• 6. Деление многочленов 23
• 7. Разложение многочлена на множители 25
• 8. Общий наибольший делитель двух многочленов 28
• 9. Устранение кратных корней 30
• 10. Подсчет числа действительных корней многочлена на заданном отрезке 32

Глава 4. КВАТЕРНИОНЫ 36

• 11. Векторные пространства 36
• 12. Евклидово векторное пространство 43
• 13. Кватернионы 51
• 14. Геометрические применения кватернионов 54

Глава 5. ДРУГИЕ ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ 66

• 15. Алгебраические тела и поля 66
• 16. Поле вычетов по простому модулю р 70
• 17. Теорема Фробениуса 74

Глава 6. ТОПОЛОГО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕЛА 84

• 18. Топологическое тело 85
• 19. Топологические понятия в топологическом теле L 90
• 20. Теорема единственности 96
• 21. р-адические числа 98
• 22. Некоторые топологические свойства поля А? радических чисел 107
• 23. Поле рядов над полем вычетов 111
• 24. О структуре несвязных локально-компактных топологических тел 116

ПРЕДИСЛОВИЕ

Понятие числа складывалось в математике постепенно в результате длительного развития, которое шло под воздействием практики и внутренних потребностей математики. Так, в конце концов, сформировалось понятие действительного числа, которое в данной книге предполагается известным.

На этом, однако, развитие понятия числа не остановилось. Внутренние потребности математики привели к комплексным числам. Возникшая на их основе теория функций комплексного переменного имеет теперь большие практические применения. Комплексным числам в цинге отведено много места. Доказана основная теорема алгебры о том, что многочлен имеет хотя бы один действительный или комплексный корень. Возникающее из этой теоремы разложение многочлена на линейные множители тщательно изучено. При этом в качестве вспомогательного аппарат# в книге используется деление многочленов друг на друга и алгоритм Евклида.

Поскольку комплексные числа оказались очень важными й полезными в математике, возникла чисто обобщательская попытка развивать понятие числа в том же направлении. Так возникли кватернионы, но лишь, в результате отказа 6т коммутативности умножения. Благодаря отсутствие коммутативности умножения оказалось невозможным построить теорию функций кватернионного переменного. Таким

образом, применение кватернионов в математике оказалось очень незначительным. При помощи кватернионов хорошо описываются вращения трехмерного и четырехмерного евклидовых пространств. Конечно, это по своему значению не может идти ни в какое сравнение с применением комплексных чисел. В книге дается описание кватернионов и применение их к изучению вращений трехмерного и четырехмерного евклидовых пространств. Этот раздел книги завершается доказательством теоремы Фробениуса, утверждающей, что дальнейшее развитие понятия числа в направление кватернионов невозможно.

Переход от рациональных чисел к действительным числам вызван скорее внутренней логикой развития математики, чем практическими потребностями, так как при помощи рациональных чисел с любой точностью можно осуществить любое измерение. К действительным числам привело математическое открытие, возникающее из теоремы Пифагора и состоящее в том, что длина диагонали квадрата со стороной равной единице не может быть измерена точно рациональным числом. Действительные числа как бы заполняют промежутки между рациональными числами и приводят к тому, что условие сходимости Коши является не только необходимым, но и достаточным условием сходимости. Этот факт чрезвычайно важен в математике. Действительные числа представляют собой ту непрерывную среду, в которую помещены рациональные числа. Здесь становится совершенно ясным, что для чисел характерно не только наличие действий сложения, вычитания, умножения и деления, но также и понятие предельного перехода, т. е. известно, что означает последовательность чисел сходящаяся к данному числу.

Совокупность величин, в которой имеются алгебраические операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также определен предельный переход, является естественным логически возможным обобщением понятия числа. Оказывается, что таких обобщений вовсе не очень много. Именно их описанию в основном посвящена эта книга.

Переход от рациональных чисел к действительным опирается на представление о том, чтб такое малое рациональное число. Оказывается, что, кроме совершенно естественного понятия малости рационального числа, существует другое, связанное с некоторым простым числом р. Связанное с этим понятием малости расширение рациональных чисел приводит к возникновению р-адических чисел, которые имеют в настоящее время важное применение в теории чисел и описаны в книге.

Величинами, для которых возможны алгебраические операции, являются так называемые вычеты по простому модулю р. Рациональные функции некоторой величины /, где коэффициентами служат вычеты по модулю р, образуют систему величин, в которой возможны операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также естественно возникает понятие малости. Дополняя эту систему рациональных функций таким образом, чтобы вновь полученная система величин была с точки зрения предельного пере

хода полной, т. е. чтобы условие Коши являлось необходимым и достаточным условием сходимости, мы приходим к изучению бесконечных рядов относительно величины t. Это еще одна система величин, в которой возможны алгебраические операции и предельный переход. В конце книги формулируется теорема Ковальского, описывающая до некоторой степени любую систему величин, в которой имеются алгебраические операции и предельный переход.

Книга посвящена описанию таких систем величин с алгебраическими операциями и предельным переходом, которые являются логически возможными обобщениями чисел. Налагая на эту систему величин некоторые очень простые и естественные ограничения, мы приходим к результату, что никаких других логических возможностей для построения приемлемых в математике величин, аналогичных действительным и комплексным числам, кроме действительных и комплексных чисел, не существует. Это показывает, что действительные и комплексные числа сложились в математике не в результате случайного процесса исторического развития, а как единственные логически возможные величины, удовлетворяющие тем требованиям, которые естественно предъявить к числам.

В заключение выражаю благодарность С. М. Асееву за большую помощь при редактировании этой книги.

ГЛАВА I

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Здесь я прежде всего очень кратко рассказываю о том, как возникли в математике и постепенно утвердились в ней комплексные числа. Затем даю определение комплексных чисел, действий над ними и их геометрическую интерпретацию. Попутно доказываются формулы косинуса и синуса суммы, тесно связанные с умножением комплексных чисел.

• 1. Историческая справка

Из курса математики известно, что отрицательные числа введены прежде всего для того, чтобы операция вычитания, обратная к операции сложения, была всегда возможна. По аналогичной причине в математике появились комплексные числа. Если рассматривать только действительные числа, то операция извлечения квадратного корня, обратная к операции возведения в квадрат, не всегда возможна, так как нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Этого, однако, недостаточно, чтобы заводить в математике новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречается корень квадратный из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему корень квадратный из отрицательного числа. В XVI веке Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения (Квант, 1976, № 9, с. 2). Оказалось, что именно в том случае, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается корень квадратный из отрицательного числа (там же, с. 11). Обнаружилось таким образом, что производя вычисления с выражениями, содержащими корень квадратный из отрицательного числа, можно получить вполне понятные результаты. Поэтому эти корни стали употреблять в математике. Назвали их мнимыми числами, и тем самым они как бы приобрели

право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам на грани XVIII — XIX столетий дал Гаусс (Квант, 1977, № 8, с. 2), который назвал их комплексными числами, дал им геометрическую интерпретацию и, что самое главное, доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный или комплексный корень.

• 2, Определение комплексных чисел

Мы будем исходить из того, что действительные числа нам известны. Мы знаем, что для них определены два основных действия—сложение и умножение — и имеются обратные к ним действия — вычитание и деление. Для этих действий выполняются хорошо известные правила, которые обычно употребляются совершенно автоматически, и поэтому я их не буду здесь формулировать. Множество объектов, для которых определены действия сложения и умножения и обратные к ним действия вычитания и деления, причем выполнены обычные правила, имеющие место для действительных чисел, называется в современной абстрактной алгебре полем.

Таким образом, с точки зрения современной абстрактной алгебры множество D всех действительных чисел представляет собой поле. Поставим теперь перед собой задачу расширить понятие числа, или, как говорят в абстрактной алгебре, расширить поле D до поля №? таким образом, чтобы в этом новом поле № уравнение

z² + 1 = О

имело решение. Элемент поля №, который удовлетворяет этому уравнению, обозначим через i. Таким образом, для i имеем

«’=-1. (1)

Так как поле № содержит все действительные числа и элемент I и так как в нем возможны действия сложения и умножения, то в поле К² должны содержаться всевозможные многочлены относительно i с действительными коэффициентами, в частности все многочлены первой степени, т. е. выражения вида

где х и у — действительные числа. Эти выражения и 8

называются комплексными числами. Действия над ними мы определим как действия над многочленами, учитывая при этом условие (1). Комплексные числа вида

z = х + Ot = х

являются действительными числами. Комплексные числа вида

z = Q-\-yi = yi называются чисто мнимыми числами.

Пусть z^Xi+yj, z₂ = x₂-\-y₂i—два комплексных числа. Согласно высказанному правилу сумма и произведение этих комплексных чисел определяются равенствами

+ z₂ = (х_х + y_xi) + (х₂ + y₂i) = (*! + х₂) 4- (у₁ + у₂) I, (2)

*1*2 = (*1 + У11) (х₂ + y₂i) = х_хх₂ + (х^ + У1Х₂) i + у,у₂Р =

= (*i*_a—УМ + (*i У г + У1Х₂) i. (3)

При получении последнего равенства мы использовали условие (1).

В случае, если число z^x^—действительное, получаем

Х1^₂ — х^х₂ 4“ x^y^i. (4)

Из формул (2) и (3) видно, что сумма и произведение двух комплексных чисел есть также комплексное число.

Для того чтобы убедиться, что действие вычитания, обратное действию сложения, существует, достаточно найти число —z, противоположное числу z, а для того чтобы убедиться в том, что возможно деление, достаточно для z=/=0 указать число г^-1, обратное числу z = x 4-yi- Числа эти, как легко видеть, задаются формулами

• . х у ,

-- 2= ---- X--- Ul, Z^-1= о , i-------------- 2^7—2^ x²4-i/^z х²4-у²

Таким образом, величина z^-1, обратная к г, существует всегда, когда z#=0.

• 3. Геометрическое изображение комплексных чисел

Обозначим через Р плоскость нашего чертежа и выберем на ней прямоугольную систему координат (рис. 1). Комплексное число z — x-\-iy поместим в точку z е координатами х, у. Обозначим также через z вектор,

идущий из начала координат О в точку z. Таким образом, буква z обозначает одновременно комплексное число, точку z, изображающую это комплексное число, и вектор z, соответствующий этому комплексному числу. При таком изображении действительные числа попадают на ось абсцисс — поэтому ось абсцисс называется действительной осью плоскости Р комплексного переменного, а чисто мни

мые числа попадают на

ось ординат—поэтому ось ординат называется мнимой осью плоскости Р комплексного переменного. Нуль попадает в начало координат.

Длина вектора г называется модулем комплексного числа z — x-\-iy и обозначается |z|:

|z| = + у²-

Комплексные числа z,

удовлетворяющие условию

| z | = 1, составляют окружность радиуса 1 с центром в начале координат. На этой окружности лежит число 1. Из точки 1 отложим по окружности дугу заданной длины р в направлении против часовой стрелки. Конец этой дуги обозначим через (ср). Если р—отрицательное число, то для получения (ср) нужно отложить от точки 1 длину дуги | р | по часовой стрелке. Как известно, абсцисса точки (р) называется coscp, а ее ордината —sinp. Таким образом, комплексное число (р) задается формулой

(ф) == cos (р + i sin (р.

(5)

Итак, всякое комплексное число z, по модулю равное 1, записывается в виде (5). Если z—произвольное комплексное число, модуль которого |z| = p отличен от 0, то число z/p является комплексным числом, по модулю равным 1, и потому записывается в виде (5). Из равенства z/p = соэф + i sin ф

мы получаем

z = p (cos фЭШф). (6)

Запись (6) называется тригонометрической формой комплексного числа. Число ф называется аргументом комплексного числа. Если модуль р комплексного числа z отличен от нуля, то аргумент определен с точностью до слагаемого 2£л, где k—целое число. Если же модуль р комплексного числа равен 0, то формула (6) также имеет

ГЛАВА 2

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ

Здесь будет доказана основная теорема алгебры, утверждающая, что всякий многочлен с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. При этом действительные числа считаются частным случаем комплексных чисел. Эта теорема впервые была доказана Гауссом в 1799 году для частного случая многочленов с действительными коэффициентами. Гаусс показал, что всякий такой многочлен имеет по крайней мере один действительный или комплексный корень. С точки зрения современной абстрактной алгебры теорема эта показывает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто: это значит, что, рассматривая корни алгебраических уравнений (т. е. корни многочленов) в этом поле, мы не можем получить новых чисел.

В этом смысле поле комплексных чисел радикально отличается от поля действительных чисел, которое не является алгебраически замкнутым. При этом стоит заметить, что поле комплексных чисел получено из поля действительных чисел присоединением лишь одного корня уравнения

г² + 1 = 0.

Доказательство основной теоремы алгебры опирается не на соображения абстрактной алгебры, а на конкретное рассмотрение поля комплексных чисел. Строгое ее доказательство должно опираться на точное определение действительного числа и на точное определение непрерывности функций. Я здесь привожу не строгое, но геометрически убедительное доказательство, основанное на рассмотрении путей в плоскости комплексного переменного и их деформаций. Доказательство это не только доказывает теорему, но до некоторой степени объясняет, почему она верна.

Как следствие основной теоремы алгебры мы покажем, как многочлен с комплексными (в частности, действительными) коэффициентами раскладывается на множители.