• 4. Упражнения 50

Глава III. Понятие функции.

• 1. Функциональная зависимость как выражение реальной

связи 54

• 2. Сущность понятия функции 55
• 3. График функции. 59
• 4. Упражнения 64
• 5. Отображения 65
• 6. Об обратных тригонометрических функциях 74

Глава IV. Линия и её уравнение.

• 1. Выражение геометрических связей с помощью уравнений 79
• 2. Переход из области геометрии в область алгебры 81
• 3. Зависимость соответствия между точками плоскости и парами чисел от выбора системы координат 86
• 4. Переход из области алгебры в область геометрии . 89
• 5 Полярная система координат на плоскости. 95
• 6. Кривая в полярной системе. 99
• 7 Параметрический способ задания кривой. 105

Глава V. Метод координат в пространстве.

• 1. Основные положения метода координат в пространстве .  120
• 2. Аналитическое задание некоторых геометрических объектов 129 § 3. Некоторые примеры и упражнения 134

Глава VI. Понятие множества в решении уравнений.

• 1. Об эквивалентности уравнений с одним неизвестным 144
• 2. Об эквивалентности уравнений с двумя неизвестными 146
• 3. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 150

Глава VII. Понятие множества в решении неравенств.

• 1. Основные свойства действительных чисел 154
• 2. Постановка задачи. 154
• 3. Об эквивалентности неравенств 157
• 4. Системы неравенств первой степени с одним неизвестным 162
• 5. Пример неравенств высшей степени с одним неизвестным . 168
• 6. Одно неравенство с двумя неизвестными 171
• 7. Системы неравенств с двумя неизвестными. 173

Глава VIII. Понятие множества в решении геометрических задач на построение.

• 1 Общие соображения. 177
• 2 Разбор некоторых задач. 178

ПРЕДИСЛОВИЕ

Введение основных понятий теории множеств даёт широкие возможности для выработки у учащихся общих подходов к многообразным фактам школьной Математики, приучает их видеть и искать связи и переходы между различными, с первого взгляда изолированными друг от друга, фактами и явлениями. Чем больше общих подходов, понятий, опорных пунктов мы создадим в памяти учащихся, тем большую самостоятельность, активность и сознательность они проявят при усвоении новых знаний. Этими соображениями определяются содержание и форма изложения данной работы. Мы старались не выходить за рамки школьной программы и вести изложение на уровне школьного преподавания, в той форме, какая нам кажется возможной для преподнесения этих вопросов учащимся. Этим и объясняется развёрнутое изложение некоторых разделов пособия.

Мы убеждены, что изложение ряда вопросов, рассмотренных в данной работе (и в ряде других), с привлечением понятия множества, принесёт большую пользу учащимся как в усвоении самих фактов, так и в общем их развитии. Что из всего изложенного и в какой форме можно использовать в классе (для всех учащихся) и что следует перенести на кружковые занятия для любителей математики, остаётся на усмотрение учителя. Само собой разумеется, что учитель может дополнить и расширить приводимый нами материал при использовании его на занятиях кружка. Употребляемая нами терминология по теории множеств не обязательна для учащихся.

Излагаемые в первой главе простейшие понятия и операции, относящиеся к множествам, освобождают учителя от необходимости обращаться к специальной литературе.

С. Д. Мейланов.

ГЛАВА I

МНОЖЕСТВА И ПРОСТЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

• 1. Понятие множества.

Идея множества присуща каждому человеку и используется им в повседневной деятельности. Употребляя, например, термин «живая природа», мы из всех объектов природы выделяем те, которые обладают определённым признаком — признаком жизни; если мы говорим «мир животных», то из множества «живая природа» выделяем мысленно его часть, животных, исключая растения. В свою очередь из множества животных можно выделить различные его части. Например, млекопитающих. Можно говорить о множестве учеников данного класса, множестве яблок в кармане мальчика, множестве целых чисел, множестве чётных чисел, множестве чисел, меньших 10, множестве вершин треугольника, множестве сторон квадрата, множестве точек, отстоящих от данной прямой на расстоянии, равном 2 единицам масштаба, множестве точек, отстоящих от данной точки на расстоянии, равном единице масштаба. Эти примеры, приведённые из различных областей, вскрывают реальное содержание понятия множества.

Если учащиеся зададутся целью выяснить определение множества, то этим самым будет затронут глубокий и принципиальный вопрос об определяемых и неопределяемых понятиях. Обычно в этих случаях следует ответ: «Это понятие простое», «Это понятие не определяется» и т. п. Мы считаем, что таким ответом ограничиться нельзя, так как он носит формально-догматический характер, не указывает на источники наших понятий, и потому не содействует развитию материалистического мировоззрения учащихся.

Более целесообразным будет следующее объяснение. Предметы и явления природы связаны друг с другом, зависят друг от друга и обусловливают друг друга. Среди реальных вещей и явлений существуют более простые и более сложные. При

этом сложная вещь или явление не представляют из себя произвольного сочетания составных частей. Возникновение сложного из простого подчиняется реальным законам, определяющим пути и способы, ведущие к образованию из простых вещей и явлений сложных, и обратно.

Так как понятия суть логические или умственные образы вещей, то и среди них тоже существуют более простые и более сложные, причём последние составляются из первых.

Поэтому, для объяснения какого-либо математического понятия необходимо показать, из каких более простых понятий оно состоит и какова связь между ними. Для этого нужно уметь разложить объясняемое понятие на более простые.

Объяснение любого понятия рано или поздно, но неизбежно, приводит к простейшим, неопределяемым понятиям. При этом мы совершаем переход от понятия к реальным вещам, т. е. указываем учащимся на те реальные объекты и отношения, отражениями которых как раз и являются эти простейшие понятия.

Это и есть конечный пункт анализа всякого понятия, так как он же является началом образования их.

Также обстоит дело и с понятием множества. Оно является простейшим, берущим свое начало непосредственно от реальных вещей. Поэтому для его объяснения мы должны выйти за область понятий и обратиться к миру .реальных вещей и отношений, и в этом мире найти такие объекты, которые своим воздействием на наше сознание создают представление о множестве.

Так мы и поступим при объяснении понятия множества.

Рассматривая какие-нибудь предметы

а, в, с, , d,

как отдельную группу, будем говорить, что имеется множество (совокупность, собрание, ансамбль) предметов а, в, с, , d.

Эти предметы будем называть элементами множества. Множество будем обозначать символом А { а } , где а — любой элемент данного множества; принадлежность элемента а множеству А будем обозначать знаком включения а € А (а включается в А, или а есть элемент А).

Если в не является элементом множества А, будем употреблять символ в € А.

Например: пусть множество А состоит из чисел, кратных 3. Очевидно, что число 27 является элементом множества А, а число 40 не входит в множество А. Используя символы, запишем: 27 £ А; 40 £ А.

• 2. Способы задания множества

Очень важным является отчётливое и глубокое понимание учащимися выражения «дано множество». Это требование обязательно и в отношении любого математического понятия, геометрической фигуры, геометрического преобразования, функции, уравнения и т. д.

Когда учащемуся говорят, что дан треугольник, окружность, конус и т. д., то ученик обычно представляет себе названную фигуру чувственно, образно, картинно.

Но понятие значительно глубже чувственного восприятия, оно отражает существенные связи вещей. Поэтому необходимо систематически направлять мышление учащихся от внешнего образа треугольника, конуса и т. д. к тем элементам, которые определяют эти фигуры. Этот путь ведёт к вскрытию внутренних связей вещей.

В этих целях полезны упражнения следующего характера:

1. Как может быть задан треугольник? (тремя сторонами; двумя сторонами и углом между ними и т. д.).

2) Как может быть задан прямой круговой конус? (радиусом основания и высотой; радиусом основания и образующей и т. д.).

Здесь элементы геометрической фигуры выступают в закономерной взаимосвязи, определяющей эту фигуру, чувственный образ дифференцируется, в нём выделяются различные элементы и их закономерные связи.

Вернёмся к понятию множества.

Как было сказано выше, множество может состоять из различных вещей (объектов). Например: множество яблок на данном дереве, множество целых чисел, множество точек данной окружности и т. д. Таким образом, природа вещей (элементов множества) не влияет на понятие множества.

Количество предметов (элементов), составляющих данное множество, может быть каким угодно: для некоторых множеств оно конечно, а для других — бесконечно (например, множество целых чисел). Таким образом и число элементов тоже не является специфическим признаком множества. Тогда возникает вопрос: что же является характерным свойством множества? Это характерное свойство надо искать в самом акте образования множества.

Множество считается заданным, если можно ответить на вопрос: является ли этот предмет элементом этого множества, т. е., если существует закон или правило, позволяющее судить о том, какие элементы включаются в определяемое множество и какие нет.

Рассмотрим способы задания множеств.