• Действия над многочленами. Теорема Безу. 51
• Многочлены (решение задач). 57
• Алгебраические дроби. Пропорции. Иррациональные выражения 61
• Тождественные преобразования алгебраических выражений (решение задач) 67
• Неравенства и их основные свойства 73
• Задачи на доказательство неравенств 76

Глава III. Уравнения, системы уравнений. Решение неравенств 84

• Основные понятия и определения, связанные с уравнениями 84
• Основные свойства уравнений. 87
• Основные понятия и определения, связанные с системами уравнений. Основные свойства систем уравнений 88
• Целые рациональные уравнения с одним неизвестным. 95
• Решение линейных и квадратных уравнений. 98
• Исследование решений квадратного уравнения с действительными коэффициентами 100
• Двучленные уравнения 101
• Биквадратные и трехчленные уравнения 103
• Возвратные уравнения четвертой степени. 105
• Подбор рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами 107
• Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными 108
• Система, состоящая из одного линейного уравнения и одного уравнения второй степени с двумя неизвестными 112
• Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными 114
• Решение рациональных неравенств и систем неравенств с одним неизвестным 117

Глава IV. Решение задач на алгебраические уравнения, системы уравнений и неравенства 126

• Решение рациональных уравнений с одним неизвестным 126
• Решение рациональных систем. 133

• Иррациональные уравнения 142
• Решение иррациональных неравенств. 152
• Решение иррациональных систем 154
• Решение уравнений, неравенств и систем, содержащих абсолютную величину 158
• Разные задачи, связанные с уравнениями, неравенствами, системами 166

Глава V. Последовательность. Прогрессии. 174

• Последовательность. 174
• Арифметическая прогрессия. 178
• Геометрическая прогрессия 181
• Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. 183
• Задачи. 185
• Суммирование последовательностей 192

Глава VI. Соединения и бином Ньютона 196

• Соединения. Виды соединений 196
• Бином Ньютона. 200
• Задачи. 202

Глава VII. Функции 210

• Постоянные и переменные величины 210
• Функция 211
• Способы задания функции 211
• Четные и нечетные функции. 213
• Периодические функции. 215
• Ограниченные и неограниченные функции. Монотонные функции 217
• Обратная функция 219
• Простейшие преобразования графиков 221
• Обзор свойств некоторых простейших элементарных функций. Построение их графиков 223

Глава VIII. Показательная и логарифмическая функции. 232

• Показательная функция. Ее свойства и график 232
• Логарифмическая функция 234
• Упражнения 238
• Решение показательных и логарифмических уравнений. 242
• Решение неравенств, содержащих логарифмическую и показательную функцию 250

Глава IX. Тригонометрические функции 254

• Угол в тригонометрии ' 254
• Тригонометрический круг. Определение тригонометрических функций 255
• Свойства тригонометрических функций 258
• Графики тригонометрических функций 261
• Тригонометрические функции острого угла 267
• Задачи 268

Глава X. Теоремы сложения и их следствия 273

• Формулы тригонометрических функций от алгебраической суммы аргументов (формулы сложения) 273
• Формулы приведения. 275
• Тригонометрические функции кратных аргументов 277
• Формулы преобразования произведения синусов и косинусов в сумму. Формулы понижения степени 278
• Тригонометрические функции половинного аргумента. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента 280

• Числовые значения тригонометрических функций некоторых аргументов 282
• Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение 285
• Соотношения между аргументами а и 0, вытекающие из равенства их одноименных тригонометрических функций 287

Глава XI. Задачи на тождественные преобразования в тригонометрии 289

• Упрощение тригонометрических выражений. 289
• Вычисление без таблиц 292
• Вычисление значений тригонометрических выражений по известным значениям других тригонометрических выражений. 295
• Преобразование тригонометрических выражений в произведение 300
• Доказательство тождеств. 303
• Условные равенства 305
• Исключение аргументов из системы равенств. 310
• Доказательство тригонометрических неравенств 312
• Суммирование последовательностей тригонометрических выражений 314

Глава XII. Обратные тригонометрические функции 318

• Арксинус 318
• Арккосинус 320
• Арктангенс и арккотангенс. 321
• Основные тождества 324
• Задачи. 325

Глава XIII. Тригонометрические уравнения 337

• Простейшие тригонометрические уравнения 337
• Сведение тригонометрических уравнений к простейшим с помощью тождественных преобразований. 339
• Сведение тригонометрического уравнения к рациональному уравнению с одним неизвестным 350
• Системы тригонометрических уравнений. 358
• Тригонометрические неравенства 361
• Решение трансцендентных уравнений и неравенств. 365

Глава XIV. Графики. 369

• Построение графиков с помощью геометрических преобразований 369
• Графики функций, заданных разными формулами на различных промежутках области определения. 377
• График суммы и разности двух функций. 379
• График произведения двух функций. 381
• График функции у = 383
• График частного двух функций. 385
• График «функции от функции» 388
• Применение графиков к решению уравнений, систем и неравенств 392
• Разные задачи 396

Глава XV. Приложения тригонометрии к решению треугольников. Вычисление площадей прямолинейных фигур. 400

• Соотношения между элементами прямоугольного треугольника. Основные случаи решения прямоугольных треугольников 401
• Соотношения между элементами любого треугольника. 402
• Основные случаи решения косоугольных треугольников 406
• Понятие об измерении площадей плоских фигур. 408
• Площадь прямоугольника и треугольника 410
• Площадь четырехугольника и многоугольника 414
• Задачи. 416

Глава XVI. Прямые и плоскости в пространстве. 43S

• Основные определения. 435
• Признаки параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей 437
• Свойства многогранных углов 442
• Площадь проекции 443

Глава XVII. Многогранники. Цилиндрические тела и конусы. Шар 446

• Многогранники 446
• Цилиндрическая поверхность. Цилиндрическое тело 448
• Коническая поверхность. Конус. 451
• Усеченный конус. 455
• Определение и свойства шара. 456

Глава XVIII. Объемы и площади поверхностей многогранников, цилиндрических тел, конусов, шара и его частей 459

• Понятие об измерении объемов геометрических тел 459
• Объем прямоугольного параллелепипеда. 460
• Объем прямого цилиндрического тела 462
• Объем наклонного цилиндрического тела 463
• Объем конуса. 465
• Объем усеченного конуса 467
• Объем шара и его частей. 468
• Площади поверхностей многогранников, цилиндров и конусов 471
• Площадь поверхности шара и его частей 473

Глава XIX. Обзор задач по стереометрии. 475

• Угол между прямой и плоскостью. Двугранные углы. Трехгранные углы. 477
• Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми. 481
• Задачи на сечения 484
• Задачи на комбинации вписанных друг в друга тел 490
• Задачи на произвольные комбинации тел 505

Предметный указатель 510

ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Во второе издание включены новые главы XVI, XVII, XVIII и XIX, написанные Э. 3. Шуваловой. В этих главах в несколько нетрадиционной форме дается полное изложение курса стереометрии в объеме программы средней школы. Глава XIX посвящена обзору наиболее часто встречающихся задач по стереометрии и методам их решений.

Для удобства пользования книгой в конце ее дается предметный указатель.

Кроме того, в издание внесены поправки редакционного характера и исправлены опечатки. Часть из этих исправлений вызвана замечаниями читателей. Всем им мы выражаем глубокую благодарность.

Авторы

ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Это пособие предназначено для тех, кто уже прошел курс элементарной математики в объеме программы средней школы и хочет повторить алгебру и тригонометрию.

Очевидно, что изложение такого повторительного курса должно быть несколько иным, чем в учебниках и учебных пособиях, написанных для средней школы. Это и имели в виду авторы, когда допускали ссылки в начальных главах на последующее. Так, например, в главе I использовалась формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, данной лишь в глав* V, в главе IX использовались формулы главы X и т. д.

Помимо материала, входящего в обязательную программу приемных экзаменов, даны и некоторые дополнительные сведения. В пособии они приведены мелким шрифтом.

Главы I и II написаны Г. И. Богатыревым, главы III, IV, X, XI, XIV —Б. Г. Агафоновым, главы V—IX, XII, XIII, XV — Э. 3. Шуваловой.

Авторы выражают глубокую благодарность Р. С. Гутеру, очень внимательно прочитавшему рукопись и давшему много ценных замечаний, которые были учтены в процессе работы над пособием.

Авторы