Проективные преобразования 54

Топологические преобразования. 55

Элементы дифференциальной геометрии 57

Глава IV. О преподавании высшей математики в педагогическом институте 60

Начальные разделы курса —

Вводные разделы в различных курсах 64

Элементарная математика 70

Основные разделы курса. Полнота информации 77

Завершение курса 83

О философских идеях в математических курсах 86

Интерес 61

Чары математики. 98

Слово в преподавании 101

Некоторые выводы 104

Учебник 105

Учебник и лекция 111

Учебные пособия и учебники 118

Управляемое обучение 122

Доступность 124

Задачник. 127

Знания 132

Самостоятельное изучение высшей математики 134

Глава V. Приемы обучения 139

Как учить думать?. —

Изложение предмета. 153

Всесторонность. 169

Внутренняя завершенность. 175

Характерные предложения 180

Другие способы изложения. 183

О строгости. 190

Несколько слов молодым преподавателям 200

Трудных наук нет. Есть только трудные изложения, т. е. непереваримые. В этом-то и состоит вся задача педагогики — сделать науку до того понятной и усвоенной, чтобы заставить ее говорить простым, обыкновенным языком.

А. И. Герцен «Былое и думы».

Самой высочайшей математики основания понятно написать удобно, хотя то и подлинно, что книг таковых мало видно.

А. П. Сумароков «О чтение романов», 1759 г,

От автора

Вопросы преподавания высшей математики в педагогическом институте в настоящий момент исключительно важны.

Широкое проникновение техники и научных методов во все области нашей жизни и почти во все специальности потребовало общего повышения уровня школьного преподавания, и в частности преподавания математики. Это же обстоятельство привело к тому, что в вузах почти всех профилей особенно серьезные требования предъявляются к математической подготовке поступающих, т. е. к их школьному обучению математике. Обеспечить же высокий уровень преподавания математики в школе могут только высококвалифицированные учителя. Отсюда вывод: успешная подготовка учителя математики в педагогическом институте — залог высокого уровня подготовки по математике учащихся средних школ, а следовательно, студентов вузов, т. е. в конечном счете будущих инженеров, физиков, естественников и т. д.

С другой стороны, преподавание высшей математики в педагогическом институте сталкивается с целым рядом таких трудностей (о них идет речь в книге), с которыми не встречается преподавание высшей математики в вузах других профилей.

В последние годы преподавание математики в педагогическом институте претерпевает большие изменения.

Программы по высшей математике приводятся в соответствие с требованиями современной математики, повышается теоретический уровень ее изложения. Все это предполагает повышение требований как к мыслительной деятельности студента, так и к форме изложения математики.

В этих условиях вопросы методики преподавания высшей математики в педагогическом институте приобретают особое значение.

Думаю, что затронутые в книге вопросы представят интерес и для учителей средней школы, поскольку разделы высшей математики вошли теперь в школьную программу.

Эту работу можно рассматривать как своего рода продолжение книги автора «О педагогических основах обучения математике» (М., Учпедгиз, 1963). Некоторые вопросы, которые были лишь намечены или только упомянуты в названной книге, находят здесь свое развитие.

Работая над рукописью этой книги, автор имел возможность воспользоваться советами и критическими замечаниями ее первых рецензентов и читателей: акад. АН УССР Б. В. Гнеденко, проф. Н. Я. В и л е н к ин а, доц. А. В. Г р о- шева (Свердловск), доц. И. Е. Жака (Волгоград), проф. В. А. Крутецкого, доц. П. Конопатова (Волгоград) и его коллег по возглавляемой им кафедре элементарной математики и методики Волгоградского педагогического института, принимавших участие в обсуждении этой рукописи на заседаниях кафедры, проф. И. П. Макарова (Рязань), проф. Ф. Ф. Нагибина (Киров), проф. 3. А. Скопеца (Ярославль), канд. пед. наук С. И. Шапиро (Курск).

Всем перечисленным товарищам автор приносит искреннюю благодарность.

Глава I

ПСИХОЛОГИЯ КАК ОСНОВА МЕТОДИКИ

Исходные положения. Наша цель — осветить пути преподавания высшей математики в педагогическом институте и те научные принципы, на которых это преподавание должно строиться.

Несомненно, что преподавание высшей математики в наших вузах поставлено серьезно и характеризуется значительными успехами. Оно сообщает учащимся много фактов, учит их математически мыслить, обучает их чтению математической литературы, т. е. способствует в конечном счете как подготовке полноценных специалистов, так и пополнению рядов советских ученых. Это подтверждается и мировыми достижениями нашей науки и колоссальными успехами нашей техники. Запуски космических спутников и ракет, работы в области элементарных частиц и многие другие не были бы возможны без высокого уровня преподавания математики в высших учебных заведениях.

Однако, как бы ни были велики достижения нашего вузовского преподавания высшей математики, необходимость постоянного повышения научной и технической культуры нашей страны требует к нему пристального внимания. Только постоянное усовершенствование наших программ, методов преподавания и своевременное устранение обнаруживающихся в них недостатков позволят нам вести преподавание наиболее эффективно, на уровне требований нашего времени.

С первого взгляда может показаться, что проблемы преподавания математики в высшей школе крайне просты и сводятся к следующим двум: во-первых, к отбору материала, который можно изложить в отведенное учебным планом время, и, во- вторых, к его логичному изложению студентам. Создается впечатление, что этими вопросами и должна ограничиваться вузовская педагогика. Однако проблемы преподавания оказываются гораздо более сложными. Оценивая в самых общих чертах наше устное преподавание и учебники, можно прийти к выводу, что оно формируется на следующих основах. Поскольку математические теории строятся из исходных положений по правилам формальной логики, то и преподавание должно в основном сводиться к воспроизведению перед учащимися этой

формально-логической стороны математических теорий. Предполагается, что это должно делаться сжато и последовательно, без лишних слов, на уровне, отвечающем знаниям учащихся. Поэтому каждый курс, начинаясь с. формулировки исходных положений (аксиом, определений и т. д.), основное внимание уделяет выводам формул и доказательствам теорем. При этом такое изложение обычно снабжается известным числом иллюстративных примеров теоретического и прикладного характера. Научный уровень курса считается тем выше, чем больше в нем научных фактов и чем строже в нем ведутся рассуждения. Каждый лектор старается возможно доступнее довести изложение предмета до своих слушателей. Последующее чтение учебника должно содействовать закреплению материала.

Решение задач на семинарах и дома имеет целью содействовать лучшему пониманию и усвоению теоретического материала, который рассматривается здесь на конкретных примерах, и умению студента применять на практике общие теории. (Мы ниже подтвердим эту, впрочем общеизвестную, характеристику нашей системы обучения разбором существующей учебной литературы и устного преподавания.) В целом надо признать, что вся эта система обучения является традиционной, не вызывает каких-либо принципиальных возражений и вряд ли требует какого-либо специального углубленного анализа.

Однако, всматриваясь пристальнее в содержание и организацию нашего преподавания, мы видим, что оно представляет собой очень сложный комплекс тесно переплетающихся между собой различных его составных частей, опирающихся на различные процессы умственной деятельности студентов.

С одной стороны, мы имеем здесь дело с лекцией, семинарскими занятиями, коллоквиумами, консультациями, а потом с зачетами и экзаменами, где обучение и контроль знаний происходят в основном в процессе личного общения преподавательского состава со студентами. С другой стороны, студент пользуется учебником и задачником, оставаясь при этом наедине с книгой.

В результате же усвоение знаний, приобретение умений, развитие мышления студента достигаются путем сложного сочетания таких совершенно различных факторов, как логика изложения материала в лекции и в учебнике, воздействие на студента устной речи лектора и письменной речи учебника, таких психологических черт студента, как его способности, память, общее развитие, быстрота схватывания и бриентировки в материале и т. д.

Все эти и объективные и чисто субъективные факторы, все вместе и каждый в отдельности влияют на обучение и образование студента.

Для того чтобы глубже проанализировать процесс обучения, обнаружить его сильные и слабые стороны, развить пер

вые и по возможности исключить вторые, мы должны постараться выделить в обучении роль и влияние на его успешность каждого из перечисленных факторов или по крайней мере важнейших из них.

Несомненно, наиболее важной стороной в обучении математике является строго логическое изложение предмета, его теорий, теорем и их доказательств и развитие логического мышления студента.

Таким образом, первый вопрос, который возникает перед нами,— это исследование роли формальной логики в обучении математике. Иначе говоря, вопрос состоит в том, как усваивает студент математические теории, пользуясь для этого только строго логическим их изложением, без влияния на него в это время каких-либо других факторов обучения.

Ясно, что использовать для этого опрос студента после прослушанной им лекции нельзя. Действительно, уже в обычной лекции на усвоение студента влияет не только логика изложения предмета, но и устная речь лектора, ее строй, ее эмоциональная сила, играют роль поведение лектора в аудитории, его личные качества и т. д. Тем менее показателен экзамен, перед которым студент решал на семинарах задачи, бывал на консультациях и т. д. Влияние на усвоение студента чисто логического строя изложения математической теории лучше всего можно обнаружить, проверив то, как студент усваивает материал, пользуясь для этого только учебником, так как учебник математики почти все свое внимание уделяет возможно более строгому, не отклоняющемуся в сторону изложению математических теорий. Такую проверку, причем осуществленную в массовом масштабе, дает нам заочное обучение.

В настоящем смысле слова под заочным обучением следует понимать самостоятельное изучение предмета по учебной литературе, без слушания лекций. Казалось бы, что в самой природе математики заложены предпосылки для ее успешного самостоятельного изучения. Для этого не нужны ни дорогостоящие учебные пособия, ни лаборатории, ни музеи, ни экскурсии, а нужны только книга, бумага и карандаш, которые нетрудно иметь всюду.

В этих условиях заочное обучение математике в вузе должно было бы сводиться к небольшому числу вводных лекций, затем к изучению студентом предмета дома по учебнику и решению задач из задачника, а потом к приезду в институт на консультацию и к сдаче зачета и экзамена.

Между тем все обстоит иначе, и наше заочное педагогическое обучение по математике строится на иных началах.

Практика работы заочных отделений вузов показывает, что студенты-заочники, которые пытаются действительно самостоятельно (т. е. совсем без лекций) изучать высшую математику по учебникам, не в состоянии усвоить предмет. Чтобы

облегчить студентам изучение учебников, им дают методические пособия, которые разъясняют изложенные сжато места курса или более обстоятельно освещают выкладки. Однако, как показывает практика, это не помогает. Студент самостоятельно не справляется даже со сравнительно элементарно написанным учебником и не может решать задачи. Этот результат решительно повлиял на организацию заочного обучения. Заочное обучение сейчас построено так, что основные занятия заочников происходят на сессиях, когда они съезжаются в институт. Здесь они заняты 4—6 недель летом и 10 дней зимой, слушая лекции и работая в семинарах ио 8, в иные дни по 10—12 часов в день. (Студенты, близко живущие от институтов, приезжают на занятия и по воскресеньям.) В этот период в концентрированном виде им излагаются основные разделы всех изучаемых предметов. Лишь после прослушивания лекций на летних сессиях и работы в семинарах учащиеся в основном усваивают предмет. Но как только от них потребуют знания разделов, не изложенных на лекциях, выясняется, что они знают их слабо.

Чем же объясняется эта почти полная невозможность самостоятельного изучения высшей математики по книге? (Чтобы сразу исключить различные побочные соображения, заметим, что учебники, которые рекомендовались заочникам для самостоятельного изучения, принадлежат первоклассным ученым и выдающимся педагогам, таким, как И. И. Привалов, Г. М. Фихтенгольц, Н. Н. Лузин. Поэтому не может быть и речи о том, что эти учебники в какой-то мере недоброкачественны.) Обычно принято во всех трудностях обвинять самих заочников: виноваты их неподготовленность, отсутствие времени, несерьезное отношение к делу и т. д. Однако эти объяснения малоубедительны. Конечно, есть среди заочников и малоподготовленные, и не имеющие времени для занятий. Вместе с тем основная масса заочников серьезно относится к делу, может и хочет учиться. Далее, если бы все дело было в плохой подготовке, то это сказывалось бы на первых курсах, а дальше студенты могли бы сами заниматься по книге. Но организация заочного обучения на всех курсах одна и та же. Не может играть решающей роли и недостаток времени. Во-первых, среди заочников есть немало людей, которые имеют свободное время (работают неполный день и т. д.). Во-вторых, работая продуктивно над учебником даже один час в день (а его всегда можно выкроить), учащиеся имели бы минимум 250 часов домашней работы в году, а это уже не мало.

В результате, не отрицая роли тех неблагоприятных факторов, о которых выше шла речь (недостаток времени и т. д.), мы все-таки должны признать, что основная причина неудач заочников коренится не в описанных обстоятельствах, а в более общих закономерностях обучения. Это соображение тем более обоснованно, что большое и массовое явление не может объяс-

пяться только разрозненными и случайными причинами. Несомненно, что существует какая-то общая причина неудач заочников. Отсюда естественно и неизбежно мы должны прийти к выводу, что если изложение одной лишь формально-логической стороны математики (аксиом, теорем, их доказательств и т. д.) не обеспечивает усвоения математики, т. е. не создает правильных представлений у учащихся, то, значит, одно лишь формально-логическое и безупречно строгое изложение математики еще недостаточно для ее усвоения.

Иначе, очень кратко, очень условно, но образно, можно сказать, опыт заочного обучения говорит нам, что «учебник вместе с лекцией — учит», «учебник без лекции, сам по себе — не учит».

Отсюда и возникает наша первая задача в области анализа процесса обучения, о котором мы говорили выше,— разобраться в роли логики изложения предмета в процессе обучения в целом. Понятно, что решение этого вопроса существенно поможет и заочному образованию и методике обучения математике в средней и высшей школах в целом, так как решительно углубит наше понимание процесса обучения.

Итак, где мы можем искать те факторы, которые столь решительно влияют на процесс усвоения? Самое естественное, это обратиться к закономерностям психологии и педагогики, которые характеризуют процессы мышления и обучения. То, что психологию и педагогику надо учитывать в преподавании, является, конечно, тривиальной истиной, и для этого нет нужды прибегать к опыту заочного обучения. Но опыт заочного обучения дает нечто большее. Он показывает взаимоотношение между логикой предмета и психолого-педагогическими факторами. Обычно считается, что р основе обучения математике лежит передача логики предмета, хотя при этом и надо «в какой-то мере» (обычно это делается стихийно) учитывать роль психолого-педагогических факторов.

Опыт заочного обучения с полной определенностью показал обратное (как бы это ни показалось парадоксальным!), а именно, что логика предмета, без учета психолого-педагогических факторов, сплошь и рядом бессильна.

Итак, без логики предмета нет обучения. Однако решающим в обучении часто является влияние психолого-педагогических факторов. Без них логика не учит, т. е. не проникает в сознание учащегося. Попытаемся же найти те требования психологии и педагогики (если они есть), учет которых в учебнике позволил бы сделать его усвояемым.

Логика и психология. Мы пришли к необходимости выяснения роли психологии и педагогики в обучении исходя из опытного факта: недостаточности одного лишь формально-логического изложения предмета для его усвоения. Короче говоря,

соображения предыдущего пункта носили лишь наводящий, эвристический характер. Теперь нам предстоит выяснить, в чем же состоит внутренняя причина недостаточности формальной логики для обучения и необходимость обращения к психологии и педагогике? Выяснению этого вопроса и будут посвящены ближайшие страницы.

Попытаемся сформулировать те простейшие закономерности психологии и педагогики, на которых должна строиться методика. Прежде всего, не вдаваясь в детали, мы охарактеризуем взаимоотношение формальной логики и психологии. Можно сказать, что логика изучает правила рассуждений, то, как человек должен мыслить, чтобы от правильных предпосылок (отражающих действительность) прийти к правильным выводам (т. е. тоже отражающим действительность). Таким образом, если можно так выразиться, «формальная логика не зависит от человека». Ее законы объективны и одинаково обязательны для всех людей независимо от их возраста и культуры. Что же касается психологии, то здесь дело обстоит иначе. Психология интересуется именно человеческой стороной мышления. Она изучает то, как человек на самом деле, фактически мыслит. Она изучает самый процесс мышления. Она изучает мышление в связи со всей психической жизнью человека, со всем складом человеческой личности. Ее интересует, как формируется мысль, что влияет на нее, что содействует правильному мышлению и что препятствует ему и т. д.

Недостаточность формальной логики для обучения, по существу, очевидна. Логика дает нам только законы и правила для правильного мышления. Но она ничего не говорит о том, как обеспечить их правильное применение и использование. Это последнее явно лежит вне возможностей формальной логики, так как зависит от особенностей психики человека (на которую влияют возраст, уровень образования, память, способности)

Уже отсюда вытекает основной для нас вывод, что мышление человека должно подчиняться и тем особым закономерностям, которые изучает психология. Развивая эту мысль, можно сказать, что обучение человека математике есть по своей природе двойственный процесс: мы обучаем 1) математике, 2) человека. Поэтому естественно и неизбежно, что этот процесс должен учитывать как факторы, связанные с математикой (теоремы, логика доказательств и т. д.), так и факторы, связанные с человеком (характер и особенности его умственной деятельности и всего, что на нее влияет). Не учитывать их значило бы при решении вопросов обучения исключить из рассмотрения того самого человека, которого мы обучаем. Но это было бы методологически несостоятельно. В этой «двойственности» процесса обучения, где в один узел связываются вопросы специальной науки и вопросы психики человека, и состоит вся труд

ность проблем методики и все их своеобразие, с которыми мы вероятно, не встречаемся ни в одной другой области знания

Таким образом, обращение к психологии обосновано тем что мышление человека не работает изолированно, а зависит от всей его психики в целом. Однако сейчас в нашем обучении мы обычно не столько видим перед собой живого учащегося, каков он есть, с его знаниями и памятью, интересами и возможностями, сколько говорим о том, каким он должен быть, что он должен знать, что он должен помнить и т. д. А между тем живет и учится не наш воображаемый, а живой человек, со всеми его достоинствами и недостатками, радостями и горестями, желаниями и настроениями. И вот оказывается, что именно эти-то психические факторы, как будто бы совершенно чуждые математике, на самом деле решающим образом влияют на ее усвоение.

Действительно, продуктивность мышления человека не постоянна. В первую очередь она зависит от того, как человек относится к учению, интересует оно его или нет, понимает он его необходимость или не понимает. Знания, получаемые с охотой, скорей усваиваются и лучше запоминаются, чем знания, насильно «втиснутые» в сознание. Вместе с тем один и тот же человек рассуждает быстро или медленно, точно или неточно, логично или нелогично не только в зависимости от его способностей, но и в зависимости от того, хорошо ли он настроен или нет, спокоен он или взволнован, радует его работа или тяготит, уверен он в своих силах или не уверен и т. д. Таким образом, можно сказать, что сами возможности человека, самый уровень его логического мышления все время меняются и зависят от этих чисто психологических факторов.

Отсюда следует важнейший педагогический вывод: преподавание, заинтересованное в успешности обучения, не может игнорировать всех этих факторов, так как именно от них зависит работа мышления учащегося. Поэтому, не имея права оставаться к ним безразличным, само преподавание должно создавать благоприятные для себя условия. Следовательно, все, что касается обстановки преподавания, все, что ему содействует или мешает, должно быть учтено и принято во внимание.

Такой широкий и многосторонний подход к проблеме обучения определяется и философией марксизма, утверждающей, что при изучении процессов и явлений их надо рассматривать в их связях, а не изолированно. Следовательно, рассматривая какой-нибудь вопрос, мы должны учитывать все обстоятельства, имеющие к нему отношение. Если же мы хотим некоторыми из них пренебречь, то мы сами должны доказывать, что это законно. Поэтому, если иногда находятся педагоги, которые считают, что психология не имеет отношения к преподаванию математики, то именно они должны доказывать свою «правоту».

Понимание. Попытаемся теперь определить ряд педагогических и методических понятий в терминах психологии. Это нам послужит для решения основной проблемы, поставленной в этой главе,— выяснения роли психологии в обучении-математике. Прежде всего, рассмотрим, что собой представляет акт «понимания математики». Для этого, прежде всего, напомним, в каких понятиях оформляет сейчас математик результат своего мышления.

Идеальным построением развитой математической науки, как известно, считается ее аксиоматическое изложение по образцу Гильбертовой аксиоматики геометрии. Вначале приводятся необходимые аксиомы, а дальше идут определения и теоремы с их доказательствами и т. д.

Теперь попытаемся сформулировать, что значит понять то формально-логическое изложение математического материала, о котором выше шла речь.

Психология и диалектический материализм утверждают, что сознание и мышление человека есть высшая форма отражения мозгом объективной действительности в представлениях, понятиях, суждениях и т. д. Диалектический материализм учит, что все явления действительного мира находятся в процессе непрестанных изменений: в развитии или распадении. Отсюда следует важнейший гносеологический вывод: явления могут быть правильно познаны в процессе обучения только в том случае, если само обучение правильно и полно отражает в понятиях, суждениях и т. д. закономерности объективного мира, т. е. дает представление учащемуся не о разрозненных явлениях, а рассматривает их во взаимосвязи друг с другом, в их постоянных изменениях. (Во избежание недоразумений заметим, что это совсем не значит, что мы должны излагать современную науку вместе с ее историей или в историческом аспекте. На этом вопросе мы остановимся позже.)

Отсюда вытекает определение, которое дает психология акту понимания. Понять какое-нибудь явление — это значит осознать сущность этого явления, характерные его черты, его истоки и следствия, его взаимосвязь с другими явлениями, его место в системе окружающих явлений. Короче говоря, явление может быть осознано, если оно рассматривается в причинно- следственной связи с окружающими явлениями. Чем этих связей устанавливается больше, чем они многостороннее, тем понимание оказывается глубже и полнее. И наоборот, рассматривая некоторое явление изолированно, вне его связей с окружающими явлениями, мы не можем обеспечить его полного и истинного понимания.

Мы видим, что понять — это значит истинно и полно отразить в сознании некоторый объективный процесс или факт реальной действительности.

В математике мы на каждом шагу имеем дело с абстракт-

иыми понятиями. Что значит «понять абстрактное суждение»? Абстрактное понятие — это понятие, полученное путем осознания наиболее общих и существенных черт ряда конкретных объектов путем отвлечения от их индивидуальных характеристик. Поэтому понимание абстракций — это осознание множества тех конкретных объектов, отвлечением от которых образована абстракция. Не зная же этих конкретных явлений — истоков абстракции, естественно, что мы не можем по-настоящему понять, в чем суть абстракции. Уже отсюда понятно, почему одно только формально-безупречное изложение абстрактных теорий учащемуся не может гарантировать ясности его представлений и понимания их сущности. Так, если студент не видит связи между абстракциями и их прообразами в реальной действительности (например, вследствие наличия чисто формальных определений), не видит хотя бы некоторых из этих прообразов, то и ясного понимания самих абстракций у него возникнуть не может. И только на высокой ступени математического развития человек (математик) способен видеть сразу за этими абстракциями их конкретные воплощения.

В отношении преподавания математики эти положения приводят к следующим выводам. Для правильного понимания математики учащийся должен видеть в ней отражение действительности. Это обусловлено тем, что все большие математические идеи и абстрактные теории имеют источником определенные проблемы практики, в большинстве случаев связанные с количественным изучением различных процессов действительности. Поэтому можно утверждать, что истинное и полное понимание абстрактных математических идей может быть достигнуто лишь на основе знания их происхождения, знания их источников в реальной действительности, в ее проблематике, которая в результате абстракции приводит к соответствующим математическим теориям. Знание связей этих теорий с близкими им математическими теориями, знание их приложений еще более углубляет их понимание. Особенное значение все сказанное приобретает в отношении изучения высшей математики, где почти все понятия возникают обычно в результате широкого обобщения и абстракции (функция, множество, группа и т. д.), связь которых с их прообразами в реальной действительности часто оказывается глубоко скрытой. Поэтому учащийся, изучающий различные математические теории только как формально-логические системы, не получит о них истинного, полного и глубокого представления даже как о чисто математических теориях, так как их истинные начала лежат не в них самих, а в явлениях реальной действительности. То же проявляется и в более простых случаях, когда мы выводим какую- нибудь формулу или доказываем теорему, начиная с фразы: «Рассмотрим выражение.», о происхождении которого заранее ничего не было сказано (например, при доказательстве теоремы

Лагранжа о конечном приращении без ссылки на геометрический смысл рассматриваемого выражения). И хотя после ряда преобразований мы получаем искомое утверждение, но такой вывод обычно не представляется учащемуся внутренне убедительным, так как он не раскрывает ему истоков доказываемого предложения.

Важно отметить, что этот философский подход к вопросам понимания полностью согласуется с чисто психологическим. Именно, можно утверждать, что сознательное усвоение абстракций невозможно без знания реальных истоков отвлеченных математических понятий. Действительно, если учащийся не видит реальных истоков математических понятий, то естественно, что абстракции от них представляются ему произвольными, случайными и надуманными. И это решительно препятствует их сознательному усвоению. Поэтому, чтобы хоть в какой-то мере запомнить формальный вывод (реальных истоков которого он не видит), учащийся должен довольствоваться заучиванием его наизусть или зубрежкой. Отсюда, в частности, видно, и практика обучения это подтверждает, что, как бы «обстоятельно» и «доступно» (т. е. полностью разъясняя все логические этапы) ни вести формально-логическое изложение курса, оно все равно не даст полного и глубокого понимания предмета и именно поэтому не будет по-настоящему доступным. Так, мы часто видим, что формальный вывод логически безупречен, но не убеждает студента. И наоборот, нестрогий вывод бывает убедителен. Этот кажущийся парадокс находит объяснение лишь в психологическом плане. Вывод убедителен для учащегося тогда, когда последний осознает его сущность, его связь со знакомыми ему явлениями, когда он чувствует необходимость этого вывода из всего предыдущего, часто совершенно независимо от его логической безупречности. В качестве примера достаточно сослаться на ту же теорему Лагранжа о конечном приращении или на теорему Ролля, где чертеж обычно убедительнее для учащегося любого формального вывода. В качестве другого примера достаточно указать на то, что как бы обстоятельно ни объяснять учащемуся свойства скалярного или векторного произведения, но до тех пор, пока учащийся не узнает, что примером скалярного произведения является хотя бы работа, а векторного — момент или скорость, его «понимание» этих произведений будет формальным и сведется к заучиванию. Более того, естественное недоумение: «Зачем придумали эти произведения?» — будет тормозить попытку даже механического заучивания. Очевидно, понимание того, что одна линия может в разных интервалах записываться различными уравнениями, будет только тогда по-настоящему глубоким и осознанным, когда учащийся узнает, что такое определение линий отражает реальное явление. Действительно, линия прогиба оси горизонтальной балки (од

ной балки), лежащей на двух опорах под действием сосредоточенных нагрузок, записывается различными уравнениями на различных интервалах между точками приложения сил.

Точно так же изучение, например, производной без обстоятельного разъяснения ее, так сказать, «физического смысла» и способов ее использования будет казаться надуманным и ненужным и, естественно, не будет плодотворным. Так же обстоит дело и с введением понятий, которые по виду не являются непосредственной абстракцией явлений действительности, например n-мерного вектора (упорядоченной совокупности п действительных чисел), пространства функций и т. д. И здесь формальное определение для его понимания должно быть подкреплено ссылкой на те уже известные абстракции (3-мерный вектор, обычное пространство), обобщением которых является новое понятие. Характерно, что в начале изучения такой «парадоксальной» науки, как геометрия Лобачевского, студенты задают вопрос: «Применяется ли она где-нибудь на практике?» и «Какие явления действительности она отражает?». И это не пустой интерес. Знание того, что эта геометрия отражает определенные явления действительности и тем самым нужна людям, внушает учащимся уверенность, что они изучают не «фантазии ученых», а нечто реальное и полезное.

Так же точно обстоит дело и с вопросами о том, «где применяется аналитическая геометрия или математический анализ». Я знаю, что если я отвечу студентам, что они изучают геометрию Лобачевского только для развития их ума, а аналитическая геометрия и математический анализ «непосредственно им мало нужны, а они изучают их для повышения их общей культуры» (что, кстати, было бы и вообще несправедливо), то это может снизить их интерес и успехи в этих науках. Более того, такой ответ часто оправдывал бы студента при встрече с трудностями. У студента возникала бы своеобразная защитная реакция: «Да, это мне трудно, но ведь это же мне и не нужно».

Поэтому я не жалею времени на объяснения, связанные с практической важностью этих наук, и в частности на объяснения, связанные с геометрической структурой мира в свете общей теории относительности Эйнштейна при изложении начал геометрии Лобачевского.

Органическая связь высшей математики с практикой в процессе преподавания еще и потому облегчает изучение высшей математики, что даже самые абстрактные и трудные вопросы курса, будучи связаны с их приложениями, получают в глазах учащихся определенную конкретизацию, которая делает их понятными и доступными.

Усвоение новых знаний. Остановимся теперь на процессе усвоения новых знаний. Философия учит, что человеческое сознание правильно отражает внешний мир. Благодаря этому

наука дает нам объективное представление о действительности и ее законах. Однако восприятие внешнего мира отдельным человеком есть достаточно сложный процесс. Разные люди воспринимают одни и те же явления часто совершенно различно и по-разному реагируют на них. Можно сказать, что человек воспринимает окружающие явления через посредство своего внутреннего мира, т. е. через призму своего жизненного опыта, через особенности своего мышления и своей личности.

Насколько сложен процесс восприятия внешнего мира, показывают уже такие элементарные факты, как понимание обычной человеческой речи. Так, смысл обычного бытового слова человек черпает не из его формального определения (которого нет), а из его использования в обыденной речи. И не удивительно, что во многих случаях люди в зависимости от воспитания, обучения, эрудиции вкладывают в одно и то же слово различное содержание. А это сейчас же отражается и на понимании чужой устной или письменной речи. Как часто докладчики, авторы статей, ученые или писатели встречаются с тем, что их, казалось бы, до предела ясно выраженные мысли (в их устных и письменных выступлениях) люди воспринимают совершенно по-разному и подчас совсем не так, как на это рассчитывали их авторы. Не говоря уже о том, что одну и ту же фразу люди могут понимать по-разному, само осознание человеком чужой мысли состоит прежде всего в ее ассоциации с его собственными представлениями. Когда человек что-то понял, что значит, что новые мысли вошли в контакт с его собственными, «уложились» среди них. Поэтому не удивительно, если слушатель или читатель часто воспринимает чужое слово с такой его стороны, которая почему-то близка его собственным представлениям или, наоборот, в наиболее нежелательной для него форме, если он почему-либо почувствовал намек на критику его взглядов.

Все сказанное относится и к обучению. Как показывает опыт преподавания, процесс усвоения новых знаний далеко не так гладок, как это может показаться. Новые знания не просто добавляются к старым, Чтобы быть понятыми, новые знания должны войти в тсаУый и органический контакт с уже освоенными представлениями. Только после этого новые знания становятся достоянием человека. Но на первых порах, как показывает практика обучения, новые знания сплошь и рядом входят во временные противоречия со старыми. Поэтому процесс обучения подчас полон острой борьбы между новым и старым в сознании учащегося. Новые представления порой искажаются старыми. В результате в процессе ассимиляции новых знаний в сознании учащегося часто возникают всевозможные перегТлетения старых и новых представлений, возникают различные ложные представления, мешающие фор

мированию новых понятий. И лишь постепенно выкристаллизовываются новые знания во всей их логической завершенности.

До недавнего времени в школе, в курсе геометрии, учащиеся имели дело с обычными отрезками. Когда их стали знакомить с понятием вектора- (изображаемого «направленным отрезком»), то долгое время, пользуясь векторами и зная их точные определения, учащиеся невольно, по старой памяти, приписывали им ряд свойств обычных отрезков.

В результате — смешение понятий: учащийся иногда понимает изображение вектора как направленный, а иногда по- старому, как ненаправленный отрезок. Например, учащиеся иногда говорят, что два вектора одинаковой длины, направленные вдоль сторон равнобочной трапеции от большего основания к меньшему, «равны» друг другу. И хотя учащиеся хорошо знают условия равенства векторов, но в этот момент они «забывают» их и идут по пути, по которому их ведут старые представления.

Учащимся из курса средней школы хорошо известно, что такое «кривая линия». Они ее представляют себе в виде гладкой, непрерывной линии, например окружности, эллипса, параболы или какого-нибудь знакомого графика, который они чертят на уроках алгебры. В вузе понятие «кривой» обобщается. Здесь в это понятие входят линии с разрывами, с изолированными точками, часто совсем не похожие на обычные и знакомые им кривые. И вот, как показывает опыт преподавания, нужно время, чтобы это новое понимание кривой было усвоено учащимися, чтобы, читая термин «кривая линия», студент представлял ее себе уже по-новому, в ее обобщенном виде, со всеми ее изломами и разрывами, а не по-старому, в виде гладкой кривой. То же самое можно сказать про понятие «функции», которая в школе чаще всего бывает непрерывной и задается уравнением, а в вузе может быть произвольной и задаваться несколькими уравнениями, либо с помощью предельного перехода, либо словесно и т. д.

Поэтому не удивительно, что при обучении у учащихся возникает множество всевозможных недоразумений, связанных с этой перестройкой мышления. Так, учащийся изучает теорему, где термин «функция» должен пониматься по-новому. Однако невольно, сам того не замечая, он представляет ее себе по-старому, гладкой и непрерывной. А в результате он никак не может понять смысла теоремы, которая в случае непрерывной функции становится тривиальной.

Уравнения в школе служат вначале для отыскания неизвестных. И главная задача здесь — их решение. В дальнейшем учащиеся приходят к пониманию того, что уравнение определяет кривую, поэтому уравнения далеко не всегда требуется решать. Однако желание «решать уравнение» пресле

дует иногда и студента вуза. Вот другой пример ассоциаций, которые возникают при столкновении новых понятий со старыми. Студент изучает в аналитической геометрии на плоскости уравнение окружности х²+у²=г². Но когда это же уравнение ему встречается в аналитической геометрии в пространстве, то он заявляет, что и здесь это уравнение тоже определяет окружность, хотя при этом он отлично знает, что одно уравнение F(x, у, г)=0 в пространстве определяет поверхность. Мы снова видим, как новые знания, накладываясь на старые, приводят к своеобразному смешению представлений. Можно указать на ряд трудностей, которые возникают на более высоких ступенях обучения. Так, в то время как в школе и на первом курсе вуза для учащегося существует в основном лишь евклидово пространство, в высшей школе ему может встретиться и проективное пространство, и векторное пространство, и пространство Лобачевского, и пространство Римана и многие другие. И во всех этих случаях новые знания, расширяя прежнее понимание терминов, в какой-то мере противоречат старым понятиям. Так, переходя от метрического пространства к проективному, мы отрицаем прежнее понимание пространства, а наше новое проективное пространство обобщает евклидово. При этом в проективной геометрии мы понимаем геометрическое тождество совсем иначе, чем в евклидовой. Если в последней геометрически тождественны две плоские фигуры, преобразующиеся друг в друга движением и подобием! то в проективной геометрии тождественны те фигуры, которые могут быть переведены друг в друга цепью проектирований. Таким образом, новое понятие геометрического тождества входит в конфликт со старым, которому оно противоречит. Переход от евклидовой геометрии к геометрии Лобачевского тоже связан с расширением и изменением понятий пространства, параллельности и многих других путем преодоления диалектических противоречий, возникающих в процессе развития науки. Хорошо известно, с какими трудностями связано усвоение геомет-г рии Лобачевского. При этом в основе трудностей лежит не столько новизна материала, сколько именно то, что этот материал явно противоречит наглядности и прежним, привычным представлениям. Таким образом, при освоении нового сознание учащегося не просто обогащается новыми представлениями, но обычно вынуждено существенным образом перестраивать уже укоренившиеся привычные представления.

Итак, противоречивость процесса познания лежит в самом существе познания, в его диалектике, в постепенном раскрытии закономерностей мира перед человеком. И поэтому эта противоречивость не может быть устранена никакой системой обучения, как бы она ни была хороша. Это опровергает обычное, но наивное представление о том, что каким материал изложен (в лекции или в учебнике), точно таким же он обяза

тельно и, так сказать, сам собою войдет в сознание учащегося. Так, учащиеся часто слышат от преподавателя или читают в учебнике одно, а понимают нечто совсем другое, так как, невольно подчиняясь уже укоренившимся представлениям, они на первых порах вкладывают в новые понятия то более широкое, то, наоборот, более узкое содержание, чем эти понятия имеют. Но так как новых понятий в каждом курсе обнаруживается десятки и сотни, то совершенно очевидно, что ошибочное и ложное понимание многих из них, и подчас важных, почти неизбежно. Отсюда следует, что правильного понимания предмета студент может достигнуть только после тщательных разъяснений преподавателя, устраняющих ложное понимание и направляющих мысль учащегося по правильному пути. Но при самостоятельном изучении предмета по книге, когда консультация в лучшем случае может носить только письменный характер, достаточно двух-трех подобных затруднений (а на самом деле их возникают десятки на первых же страницах книги), чтобы сделать книгу непреодолимой, а самостоятельное изучение предмета по книге попросту невозможным. Точное восприятие понятий, умение читать в учебнике только то, что в нем сказано, ничего не упуская и ничего не привнося из привычных представлений, требует высокого уровня мышления, которым обычно не обладают начинающие.

Остановимся на других примерах, показывающих, какие чисто психологические факторы могут влиять на усвоение предмета.

На первых ступенях школьного обучения главную трудность для учащегося представляют процессы абстрагирования и обобщения. На высших ступенях обучения, в высшей школе, все понятия (функция, кривая, производная, интеграл и другие) определяются и рассматриваются сразу в столь общем виде, что главную трудность представляет процесс конкретизации. Студент видит общую формулу, но не может себе представить достаточно полно множество ее конкретных воплощений. Более того, видя какое-нибудь конкретное ее воплощение, он часто не в состоянии узнать в нем частный случай известной ему общей формулы. Так, студент знает, что уравнение Ах+ + Ву + С=0 на плоскости определяет прямую, но иногда «не узнает» прямую, записанную в виде уравнения х=3. Короче говоря, умение конкретизировать абстракции, сводящееся к умению прочесть в формуле все, что в ней содержится, приобретается не сразу и связано с большими трудностями.

Ряд трудностей для изучающих высшую математику возникает оттого, что им приходится здесь встречаться с понятиями, имеющими совсем другой характер, чем понятия элементарной математики. Так, в школьном курсе учащийся имеет дело с величинами, каждая из которых обычно характеризуется одним числом (например, длина отрезка определяется

одним числом а, площадь треугольника определяется одним числом S). В ряде случаев школьникам приходится встречаться с такими понятиями, которые определяются двумя числами, например, точка определяется двумя координатами (х, у).

В высшей школе студенту приходится мыслить более сложными понятиями: классами объектов, иногда бесконечными. Так, плоскость определяется цепочкой отношений A:B:C:D коэффициентов уравнения. Три проекции (Л_ь Л₂, Л₃) вектора определяют бесчисленное множество равных векторов и т. д.

Студенты привыкают к этому мышлению множествами объектов с громадным трудом, делают массу ошибок, и задача преподавателя, желающего воспитать у учащихся это мышление, крайне ответственна. Привычки мышления, приобретенные в процессе обучения, прочно оседают в сознании, и с ними нелегко бороться. Они мешают ориентироваться в новой обстановке, выбирать наиболее целесообразные методы решения задач и т. д.

Процесс понимания таит в себе еще много неясного. Вот мы изложили материал, сделали все необходимые пояснения, но мы видим, что до учащихся они не дошли. Мы начинаем всячески варьировать наши объяснения — и вдруг лица наших слушателей проясняются, все становится на свое место — они поняли! Как мы этого добились? Часто трудно даже на это ответить. Может быть, здесь сыграло роль какое-то удачное слово, жест, подчеркивающий что-то такое, что студент упустил из вида, или замечание, разрушившее какую-то ложную ассоциацию!

Возможно, что у каждого человека в зависимости от его индивидуальных особенностей существуют какие-то свои механизмы мышления, которые должны быть приведены в действие, чтобы сделать для него материал внутренне убедительным и понятным. Как бы то ни было, но процесс усвоения зависит от многих еще неизвестных факторов. Знакомясь с последующим изложением, читатель не должен это упускать из вида.

Психолог и методист. Отметим некоторые стороны в подходе психологов к проблемам обучения.

Дело в том, что, изучая мышление человека, мыслительные операции, совершаемые учащимися в процессе их обучения, психологи тщательно расчленяют многие из тех понятий и операций, которые методисты понимают как «цельные». Психологи — ив этом все значение и ценность их работы — подразделяют сложную мысль на ее элементарные звенья. Методист говорит, что учащийся «думает», решая задачу. Но психологу этого мало. Психолог анализирует то, как именно «думает» учащийся. Вот учащийся читает условие задачи. Психолога

интересует, как учащийся это условие воспринимает. Что он делает дальше? О чем и как он думает? Каковы дальнейшие последовательные этапы его мысли на пути решения задачи? Какие и когда операции анализа и синтеза он применяет? И т. д. Короче говоря, методист часто пропускает такие процессы мышления, которые он считает «само собой разумеющимися», «элементарными» и т. д. и которые на самом деле требуют большой работы мысли учащегося. Но именно на них обращает свое внимание психолог.

Учитель в школе и преподаватель в вузе из ответов учащихся судят в основном о результатах их размышлений, поскольку, поставив перед учащимися вопрос (например, на экзамене), им дают сначала подумать, а потом требуют правильного ответа, а не отчета о том, как (путем ошибок?) они пришли к нему. Психолог же, поставив задачу, побуждает учащегося вслух ее решать и протоколирует все, что говорит учащийся. Он просматривает черновик, просит объяснить, как учащийся шел к решению задачи, какие делал попытки, от которых потом отказался, и т. д. В результате так поставленных экспериментов и их протоколов* психолог получает известное представление уже не только о результатах размышлений учащегося, но и в какой-то степени о самом процессе его мышления. А это раскрывает психологу сильные и слабые стороны мышления учащегося, следовательно, позволяет ему сделать определенные выводы о том, как направить мышление учащегося по правильному пути.

Мы не собирались здесь ни излагать определенных психологических теорий, ни освещать их роль в обучении. Мы хотели лишь на ряде примеров обратить внимание на значение психологии для разработки проблем обучения. Нам в дальнейшем понадобятся лишь самые общие понятия психологии.

Отметим здесь, что работы психологов по вопросам педагогической психологии в основном касаются школьного обучения.

Как мы уже говорили, почти все исследования психологов посвящены обучению в средней школе. Исследований же по вопросам обучения в высшей школе, к сожалению, очень мало.

Легкое и трудное в обучении. Современная методика не дает точных определений ряда педагогических и методических терминов, например таких, как «трудный» или «легкий» материал, «интересное» изложение и т. д. Те же определения, которые даются, часто бывают ошибочными. Так, весьма распространено определение трудности или легкости материала посредством математического термина «длина». С этой точки

* Конечно, каждому отдельному протоколу полностью трудно доверять, но в массе они дают правильную картину.

зрения считают, что, чем вывод короче, тем он якобы легче, а длинный вывод труден. Однако практика преподавания решительно опровергает такие определения. Иногда краткое решение математической задачи требует длительного времени и большого труда на его отыскание. И наоборот, длинное доказательство какой-нибудь теоремы находится учащимися сразу и усваивается легко. В качестве общего примера достаточно напомнить, насколько легче решают школьники алгебраические задачи с длинными, но стандартными выкладками, которые выполняются по готовым правилам, чем задачи на построение, где всегда требуется известное творческое мышление, часто даже в том случае, когда надо догадаться провести какую-нибудь одну вспомогательную линию.

Таким образом, трудность или легкость материала определяется не его размерами, не числом формул или логических шагов, а тем, сколько самостоятельного (творческого) умственного труда должен затратить учащийся для его усвоения или для решения задачи, и тем, какие эмоции этот материал в нем возбуждает. Действительно, быстрота и прочность усвоения предмета или легкость решения задачи в значительной мере зависят от того, с интересом ли учащийся решает задачу или нет, хочет ли он усвоить предмет или равнодушен к нему и только мечтает поскорее с ним развязаться.

Поэтому такие важнейшие понятия методики, как «легкое» или «трудное» изложение, «простая» или «сложная» задача, «интересный» материал, «доступный учебник» и многие другие, должны определяться не в математических, а в психологических и педагогических терминах. С точки зрения мышления учащегося, понятия «легкости» или «трудности» материала можно определить так. Легким в обучении является то, что идет в русле привычных представлений учащегося, расширяет их. Наоборот, то, что, в какой-то мере им противоречит (хотя бы в представлении учащегося), ломает их, не вытекает из них, представляется учащимся трудным, так как требует дополнительных умственных усилий для усвоения. Привычные же представления создаются жизненным опытом учащегося и предшествующим обучением.

На этой основе мы получаем возможность научного предвидения в методике. Так, планируя изложение предмета, мы должны учитывать не только длины выводов и не только то, что учащийся к этому моменту знает или должен знать (как это делается сейчас), но и умственную работу, необходимую для усвоения нового, а также постоянную смену и развитие представлений учащихся. Мы должны учитывать, как учащийся мыслит, что он помнит, какие способы рассуждений являются для него привычными и какие будут новыми, что ему нравится и т. д. Так, приступая к изучению аналитической геометрии на плоскости, студент, как мы уже говорили, вы- 24

нужден перестраивать некоторые из своих представлений. Уравнения, которые в школе обычно служили для отыскания неизвестных, здесь определяют кривые. И это вызывает много затруднений. Далее студент, изучавший аналитическую геометрию на плоскости, испытывает трудности, переходя к аналитической геометрии в пространстве, где часто уже знакомые ему формулы (например, Ах+Ву+ С—0) приобретают совершенно новый смысл, а это снова приводит к ломке старых представлений. Но это значит, что мы должны обратить особое внимание на изложение таких мест курса.

Вопрос о структуре курса с точки зрения его доступности или трудности тоже должен решаться на психолого-педагогической основе. Как, например, надо изучать аналитическую геометрию — сначала на плоскости, а потом в пространстве или оба раздела параллельно? Из самой аналитической геометрии ответ на этот вопрос заведомо не вытекает, так как и то и другое изложение можно провести одинаково строго и логично. Решение вопроса можно получить лишь из анализа представлений и мышления учащихся, из выяснения того, какое изложение учащийся скорее и лучше усвоит. Вряд ли сейчас мы имеем точные данные для решения этого вопроса. Другой пример. Сейчас делаются попытки ввести как можно раньше использование уравнений в арифметике. До сих пор считалось, что решение арифметических задач должно подготовить школьника к манипулированию числами, чтобы потом облегчить составление уравнений. Но, по-видимому, с точки зрения процессов мышления дело должно обстоять наоборот. Составление уравнения требует, так сказать, статического процесса — фиксации соотношений между величинами и их записи. Далее дело идет по шаблонным алгоритмам алгебры. Решение же задач арифметическим путем требует динамики получения из одних величин других без применения готовых правил. А это труднее. Итак, по-видимому, алгебра в каких-то пределах должна идти впереди арифметики.

Надо еще раз решительно подчеркнуть, что всякие попытки педагогической оценки математического материала исходя из самой математики заведомо обречены на провал и способны только дискредитировать методику. Они всегда будут носить произвольный характер, так как в самих выводах и доказательствах теорем не содержится никаких указаний на то, «легкие» они или «трудные» и как их будут усваивать студенты.

Анализ ошибок. Важная педагогическая проблема возникает в связи с ошибками. В отношении ошибок противники психологии настроены особенно непримиримо. Иные из них говорят: «Зачем вы возитесь с психологией и педагогикой? Все это лишнее! Если человек не сумел доказать теоремы, значит, он ее не знает. Если школьник пишет а³-а⁸=а²⁴, то он не знает действий с показателями. Пусть посидит и выучит, а когда

будет знать, он все сделает верно. А сейчас он просто этого не знает, вот и все! И психология тут ни при чем!»

Все эти рассуждения — сплошное недоразумение. Никто не отрицает, что если человек не доказал теоремы или не сумел справиться с показателями, то он их не знает. И психология вовсе не собирается оправдывать незнание. Поэтому если бы задача педагога заключалась только в том, чтобы установить ошибку, то разговор на этом можно было бы закончить. Однако у педагога есть более важные задачи: 1) научить учащегося, помочь ему исправить свою ошибку и 2) попытаться в следующий раз так изложить материал, чтобы новый учащийся не ошибался. Но для этого есть только один путь, а именно — путь психологического анализа ошибок. Надо понять ход мысли учащегося. Методист-психолог должен знать, почему учащийся ошибся и почему он допустил именно эту ошибку, а не какую-нибудь другую. На какой стадии она допущена? И тут возникает много возможностей, и каждая влечет за собой свой вид помощи. Так, ошибка с показателями могла возникнуть по разным причинам. Например, учащийся:

1) совсем не слышал объяснений этого вопроса (пропустил урок) и не понял учебника;

2) слышал объяснение, но не понял его, т. е. не осознал, что а³• а³—(ааа) (аааааааа) =а^Х1.

3) слышал объяснение, понял его, но не запомнил;

4) понял объяснение, запомнил его, но все-таки сделал ошибку от поспешности, по инерции, поскольку надо было выполнить действие умножения.

И помощь учителя в этих случаях (когда он знает, в чем дело!) будет различной. В последнем случае достаточно трех слов: «Не торопись! Подумай». В предпоследнем случае надо намеком напомнить суть дела, а в первых двух случаях — рассказать все подробно и потом отослать к учебнику.

Неумение доказывать теорему может объясняться тоже разными причинами. Учащийся мог не понять формулировки теоремы, ее смысла, ее цели. Он мог спутать ее с похожей теоремой, мог понять часть теоремы, но какое-то место могло его остановить. Он мог понять все детали, но не уловить общей идеи, лежащей в основе целого доказательства. Он мог и просто не запомнить длинного доказательства. Он мог не разобрать готовый чертеж. Он мог не суметь сделать чертеж, если его не было. А может быть, какие-то посторонние представления отвлекли его мышление на ложный путь. Выяснив, в чем заключались трудности, нам легче будет помочь учащемуся. Вот пример. Студент не усвоил доказательства распределительного закона векторного умножения. Причин для этого может быть много (черт. 1).

А) Студент не знает, зачем нужно векторное произведение, это вообще тормозит понимание.

В) Он не понял содержания самой теоремы, что требуется доказать.

С) Ему неясно, зачем надо в процессе доказательства проектировать фигуру на плоскость, перпендикулярную одному из векторов-сомножителей.

D) Ему неясно, зачем надо поворачивать фигуру после проектирования на 90°.

Е) Ему неясно, что доказательством будет тот факт, что в результате всех операций, выполняемых в процессе доказательства этой теоремы, треугольник (или параллелограмм) (параллелограмм).

Если дело касается усвоения

Черт. 1 переходит снова в треугольник целого раздела, то могло слу

читься, что:

А) Студент не мог усвоить раздела просто потому, что ему не ясен смысл раздела в целом: зачем он нужен, что он дает?

В) Студент не понял каких-то отдельных доказательств и только это мешает ему понять все в целом. Или он не видит связи между отдельными теоремами.

С) Он не разобрался в чертежах.

D) Ему мешают какие-то ассоциации со старым материалом, в чем-то похожим на новый. Он не видит разницы в проблемах,

но видит непонятную разницу в их решении и т. д.

Е) Он что-то забыл из предыдущего, и достаточно только это вспомнить, чтобы овладеть материалом.

Важно подчеркнуть, что учащийся может десять раз прочесть непонятный материал, и это не принесет ему пользы, если он не знает, что ему непонятно, на что надо обратить внимание, что еще раз продумать и т. д. Зная же точно, где источник ошибки, ее всегда можно исправить.

Таким образом, мы снова приходим к выводу: в основе методов обучения должен лежать психологический анализ процесса усвоения, т. е. анализ того, как учащийся мыслит. Психологический анализ позволяет проникнуть в самый процесс познания, видеть его стадии, а не просто судить «знает» или «не знает»! Важно осознать, что понимание — это не отдельный акт, а процесс, очень сложный и длительный. Учащийся постепенно проникает в суть дела, его представления постепенно принимают правильную форму.

Не нужно проявленное здесь внимание к психологии понимать как выступление против логики или в ущерб ей. Наобо-

Черт. 2

рот, мы обращаемся к психологии именно для того, чтобы помочь осознать логику науки. Никто не говорит: «Не рассуждайте, логично!» Но надо сказать преподавателю: «Излагая, не забывайте, что есть нечто не менее важное, чем формальная логика,— это психика учащегося в целом. У нее свои законы». Понимание

зависит от того психологического фундамента, на котором возводится логическая конструкция. Образно можно сказать: логи

ка изложения науки доходит до сознания через психологию.

Таким образом, обращение к психологии преследует в методике только одну цель — помочь найти те пути, которые облегчат проникновение логики математической науки в сознание учащегося.

Два примера. С первого взгляда может показаться, что место этих примеров (особенно второго) скорее в сборнике анекдотов, чем в книге по педагогике. Между тем, они отражают очень важные факты. Они показывают, от каких совершенно неожиданных и подчас мелких случайностей может зависеть мышление человека. А отсюда вывод: надо, чтобы эти «мелочи» и «случайности» были найдены, учтены и служили бы на пользу обучению, а не против него.

Один инженер, преподававший теоретическую механику в вузе, рассказывал: «Будучи студентом вуза, я изучал аналитическую геометрию и математический анализ и, собственно

говоря, как-то не знал и не понимал, зачем эта высшая математика мне, как инженеру, нужна? И понял я это только случайно, в самом конце своего студенчества. Я готовил дипломный проект. В процессе работы над ним мне надо было выполнить построение (черт. 2): через точку М пересечения двух прямых (а) и (Ь) провести новую прямую т под данным углом а к некоторой, уже начерченной прямой (с). Но тут со мной случилось несчастье: две мои прямые (а) и (Ь), определявшие точку М, пересекались далеко за пределами моего чертежного листа. Что делать? Неужели менять все масштабы и перечерчивать заново? Мне посоветовали: введите систему координат! Снимите с чертежа координаты точек, определяющих прямые (а) и (Ь), составьте уравнение этих прямых, совместным решением их найдите координаты точки М, составьте уравнение искомой прямой и постройте по уравнению ту ее часть, которая расположится в пределах вашего чертежа. Я так и сделал, и все получилось как нельзя лучше. Вот тут-то я

впервые и понял, что, оказывается, и высшая математика на что-то годится. И значит, учил я ее недаром!»*

Этот рассказ очень характерен. Он показывает, как человек воспринимает окружающий его мир. Ведь этот инженер, будучи студентом, изучал и сдавал не только высшую математику, но и физику, и теоретическую механику, и сопротивление материалов, и электротехнику и еще многие другие предметы, где без высшей математики явно нельзя было ступить ни шагу. Ведь должен же был он, человек, явно способный и вдумчивый, понять, что высшая математика была ему нужна для его инженерного дела. Да, все это так. И тем не менее, все это как-то проходило мимо его сознания, не проникая в глубину. А тут, когда это коснулось его лично, когда эта высшая математика «выручила» его, а не просто была тягостным грузом для сдачи на экзамене, вот тогда-то ее роль, как говорят студенты, «дошла до него» в полном объеме и осветила ему, как молнией, все то, что он не видел раньше. И ясно, что наше преподавание в вузе в какой-то мере должно учитывать факты, подобные этому.

Второй пример также обнаруживает решающую роль чисто психологических факторов. Один человек усердно читал газеты и книги на французском языке и в результате набрал довольно приличный запас слов, однако никак не мог его мобилизовать, т. е. не мог самостоятельно составить ни одной, даже самой простой фразы. Однажды он пожаловался на это своему приятелю, хорошо владеющему языком: «Я знаю столько слов, а встречусь с французом — не сумею составить ни одной даже самой простой фразы».

«Ничего нет проще,— ответил тот.— Пусть мы находимся во Франции и хотим узнать, где помещается, скажем, музей X. Мы остановили прохожего и спросили у него: «Ой se trouve.?» («Где находится.?»)» — В это время их прервали, кто-то вошел в комнату, фраза осталась незаконченной, а общий разговор перешел на другую тему. Но на моего знакомого (как он мне потом рассказывал) эти три французских слова произвели ошеломляющее впечатление. Он вдруг понял, что эти нужные для разговора слова- возникают совсем просто и естественно, а соединить их во фразу — и того проще. И с тех пор без всяких затруднений он научился составлять множество тех простых фраз, которые только и нужны, чтобы объясняться с иностранцами, и которые раньше ни при каких условиях ему не давались.

Невольно хочется спросить себя: как много подобных случаев мы используем в интересах преподавания и сколько упускаем?

* Инженер решает эту задачу, не прибегая к аналитической геометрии. Этот рассказ приведен как пример очень характерного и действительно бывшего случая.

Об общей культуре. Несомненно, что общая культура человека играет положительную роль в любой его специальной деятельности. Но поставим более точный вопрос: в чем конкретно сказывается роль общей культуры при усвоении математики?

Этот вопрос тем более законен, что вполне естественной была бы и такая точка зрения. Для того чтобы на основании одних теорем вывести другие или открыть новую формулу, по- видимому, важнее обладать математическими способностями, чем общей культурой. Подчеркнув, что мы поставили вопрос об усвоении математики, а не о математическом творчестве, и оставив в стороне вопрос о математических способностях, попытаемся все же ответить на поставленный вопрос о культуре.

Стремления к знаниям и разносторонности, по-видимому, надо считать в какой-то мере заложенными уже в природе человека и в условиях его жизни.

Но если развитие ума вызывает рост умственных потребностей человека, то и наоборот, удовлетворение этих потребностей, знакомство человека с разными сторонами жизни ведет к повышению качества его умственной деятельности, к лучшей ориентировке человека в окружающем его мире и в его работе. Общая культура и широкое образование приучают к размышлению над различными вопросами, знакомят с различными способами мышления, воспитывают гибкость ума. Они приучают к разносторонности, к восприятию различных, а часто новых, необычных идей в различных областях знания. Они доставляют богатые возможности для сравнения закономерностей своей области знания с другими областями, а это содействует более глубокому их пониманию и переносу знаний и умений человека из одной области в другую.

Какую же роль играет общая культура в усвоении математики? Не рассматривая всех аспектов этого большого вопроса, отметим лишь одну его сторону: общая культура играет, несомненно, огромную положительную роль в усвоении новых и особенно неожиданных идей.

Дело в том, что при изучении современной математики очень часто приходится быстро овладевать идеями, которые представляются совершенно необычными с точки зрения школьной элементарной или классической математики и подчас как будто даже противоречат здравому смыслу.

Такие необычные идеи связаны, например, с геометрией Лобачевского, с интерпретациями, используемыми для доказательства непротиворечивости и независимости аксиом, с вопросами о множественности интерпретаций. К такому же кругу вопросов принадлежат многие идеи математической логики, теории информации, теории игр и многих других областей современной математики и кибернетики. И всюду здесь для быст

роты и успешности восприятия и усвоения этого необычного и неожиданного материала, как показывает педагогический опыт, решающую роль играет общая культура человека и воспитываемая ею разносторонность и гибкость его ума.

Более того, геометрия Лобачевского сама по себе играет в этом смысле огромную культурную роль в математике. Может быть, не так важны (с педагогической точки зрения) сами ее теоремы, как то, что учащийся видит здесь, что многие с виду «нелепые», противоречащие наглядности и здравому смыслу факты на самом деле логически безупречны. В этом смысле геометрия Лобачевского раскрепощает человеческую мысль, готовя ее к освоению новых и необычных идей самой математики, физики, астрономии и других наук, где нас, по словам Нильса Бора, ждут «достаточно сумасшедшие теории». Итак, со всех точек зрения математик, а в особенности математик-педагог, не должен замыкаться в тесном кругу своей узкой специальности. Слишком узкая сосредоточенность сужает его кругозор и возможности восприятия нового.

В заключение этой главы подчеркнем то, что, вероятно, уже заметил читатель. Мы не ставили здесь себе цели систематического изложения определенных вопросов психологии или педагогики. Мы лишь хотели путем отдельных замечаний и примеров обратить внимание на те проблемы этих наук, над которыми необходимо подумать, размышляя над вопросами преподавания в высшей школе.

Глава П

ПЕДАГОГИКА ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Предмет методики математики. Педагогические науки обладают одной очень невыгодной особенностью: многие из их основных и важнейших положений представляются «тривиальными». Впрочем, в этом нет ничего удивительного, так как здесь идет речь об исходных положениях. А за таковые в науке принимаются наиболее очевидные. Так, в геометрии в качестве аксиом принимают не менее «тривиальные» истины, что две точки определяют прямую, а три точки, не лежащие на одной прямой,— плоскость. Но никто против этого не возражает, так как все знают, что исходить из чего- то надо, а из этих «тривиальных» истин следуют истины не тривиальные — теорема Пифагора и другие.

Иногда педагогике ставят в упрек, что она не всегда дает готовые способы для решения различных воспитательных или учебных проблем, заставляя педагога часто искать их решения интуитивно. Это верно. Но все эти проблемы всегда содержат в себе элемент нешаблонных ситуаций, поэтому и требуют к себе творческого подхода. Но ведь и в математике дело обстоит так же. Наши лекции и учебники по математике учат применению определенных методов в определенных условиях. Но они очень мало учат тому, как «открывать» новые теоремы, т. е. творчеству.

Из предыдущей главы мы должны сделать вывод, что педагогика обучения — это прежде всего наука о наиболее точной и совершенной форме умственной работы, это наука об умственном труде при усвоении наук. Поэтому в решении проблем обучения на основе данных психологии и педагогики состоит предмет методики и ее специфика как самостоятельной науки.

(Сделаем следующее терминологическое замечание. Обычно принято науку об обучении какому-нибудь предмету именовать методикой этого предмета, например методика математики. Однако ввиду широты тех проблем, которые ставятся и решаются методикой, необходимости их обоснования психологией и общей педагогикой было бы целесообразно говорить не о «методике математики», а о «педагогике математики». Поскольку в настоящее время употребляются оба термина, мы не будем делать между ними различия.)

Что касается методики математики, то можно сказать, что наука методика математики имеет дело с наукой математикой и науками психологией и педагогикой. И ставит себе целью создать учебный предмет — «математику» (в вузе, в школе) и обеспечить его усвоение. В связи с последней фразой подчеркнем, что мы должны самым решительным образом различать науку и учебный предмет, даже в вузе.

Учебный предмет — это прежде всего искусственно созданная и организованная по определенному принципу система научных фактов и теорий со специально подобранными примерами и упражнениями. Эта система создается под влиянием требований практики, исходя из определенных педагогических взглядов, и имеет целью ознакомление учащиеся с научными фактами и теориями.

Из этих достаточно общеизвестных истин следуют важные и не всегда очевидные выводы.

Так, учебный предмет не стремится изложить возможно больше фактов, начиная с исходных, а охватывает лишь те немногие из них и под таким углом зрения, которые отвечают его целям. Далее, учебный предмет не обязан укладываться в рамки одной науки, если его программа требует выхода в области смежных наук. Высказанная точка зрения делает беспредметными частые разговоры о том, что «учебный предмет отстает от науки», «противоречит науке» и т. д. Учебный предмет вовсе не ставит себе целью «повторять» или «догонять» науку. Он принимает то освещение фактов, которое вытекает из уровня современной науки, из требований профиля учебного заведения, из требований преподавания, и учитывает знания и образ мышления учащихся.

Итак, если жизнь ставит перед высшей школой задачу обучения математике и определяет объем материала, подлежащий изучению, то создание способов обучения должно основываться на данных умственной деятельности учащихся. Этот подход к методике с особенной остротой подчеркивает, что методика математики не «дополнение», не «привесок» к математике, а самостоятельная наука с ее собственными исходными положениями, закономерностями и методами исследования.

В этом смысле можно сказать, что педагогика математики объединяет в себе наиболее полярные тенденции. Действительно, математик говорит о фигурах и величинах, а ^методика подходит к ним с человеческой точки зрения. Ее цель сделать так, чтобы эти фигуры и величины нравились учащемуся, интересовали и увлекали его, так как тогда он будет успешнее изучать их. Необходимость в методике обучения как самостоятельной отрасли знания возникает именно потому, что решение важнейших вопросов методики не вытекает из одной математики как науки. Точнее говоря, логика самой математики дает столь общие указания о способах изучения математики, что только

на их основе не может быть решена ни одна конкретная задача методики. Сказанное надо понимать правильно. Никакие ссылки на психологию не могут обосновать искажения математики. Но там, где логика науки может освещаться учащемуся по-разному, там данные психологии вступают в свои права.

Надо решительно отвергнуть представление о том, что методика существует лишь для неспособных, а способным она не нужна. Наша цель обеспечить получение максимальных знаний и развитие мышления в минимальное время. Мы должны и можем помочь как слабому, так и самому талантливому успешнее овладеть знаниями. Но методы обучения будут в этих случаях, конечно, различными.

Бывает, что студент, слабый по математике, дает превосходные уроки на педагогической практике. Это вызывает недоверие. Мне приходилось слышать удивленные возгласы и математиков, и методистов: «Зачем же мы учим тогда математике, если, не зная ее, можно давать хорошие уроки?» В этом рассуждении можно найти все, кроме логики. Во-первых, студент, дающий урок, обычно знает то, о чем он говорит на уроке (иначе его урок не был бы хорошим). Во-вторых, это еще раз подтверждает то, о чем мы здесь все время говорили: математика не методика, а методика не математика. Если студент хорошо знает математику (все ему в ней кажется простым), но плохо понимает психику школьника, то вряд ли он будет хорошим педагогом. Другой случай. Студент слаб в математике, но умеет обстоятельно и хорошо изложить известный ему материал. Он понимает, что способно затруднить школьника, и поэтому терпелив в объяснении. Из него выйдет неплохой педагог. Но у него не хватит математической культуры, чтобы работать сверх программы с отличниками старших классов.

Мы стараемся учить как можно лучше и математике, и методике. Но каким выйдет будущий специалист, в огромной степени зависит от его знаний и способностей, qt его ума и его характера. И если его педагогические умения окажутся выше математических, то в этом не будет ничего удивительного. Однако делать отсюда вывод, что мы напрасно учим математике, странно.

Можно долго спорить о том, как много может дать сейчас методика в смысле обоснованного решения стоящих перед ней задач. Но не надо забывать, что перед психологическими и педагогическими науками стоят труднейшие задачи. Эти науки занимаются изучением деятельности самого совершенного и сложного инструмента природы — человеческого мозга. Точное познание работы мозга требует знания его физиологии, химических и электродинамических процессов, протекающих в нем, знания целого ряда биологических закономерностей его работы.

Поэтому достижения методики во многом зависят от уровня таких наук, как физиология, психология, педагогика.

Однако методика развивается как самостоятельная наука. Там, где названные выше науки не могут предложить своих убедительных выводов, там методика должна использовать свои методы (быть может, в этих условиях менее точные) для получения интересующих ее результатов. Однако надо решительно отклонить предложения тех методистов-математиков, которые считают, что если психология не дает сейчас достаточно данных для решения методических проблем, то якобы их решения надо искать в математике. Эти предложения ошибочны потому, что ни в одной математической теории не содержится никаких указаний на то, как эту теорию излагать в таком-то классе школы или на таком-то курсе вуза. Поэтому обращаться к математике, когда данных психологии недостаточно, это все равно, что искать жизнеописания животного в ботанике, если в зоологии о нем ничего неизвестно!

Методика нуждается сейчас в доводах психологии, в строго обоснованной системе знаний. Но на первых порах большую пользу принесет даже конкретное и неуклонное использование наиболее простых и общих закономерностей психологии, связанных с такими требованиями к обучению, как «сознательность усвоения», «интерес к делу», «доступность», «наглядность» и т. д. Эти вопросы более подробно мы рассмотрим в главе IV.

Иногда говорят: «Не преувеличивайте значения психологии для обучения». Но это звучит примерно так: «Не преувеличивайте значения воздуха для дыхания человека».

После этих общих соображений о методике коснемся вопросов, относящихся к методике высшей математики в вузе.

Методика в высшей школе. С сожалением приходится признать, что педагогики высшего образования (по математике) у нас по существу нет. Существует мнение, что ее и не должно быть, так как последовательно и логично излагать курс должен уметь любой лектор.

Как видно, это мнение состоит в том, что главное — хорошо знать математику и уметь логично изложить ее, остальное — дело студента. В этих условиях считается, что если студент отвечает на экзамене неудачно, то виноват в основном только он. Преподавание дало ему все, что оно могло дать.

На самом деле все обстоит гораздо сложнее. Всем известно, что можно хорошо знать математику и неудачно ее преподавать. В чем здесь дело? В таланте лектора или преподавателя? Есть ли какие-то «законы удачного преподавания» в высшей школе?

Мы считаем себя вправе усомниться в том, что в неудаче на экзамене всегда виноват только студент. А не виновато ли в чем-то и наше преподавание?

В этой главе мы попытаемся остановиться на общих проблемах педагогики вузовского обучения, в последующих главах — на их воплощении в жизнь.

Выше мы говорили о тех данных, на основе которых надо искать решения методических проблем. В задачи вузовской педагогики математики входит определение содержания учебных курсов по каждой данной дисциплине, составление программ, выяснение материала, который войдет в специальные и факультативные курсы, в курсовые работы: педагогика должна изыскивать наиболее целесообразные формы обучения, в частности лекций, семинарских занятий и т. д.; в ее задачи входит определение структуры учебников, учебных пособий и задачников. Педагогику должна интересовать постановка заочного и вечернего образования.

По всем наукам — по математике, физике, химии, биологии, медицине — выходит много монографий, печатается множество статей в журналах. Проблемы педагогики математики в вузе требуют фундаментальных исследований, обсуждения в печати, а изложение их результатов может потребовать издания монографий. Сейчас таких монографий почти нет*.

Между тем, рост высшего образования в нашей стране и его массовость с особенной, остротой ставят на первый план вопросы рациональной постановки высшего образования. Мы должны помнить, что много молодежи, преподающей в вузах, нуждается в квалифицированной помощи. При рациональной постановке обучения мы при меньшей затрате сил и средств могли бы достичь больших успехов, в значительно более короткие сроки. Вот почему нам нужна наука об обучении наукам, в данном случае нам нужна научно обоснованная методика преподавания математики.

Для правильного решения задач методики, которые мы формулировали выше, необходимо решение двух методических проблем.

Первая проблема — это проблема концепции. Хорошо известно, что может быть очень много различных, логически безупречных изложений данной научной дисциплины. Поэтому поставленная проблема заключается в исследовании того, что является важнейшим в науке в данный момент, что надо излагать в данном вузе. Как сформировать из этого учебный предмет? Какую исходную концепцию принять? С какой точки зрения вести изложение отдельных частей курса? И т. д.

Вторая проблема, чисто педагогическая, как все это излагать. Конечно, обе проблемы должны решаться одновременно.

• Мне известна лишь монография А. С. Савелова «Математика в высшей технической школе» («Труды трансп. института в Новосибирске», вып. 19, 1959).

Если мы хотим, чтобы наше преподавание носило в какой- то мере объективный характер, то именно эти две проблемы не могут решаться каждым ученым только по своему усмотрению. Действительно, на вопрос, что именно в данное время является в данной науке важнейшим, разные научные школы Ътвечают по-разному. Каждый ученый, преданный своей научной работе, всегда считает важнейшим то (и это вполне естественно), над чем он работает сам. Поэтому не каждый, даже большой ученый в состоянии достаточно широким и объективным взглядом окинуть науку и оценить ее проблемы. Более того, каждое поколение, решая новые проблемы науки, по-новому оценивает и старые теории. Решение проблем преподавания требует не только сопоставления различных теорий и точек зрения внутри данной науки, но и учета их связи с соседними областями знания, знакомство с их приложениями и т. д.

Решение научной проблемы концепции сейчас же переплетается с ее психологической стороной, с вопросом о том, какая из концепций, возможных с научной точки зрения, скорее дойдет до студента и прочнее будет им освоена. И несомненно, что тот подход будет лучше освоен студентом, который отвечает естественному ходу его мысли. Последний же определяется уровнем его знаний, предшествующей подготовкой, привычной структурой рассуждений и т. д. При этом не следует забывать той тривиальной истины (именно поэтому ее часто забывают), что студент, только еще изучающий предмет, не имеющий большого кругозора, не овладевший еще в достаточной мере умением формулировать свои мысли на языке математики, мыслит совсем не так, как ученый, сам творчески работающий в ней и обладающий широким кругозором в смежных областях знания. К этому следует добавить, что этот ученый получил свои знания в другую эпоху (лет на 10—50 раньше), исходя из другого уровня знаний и других концепций. Поэтому не удивительно, что естественный ход мысли студента может не совпадать с ходом мысли ученого.

Отсюда следует, что тот подход к новому разделу курса, который ученый считает наиболее естественным для себя, часто не будет таковым для его студентов. И только тщательное изучение мышления студента может помочь лектору или автору учебника найти наиболее эффективный путь изложения.

Короче говоря, та концепция будет наиболее полноценной, которая учитывает особенности психики студента. Поэтому, начав изложение с наиболее приемлемой для студента научной концепции, потом, если нужно, нетрудно будет развить и остальные. Эти соображения играют особенно важную роль при изложении «необычных» теорий: теории относительности, квантовой механики, геометрии Лобачевского и других, где удачный подход к теме («с чего начать»), может быть, даже важнее

умелого ее изложения. Даже одну и ту же лекцию или один и тот же учебник разный состав студентов воспринимает по- разному. Если учащийся пришел в вуз прямо из школы или до того работал электромонтером или лаборантом по химии, то он будет, хотя бы в начале курса, усваивать электротехнику или химию по-разному. Преподавая математику, мы стремимся связать ее с жизнью, с практикой, с профессией учащегося, повысить его общую культуру. Но как это сделать? Ясно, что на этот вопрос логика самой науки не отвечает хотя бы потому, что для одного и того же раздела науки эти связи могут быть весьма многообразными и меняться в зависимости от возраста, знаний, будущей или настоящей профессии учащегося и т. д.

Таким образом, при построении своего курса лектор решает целый ряд психологических вопросов: что в его изложении будет трудным, а что легким? Что скорее и что лучше усвоит студент? Чем его можно заинтересовать и что он, таким образом, лучше запомнит? Более того, даже составители программ должны учитывать эти психологические данные. Они должны уметь оценить, посильна ли данная программа студенту, сумеет ли он ее усвоить в заданный срок и т. д. В настоящее время мы, по-видимому, не имеем обоснованных данных по многим из этих вопросов.

Вот пример, иллюстрирующий выбор концепции курса. Известно, что даже по одной и той же программе курс может быть изложен по-разному. Выбор между этими изложениями не вытекает из одной математики и не определяется только математической квалификацией лектора. Этот выбор должен быть им сделан на психологической основе. Так, современный геометрический курс, согласно существующим взглядам, должен начинаться с формулировок аксиом и других исходных предпосылок и дальше последовательно и строго развивать изложение материала. Однако в своем курсе Н. А. Глаголев («Проективная геометрия», изд. 2. «Высшая школа», 1963) излагает предмет в полном противоречии с этим установившимся порядком. И надо думать, поступает вполне правильно. Он определяет предмет проективной геометрии как изучение свойств геометрических образов, сохраняющихся при проективных преобразованиях, в частности при всех центральных проектированиях в евклидовом пространстве. После этого он рассматривает важнейшие положения курса и лишь в конце в качестве приложения излагает аксиоматику и ее ближайшие следствия. Почему автор так поступил? Следовала ли такая структура курса из теорем проективной геометрии? Ни в коем случае. Но автор как педагог понимал, что именно принятый им порядок изложения позволит учащемуся скорее и глубже осознать существо проективной геометрии, между тем как аксиоматическое изложение, будучи безупречно строгим, вовлечет

студента в дебри формальных построений, которые в данном случае надолго скроют от него самое существо дела.

Конечно, не следует думать, что выбор материала для изучения всегда обусловлен только психологическими соображениями. Так, в курсе проективной геометрии определение проективности по Штаудту предпочтительнее, чем по Штейнеру, по чисто математическим основаниям, так как оно не прибегает к непроективным понятиям. Однако если требуется определение с меньшим числом рассуждений, дающее тот же результат, то (тоже по чисто математическим причинам) предпочтительнее второе определение, так как, используя числовые соотношения, оно автоматически учитывает непрерывность числового множества. Как бы то ни было, но мы приходим к выводу, что педагогическая обработка фактов науки для их изложения далеко не сводится к приведению их в стройную логическую систему. Поэтому решение педагогических вопросов в вузе требует от преподавателя вуза не только глубины знаний в своей области, но и ориентировки в соседних областях науки, в ее истории, иногда в философских вопросах, в известной доле предвидения и умения понять психику учащегося. Мы видим, что творческая работа в науке и преподавание науки — это совершенно различные области труда ученого, а методы преподавания далеко не определяются содержанием преподаваемой науки. Поэтому даже самая высокая квалификация ученого в его области сама по себе не может гарантировать высокого качества методики его преподавания.

Всякий истинный ученый ценит методику, так как понимает, что она помогает нести его научные идеи в массы. Поэтому он не будет видеть ничего для себя обидного в том, что человек, может быть, меньшего научного размаха в математике, но занимающийся педагогическими науками, посоветует ему, что и как можно улучшить в его преподавании.

Не нужно забывать, что много больших научных открытий было сделано в процессе решения различных методических проблем. Достаточно назвать периодическую систему элементов Д. И. Менделеева, к которой его привела работа над учебником «Основы химии»; достаточно напомнить, что Дедекинд пришел к своей аксиоме непрерывности, размышляя над вопросом о преподавании курса анализа.

Все это показывает, какую большую роль играют проблемы методики в преподавании в высшей школе.