Повторительный обзор сложения и вычитания дробей 71

Приближенные вычисления: сложение и вычитание 72

V. Геометрия 75

Треугольники, их построение —

Четырехугольники 80

Вычисление площадей треугольников и четырехугольников 82

VI. Умножение и деление обыкновенной дроби на целое число 84

Умножение дроби на целое число. —

Деление дроби на целое число 85

СТР.

V1L Умножение на обыкновенную дробь 87

Умножение целого на дробь —

Умножение целого на целое с дробью и на неправильную дробь 90

Умножение дроби на дробь. 92

Умножение целого с дробью на дробь и на целое с дробью 95

VIII. Геометрия 98

Трапеция —

Многоугольники 99

IX Умножение десятичных дробей 102

Умножение на целое число —

Умножение на десятичную дробь 103

Повторительный обзор умножения дробей. 106

Приближенные вычисления 109

X. Геометрия 112

Призма. —

XI Деление обыкновенных дробей 113

Деление целого на дробь и на целое с дробью —

Деление дроби на дробь. 120

Деление целого с дробью на дробь. 123

Деление целого с дробью на целое с дробью. 125

XII. Деление десятичных дробей. 127

Деление на целое число —

Обращение обыкновенных дробей. в десятичные 128

Деление на десятичную дробь 131

Приближенные вычисления 133

XIII. Отношение. 137

Общее понятие об отношении. —

Основное свойство отношения 139

Процентное отношение. 142

Относительная погрешность. 145

XIV. Геометрия 147

Длина окружности и площадь. круга —

Цилиндр 151

XV. Пропорция 152

XVI. Пропорциональные величины 157

Прямо-пропорциональные величины. » —

Обратно-пропорциональные величины. 160

Сложная пропорциональность 168

Пропорциональное деление. 169

XVII. С м е ш а н н ы е примеры и задачи на 4 действия над простыми и десятичными дробями 171

Приложение. Смешанные примеры на обыкновенные и десятичные

дроби для устных вычислений 180

Допущено научно-педагогической секцией Государственного ученого совета

6. Можно ли изменять по рядок множителей при умножении дробей? Чтобы ответить на этот вопрос, переставьте множителей при решении предыдущих задач.

Проверьте справедливость равенств:

произведя умножение каждой из частей и сравнив полученные произведения друг с другом.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.

344. Ученик измерил длину стороны квадрата и нашел, что она больше 2,3 см и меньше 2,4 см. Ученик взял 2,3 см. Может ли ученик ручаться за точную цифру десятых сантиметра при вычислении периметра квадрата? Объясните свой ответ.

345. Длина стороны квадрата — 4,7 см с точностью до одной десятой сантиметра. Вычислить длину периметра и указать цифры, за точность которых можно поручиться.

346. Землемер измерял длину сторон квадратного участка земли и нашел, что сторона этого квадрата длиною 324,35 м с точностью до 0,01 метра. Вычислить периметр этого квадрата.

347. При измерении длины сторон прямоугольного участка земли измерения производились с точностью до 0,001 метра. Результат измерения таков: длина каждой из двух больших сторон прямоугольника 101,42 м, длина каждой из двух коротких сторон 76,37 м. Вычислить периметр прямоугольника и указать верные цифры, за точность которых можно ручаться.

348. Вычислить периметр прямоугольника и определить точно цифры его, если длина каждой из двух продольных сторон 51,33 м, каждой из двух поперечных 37,73 м, при чем измерение производилось с точностью до 0,01 м.

При умножении приближенного числа наточное ошибка также умножается на это число.

349. Проверить это правило на следующих примерах:

1) Множимое 3,753 с точностью до 0,001. Найти произведение и определить его точность, если множитель 2; 10; 35; 100; 250: 1000 ; 2000. Что происходит с ошибкой при умножении на точное число?

2) Множимое 15,3751 с точностью до 0,0001. Можно ли найти с точностью до 0,001 произведение, если множитель 400? множитель 3100?

350. В следующих примерах произвести вычисления произведения с требуемой точностью:

4,531-4 до 0,1 0,08756-185 до 0,001

0,7584-17 до 0,1 172,375-12 до 0,1

7,8513-101 до 1 47,1254-314 до 0,1.

351. При измерении сторон прямоугольника получили результаты 14,72 м и 5,24 м, при чем измерение производилось с точностью до 0,01 м. Вычислить площадь прямоугольника. Можно

Черт. 47.

ли в данном случае вычислить площадь прямоугольника вполне точно? Ответ на этот вопрос можно легче получить, если внимательно рассмотреть прилагаемый чертеж.

1) Если при измерении числа взяты по недостатку, то на чертеже ас =14,72; ab = 5,24.

Следовательно, в этом случае вычисление дает только часть всей площади ABCD, именно площадь внутреннего прямоугольника abed.

2) Если при измерении взяты числа с избытком, то на чертеже Я1<?1 = 14,72; Л1/?1=5,24. Следовательно, при избыточных числах, вместо площади ABCD, взята большая площадь А^С^.

3) Разберите случай, когда одно число взято с избытком, другое с недостатком: можно ли ручаться в этом случае, что величина площади будет определена точно?

Какие цифры в произведении приближенных чисел будут верны? Числа 14,72 и 5,24 округлены с точностью до 0,01. Следовательно, в первом из них 3 точных цифры! во вторых цифра сотых сомнительна.

При округлении отбрасываем или прибавляем часть, меньшую половины единицы последнего сохраняемого разряда. В нашем примере отброшенная или дополненная часть числа меньше 0,005. Поэтому о числах 14,72 и 5,24 можно сказать следующее:

14,715 < 14,72 < 14,725; 5,235 < 5,24 < 5,245.

Точное число метров, которое при измерении не получено, заключается также в тех же границах, т. е.

по

14,715 < длины прямоугольника < 14,725.

5,235 < ширины прямоугольника < 5,245.

Точное произведение Р заключается в пределах.

5,235-14,715 <Р< 5,245- 14,725.

(В левом произведении оба множителя меньше, чем точные числа; в правом — оба больше их.)

Произведя умножение, получим:

77,032925 < Р < 77,232625.

Произведение округленных чисел 14,72-5,24 равно 77,1322.

Сравнивая произведения чисел, округленных по недостатку, и произведения чисел, округленных по избытку, видим, что во всех них повторяется число 77. За точность этих цифр можно ручаться и в округленном произведении. Произведение следует записать так: 77,1, при чем цифра десятых 1—сомнительна.

Сравнивая число точных цифр во множителях и в произведении, мы видим, что в произведении точных цифр столько же, сколько во множителе с меньшим числом точных цифр. (В произведении точных цифр две, во множителе 14,72 — три, во множителе 5,24 —две.)

352. Проверить справедливость приведенного правила на следующих примерах:

1) 3,1 -4,2

2) 7,8 -3,5

3) 4,13-1,8

4) 4,31- 7,52

5) 5,17- 4,18

6) 17,22-24,38

7) 27,41-71,52

8) 27,34-201,51

9) 2,7-34,5-1,5.

Проверку произвести путем вычисления верхней и нижней границы произведения.

Для ускорения проверки правила распределить примеры между различными группами класса, поручив, например, решение каждого примера троим учащимся.

353. Произвести умножение и сохранить в произведении только точные цифры и сомнительную цифру.

1) 7,25-14,5

2) 8,12-31,2

3) 9,35-45,3

4) 14,31-1,25

5) 47,25-4,37

6) 85,72-9,39

354. Вычислить площадь квадрата, сторона которого 4,27 м, с точностью до 0,01 м.

355. Вычислить площадь прямоугольника, стороны которого 2,5 см и 7,9 см, с точностью до 0,1 см.

Проверку произвести, находя низшую и высшую границу частного и частное округленных чисел.

453. 1) Вершок с точностью до 0,001 см составляет 4,445 см\ дюйм — 2,54 см с точностью до 0,01. Сколько вершков в дюйме?

2) Фут = 0,305 м, а аршин = 0,711 м с точностью до 0,001 м. Сколько аршин в футе?

454. 1) Десятина = 1,09 га. Сколько десятин в гектаре?

2) Одна кубическая сажень 9,713 м³. Сколько сажен составляет 1 м³?

Из истории дробей.

Современная запись дроби ведет начало от индусов, от которых она перешла в Европу через арабов. Числитель сначала просто писали над знаменателем. Черта для разделения встречается у Леонардо Пизанского в его книге „Liber abaci" (1202).

Возможно, что она применялась еще ранее и у арабов. Но лишь с начала XVI века в руководствах знак черты употребляется постоянно.

Название „дробь" впервые встречается у того же Леонардо.

Числитель и знаменатель — перевод латинских выражений, употребляющихся с XIII века.

Десятичные дроби встречаются впервые у французского математика Виета (1540—1603), который писал сначала путем обозначения дробной части мелким шрифтом, в дальнейшем — отделял от целой части вертикальной чертой. Но широкое распространение десятичные дроби получили благодаря специальной работе Стевина, где он защищает десятичную систему и для дробей и для системы мер, прося правительство ввести десятичную систему монет, мер и веса. Стевин писал сначала десятичные дроби так: 0,3759 у него З₍₁₎7₍₂₎5₍₃₎9₍₄₎; 8,937 в его обозначении 8₍₀₎9₍₁₎3₍₂₎7_<3). Потом в его работе появляется и современный способ записи десятичных дробей.

Действия над дробями. Первыми действиями, которые изучались в старых учебниках арифметики, были умножение и деление, так как для сложения и вычитания требуется приведение дробей к одному знаменателю. Это одна особенность старого изложения действий.

Вторая особенность старых учебников Европы заключалась в стремлении дать механические правила. В этом отношении интересны приемы умножения и деления дроби на дробь в учебниках, изданных несколько сот лет назад. Правило умножения дроби на дробь формулировалось как и теперь: „Чтобы умно

жить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, знаменатель на знаменатель, 1-ое произведение — числитель, 2-ое— знаменатель'. Чтобы облегчить запоминание правила деления дроби на дробь, хотели и для деления ввести вычисление так, чтобы получилось соответствующее правило: „Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель разделить на числитель, знаменатель на знаменатель; 1-ое произведение — числитель, 2-ое знаменатель". Чтобы это правило было верно, нужно было дан- 7 3

ное делимое преобразовать. Это делали так: -q-:-?-. Делимое _х 7-3-5 ^{8 5}

преобразовывали так: _{Q о с} (т. е. числитель и знаменатель дели- о <3 О

мого помножали на произведение числителя и знаменателя де- 7-3-5 3 7-5

лителя). Затем > -ё-=ъ—а, т. е. числитель делится на чи- о-о-о о о-о

слитель и знаменатель на знаменатель (Неморарий, 1237 г.).

Дроби считали крайне трудным отделом математики: у немцев даже была пословица „попасть в дроби", означавшая, примерно, „попасть в безвыходное положение'.

XIII. ОТНОШЕНИЕ.

ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ОБ ОТНОШЕНИИ.

При делении одного числа на другое может быть два случая. В первом случае делимое больше делителя и путем деления решается вопрос, во сколько раз делимое больше делителя. Во втором случае делимое меньше делителя и путем деления решается вопрос, какую часть делителя составляет делимое. Например: 20:5 первый случай; 8:40 — второй случай. В обоих случаях посредством деления производится сравнение двух чисел или, как принято говорить, определяется отношение (иногда говорят „кратное отношение") одного числа к другому.

Числа, которые сравниваются друге другом,называются членами отношения: делимое — предыдущим членом, делитель— последующим. В наших примерах 20 — предыдущий член первого отношения, 5—последующий член этого отношения. Во втором примере — 8 — предыдущий член, 20 — последующий член. Число, показывающее, во сколько раз одно число больше другого или какую часть другого числа составляет первое, называется отношением двух данных чисел (иногда его называют знаменателем отношения).