Основные понятия школьной математики (Любецкий) 1987 год - старые учебники

Аксиоматическое определение степенной функции.

Теорема существования и единственности степенной функции.

Свойства степенных функций.

Функции косинус и синус числового аргумента.

Экспоненциальная функция и ее периодичность.

Теоремы существования и единственности экспоненциальной функции.

Функции косинус и синус числового аргумента: аксиоматические определения и свойства.

Угол. Функции косинус и синус углового аргумента. Измерение углов.

Введение.

Определение угла в арифметической плоскости.

Конструктивные определения функций косинус и синус углового аргумента. Свойства этих функций.

Измерение углов.

Обсуждение полученных результатов.

Вектор. Плоскость. Планиметрия ведение.

Сравнение различных подходов к понятию вектора.

Вектор как пара чисел. Свободный вектор. Вектор как параллельный перенос.

Вектор как дифференцирование. Вектор как класс касающихся кривых.

Вектор как тензор.

Понятие плоскости.

Аффинная плоскость.

Школьные геометрические понятия в аффинной плоскости.

Плоскость с формой.

Проективная плоскость.

Аксиоматический подход к определению плоскости.

Два типа аксиоматического определения плоскости.

Аксиоматическое теоретико-множественное определение плоскости. .

Аксиоматики плоскости Евклида — Гильберта, Лобачевского и Римана.

Двумерные римановы многообразия как модели аксиоматических определений Плоскости.

Основные группы школьной планиметрии и их действие в плоскости.

Аффинные отображения.

Основные группы школьной планиметрии, действующие в арифметической плоскости.

Поднятие группы функций в арифметической плоскости в векторную и аффинную плоскости.

Понятие планиметрии.

Клейновский подход в геометрии: понятие о планиметрии данной группы.

Евклидова планиметрия — планиметрия ортогональной группы.

Измерение величин. Площадь и мера плоских фигур.

Введение.

Примеры измерений и величин.

Положительная скалярная величина.

Измерение площади многоугольника.

Конструктивное определение площади многоугольника. Свойство конечной аддитивности.

Инвариантность функции площади относительно эквиаффинной группы.

Сравнение конструктивного и аксиоматического определений площади многоугольника. Сравнение различных способов измерения площади многоугольника.

Аксиоматическое определение площади многоугольника и его сравнение с конструктивным определением.

Определение площади многоугольника с помощью движений.

Способы измерения площади многоугольника.

Сравнение конструктивного и аксиоматического определений меры плоской фигуры. Вычисление меры простейших криволинейных фигур.

Измерение плоских криволинейных фигур.

Неизмеримые множества.

Аксиоматическое определение меры.

Сравнение конструктивного и аксиоматического определений меры.

Вычисление меры простейших криволинейных фигур.

Сравнение борелевской меры с мерами Жордана и Лебега.

Алгебраические уравнения степеней, меньших или равных Б, и геометрические построения.

Связь между разрешимостью алгебраических уравнений в радикалах и выполнимостью традиционных геометрических построений.

Кубические уравнения и квадратичные расширения.

Построение циркулем н линейкой.

Проблемы удвоения куба, трисекции угла и построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки.

Геометрические построения, включающие операцию выбора произвольной точки в заданной фигуре.

Геометрические построения с помощью одного циркуля.

Задача о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Критерий.

разрешимости. Пример неразрешимого в радикалах алгебраического уравнения 5-й степени.

Постановка задачи о разрешимости алгебраического уравнения в радикалах.

Понятие разрешимой группы.

Определение симметрической и знакопеременной групп.

Разрешимость симметрической и знакопеременной групп.

Понятие группы Галуа. Формулировка теоремы Галуа.

Пример алгебраического уравнения, группа Галуа которого совпадает с симметрической группой 5-й степени.

Доказательство необходимого условия в теореме Галуа.

Решение алгебраических уравнений степени, меньшей или равной 4, в радикалах.

План решения в радикалах алгебраических уравнений с разрешимой. группой Галуа.

Разрешимость в радикалах алгебраических уравнений с циклической группой Галуа.

Разрешимость в радикалах квадратного уравнения.

Разрешимость в радикалах алгебраических уравнений с разрешимой группой Галуа.

Разрешимость в радикалах кубического уравнения.

Логико-математические основания понятия числа.

Понятие натурального ряда.

Финитный подход к определению натурального ряда.

Теоретико-множественный и аксиоматический подходы к определению натурального ряда.

Сравнение определений целых чисел.

Определение рационального числа как линейной функции.

Основные подходы к определению вещественных чисел.

Определение вещественного числа как фундаментальной последовательности.

Продолжение алгебраических операций с поля на его пополнение.

Определение вещественного числа как сечения.

Определение вещественного числа как последовательности знаков.

Основные подходы к определению комплексных чисел.

Роль алгебраической замкнутости, локальной компактности и упорядоченности среди свойств комплексных и вещественных чисел.

Связь полей вещественных и комплексных чисел. " Продолжение линейного порядка с поля на его алгебраическое расширение и метрическое пополнение.

Приложение.

Группы, изоморфные прямой и окружности.

Длина дуги. Определение функций косинус и синус числового аргумента на основе понятия длины дуги.

Доказательство теоремы о моделях системы положительных скалярных величин.

Доказательство некоторых вспомогательных алгебраических утверждений.

Сферическая, гиперболическая и эллиптическая плоскости.

Точки, прямые и отрезки в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях.

Метрики в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях.

Группы движений и измерения углов в сферической, эллиптической и гиперболической плоскостях.

Задача этой книги — показать место основных понятий школьной математики в гораздо бо лее широкой системе представлений высшей математики и в этих рамках строго и последовательно Изложить понятия школьной (элементарной) математики с точки зрения высшей математики (которая отождествляется с содержанием пединститутских курсов алгебры и теории чисел, анализа, геометрии, математической логики и теории алгоритмов).

 Хорошо известно, что многие выпускники пединститутов — будущие учителя, испытывают затруднения в своей профессиональной области — школьной математике. Это касается умения решать элементарные задачи и, в еще большей степени, понимания тонких вопросов элементарной математики, умения связывать те обширные математические теории, которые изучаются в течение четырех-пяти лет в пединституте, с конкретными вопросами элементарной математики. Цель пособия — помочь преодолеть две последние из отмеченных трудностей, способствуя тем самым усилению профессиональной направленности в подготовке учителя.

В первых главах рассматриваются наиболее традиционные понятия школьной математики: элементарные функции, угол, измерение углов (глава 1); вектор, плоскость, планиметрия (глава II); величина, площадь и мера плоской фигуры (глава III), геометрические построения циркулем и линейкой, решение алгебраически?, равнений низших степеней в радикалах (глава IV).

Менее элементарную направленность имеют глава V и приложение 4. Поэтому чуть подробнее коснемся их содержания. В § 1 главы V детально рассматривается построение системы натуральных чисел — основы всех числовых систем. В § 2 этой главы традиционный подход к понятию рационального числа сравнивается с другим подходом, в рамках которого, рациональное число — функция. В § 3 рассматриваются основные способы перехода от рациональ- ных чисел — дискретного объекта к вещественным и комплексным числам — непрерывным объектам (в § 5 эта линия изложения продолжается переходом от рациональных чисел к нечисловым радическим полям). В целом § 3, 4, 5 пятой главы посвящены алгебро топологическим свойствам вещественных чисел; включение этого материала связано с тем, что именно сочетание алгебраических и топологических свойств создает вещественным и комплексным числам уникальное положение в математике. Приложение 4 содержит подробное изложение элементарных вопросов неевклидовой планиметрии. Ясное понимание евклидовой планиметрии (о которой говорится в главе II), по-видимому, предполагает для контраста, знакомство с неевклидовой планиметрией.

Для согласования терминологии и обозначений после предисловия приводится материал, содержащий некоторые общие понятия высшей математики; эти понятия играют в книге подсобную роль — языка, на котором говорится о школьной математике. Правильно рассматривать их как специализированную часть русского языка, подобную языку врача, химика или биолога. Разумно обращаться к этому материалу лишь в том случае, если какие-то обозначения или термины, употребляемые в книге, оказываются для читателя новыми и их смысл не ясен из контекста.

Предполагается, что читатель знаком с основными понятиями школьной математики на том предварительном уровне понимания, который выносится из школы и первых трех курсов пединститутов. Также предполагается некоторая опытность читателя в оперировании с основными алгебраическими, топологическими и логическими понятиями из упомянутых математических курсов; однако фактическое содержание этих курсов может быть не знакомо (или почти не знакомо) читателю. Поэтому изложение в книге ведется постепенно, как правило, с полными определениями и доказательствами; от читателя в основном требуется умение не спеша разбирать временами довольно длинные построения. Параграфы 5, 6 пятой главы предъявляют более высокие требования к читателю, так как изложение в них носит обзорный характер. В книге встречаются довольно абстрактные понятия, такие, как индуцированная топология, топологическое пространство, подгруппа, гомоморфизм, связность, локальная компактность, действие, модуль, однако они употребляются исключительно для случаев (...) . Конечно, для таких простейших случаев эти понятия можно заменить соответствующими частными, внешне более простыми выражениями. Например, вместо локальной компактности можно говорить о наличии окрестности, являющейся отрезком или дугой, включающей концы. Такая замена вряд ли приведет к упрощению существа дела и в то же время сделает многие формулировки внешне тяжеловесными и специфически привязанными к каждому из отдельных случаев; тем более, что эти понятия рассматриваются в основных математических курсах. Для некоторых категорий читателей такая замена абстрактных терминов соответствующими элементарными выражениями может быть полезным упражнением, относящимся по существу не к математике, а к русскому языку.

Степень детальности в рассмотрении того или иного понятия школьной математики различна и зависит от внимания, которое ему уделяется в основных математических курсах.

Так, понятия элементарной функции, угла и измерения углов их элементарных аспектах известны студенту старших курсов почти на том же уровне, что и выпускнику школы. Поэтому здесь Изложение носит систематический характер.

Понятие вектора обычно определяется аксиоматически, как элемент произвольного векторного пространства. При всей важности такого аксиоматического подхода нужно представлять себе и конкретные модели аксиоматического определения вектора, в том числе только простейшую модель вектора как направленного отрезка, менно разнообразие этих моделей придает понятию вектора фундаментальное значение. Поэтому подробно рассматриваются различные конструктивные подходы к понятию вектора.

Понятие геометрической плоскости тщательно изучается в курсе геометрии, поэтому мы касаемся его бегло, только в плане адекватности различных определений плоскостей интуитивному представлению о ней. Понятие планиметрии с аксиоматической точки зрения также подробно рассматривается в курсе геометрии, и мы сдаемся его только в обзорном порядке. Однако при всей важности Аксиоматического понимания планиметрии существенна и клейновская точка зрения на нее. Поэтому подробно рассматривается клейновский подход и, в частности, вычисляются все инварианты ортогональной группы, которые и образуют с этой точки зрения евклидову планиметрию.

Понятие величины подробно рассматривается в книге, так как а сущности оно отсутствует в основных математических курсах. Столь же подробно рассматриваются и сравниваются различные способы измерения площади многоугольника, и в этой связи напоминается аксиоматическое определение площади многоугольника.

Мера понимается как продолжение функции площади с множества многоугольников на более широкое множество криволинейных фигур. В то же время мера определяется аксиоматически и эти два подхода тщательно сравниваются. Затем на основе аксиоматического определения меры (без использования интегралов) вычисляются ее значения для круга, сектора, сегмента и т. п. элементарных плоских фигур. В курсе анализе рассматривается мера Лебега только на прямой, здесь по существу рассматривается мера Лебега на плоскости. Таким образом, в этом вопросе, как и в других, автор стремился обеспечить преемственность излагаемого материала по отношению к основным курсам.

. Подробно рассматриваются классические задачи об удвоении Объема куба, трисекции угла и построении правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки. При этом доказывается невозможность таких построений.

Затем подробно изучается вопрос о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений степени, меньшей или равной 5. Доказывается теорема Г алуа. На ее основе находятся известные формулы для решения уравнений степени, меньшей или равной 4.

В книге большинство вопросов рассматривается с точки зрения инвариантов подходящей группы преобразований, т. е. инвариантов действия подходящей группы; иными словами, с точки зрения непрерывных гомоморфизмов простейших групп. Можно надеяться, что такая точке зрения придает книге цельный, единообразный характер.

В книге можно найти материал для факультативных занятий в школе. Однако вопросы преподавания математики в школе и вопросы изложения ее в школьных учебниках здесь не рассматриваются. В этом, как и в других отношениях, автор старался следовать духу книги Ф. Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей». Книга Ф. Клейна своей конкретной содержательностью мало похожа на ряд современных изложений элементарной математики, в которых на первый план выдвигаются вопросы формально-логического порядка, например вопросы такого типа, как является ли элементарная функция множеством пар или отношением; кажется, что такого рода вопросы маловажны для существа дела.

Автор неоднократно читал лекционный курс, одноименный с названием книги, для слушателей факультета повышения квалификации преподавателей и студентов пятого курса математического факультета. Эти лекции были отпечатаны и после некоторой правки составили рукопись книги; поэтому особенности, терпимые в лекционном изложении, к сожалению, перешли в книгу.

Приложение 4 написано П. В. Семеновым. Автор благодарит его также за большую помощь в подготовке рукописи.

Автор глубоко признателен В. Т. Базылеву, К. И. Дуничеву, Л. Я. Куликову, В. И. Мишину, А. И. Москаленко, Р. С. Черкасову, Е. П. Шимбиревой, Е. А. Щеголькову за ценные советы и указания во время работы над курсом и книгой.

Автор посвящает книгу своим детям Василине и Елене.