ПРЕДИСЛОВИЕ

Решение занимательных задач, отыскание ошибок в решениях и рассуждениях не только оживляют педагогический процесс, возбуждают интерес к предмету, но и повышают общий уровень математического развития. В связи с этим предлагается набор занимательных задач и набор ошибочных суждений по различным темам арифметики и алгебры.

Приведены в систему вопросы для углубления знаний.

При подборе упражнений, имеющихся в книге, использовано значительное количество задачников, пособий, журнального материала. Обширность использованной литературы затрудняет возможность дать ее перечень. Часть творческих упражнений и двухвариантные работы составлены мною на основе личного педагогического опыта. Учитель может выбрать те из них, которые наиболее соответствуют конкретным условиям, подготовке учащихся.

Введение новых программ и учебников выдвигает перед учителями математики новые актуальные вопросы, тем не менее я надеюсь, что книга окажет некоторую помощь учителю в его практической работе.

Выражаю глубокую благодарность старшему преподавателю кафедры элементарной математики и методики ее преподавания ВГПИ ЛЕБЕДЕВУ Н. Н., прочитавшему рукопись и давшему ряд ценных советов.

ДОЛГОВА С. Н.

ГЛАВА I i

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ, АКТИВИЗИРУЮЩИЕ МЫСЛИТЕЛЬНУЮ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧАЩИХСЯ

• 1. СИСТЕМА ЗАДАНИИ ДЛЯ КЛАССНОЙ И ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ —ОДНО ИЗ СРЕДСТВ РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

’г

Развитие логического мышления учащихся — одна из основных задач обучения математике. Решению этой задачи и должна быть подчинена система упражнений.

Подбор упражнений должен быть таким, чтобы выполнение их требовало от учащихся активной работы мысли, способствовало достижению осмысленных и глубоких знаний.

«Чтобы действительно знать предмет, говорит В. И. Лепин, — надо охватить, изучить все его стороны, все связи и «опосредствования» (В. И. Ленин, Сочинения изд. 4, т. 32, стр. 72).

Это высказывание В. И. Ленина, относящееся к процессу научного познания, применимо и к процессу обучения. Одним из методов изучения всех сторон и связей математических понятий и действий являются такие упражнения, которые побуждают учащихся к сосредоточенным размышлениям, содействуют углубленному пониманию теории, повышают эффективность учебного процесса.

1. ВИДЫ УПРАЖНЕНИЙ

Упражнения по формированию понятий

При изучении любого раздела математики должна проводиться работа по формированию понятий. Крайне важно, чтобы учащиеся прочно усваивали основные понятий, вкладывали в них верный смысл, точное содержание, правильно представляли объем понятия.

Для подлинного, неформального усвоения понятий необходимо не механическое заучивание определений, а самостоятельные поиски учащимися существенных признаков этих понятий, уменье привести соответствующие примеры.

Глубокое и прочное усвоение понятий обеспечивается достаточным количеством специальных упражнений.

Вот примеры таких упражнений.

измерения были произведены в конце XVIII века под руководством выдающихся французских ученых Деламбера и Мешена.

Много трудов и опасностей пришлось испытать участникам экспедиции. Французский ученый Араго был захвачен в плен пиратами и продан в рабство. Академик Мешен писал своему другу: «Цепляясь за ветки и карабкаясь по скалам, мы устанавливаем сигналы на вершинах гор. Спуск еще труднее и опаснее. Вместо постели — немного соломы, вместо крова — простая палатка. Но, несмотря на все лишения и трудности, ни за что в мире не вернемся, не выполнив своей задачи».

Через шесть лет опасной и трудной работы по измерению земного меридиана, единица длины, взятая непосредственно из природы, была найдена. Из платины была сделана линейка, длина которой равнялась одной десятимиллионной части четверти земного меридиана.

Установленная единица измерения длины получила название «метр» от греческого слова «метрон», что означает мера.

В 1875 году представители семнадцати государств подписали соглашение о признании метрической системы мер в качестве международной.

В России метрическая система мер была введена лишь после Великой Октябрьской Революции. В числе первых декретов Советской власти был декрет о введении в стране метрической системы мер.

Ведущий. Где и когда появились первые счетные машины?

Ответ. Первую счетную машину, при помощи которой можно было производить сложение и вычитание, изобрел в 1641 г. французский ученый Блез Паскаль.

В 1874 году русским инженером В. Т. Однером был изобретен арифмометр, при помощи которого можно очень быстро выполнять умножение и деление не только натуральных чисел, но и десятичных дробей. Арифмометр В. Однера получил всемирное признание и широкое распространение.

Вычислительный автомат, выполняющий гораздо более сложные вычисления, создал в 1878 году великий русский ученый Пафнутий Львович Чебышев.

Ведущий. Что вы знаете о современной вычислительной технике?

Ответ. Ученые много работают над облегчением вычислений, над облегчением труда людей. В последние годы большое развитие получили электронные вычислительные машины, способные с огромной быстротой выполнять математические действия (несколько десятков тысяч действий в секунду).

Построенная в Советском Союзе под руководством С. А. Лебедева быстродействующая счетная машина в две минуты выполняет такие вычисления, на которые одному человеку потребуется пять лет и заменяет труд десятков тысяч вычислителей.

Трудно назвать такую область науки и техники, в которой

быстродействующие вычислительные машины не находили бы применения. Они дают возможность управлять полетами и посадкой самолетов, предсказывать погоду, даже делать переводы с любого языка на любой другой.

Ведущий. Кто изображен учителем на картине Богданова- Бельского «Устный счет»?

Ответ первый. На картине Н. П. Богданова-Бельского «Устный счет» изображен урок арифметики в школе села Татево бывшей Смоленской губернии, которую основал и в которой учил Сергей Александрович Рачинский.

Художник Богданов-Бельский был учеником этой школы. На картине воспроизведен С. А. Рачинский и группа детей у классной доски за решением задачи.

С. А. Рачинский был профессором ботаники Московского университета, потом уехал в с. Татево, открыл школу для крестьянских детей и стал в ней учителем. Он любил народ и посвятил свою жизнь делу обучения детей деревенской бедноты. Его книги «1001 задача для умственного счета», «Арифметические забавы», «Геометрические забавы» и сейчас не потеряли своего значения.

Ответ второй. Обратите внимание на задачу, которую ученики С. А. Рачинского решают устно.

Трехчлен n²—8n—20 обращается в нуль тогда и только тогда, когда п= 10; п = —2.

Таким образом, единственная тройка натуральных чисел, сумма квадратов которых равна сумме квадратов двух следующих за ними натуральных чисел, есть числа 10, 11, 12.

Если же поставить вопрос о нахождении последовательных целых чисел, обладающих этим свойством, то имеем еще решение. Это числа: —2, —1,0.

Проверим:

(—2)² + (—I)² + О² = 5;

I² + 2² = 5.

Ведущий. Кто изобрел десятичные дроби?

Ответ. Десятичные дроби впервые были употреблены замечательным узбекским ученым Ал-Каши. В начале XV века в Узбекистане, вблизи города Самарканда, была создана большая обсерватория. В ней производились наблюдения за движением звезд, планет и солнца. Руководитель обсерватории узбек Ал-Каши был высокообразованным математиком и астрономом. Он оставил после себя много замечательных математических открытий.

В своей книге «Ключ к арифметике» Ал-Каши впервые употребляет десятичные дроби, дает правила действий с ними, подробно описывает открытую им систему записи дробей.

В Европе впервые подробно описал десятичные дроби фламандский ученый Симон Стевин (1548—1620).

Ведущий. Какое правило открыл немецкий математик Карл Гаусс, учась в третьем классе.

Ответ. Блестящие математические способности великого немецкого математика Карла Гаусса (1777—1855) обнаружились еще в начальной школе. Однажды на уроке арифметики в третьем классе учитель дал ученикам задание: найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Весь класс был поражен быстротой, с которой Гаусс произвел вычисления.

Как же нашел Гаусс сумму:

1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 100?

Он заметил, что числа 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т. д. дают в сумме 101. Таких равных сумм будет 50. Следовательно, сумма всех чисел от 1 до 100 равна произведению 101 па 50, т. е. 5050.

В результате юный математик сделал первое из своих многочисленных открытий, а именно: «Чтобы найти сумму последовательных натуральных чисел, надо полусумму крайних чисел умножить на их число»

Ведущий. Что такое «Решето Эратосфена»?

Ответ. Впервые таблицу простых чисел составил древнегреческий математик Эратосфен более 2000 лет тому назад. Эратосфен писал на восковой дощечке все числа подряд, от 1 до 100, затем прокалывал составные числа. Получилось нечто вроде решета, через которое «отсеивались» составные числа. Поэтому таблицу простых чисел называют «решетом Эратосфена».

МОНТАЖ

Выходят четыре человека. Говорят вместе «Знаете ли вы, что», потом друг за другом:

1. Карл Маркс очень любил математику и сам написал несколько статей по высшей математике.

2. Отец В. И. Ленина, Илья Николаевич Ульянов, был по профессии учителем математики, а его учителем в Казанском университете был великий русский математик Николай Иванович Лобачевский.

3. С. В. Ковалевская была не только великим математиком, но и писателем. Ею написано много стихов и художественных произведений.

4. Выдающегося русского математика Николая Егоровича Жуковского В. И. Ленин называл «Отцом русской авиации».

5. Английский детский писатель Кэролл, автор сказки «Алиса в стране чудес», был в тоже время выдающимся математиком.

6. Слова «Полет — это математика» принадлежат известному русскому летчику Чкалову Валерию Павловичу.

7. Знаменитый русский писатель А. С. Грибоедов окончил физико-математический факультет университета.

8. Книга Т. Семушкина «Алитет уходит в горы» содержит много сведений из истории математики.

Ведущий. Внеклассный час, посвященный истории математики закончен.

Литература к главе IV

К. А. М а л ы г и н. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. Учпедгиз, 1963.

Е. К. Серебровская. Опыт внеклассной работы по математике в V—VII классах. Учпедгиз, 1954.

И. Д е п м а н. Рассказы о математике. Детгиз, 1954.

И. Д е п м а н. Рассказы о решении задач. Детгиз, 1957.

Ю. С. Мусабеков. Занимательные истории из жизни ученых. Ярославль, 1967.

Журнал «Математика в школе», 1948 № 2, 1953 № 2, 1962 № 5.

Г. И. Г л е й з е р. История математики. Просвещение, 1964.