был сделан сотрудниками редакции математики Гостехиздата А. 3. Рывкиным и В. А. Солодковым. Авторы искренне благодарны всем, помогавшим им в той или иной форме в работе над книгой.

А. М. Яглом,

И. М. Яглом,

УКАЗАНИЯ К ПОЛЬЗОВАНИЮ КНИГОЙ

Книга состоит из условий задач, решений и ответов и указаний. В отношении большинства задач можно посоветовать читателю попытаться самостоятельно найти решение. После того как задача будет решена, следует проверить себя, посмотрев ответ задачи; если ответы не совпадают, то надо попытаться найти свою ошибку; если же ответы совпадают, то полезно сравнить найденное решение с приведенным в книге. Если решить задачу самостоятельно не удается, то следует посмотреть в конце книги указание (или ответ, который тоже может помочь прийти к верному решению). Если и это не поможет, то следует ознакомиться с решением. Надо иметь в виду, что попытка решить задачу, даже окончившаяся неудачно, все же приносит пользу: она позволяет лучше вникнуть в суть вопроса и более сознательно отнестись к приведенному в книге решению.

Впрочем, указанный выше порядок пользования книгой может быть рекомендован не во всех случаях. Книга содержит много трудных задач, обозначенных в порядке возрастающей трудности одной, двумя и тремя звездочками. Задачи, обозначенные двумя и тремя звездочками, .зачастую представляют собой выдающиеся достижения крупнейших математиков (см., например, задачи 132 или 166); естественно, вряд ли можно рассчитывать, что читатель сможет получить эти результаты совершенно самостоятельно. Поэтому в случае более трудных задач можно посоветовать с самого начала ознакомиться с приведенным в конце книги указанием; даже и после этого решение задачи, как правило, будет представлять значительные трудности.

Книгой (особенно вторым ее разделом) можно пользоваться и не как задачником, а смотреть на нее как на собрание отдельных математических предложений, в среднем более сложных, чем те, которые собраны в превосходной книге С. Штейн-

гауза «Математический калейдоскоп» (М. — Л., Гостехиздат, 1949), и облеченных в форму задач, снабженных подробными решениями. При таком подходе к книге решения задач надо разбирать сразу после ознакомления с условием. Некоторые части книги написаны так, что их лучше всего читать именно таким образом (циклы 12—14 второго раздела, задачи 51—52, 81—82 первого раздела и вообще большинство задач, обозначенных тремя звездочками; в несколько меньшей мере — циклы 6Б и 6В первого раздела или цикл 10 второго раздела).

Курсивом набраны номера задач, не требующих для решения знаний, выходящих за пределы программы восьми классов средней школы.

Первый раздел книги проще второго, поэтому читателю- школьнику рекомендуется начинать с него. Задачи первого раздела естественно решать в той последовательности, в которой они расположены в книге, постепенно переходя от одного цикла к следующему (с возможными пропусками тех циклов, которые покажутся читателю менее интересными); при этом, разумеется, вовсе не необходимо решить все задачи какого-либо цикла, прежде чем перейти к следующему. В последнем цикле первого раздела имеется несколько задач, решения которых опираются на предложения, составляющие содержание задач второго раздела; все такие задачи отмечены тремя звездочками, и указания к ним содержат ссылки на используемые в их решении результаты. Первый раздел книги может быть положен в основу работы школьного или студенческого математического кружка, занимающегося комбинаторикой и ее приложениями к теории вероятностей. При этом может оказаться полезной дополнительная литература, указанная в тексте книги. Можно рекомендовать такой порядок работы кружка: более легкие задачи решаются участниками самостоятельно, а более трудные рассматриваются как «теория»: их решения разбираются по книге и докладываются на собраниях кружка.

Второй раздел книги построен по иному плану. Циклы здесь содержат, как правило, значительно меньше задач (иногда только одну); отдельные циклы чаще всего совершенно независимы один от другого. Также и внутри отдельного цикла задачи обычно не зависят одна от другой; лишь в циклах 10—14 решения задач весьма существенно опираются на результаты предыдущих задач.