ПРЕДИСЛОВИЕ.

Книга названа «Руководством для обучения начаткам математики», а не арифметики, так как и обычное содержание курса начальной арифметики дополняется материалом измерительного характера, главным образом геометрического. В предлагаемом курсе этот измерительный материал разработан более подробно, чем это практиковалось до сих пор въ курсах первого года начальной школы. Основанием для этого отступления служили следующие соображения.

Геометрический материал на первой стадии обучения представляет собою большую ценность с точки зрения развития детей (подробно об этом см. в самом руководстве); кроме того, введение геометрического

материала дает возможность связать обучение арифметике с черчением, вырезыванием и разного рода ручным трудом, и таким образом, сделать преподавание более жизненным и реальным.

Составитель надеется, что материал предлагаемого им курса окажется интересным для детей 7—8 летнего возраста и будет соответствовать их силам. Вместе с тем, составитель просит всех, пользующихся его работой, сообщать свои замечания, которые он примет с благодарностью.

И. Грацианский.

Петроград, Декабрь 1918 г.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ БЕСЕДЫ.

Цель предварительных бесед: а) выяснить, насколько дети созрели для занятий арифметикой; б) вскрыть точный смысл основных количественных терминов и обогатить речи детей этими терминами, если они не были известны детям раньше. Таким образом, предварительные беседы по арифметике представляют собою вид уроков по развитию речи и должны быть теснейшим образом с ними связаны; в то же время, по своей конкретности и предметности, эти уроки могут быть отнесены к природоведению, к его первым предметным урокам. Конечно, с точки зрения успешности занятий по арифметике безразлично, под флагом какого предмета будут проведены эти предварительные беседы; важно лишь одно—чтобы эти беседы своевременно были осуществлены и предшествовали собственно-арифметическим работам детей. Внося эти уроки в круг занятий по арифметике, имеется в виду подчеркнуть эту связь между различными предметами и наметить способ координации работ на уроках по развитию речи, природоведению и арифметике. Само собою разумеется, на этих уроках по развитию речи, предназначенных для усвоения терминов количественного характера, работа заключается в точном выяснении понятий, связанных с этими терминами.

Последовательность этих бесед такова: 1) сначала выясняются термины качественного характера, выражающие величину и размеры предметов: большой, маленький; длинный, короткий; близкий, дальний; глубокий, мелкий; высокий, низкий; широкий, узкий; толстый, тонкий; тяжелый, легкий; 2) затем следуют термины, передающие результаты сравнения предметов: больше, меньше; одинаковый, равный; толще, тоньше, выше, ниже; шире, уже и т. п.; 3) наконец, за этими уроками следует выяснение выражений чисто-количественного характера: устанавливается смысл имен числительных первого десятка и выражений:—число, счет, считать; столько-же больше и меньше по отношению к числам.

В зависимости от развития учащихся, может оказаться, что число бесед первой и второй категории будет невелико: очень легко может случиться, что эти группы понятно усвоены детьми и соответствующие выражения не нуждаются в пояснениях. Учащий легко установит необходимость обстоятельного выяснения этих выражений. Далее указаны темы для бесед, при чем список этих тем лишь приблизительный и имеет целью дать более точное представление об этих предварительных беседах.

Группа первая. Темами могут служить: а) школьная обстановка—укажите большой стол, маленький стол; большую книгу, маленькую книгу; большую комнату, маленькую комнату; большой лист бумаги, большую доску и маленький лист бумаги, маленькую доску; б) описание домашнего быта; в) описание деревни или части города, где помещается школа или где живут дети и т. п.

Беседу следует начать относительно предметов, находящихся непосредственно пред глазами учащихся, и лишь затем, убедившись в отчетливости представления, перейти к хорошо знакомым детям предметам, по воспоминанию детей.

„Длинный, короткий"; „глубокий, мелкий"; „широкий, узкий"; ^толстый, тонкий"— выяснения этих представлений правильнее связать с измереииеи соответствующих предметов. При этом предметы следует брать удобные для рассматривания и измерения; производить путем непосредственного сопоставления предметов друг с другом (напр., длинную веревку приложить к короткой) или сравнения длиной пальцев, рук, ног детей.

„Тяжелый, легкий"—эти представления дети выясняют, поднимая предметы, „взвешивая их руками".

Для отчетливости представлений следует брать случаи резкого различия, напр., веревку длиною в аршин или размах обеих детских рук и другую длиною 2—3 вершка— для противопоставления „длинный, короткий"; для „тяжелый, легкий" взять камень или гирю или кусок железа около фунта весом и даже более и лист бумаги и т. п.

Группа вторая. Понятия этой группы выясняются путем сравнения предметов друг с другом; при чем, как и раньше было указано, следует при этом сравнений не только сопоставлять, накладывать, прикладывать п т. п. предметы друг к другу, но также и измерять длиною пальцев, рук и ног. Возможно вести работу над терминами первой и второй групп параллельно; напр., от выяснения смысла выражений „длинный, короткий" непосредственно перейти к терминам „длиннее, короче"; от выражений „глубокий и мелкий" к терминам „глубже, мельче".

При выяснении смысла выражений, говорящих о величине протяжения, следует останавливать внимание детен на инстинктивно сознаваемых ими свойствах прямой линии: 1) прямая линия начертится, если вести карандаш (или итти) все время прямо, по одному и тому же направлению; 2) прямая линия есть кратчайший путь между двумя точками (местами); 3) между двумя точками (местами, концами) можно провести лишь одну прямую линию, а „извилистых", ломанных, кривых—сколько угодно; 4) прямая линия имеет лишь одно протяжение („при измерении расстояний в рассчет принимается только длина пути"). Осознать и сформулировать эти, по существу хорошо знакомые детям, свойства прямой следует по тому, что на них основывается убеждевие, что при измерении следует держаться прямого направления.

Прямая линия. Выяснение свойств прямой линии вести приблизительно следующим образом:

1) На доске чертится помещенная здесь схема. Там, где звездочка, куст, под которым сидит какой-нибудь зверь (волк, лисица, заяц); кружок означает место для

водопоя. От куста к водопою по лесу идут три тропинки: одна, средняя, прямая; другая извилистая (кривая); третья с поворотами—ломаная. По какой дороге ближе всего пройти от

куста к водопою? (Зверь торопится, чтобы не встретить охотника). Ответ: по прямой дороге. Которая из этих дорога самая короткая? Ответ: прямая дорога самая короткая.

2) Как на доске, на бумаге начертить прямую дорогу? Нужно мел или карандаш вести все время прямо. Чтобы рука не дрожала и не сбивалась с пути, нужно воспользоваться линейкой.

3) Провести „прямые дороги* от одного места до другого (на доске и на бумаге учащай ставит точки с таким расчетом, чтобы учащиеся должны были начертить не только прямые, вертикальные и горизонтальные, но и наклонные, идущие по разным направлениям).

4) Провести между этими же „местами** (точками) извилистые и ломаные линии. Сколько прямых линий можно провести между двумя точками? Сколько извилистых? Сколько ломаных? На эти вопросы дети отвечают, проверяя свои соображения на опыте—делая попытки начертить между двумя точками несколько прямых, несколько кривых и ломаных.

5) Найти прямые края и линии на предметах классной обстановки.

6) Задача. Как нужно поступить чтобы между двумя гвоздиками веревка протянулась совершенно прямо? Огв. Натянуть ее возможно туже. (Проделать эго в действительности).

Что произойдет, если веревку ослабить? Веревка примет вид не прямой, а извилистой линии. Рассказать, как плотники при помощи шнура намечают на бревнах прямое направление. (Если дети деревенские, то спросить, не видели ли они, как поступают плотники, когда им нужно наметить прямое направление). Что произойдет, если шнур недостаточно крепко натянут?

7) Провести, между несколькими парами точек прямые, по нескольку кривых и ломаных линий различной толщины так, чтобы в одних случаях прямые были обозначены толстыми чертами, а ломаные и кривые тонкими; и наоборот, какой-либо вид линии толстыми, а прямая тонкою чертою.

Какие линии здесь самые короткие? Во всех-ли случаях одинаковый ответ? Отв. Прямые во всех случаях. А толщина черточек не меняет дело? Отв. Нет. Почему? Отв. Потому что мы говорим здесь о длине линии, а остальные качества нас сейчас не интересуют.

В дальнейшем следует обратить внимание учащихся на то обстоятельство, что из различных положений прямой имеют большое значение два: отвесное (стоячее) и горизонтальное (лежачее). Почему? [Какое положение занимает пол? Отв. Лежит (лежачее)].

Отвесное направление. Как поступают плотники, столяры и т. п., когда им нужно определить отвесное направление? Не видел ли кто-либо? Дать в руки тяжелый

предает, небольшой по объему. Что чувствуете, когда держите в руке эту гирю (пред, мет)? Гиря тянет вниз.

Если повесить гирю на веревке, то куда гиря станет тянуть веревку? Отв. Вниз. Показать это явление на самом деле. Попробуйте отклонить веревку из этого положения. Будет ли она спокойно находиться в другом положении, кроне отвесного? Отв. Нет, гиря тянет веревку прямо вниз, а не наискось, не в бок. Проверить отвесом направление стен, боковых стенок скамейки и т. п.

После этого урока можно перейти к выяснению понятий „выше, ниже, одинаково (ый)“; „глубже, мельче".

Работа сравнения должна заключаться в фактическом сопоставления высоты вертикальных (отвесных) предметов. Пет никакой надобности выражать результаты измерения числом; вполне достаточно для поставленной цели: а) непосредственно сравнивать высоту предметов, приставив их друг к другу; б) измерять высоту предметов одною и тою веревкой или меркой (сравнивать с высотой зарубки на стене).

Для выяснения понятия „глубже, мельче" полезно брать прозрачные сосуды с водой—стаканы и банки разной глубины—чтобы видна была вся картина измерения. Измерять можно шнурком с грузом на конце: в этом случае рельефно видно стремление груза прямо вниз.

Не видели ли, дети, как измеряют глубину реки, озера, пруда?

Если можно, измерить глубину ближайшего пруда, ручья, озера. (Результат измерения и здесь не выражается числом, а демонстрируется отметкой на мерке).

Горизонтальное направление. Обратить внимание учащихся на положение поверхности воды в стакане, чашке. Изменив положение стакана так, чтобы дно его приняло наклонное положение, спросить, какое положение занимает поверхность воды? (Отв.: лежачее). Можно на поверхность воды положить полоску бумаги и наблюдать за тем, какое положение она занимает при различных положениях стакана.

Из этих наблюдений устанавливается, что поверхность воды при всех положениях стакана всегда сохраняет одно и то же положение—горизонтальное. Указать в сгружающем горизонтальное (лежачие) линии и поверхности.

Как установить, имеет ли поверхность или линия горизонтальное (лежачее) положение?

1) Обратить внимание учащихся на то обстоятельство, что груз на веревке, повешенный на гвоздике по середине верхнего края доски, как раз указывает на средину нижнего края доски (см. прилаг. чертеж) если ¹ нижний и верхний края горизонтальны. [Показать это положение каждому ' из учащихся, а еще лучше сделать с ними такой прибор]. Отметить эти положения веревки чертой. Поставить этот прибор на наклонную поверхность парты. Какое положение принимает теперь веревка с грузом? Что нужно сделать, чтобы она опять приняла прежнее положение?

Сделать из бумаги и куска свинца модель плотничьего ватерпаса. (Каждый из учащихся изготовляет для себя такую модель. (См. чертеж).

При помощи этого самодельного ватерпаса определить на ,В S. предметах классной обстановки наклонные и горизонтальные направления. '£—~ ' с-------

Плоская поверхность. В связи с приведенными выше работами подготовляется почва для составления точного представления о плоской поверхности, ее отличии от других видов поверхностей. В самом деле, проверяя отвесное направление стен комнаты и горизонтальное положение пола и т. п.; приходится столкнуться с тем обстоятельством, что в одних случаях прямая плотно прилегает к поверхности, в других образуются щели.

Если в свое время это обстоятельство было подмечено детьми, то выяснение понятое о плоском поверхности можно начать с напоминания об этом наблюдении.

Во всяком случае, для разработки поставленной темы нужно, чтобы каждый из учащихся линейкой проделал ряд проверочных опытов над поверхностями различных предметов с целью установить, прилегает ли ребро линейки плотно к поверхности или образуются щели; по всем ли направлениям плотно прилегает линейка или по некоторым.

Для этих наблюдений полезно дать учащимся предметы след, форм: шар, цилиндр; какую-либо неправ, поверхность и плоскую поверхность.

Итог получается такой: ребро линейки, в одних случаях не прилегает плотно к поверхности ни в одном направлении (напр., шар); в других—по одному (цилиндр); в третьих—во всех направлениях прилегает плотно к поверхности.

В последнем случае поверхность называется плоскою или плоскостью.

Далее дети определяют с помощью линейки, какие предметы школьной обстановки имеют плоские поверхности, какие—кривые.

Для проверки правильного понимания детьми выражений „больше, меньше", „глубже, мельче", „тоньше, толще можно воспользоваться рассказами, баснями п загадками, в которых встречаются эти термины. (См. Горбунова и Цунзер „Живые числа*, изд. Горб.-Посадова стр. 5, 6, 10, 11, 12, 15).

Группа третья. (Понятия чисто количественного характера). Обыкновенно дети усваивают названия имен числительных первого пятка и их смысл гораздо раньше поступления в школу. Поэтому в школе нет надобности долго останавливаться на первых пяти числах, изучая каждое из них, в этом пределе можно считать известными имена числительные и их смысл, и занятия при изучении чисел первого пятка носят скорее характер контролирующий и повторительный, чем сообщения новых сведений Ход бесед: 1) анализ; 2) воспроизведения—синтез; 3) применение.

Один и мною. 1) Во время урока в классе ученики и учитель(ница). Сколько учителей в классе? Сколько учеников? (Один учитель, много учеников).