Путь в современную математику (Сойер) 1972 год - старые учебники

ГЛАВА I

АРИФМЕТИКА ПРОСТРАНСТВА

Если мы предложим ребенку такие вопросы, как: «Сколько будет, если к 1 кошке и 2 собакам прибавить 3 кошки и 1 собаку?» или «Сколько получится, если количество из 2 кошек и 1 собаки увеличить в 3 раза?» — то вряд ли они вызовут у него затруднения. Сами по себе эти вопросы могут показаться слишком примитивными, однако на самом деле они помогают значительно облегчить понимание геометрии.

Если обозначить совокупность животных, упоминаемых в первом вопросе, через Л и В, то его решение можно записать в виде ...

Третья строка получена сложением первых двух,

поэтому мы пишем С — А + В. На рис. 1 это решение представлено на листке из тетради «в клеточку». Точка А с координатами (3, 1) представляет 3 кошки и 1 собаку, аналогичный смысл имеют точки В и С.

На рисунке видно, что точки О, Л, В, С являются вершинами параллелограмма. Можно проверить экспериментально, что это же произойдет при любом другом выборе чисел. (В исключительных случаях точки О, Л, В могут оказаться на одной прямой, и тогда параллелограмм, как бы становясь «тонким», вырождается в отрезок.) Связь между сложением и параллелограммами известна тем, кто изучал механику: по правилу параллелограммов складываются силы и скорости.

Посмотрим теперь, как наш второй вопрос, связанный с умножением, выглядит на бумаге в клеточку.

Эти вычисления показывают, что R = 3Р. Графически этому решению соответствуют точки О, Р и R (рис. 2), расположенные на одной прямой таким образом, что точка R находится в три раза дальше от точки О, чем точка Р.

Умножение сводится к повторному сложению, и это поможет нам представить его графически. Начнем с того, что к «ничему» будем последовательно прибавлять по 2 кошки и 1 собаке. Вычисление будет выглядеть так:

Результаты обозначим соответственно точками О, Р, Q, R, S н нанесем их на листок в клеточку (рис. 3). Отрезки, соединяющие эти точки и проходящие по границам клеток, образуют лесенку. Арифметически мы каждый раз прибавляем одно и то же — две кошки и одну собаку, графически — переходим от каждой точки к следующей, делая 2 шага вперед и 1 шаг вверх.

Эта идея равномерного шага полезна при изучении движения. Пусть жирная линия DEFG на рис. 4 представляет собой, скажем, кусок проволоки, лежащий на бумаге. Точка D отстоит на 2 единицы вправо и 1 единицу вверх от D Е — на 2 единицы вправо и 1 единицу вверх от Е; то же для F и F, G и G. Жирная линия dEFG представляет собой новую позицию, которую могла бы занять наша проволока. Стрелки как раз и изображают это перемещение проволоки из старого положения DEFG в новое положение DEFG. Такое перемещение называют параллельным переносом. При параллельном переносе все точки перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. В нашем примере каждая стрелка соответствует прибавлению 2 кошек и 1 собаки, то есть прибавлению Р. Следовательно; D = = D -f Р; Е = Е + Р и т. д.

Выше мы уже видели, как выглядит графически процесс умножения, если к «ничему» снова и снова прибавлять Р. Точно так же мы могли начать с некоторого количества кошек и собак и к нему многократно прибавлять Р. Иллюстрацией такого случая является рис. 5.

В итоге нам удалось создать своего рода арифметику или алгебру, описывающую положения точек на плоскости. Но удобна ли она и к какого рода задачам применима? На рис. 5 точки К, К + Р, К 4- 2Р и т. д. напоминают следы человека, идущего равномерным шагом в одном направлении, так как они расположены на одной прямой и на одинаковом расстоянии друг от,друга. Это наводит на мысль, что нашу алгебру можно использовать в задачах, где речь идет об отрезках прямых, разделенных на равные части. До сих пор под символом Р мы понимали «2 кошки и 1 собаку». Теперь же под Р удобнее будет понимать любое количество кошек и собак, которое подойдет для решения задачи. Наши задачи будут формулироваться так: даны две точки К и L; каким должен быть шаг Р, чтобы через определенное число таких шагов попасть из точки К в точку L?

Вот простейшая задача такого рода: найти формулу для средней точки М отрезка KL. Поскольку положение точек К и L задано в терминах числа «кошек и собак», то и положение точки М мы будем определять в этих же терминах.

Если на пути из точки К в точку L мы сделаем 2 шага, то как раз пройдем через точку М. Поэтому шаг Р выбираем так, чтобы точки К, К + Р, К + 2Р совпали соответственно с точками К, М и L. Но где взять информацию, необходимую для того, чтобы найти Я? Мы не получим ее, глядя на первую точку (рис. 6), так как это просто даст нам К = К. Не получим мы ее и глядя на вторую точку, так как М пока неизвестна (скорее, именно Р поможет нам найти М). А вот третья точка дает нам равенство L = = К + 2Р. Решив его относительно Р, имеем

Позволив себе говорить о половине собаки, мы допустили некоторую вольность, в дальнейшем мы усугубим эту вольность, используя такие понятия, как —3 кошки. Разумеется, обращение к животным не следует принимать всерьез. Животные использованы здесь с целью: 1) показать, что рассматриваемые идеи просты и вполне доступны даже детям, 2) создать ситуацию, в которой сложение и умножение овеществлены и имеют естественный смысл, и 3) запастись выражениями типа «сложение кошек и собак», которыми в дальнейшем удобно было бы оперировать.

Формула для середины отрезка позволяет доказать хорошо известный геометрический факт, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Для простоты предположим, что одна вершина параллелограмма лежит в точке О, а другие — в точках Л, В и С, как показано на рис. 7. Из сказанного выше («сложение кошек и собак» всегда соответствует параллелограмму) следует, что С = А -f- В. Нам нужно показать, что середина ОС совпадает с серединой АВ. Для этого подсчитаем их по только что выведенной формуле

Деление отрезка на любое число частей

Проведенное выше рассуждение легко применить и к решению других аналогичных задач. Допустим, мы хотим получить формулу для точки S, находящейся на отрезке KL на расстоянии 3Д всего отрезка от точки К.

В этом случае мы достигаем L, сделав из точки К в направлении точки L 4 шага, каждый длиной Р, то есть L = К -f- 4Р (рис. 8). Отсюда Р = lU(L — К). Подобным образом легко определить и точки Q, R и S. Так, в частности, найдем, что S = К -f- ЗР К -г + (3/Д-— гиК) — UK -f ZUL. Легко догадаться, каким получился бы результат, если вместо 3Д взять другую дробь. Обратим внимание на то, что 3Д превращаются в коэффициент при L, а у К появляется коэффициент Д) который равен (1 — Д).

Медианы

Рассмотрим следующий случай. Даны три точки А, В н С (рис. 9); точка D — середина ВС. Найти формулу для точки G, находящейся на AD на расстоянии г/$АО от точки А. Полученные выше результаты (включая и упражнения) позволяют свести все решение задачи к стандартным вычислениям. Точка G находится на расстоянии 2/зАВ от точки А, следовательно, G — }зА + 2ltD , D — середина ВС, значит, D — — %В + Ч2С. Подставляя второе выражение в первое и упрощая его, находим G = l/$A -f- 2/з (-f-

Ответ симметричен, то есть совершенно одинаков по отношению к А, В и С, несмотря на то что условие формулировалось относительно точки А. Следовательно, если бы мы отправились из В в точку, находящуюся на расстоянии 2/з пути от В к Е (середине АС), то попали бы в ту же самую точку С. Аналогичное заключение можно сделать и относительно точки С. Фактически точка G, как показано на рис. 10, лежит на каждой из медиан AD, BE и CF и отсекает от каждой из них одну треть. Точка G, конечно, известна в механике как центр тяжести треугольника ABC, или центр тяжести равных масс, помещенных в точках А, В и С.

Только что проведенное доказательство существования общей точки отрезков AD, BE и CF проще любого из доказательств евклидовой геометрии, исключая разве доказательство с помощью теоремы Чевы. Но ведь она так поздно пришла в евклидову геометрию!

Мы можем заметить, что всякая работа, основанная на нашем методе, будет обязательно простой, так как операции, которыми мы пользуемся, — это исключительно сложение и умножение на число. Сколько бы мы их ни повторяли, они никогда не приведут к по-настоящему сложным алгебраическим выражениям. Мы всегда будем иметь дело с выражениями первой степени, встречающимися в начальной алгебре при выполнении упражнений вида «к 4х + + Ъу + 82 прибавить 2х + Зу — г» или «5 4- 4у — Зг умножить на 7». Эти алгебраические вычисления легко интерпретируются геометрически. Нашим основным инструментом служит тот факт, проиллюстрированный на рис. 5, что точки К, К + Л К 4 2Р, К + 3Р,... лежат на одной прямой на одинаковом расстоянии друг от друга. Таким образом, для любых трех точек U, V и W (заданных на языке «кошек и собак») можно определить, лежат ли они на одной прямой или нет. Если лежат, то можно найти отношение расстояний UV и VW.

В книге «Прелюдия к математике»4) мне пришлось прибегнуть к воображаемому существу, лишенному какого-либо физического опыта. У этого существа восприятие геометрии основывалось исключительно на знании арифметики, так как оно лишено было способности видеть и осязать. Здесь мы также введем в геометрию существо, не имеющее геометрического опыта. За основу возьмем рассматриваемый метод, согласно которому точка определяется как «х кошек и у собак», или коротко (х, у). Результаты, полученные в этой главе, мы используем как определения. Середина отрезка АВ определяется как ’/гА -f- 7гВ, точка отрезка АВ, находящаяся на расстоянии 3Д от А, как !ДА -+--f 3ДВ и, наконец, точка, делящая АВ в отношении t/( 1 — t), определяется как (I — t)A -+- tB, где tr лежит между 0 и 1. (Это определение дается на основании результатов упражнений на стр. 30.)

‘) У. У. Сойер, Прелюдия к математике, М., изд-во «Просвещение», 1965.

Располагая этими данными, существо уже в состоянии вести исследование плоскости арифметическими методами. Если мы спросим его, что примечательного оно может сказать о точках А, 5, С, D, Е, Z7, в, н, /, где А = (1, 1), В = (2, 1), С = (3, 1), D = = (1, 2), Е = (2, 2), F= (3, 2), G= (1, 3), Н = = (2, 3), I = (3, 3), то оно сообщит нам, что точка 5 — середина Л С, точка D — середина AG, точка Я — середина GI, точка F — середина С/, а точка Е — одновременно середина отрезков A!, DF, GC и НВ.

В справедливости сказанного можно убедиться, нанеся эти точки на листок в клеточку. Для существа эти суждения будут иметь-чисто формальный, арифметический характер, ибо оно не только не может изобразить их на бумаге, но даже не представляет себе, что такое тетрадь в клетку. Однако метод, которым располагает наше существо, позволяет ему производить расчеты и делать вполне разумные геометрические утверждения. Но сможет ли существо построить с помощью этого метода всю евклидову геометрию? Противники доказательства методами аналитической геометрии будут убеждены, что нет. Алгебра же этой главы слишком примитивна, чтобы справиться с такой задачей. Метод «кошки — собаки» даже не упоминает о таких понятиях, как «длина отрезка», «перпендикулярные прямые», которые играют большую роль в евклидовой геометрии. До сих пор на всех наших рисунках «ось собак» была перпендикулярна «оси кошек» н обе оси делились на отрезки одинаковой длины. Это не имеет никакого отношения к математике — просто мы привыкли именно к такой разновидности бумаги в клеточку и, как правило, имеем ее под рукой. Действительно, почему бы собакам и кошкам быть «перпендикулярными друг другу» или иметь «одинаковую длину»? На рис. 11 даны три различные иллюстрации расположения точек

(...)

Эрлангенская программа

Аксиоматическая точка зрения достаточно четко определяет математический предмет, но делает это до некоторой степени формально. Как уже указывалось выше, при аксиоматическом подходе нам дают набор утверждений и предлагают извлечь из него логические следствия. При этом может оказаться, что сами по себе исходные утверждения не стимулируют наше воображение и мы не знаем, как к ним подступиться; Нам бы хотелось иметь какой-то способ, позволяющий видеть, что мы делаем. Но здесь-то мы и встречаемся с затруднением. Если прибегнуть к рисункам, то появляется опасность показать на них слишком много: передать то, чего не содержала первоначальная информация.

Тот предмет, который развило наше существо, принято называть аффинной геометрией1). В аффинной геометрии, как мы обнаружили, не существует прямых углов, а длины могут сравниваться только при

1) По аналогии с евклидовой геометрией, созданной великим математиком Евклидом, кто-нибудь может предположить, что

аффинная геометрия является результатом творчества некоего математика по имени Афф. Но это не так. Слово, «аффинный» происходит от слова «аффинность», которому Эйлер в 1748 году придал значение специального технического приема, когда писал о «подобии4 и аффинности» кривых.

определенных условиях. Окружающий нас мир нашел свое очень близкое отражение в евклидовой геометрии: повсюду мы видим прямые углы и длины. И чтобы почувствовать, ощутить смысл аффинной геометрии, мы должны найти какой-то способ избавиться от части той информации, которая дается нам органами чувств.

Существенный намек на то, как это сделать, кроется в рис. 11. Вообразите, что, едва мы выполнили рисунки на бумаге в квадратную клеточку, соответствующей случаю а, как кто-то, проходя мимо, исказил бумагу так, что квадраты стали параллелограммами, как в случаях б или в. При этом одни свойства фигур нарушаются, другие сохраняются. Только те свойства, которые остаются неизменными при таком искажении, и относятся к аффинной геометрии. Можно доказать, что наше существо способно узнать любое из свойств, «выживших» при таком искажении, и выразить его на языке той алгебры, которой оно располагает. Дозволенные в данной ситуации искажения представляют собой комбинацию из следующих операций: а) изменение масштаба по «оси кошек», в) изменение масштаба по «оси собак», с) изменение направления осей. Можно определить допустимые искажения и по-другому: искажение допустимо, если точки прямой оно переводит в точки прямой и параллельные прямые — в параллельные. Фактически аффинная геометрия может быть построена из двух понятий: прямая линия и параллельность.

С аксиоматической точки зрения исходные положения, приводящие к аффинной геометрии, составляют часть тех исходных положений, которые приводят к евклидовой. Так что каждая теорема, которую можно доказать в аффинной геометрии, необходимо является и теоремой евклидовой геометрии. Но не все теоремы евклидовой геометрии справедливы в аффинной геометрии.

Аффинная геометрия много проще евклидовой, поэтому всякий раз, когда теорема принадлежит аффинной геометрии, ее стоит доказывать аффинными методами, так как они менее громоздки. Мы можем легко определить, принадлежит теорема аффинной геометрии или нет, применяя перечисленные выше искажения; Всякая теорема, которая все еще остается верной после любого из дозволенных искажений фигуры, является теоремой аффинной геометрии. Заметим, что все теоремы этой главы выдерживают такое испытание, поскольку они доказаны средствами алгебры «кошки — собаки».

Уже в XIX веке выделились и получили самостоятельное развитие различные геометрии: евклидова, аффинная, проективная, инверсная, неевклидовы геометрии Больяи — Лобачевского и Римана. Следовательно, уже тогда был собран значительный материал для исследования различных геометрий. В основу классификации геометрий был положен принцип, сформулированный Феликсом Клейном в знаменитой Эр-лангенской программе, изложенной им в лекции, которую он прочитал в 1872 году по случаю вступления в должность профессора Эрлангенского университета.

Согласно одной из основных идей Клейна (выраженной, правда, в его лекции в несколько иной форме, вид вашей геометрии определяется теми преобразованиями, которые вы позволяете делать над своими рисунками. В этом смысле географию можно было бы отнести к наиболее ограничительной из всех геометрий, так как вы не можете изменять в ней ни расстояния, ни направления, если не хотите нарушить истинности ваших утверждений.

В-евклидовой геометрии вы можете быть менее придирчивы. Вас не особенно расстроит, если, например, при печатании вашего рисунка, иллюстрирующего какое-либо свойство, изменят его масштаб, поместят рисунок в-другом месте страницы, повернут его на какой-то угол или, наконец, напечатают не сам рисунок, а его отражение в зеркале. Во всех случаях рисунок будет одинаково правильно иллюстрировать рассматриваемое свойство. Заметим, что все это можно делать и в аффинной геометрии в дополнение к ранее рассмотренным искажениям. Проективная геометрия допускает еще большую свободу искажения: например, вы можете заменить фигуру ее фотографией, сделанной под косым углом. И наконец, меньше всего ограничений имеется в топологии (которую во-времена Клейна называли по-латыни analysis situs — геометрия положения). Она разрешает как угодно растягивать фигуру, мять ее, не допуская лишь разрывов. Топологическое свойство при этом не нарушится. В топологии, например, вы не можете отличить треугольник, квадрат и круг, так как на достаточно эластичной пленке каждый из них может быть деформирован в любой другой.

Эрлангенская программа далеко не исчерпывается: этими замечаниями. Нашей целью было лишь показать два подхода к такому предмету, как аффинная геометрия: один логический, который строится на аксиомах, другой — иллюстративный, наглядный. При: наглядном способе аффинная геометрия получается из евклидовой, если разрешить в ней искажения, устраняющие нежелательные и не относящиеся к делу свойства рисунка. Последний прием позволяет пользоваться рисунками, не опасаясь того, что в наше мышление незаконно прокрадется информация, не оправданная аксиомами:

Изменение осей

Мы уже убедились, что условие взаимной перпендикулярности осей на бумаге в клеточку вовсе не является для них обязательным: любые две пересекающиеся прямые могут служить осями. И если двоим людям предложить, чтобы они покрыли плоскость сеткой параллелограммов, соответствующих бумаге в клеточку, то они могут выбрать совершенно различные системы. Сложно ли будет при этом перевеет данные, записанные в одной системе, в форму, понятную для другой? На первый взгляд это может показаться трудным. Однако на деле задача решается достаточно просто с помощью элементарной алгебры.

На рис. 12 изображены две системы. Оси одной системы помечены словами кошки и собаки. В этой системе любая точка определяется как «х кошек» и «у

собак», или для краткости хс + yd1). Оси другой системы помечены словами КОШКИ и СОБАКИ, и любая точка в ней будет определяться как «Я КОШЕК’» и «К СОБАК», или коротко XC+YD. Строчные. буквы относятся к первой системе, прописные — ко второй. Быть может, это и не справедливо по отношению к первой системе, так как точки плоскости так

Сравнивая обозначения в таблице, замечаем следующее. Точка D соответствует с + d; 2D соответствует 2с + 2d, то есть вдвое большему количеству; 3D соответствует Зс -f- 3d, Если это не случайное совпадение, то мы можем найти эквиваленты точек 4D, 50,

’) В применении малых -букв для обозначения осей автор следует вербальной алгебре. То есть «ось кошек» и «ось собак» он обозначает соответственно начальными буквами английских слов cat (кошка) и-dog (собака), — П-рим, перев.

6D и т. д., вовсе не прибегая к бумаге в клеточку. Так, 6D должно соответствовать 6с + 6d. Тот же эффект мы наблюдаем и для точек С и 2С. Фактически дело обстоит так, как показано на рисунке. Если D обменивается на с + d, то 2D на 2с + 2d, 3D на 3с + 3d и т. д. А как используется эта идея в том случае, если мы одновременно рассмотрим С и D? Поскольку С обменивается на Зс + d, a D на с + d, то следует ожидать, что С + D обменяется на сумму 4с + 2d. Так оно и есть на самом деле. Данные в таблице, относящиеся к оставшейся точке /, также полностью согласуются с установленным методом вычисления.

Эти результаты совпадают с нашей геометрической интерпретацией сложения и умножения. Рассмотрим точку 4С + 5D, в которую мы попадаем, сделав из начала 4 шага С, а затем 5 шагов D. В первой системе точка С выражается как Зс + dy поэтому 4 шага С означают прибавление 12с + 4d; аналогично, поскольку D выражается как с + d, то 5 шагов D означают прибавление 5с + 5d. В итоге получим 17с+ 9d.

Алгебраически вычисление 4С + 5D сводится к простой подстановке: С = Зс + d; D = с + d. Следовательно, 4С -f 5D = 4(3с + d) +.5 (с + d) = 17с -f- 9d.

Все проделанное с 4С + 5D мы могли бы применить к любой точке ХС + YD, найдя при этом, что ХС + YD = (3с + d) Y(c + d) = (ЗХ + Y)c + -j- (X -f- Y)d. Если эта точка выражается в первой системе как хс -f yd, то должны выполняться равенства

которые указывают нам правило перехода от координат точки (X, У) во второй системе к ее координатам (х, у) в первой системе.

Иногда нужно сделать обратный переход: зная (х, у)9 найти (X, У). Для этого достаточно решить уравнения (1) и (2) относительно X и У. В итоге получим

Сейчас мы уже в состоянии переводить утверждения с языка одной системы на язык другой, что часто бывает необходимо. Нередко случается так: начав решение задачи при одном расположении осей, в процессе решения мы замечаем, что при другом их расположении все было бы гораздо проще, поэтому мы меняем оси. Такая замена используется, например, при решении задачи из механики, в начале IV главы.

Некоторые старые книги по аналитической геометрии создают впечатление, что очень трудно работать в косоугольной системе, другими словами, если оси не взаимно перпендикулярны. В этих книгах изложение всегда ведется вначале в перпендикулярных осях, а если появляется косоугольная система, то привлекается тригонометрия. Хотя на рис. 12 обе системы косоугольны, нам удалось перейти от одной системы к другой, даже не упоминая о тригонометрии. При этом мы не использовали ничего более сложного, чем линейные выражения и решение системы двух линейных уравнений, да и то в самом конце.

Обобщение

В настоящей главе мы начали с того, что рассмотрели совокупности кошек и собак. Естественно возникает вопрос, почему мы ограничились двумя видами животных? Можно ли провести вычисления с тремя, четырьмя, пятью или, наконец, с любым нужным числом видов животных?

Сначала мы совершали какие-то арифметические или алгебраические действия, а затем давали им образное истолкование.

Очевидно, увеличение числа видов животных не вызовет больших изменений в алгебре. Прибавление 5 кошек, 3 собак и 7 поросят к 2 кошкам, 3 собакам, 4„ поросятам не приведет к новой задаче или к появлению существенно новых черт. Совсем иначе обстоит дело с геометрической, наглядной иллюстрацией. Когда мы берем три вида животных, п = 3, то еще можем наглядно представить ситуацию, перейдя к трехмерному пространству и направив «ось кошек», скажем, на восток, «ось собак» на север, «ось поросят» вверх. Однако при п = 4 все наши попытки проиллю-

етрировать ситуацию графически терпят неудачу. Дело в том, что физическое пространство в котором мьг живем, трехмерно и не подходит для иллюстрации сложений более чем трех видов животных. Чем должна определяться наша позиция в случаях, когда п 4, — простотой алгебры или отсутствием физической модели? Прежде чем ответить на это, рассмотрим фйзическую картину для случая п — 3.

Трехмерная бумага в клеточку

Многие из нас обладают весьма бедным пространственным воображением. Возможно, именно поэтому к координатной геометрии в пространстве принято относиться с особым благоговением, отчего ее изучение отодвигается математической программой на весьма дальний срок. А жаль! В конце концов мы живем в трехмерном пространстве. Большинство вещей, которые мы производим и которыми пользуемся, будь то самолет или автомобиль, занимают пространство трех измерений, а не разостланы на плоскости, подобно узору ковра или печатной схеме. Привлечение реальной модели во многом упрощает усвоение трехмерных координат, делая их доступными пониманию совсем юных учащихся. Сделать такую модель нетрудно. То, что мы будем называть «трехмерной бумагой в клеточку», представляет собой приспособление, с помощью которого удается быстро измерить расстояние в каждом из трех направлений: на восток, на север и вверх. Такое приспособление показано на рис. 13. Оно представляет собой дощечку с отверстиями, в которые можно вертикально вставлять круглые колышки. Точка А (рис. 13) удалена от точки О на 3 см на восток, 1 см на север и 2 см вверх. Она обозначает 3 кошек, 1 собаку и 2 поросят, коротко Зс-f d -f- 2р. В координатной геометрии это было бы записано в виде точки (3, 1,2).

Практическое использование приспособления потребует некоторой его модификации. Чтобы; колышки были более устойчивыми, дощечка должна быть возможно толще. Или, наоборот, две одинаковые тонкие дощечки со сквозными отверстиями можно скрепить так, чтобы между ними был промежуток. Тогда колы-

шек будет держаться еще устойчивее. Однако оставим все эти детали на усмотрение того, кто будет делать модель.

Трехмерное пространство мы будем рассматривать аналогично пространству двух измерений. Как на модели можно увидеть результат сложения? Как связаны между собой Р и R, если R = 3Р? Каков результат повторения одного и того же шага Р? На все эти

вопросы учащиеся могут ответить самостоятельно, экспериментируя со своими досками и, возможно, получая от этого удовольствие. Их ответы обнаружат большое сходство с нашими ранее полученными результатами. Ниже эти ответы выделены в маленькие разделы.

Соответствие сложения правилу параллелограмма.

Точки О, А, В, С все лежат в одной плоскости и являются вершинами параллелограмма, хотя это и нелегко показать на чертеже. Можно вырезать из картона параллелограмм и придать ему положение, показанное на рисунке пунктиром. Дальнейшими экспериментами можно проверить, что результат не зависит от выбора А и В.

(...)

Я установил этот результат специально для «бруска», так как брусок — это привычный объект, который легко описать. Я не пользовался неуклюжим

специальным термином «прямоугольный параллелепипед». Однако все ранее сказанное о нашей алгебре и искажениях, допустимых в аффинной геометрии, остается в силе и здесь. Так, проведенное доказательство ни в малейшей степени не зависит от того, что брусок имеет прямые углы. Поэтому наше доказательство остается верным и для деформированного бруска, у которого грани представляют собой не прямоугольники, а параллелограммы.

Такое же замечание справедливо и для нашей трехмерной бумаги в клеточку. Совершенно несущественно, что оси направлены на восток, на север и вверх. Причины того, что были выбраны перпендикулярные направления, носят чисто практический характер. Нелегко достать дощечку с отверстиями, образующими параллелограммы да еще и просверленными под углом. К тому же у большинства людей представление о трехмерных фигурах легко ассоциируется с прямоугольным каркасом; возможно, это происходит потому, что в жизни нам с младенчества сопутствуют прямоугольные бруски. Но каковы бы ни были практические или психологические причины использования перпендикулярных осей, мы не должны упускать из виду, что математика этой главы не только не требует использования прямых углов, но даже не предполагает их существования.

Из только что проделанной работы возникает одно общее соображение, которое составляет предмет одного из разделов современной математики. В трехмерном пространстве, рассуждая по аналогии с двумерным пространством, мы получаем такие же формулы. Это наводит на мысль, нельзя ли найти способ получения и развития этих результатов без упоминания о том, в пространстве какой размерности мы находимся? Тогда бы мы имели теорию, приемлемую для любого числа измерений; Она избавила бы нас от необходимости повторять доказательства для пространствам двух или трех; измерений, сократив вдвое объем работы. А если, как мы сейчас собираемся сделать, найти возможным: рассматривать пространство четырех, пяти, шести или п измерений то экономия мысли в этом случае будет буквально неограниченной.

Пространство четырех и более измерений

Правомерно ли говорить о пространстве п намерений, когда « больше трех? Мы уже отмечали, что наш физический опыт знакомит нас с геометрией прямой (одно измерение), геометрией плоскости (два измерения) и геометрией пространства (три измерения), но не дает нам прямого способа наглядно представить четыре измерения. Какова сама идея четырехмерного пространства?

Прежде всего мы договоримся рассматривать этот вопрос вне связи с физикой. Ни теории относительности, ни вопроса о том, является ли время в некотором смысле действительно четвертым измерением, мы касаться не будем. Нам все равно, в какой вселенной мы находимся нашей или какой-то другой, где, например, могут обитать существа, имеющие опыт жизни в 6 измерениях. Нас интересует лишь математическая сущность идеи, мы хотим знать, можно ли с помощью «-мерного пространства делать корректные умозаключения, так как фактически идея «-мерного пространства имеет приложения ко вполне мирским вопросам (например, к статистике) и нам важно знать, можно ли положиться на те выводы, которые из нее вытекают.

Алгебраическая сторона вопроса, пожалуй, ясна и вряд ли вызовет затруднения. Если кто-нибудь захочет рассматривать коллекции животных, перенеся на них операции сложения и умножения, то ничто не помешает ему брать совокупности со сколько угодно большим числом разновидностей животных.

Далее мы установили некоторое соответствие между операциями с двумя или тремя видами животных, с одной стороны, и плоскими и пространственными объектами, с другой. Мы могли бы и наше существо обучить переводу алгебраических результа на геометрический язык:

— параллелограмм. Но какую пользу это принесет ему. Совершенно никакой. Ведь оно никогда не встречалось с фигурами и ие может их себе представить. Слово «параллелограмм» оно найдет бессмысленным, а само упражнение пустым и бессодержательным. Нам же такой перевод выгоден. Мы с рождения живем в физическом мире, постоянно наблюдая формы и движения объектов, наш мозг переполнен всяческими ассоциациями, которые вызывает геометрический язык. Перевод с языка алгебры на язык геометрии дает нам два преимущества. С одной стороны, он позволяет нам применять точную технику алгебры для получения геометрических результатов, которые, с точки зрения нашего наглядного воображения, не являются очевидными (например, доказанное ранее свойство бруска). С другой стороны, он позволяет наглядно, в виде рисунков и чертежей, представить формальные алгебраические результаты. Эти рисунки придают алгебраическим уравнениям как бы вторую жизнь, они делают их более яркими, значительно облегчая тем самым запоминание многих результатов, особенно если они связаны с очевидными геометрическими фактами. Кроме этого, наглядные образы, помогая осмысливать алгебру, подводят к открытию результатов, до которых без их помощи мы бы вряд ли додумались.

Геометрическая точка зрения особенно помогает при рассмотрении вопросов, включающих в себя изменение осей. Допустим, что, работая в какой-то системе координат, мы установили определенные результаты. Затем понадобилось изменить систему. Можно ли при этом все еще пользоваться полученными результатами, или их следует заново проверить? Оказывается, это зависит от природы полученных результатов. Если они выражают собой то, что мы называем геометрическими фактами, то они не изменятся и в новой системе. В противном случае этого может не случиться. Например, доказав, что какая-то точка лежит между двумя другими точками и на одинаковом от них расстоянии, можно быть уверенным, что изменение осей не повлияет на этот факт. Но когда геометрическая интерпретация того или иного уравнения отсутствует, вполне возможно, что в новой системе оно утратит свою правильность.

В качестве примера рассмотрим точки F, Н и Е на рис. 12. Допустим, что мы начали работу с бумагой в клеточку, нанесенную жирными линиями. Так как F = 2D, Н = С -f D, Е = 2С, то Н = V2Е + + V2/7, то есть Н — середина EF. Этот геометрический факт не пострадает, если сетку жирных линий поменять на сетку тонких. Тогда мы получим F = = 2с + 2d, Н = 4с + 2d, Е = 6с + 2d, откуда как и следовало ожидать, Н = /2? + i/2f. в противоположность этому сравним в «жирной» системе координаты точки F (0, 2) с координатами точки Е (2, 0). Мы видим, что они отличаются только порядком. Перейдя в другую систему, мы уже не обнаружим такого «обращения» у координат этих точек: F(2,2), Е (6, 2). То есть подмеченное соотношение между координатами было случайным, обусловленным выбором осей, и потому не сохранилось при их изменении.

Существуют проблемы, которые подводят нас к изучению четырехмерного пространства. В элементарной алгебре график функции у = х2 помогает понять свойства самого уравнения. График, конечно, лежит в двух измерениях, поскольку его уравнение включает две переменные хну. Однако позже, встретившись с комплексными числами, содержащими i=Y 1 , мы увидим: если w и z — комплексные числа и z = х -j- iy, w = и -1- iv, то уравнение w = = z2 уже включает четыре числа х, у, и, v и для его графика потребуется четырехмерное пространство. Живи мы в четырехмерном пространстве и умей вычерчивать такого рода графики, изучение комплексных чисел значительно упростилось бы. Однако, не будучи в состоянии видеть такого рода графики, мы все же пытаемся найти способы их осмысления.

С этой целью и по ряду других причин мы хотим изобрести геометрический способ истолкования ситуаций, которые включают четыре числа или более. Тем самым мы ставим себя в положение нашего существа. Мы изыскиваем определенные правила для перевода алгебраических утверждений на язык геометрии, то есть в геометрические утверждения.

В отличие от существа мы обладаем одним неоспоримым преимуществом — мы знаем, как выглядит пространство одного, двух и трех измерений. Таким образом, геометрический язык стимулирует наше воображение, подсказывая аналогии. Некоторые из этих аналогии, однако, могут ввести в заблуждение, поскольку соотношения между четырьмя числами могут вести себя иначе, чем соотношения между тремя.

Поэтому в сомнительных случаях мы возвращаемся; к алгебре и проверяем верность вашего воображения. Так то все вопросы логики и доказательства должны или решаться с помощью алгебры, или логически следовать из тех геометрических утверждений,: которые сами доказаны алгебраически.

При чисто логическом подходе, следовательно, та-, кие термины, как «параллельная», «на прямой», «посредине между», должны впервые появиться как перевод алгебраических ситуаций. В частных случаях пространств одного, двух и трех измерений, если бы мы обратились к иллюстрациям алгебры с помощью бумаги в клеточку то обнаружили бы, что они вполне согласуются с их привычным смыслом. Но это был бы экспериментальный результат. Например, в самом начале главы мы видели, что С = А 4- В на бумаге в клеточку соответствует точкам О, А, В, С, образующим параллелограмм (в повседневном физическом смысле слова). Этот результат не доказывался, его нельзя доказать, да и нет в этом надобности. Соответствие между алгеброй «кошки — собаки» и подлинными рисунками на бумаге — явление реального мира, оно может быть установлено только через опыт, эксперимент, но не путем рассуждения.

Можно смело утверждать, что геометрия Евклида дает весьма точное описание того, как ведут себя реальные объекты, и что это (более или менее) логическая система. Можно ли доказать средствами евклидовой геометрии, что точки ОАВС должны образовать параллелограмм? Конечно, можно. Однако евклидова геометрия куда сложнее сравнительно легкой алгебры этой главы. Наша цель скорее показать, что, передавая существу содержание этой главы вместе с небольшими дополнительными инструкциями, мы в состоянии доказать все теоремы евклидовой геометрии. При этом мы не исходим из евклидовой геометрии, а стараемся подойти к ней.