ПРЕДИСЛОВИЕ

Юным читателям книги

Не все учащиеся одинаково подготовлены для разбора всего изложенного в книжке и для решения всех помещенных в ней задач.

Чтобы легче было каждому учащемуся отобрать соответствующий его подготовке материал, везде указано, из курса какого класса он взят. Таким образом, каждый работающий над книгой, без ущерба для понимания основного, может пропускать разбор теоретических вопросов и решение задач, относящихся к более старшим классам.

Чрезвычайно важно для каждого из вас проверить, верно ли он ответил на предложенные вопросы и задачи.

Рекомендую делиться результатами работы над книгой со своими товарищами по школе и консультироваться у своих учителей математики.

Замечания прошу направлять по адресу: Москва, И-18, 3-й проезд Марьиной рощи, дом 41, редакции математики.

Автор

• 1. Верные и нечерные сумления

Каждый из вас, учащихся старших классов, изучив арифметику, части алгебры, геометрии и тригонометрии, понимает, что математика занимается изучением свойств количеств, выраженных числами или буквами изучением свойств различного рода переменных величин функции, изучением свойств различных форм пространства.

При изучении каждого объекта (предмета изучения— свойств числа, свойств фигуры или действии над числами) приходится пользоваться установленными определениями, правилами, законами.

При начальном изучении математики вы чаще всего пользовались опытом, делали выводы и устанавливали правила на основании того, что видели, подмечали при решении отдельных примеров, рассматривая отдельные математические фигуры; иногда вы догадывались о некоторых свойствах чисел, фигур; реже вы обращались к рассуждениям. По мере накопления знаний вы все чаще и чаще обращались к рассуждениям, к доказательствам различных свойств чисел, фигур; вы пользовались уже не догадками, а научными определениями, признаками, аксиомами, теоремами, законами логики.

Обладая некоторым запасом знаний, вы уже хорошо понимаете, что отдельные примеры (опыт) или догадки, или зрительные образы могут ввести вас в заблуждение и привести к неверным выводам, к неверным суждениям.

Однако некоторые учащиеся, даже старших классов, путают определения и признаки фигур, аксиомы и теоремы, часто ошибаются в своих суждениях о математических объектах. Происходит это не только по причине нерадивого отношения к изучению математики, но и потому, что некоторые из учащихся недопонимают основ математики, теории предмета. Очень часто ошибки в суждениях происходят по причине непродуманности, неосторожности в суждениях.

Иногда учащиеся не знают, как проверить, верно или неверно их суждение. Заметим, что в отдельных случаях истинность суждений подтвердить легко; так же легко обнаружить и ошибку в суждении (кстати, для обнаружения ошибки достаточно привести хотя бы один пример, противоречащий суждению или заключению). Чаще же доказательство верности суждения и заключения требует многих доводов, ссылок на известные уже факты и доказанные ранее, не вызывающие сомнения. Это касается не только математических фактов, но и фактов из обыденной жизни.

Проделайте некоторые упражнения, установите, верно или неверно каждое из приведенных следующих суждений, и объясните (докажи'¹'*¹) свое заключение.

1. В кубе 12 ребер, 8 граней.

2. В области натуральных чисел действие вычитания не всегда возможно.

3. В области дробных чисел деление всегда возможно. 4. Действие возвышения в степень обладает переместительным законом, например 2⁴ — 4².

5. Дроби, в которых последняя цифра числителя и первая цифра знаменателя одинаковы, можно сокращать зачеркиванием этих цифр, например: — = ~ , — = — .

6. Произведение двух последовательных целых чисел делится на 2.

Разберите несколько вопросов и суждений, требующих более сложных рассуждений.

1. В пакете конфеты трех сортов. Какое наименьшее количество конфет надо взять из пакета, чтобы обязательно вынуть хотя бы две конфеты одного и того же сорта?

2. Среди натуральных чисел За не может быть числом, меньшим 3.

3. 4а при любых целых значениях а — число четное.

4. 4а при целых значениях а выражает любое четное число.

5. 2а + 1 является общим выражением любого нечетного числа.

6. 4а 4- 1 при любом целом значении а — число нечетное.

7. 4а — 1 при целых значениях а выражает любое нечетное число.

8. В любом четырехугольнике сумма внутренних углов меньше восьми прямых углов.

9. а² + 1 при любом значении а — число положительное 10. а³ — 1 при любом целом значении а — число положительное.

Разберем еще несколько примеров особого вида.

1. Человек утверждает, что он обязательно поедет во время отпуска в дом отдыха, ссылаясь на то, что он имеет на покупку путевки необходимую сумму денег.

Действительно, чтобы купить путевку, необходи- м о иметь деньги, но этого недостаточно; надо, чтобы ко времени отпуска в профсоюзе были в продаже путевки. Как видно, рассуждения человека неверны.

2. Верно ли, что для отравления необходимо поесть ядовитых грибов? Нет, неверно. Можно вообще не есть никаких грибов и получить отравление, например от употребления загрязненной воды. Таким образом, для отравления не необходимо есть ядовитые грибы; однако известно, что достаточно их поесть, чтобы получить отравление.

3. Нередко житель города, увидев через окно сырую панель, делает вывод, что шел дождь. Такое утверждение неверно. На улице может быть сыро или мокро и после недавней поливки ее. Таким образом, чтобы панель оказалась сырой, не необходимо чтобы прошел дождь, но, наоборот, если дождь действительно пройдет, то этого будет достаточно для того, чтобы панель стала сырой.

4. Нередко учащиеся на вопрос: «При каком условии фигуры имеют равные площади (равновелики)?» — отвечают так: «Чтобы фигуры были равновелики, необходимо, чтобы они были равны».

Как вы знаете, это неверно. Однако если фигуры равны, то этого условия достаточно, чтобы их площади были равны. (Вспомните, в каком случае неравные фигуры все же равновелики.)

Как вы заметили, в приведенных примерах нам пришлось рассматривать такие случаи, когда некоторые условия являются необходимыми для нашего утверждения, в других случаях условия являются достаточными.

Разберем еще одно утверждение.

5. Для права участия в выборах Советов депутатов трудящихся человеку надо достигнуть 18 лет. Это верно, при

этом «достижение совершеннолетия» является условием и необходимым и достаточным для права участия в голосовании.

Почему это условие является достаточным?

Потому, что у нас в стране каждый человек, достигший совершеннолетия, получает право на участие в выборах согласно Советской Конституции.

Почему же это условие является необходимым?

Потому, что человек, не достигший 18 лет, этого права не имеет.

Таким образом, мы можем сказать, что для права участия в выборах в Советы депутатов трудящихся необходимо и достаточно достижения совершеннолетия (т. е. 18-летнего возраста).

Из рассмотренных примеров мы можем сделать такой вывод:

1. Если некоторое событие или факт не может иметь места без определенного условия, то это условие считается необходимым

Если некоторое событие или факт обязательно имеет место при определенном условии, то это условие считается достаточным.

Установите, верны ли следующие суждения?

1. Для получения паспорта в нашей стране человеку необходимо и достаточно достигнуть 16 лет.

2. Чтобы поступить в вуз, достаточно окончить среднюю школу.

3. Чтобы поступить в вуз, необходимо окончить среднюю школу (или приравненное к ней учебное заведение).

4. Чтобы поступить ребенку в начальную школу, необходимо и достаточно; чтобы он имел 7 лет.

Разберем несколько математических предложений.

1. Чтобы трехчлен был полным квадратом двучлена, необходимо и достаточно, чтобы в него входило: квадрат некоторого члена, квадрат второго члена и удвоенное произведение первого и второго членов.

Это верно. Действительно, достаточно этого условия потому, что разложение квадрата двучлена (а + д)² (т. е. получающийся многочлен) содержит все упомянутые слагаемые, и необходимо, так как без какого-либо из этих слагаемых многочлен не может быть представлен, как квадрат двучлена,

2. Чтобы диагонали четырехугольника были равны, достаточно, чтобы этот четырехугольник был прямоугольником; это верно. Но это условие не необходимо.

Почему это условие достаточно?

Потому, что в любом прямоугольнике диагонали равны.

А почему не необходимо? Потому, что можно построить четырехугольник с равными диагоналями, но он не будет прямоугольником, например равнобочная трапеция.

Установите, верны ли следующие суждения?

1. Чтобы углы были смежными, достаточно, чтобы они имели общую сторону. (Проверьте свой ответ построением различных углов, имеющих общую сторону.)

2. Чтобы углы были смежными, необходимо, чтобы две стороны их были противоположными лучами. Достаточно ли этого условия?

3. Чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо, чтобы сумма двух его внутренних углов была равна прямому углу.

4. Чтобы треугольник был прямоугольным, достаточно, чтобы сумма двух его внутренних углов равнялась третьему углу.

5. При делении произведения нескольких целых чисел на какое-либо целое число для получения целого частного необходимо, чтобы какой-либо из сомножителей данного произведения делился без остатка на данное число. Достаточно ли соблюсти это условие?

6. Чтобы построить окружность, достаточно иметь на плоскости три точки.

7. Чтобы построить окружность определенного радиуса, необходимо иметь на плоскости три точки.

8. Чтобы построить треугольник по трем отрезкам, необходимо, чтобы сумма двух из них была больше третьего.

9. Чтобы угол был прямым, достаточно, чтобы стороны его опирались на диаметр окружности.

10. Чтобы угол был прямым, необходимо, чтобы вершина его находилась на окружности, а стороны опирались на диаметр.

11. Чтобы треугольники были подобны, достаточно, чтобы их углы были равны.

12. Чтобы многоугольники были подобны, необходимо и достаточно, чтобы углы их были последовательно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Как видите, в последних двенадцати вопросах фигурируют условия, необходимые и достаточные для утверждения некоторых математических фактов.

В некоторых случаях с этими условиями связаны определения объектов (пп. 1,2), в других — теоремы (пп. 3, 4, 5, 10, 11, 12), в третьих — решение задач на построение (пп. 6, 7, 8).

Настоящая книжка и посвящена условиям, необходимым и достаточным в математике; эти условия являются важнейшими, и ими приходится пользоваться в математических рассуждениях при доказательстве теорем, при установлении зависимостей между элементами геометрических фигур и алгебраических выражений и величин, в установлении правил и законов, при решении задач и т. д.

Ошибки в суждениях, связанных с условиями, необходимыми и достаточными, допускают люди потому, что, употребляя термины «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно», не всегда понимают смысл и сущность этих выражений. Мы рассмотрим, в чем сущность этих условий и их роль в установлении понятий, построении определений, доказательстве теорем, при решении задач.

• 2. Математическое понятие, его содержание и объем.

Определение понятия. Условия, необходимые и достаточные в определении понятия

Чтобы наши рассуждения были яснее и понятнее, установим, что такое математическое понятие, в чем заключается его содержание и объем. Детально эти вопросы разбираются в особой науке — логике.

Мы отличаем один предмет от другого или одно явление от другого, пользуясь различными свойствами, качествами, признаками предметов или особенностями явлений. Как же в нашем сознании складывается понятие о каком-либо объекте или явлении? Рассмотрим несколько примеров.