• 11 . Сложение и вычитание одночленов и многочленов. —
• 12. Умножение одночленов и многочленов. 28

8 13. Умножение многочлена на многочлен. 30

• 14. Примечательные частные случаи умножения многочленов . . 31
• 15. Деление одночленов 83
• 16. Деление многочлена на одночлен. 34

8 17. Разложение алгебраических выражений на множители . —

• 18. Алгебраические дроби 36

Глава III. Уравнения 1-й степени с одним неизвестным 89

• 19. Основные определения —
• 20. Обе части уравнения суть многочлены. Дробей и скобок нет. 41
• 21. В уравнении нет дробей, но есть скобки 43
• 22. Уравнение содержит дроби 44
• 23. Уравнение имеет вид пропорции. 45
• 24. Решение буквенных уравнений 50
• 25. Упражнения. 52

Глава IV. Треугольник. 55

• 26. Основные определения. Классификация треугольников . . —

8 27. Конгруэнтность треугольников 57

• 28. Внешние углы. Сумма углов треугольников. 59

Глава V. Окружности. Хорды. Вписанные и описанные углы . 60

Глава VI. Параллельные линии. Параллелограммы. Трапеция . 66

Глава VII. Уравнения с несколькими неизвестными 76

• 29. Признаки неопределенности, определенности и невозможности решения задачи —
• 30. Неопределенные уравнения. 77

8 31. Системы двух уравнений 1-й степени с двумя неизвестными 80

• 32. Системы трех уравнений 1-й степени с тремя неизвестными 89

Глава VIII. Извлечение квадратного корня. 92

Глава IX. Преобразование алгебраических выражений, содержащих квадратные корни 101

Глава X. Пропорциональные отрезки 106

Глава XL Подобные фигуры. Теорема Пифагора. 112

Глава XII. Основы тригонометрии. 116

Глава ХИ1. Вписанные и описанные фигуры. Длина окружности . . 125

Глава XIV. Площади фигур 132

Глава XV. Съемка плана с помощью мензулы 139

Приложение. Таблица синусов и тангенсов острых углов. 143

Научно-педагогической секцией государственного ученого совета допущено для школ II ступени

21 — 30 тысяча

Первый концентр элементарного курса математики — начала алгебры и геометрии — обладает теми особенностями, которые чрезвычайно затрудняют такую установку математики в общей комплексной системе, какая возможна на первых пяти годах обучения, когда математический материал состоит в арифметике и в пропедевтической геометрии, сводящейся к вопросам квадратуры и кубатуры. Чисто арифметические расчеты легко компенсируются с любою темою, не исключая тем обществоведческих. Возможность такого комплексирования доказана мною в рабочих книгах по математике для I — IV групп школ I ступ и для 5-го года обучения в сельской и в городской школах. Одинаково я утверждаю, что высшая математика, особенно дифференциальные уравнения и теория вероятностей, также могут быть комплексированы с любою, наперед заданною, темой. Но именно так называемая элементарная математика, через которую нельзя перескочить от арифметики к высшему анализу, представляет, я полагаю, непреодолимые трудности для той комплексной увязки математики, которая мыслится программами ГУСа и которая, повторяю, может быть достигнута на первых 5 годах обучения.

На 6-м и 7-м годах обучения возможен несколько иной подход, который приводит не к строгому, бесспорному комплексу резко отграниченных друг от друга тем, а к комплексу более широкому, обобщенному, где основною темою остается одна и та же: производство, без подразделения последнего на специально фабричное, сельскохозяйственное, транспортное, строительное и т. д. При таком подходе возможно насыщение курса математики производственными применениями; несомненно, это насыщение возможно в большей степени, чем удалось мне в этой книге, но к этому я стремился, выступая пока пионером такого пособия по математике для 6-го года обучения, которое вывело бы преподавание

математики из дореволюционной установки и сколько ни будь приблизило его к духу требований программы ГУСа.

Кроме вопроса о применимости математики, я имел в виду построение курса по принципу фузионизма алгебры, геометрии и тригонометрии, но нимало не сомневаюсь, что в отношении фузионизма могут быть лучшие достижения. Этот вопрос трудный и еще далеко не решен современною методикою; пока я вношу лишь свою посильную лепту.

Опираясь на то, что программы ГУСа в объемном отношении являются примерными, и на резолюции первой всесоюзной конференции школ II ступ. (5 — 10 июля 1925 г.), я несколько переставил, по методическим соображениям, отдельные вопросы программы, стремясь сделать изложение и усвоение посильными учащимся 6-й группы.

В отношении изложения геометрических вопросов я повторяю здесь приемы, выявленные в моей книге „Геометрия, часть I. Планиметрия". Суровые нападки ленинградских методистов меня не убедили. Личный опыт и успех моей книги „Геометрия" (в один год три издания) заставляют меня стойко держаться убеждения, что в массовой школе индуктивный метод должен преобладать над дедуктивным, и что на 6-м году обучения преждевременно строить геометрию на базе строгой отвлеченности. Я полагаю, что логический элемент мною не обойден; он найдет свое необходимое усиление на 7-м году.

Вопросам практической геодезии я отвел весьма ограниченное место, так как имел в виду городскую школу.

А. Воронец.

7 марта 1926 г.

ВВЕДЕНИЕ.

(Для учащихся.)

Чему научает эта книга.

В этой книге вы найдете основные положения геометрии и алгебры, в общем те правила математики, которые научат вас решать уравнения и познакомят вас с важнейшими свойствами геометрических фигур. Вы умеете решать некоторые уравнения, например, вы не затруднитесь ответить, чему равно число х, если 10—х = 2. Но вряд ли вы умеете решить такое уравнение :

Вы еще не умеете составлять уравнения из условий задачи, особенно, если задания даны неявными числами, а для обобщения вопроса буквами. Возьмем для примера следующую задачу:

Крестьянин продает акд овса по цене р коп. за килограмм, чтобы купить Ь т ситца по цене q кои. за метр.

Напишите в форме равенства зависимость между числами а, р, Ь, q.

Если из этих четырех чисел три известны, то четвертое может быть определено.

Напишите формулу, по которой число а определяется через числа р, Ь и q; справьтесь, чему равны в настоящее время числа р (стоимость килограмма овса) и q, положите 6 = 12 т и вычислите а.

Допустим, что крестьянин сделал такой расчет, нашел его невыгодным и решил подождать, пока овес подорожает, а ситец подешевеет. Через месяц крестьянин прочел в газете, что овес подорожал на к%, а ситец подешевел на 1%. Новый расчет должен быть сделан по формуле:

Может-быть, эта формула вам непонятна? Надо выучиться составлять такие формулы и вычислять одну из входящих величин, если остальные даны явными числами. Равенство, содержащее неизвестные и известные величины, называется уравнением. Надо уметь составлять и решать уравнения. Для этого надо усвоить ряд алгебраических преобразований, т.-е. действий с формулами, в которых числа обозначены, для общности исследования, буквами.

Уравнения указанного типа встретятся вам также в курсах физики и химии.

Транспорт (доставка продуктов и товаров из деревни в город и обратно) имеет огромное значение для народного хозяйства. В настоящее время основной транспорт есть железнодорожный. Железнодорожные сооружения содержат множество геометрических форм: рельсы пути параллельны, местами делают закругления, т.-е. идут по дуге окружности, которая не может иметь радиус, меньший 192 т (и то только на станциях, а в пути не меньше 534 т); полотно дороги не может делать подъема большего определенного угла с горизонтальною линиею ; фермы мостов состоят из сети треугольников; изучение паровоза приводит нас к рассмотрению цилиндрических труб, эксцентрических кругов и т. д. Мачты радиостанций поддерживаются стальными канатами, наклоненными под различными углами к земле; от величины угла зависит длина каната, следовательно, тут делается определенный расчет.

Углы, линии, треугольники, окружности, круги и т. д. суть геометрические формы, встречающиеся повсеместно; свойства этих форм нужно знать для всякого рода технических и производственных расчетов. Изучением свойств линий, углов и т. д. занимается геометрия, для усвоения которой также необходимы разные алгебраические правила.

Городское и сельское кооперирование является лучшим средством охраны материальных интересов рабочих и крестьян. Сметы и отчеты по кооперации требуют уменья составлять и проверять разные ведомости. Надо выучиться производить ответственные вычисления, хотя бы и простые арифметические, т.-е. с явными числами, надо уметь разбираться в готовых ведомостях, составлять наилучшие ведомости, заполнять их и подводить нужные итоги. Для этого вы найдете дальше ряд разнообразных упражнений, из которых хотя не все относятся к кооперации, но которые все имеют целью развить счетовые операции разного рода.