Рассказы о прикладной математике (Тихонов, Костомаров) 1979 год - старые учебники

Создание в середине XX века электронно-вычислительных машин (ЭВМ) можно в некотором смысле сопоставить с изобретением паровой машины или использованием электричества. Однако ЭВМ занимают в ряду этих величайших достижений человечества особое место: если обычные машины расширяли физические возможности людей, то ЭВМ существенно повысили их интеллектуальный потенциал. Широкое применение математических методов и ЭВМ открыло новые возможности увеличения производительности труда, дальнейшего развития производства, совершенствования управления. Вычислительные машины привели к появлению новых эффективных методов познания законов реального мира и их использования в практической деятельности людей.

Процесс математизации науки, техники, экономики потребовал подготовки высококвалифицированных специалистов, способных реализовать те огромные и пока еще далеко не исчерпанные возможности, которые дает ЭВМ. Вычислительные машины не работают ез направляющего воздействия человека. Их использование связано с построением математических моделей изучаемых объектов и созданием вычислительных алгоритмов. Машины также должны пройти соответствующее «обучение», т. е. получить программное обеспечение как общего, так и специально ориентированного характера.

Весь этот широкий комплекс проблем является полем деятельности специалистов по прикладной математике. Для их подготовки во многих университетах и институтах созданы специальные факультеты, отделения, кафедры.

Однако сегодня среди пользователей ЭВМ наряду с профессиональными математиками-вычислителями много представителей других специальностей: инженеров, физиков, химиков, экономистов, социологов и т. д. Завтра круг людей, которым в своей производственной деятельности нужно будет уметь грамотно пользоваться математическими методами и ЭВМ, станет еще шире.

Это обстоятельство послужило основной причиной, побудившей авторов написать данную книгу. В ней в популярной форме рассказывается о современной прикладной математике, о характерных особенностях применения математических методов и ЭВМ к изучению реальных «нематематических» объектов, встречающихся в прикладных задачах.

Огромную помощь в работе над 3-й главой книги оказали авторам JI. Н. Королев и P. JI. Смертский. Целый ряд существенных замечаний и предлсий&ний сделали Н. Н. Ефимов — по 1-й и В. Г. Карманов — по 6-й глал вам. Всем им авторы выражают свою самую искреннюю благодарность.

Академик Л. Н. ТИХОНОВ Профессор Д. Я. КОСТОМАРОВ

Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ

Введение

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРОГРЕСС И МАТЕМАТИКА

Одной из характерных особенностей нашего времени является широкое применение математических методов в электронно-вычислительных машин в самых различных областях человеческой деятельности. «Диагноз ставит ЭВМ», «Соавтор конструктора» — такие заголовки нередко встречаются сегодня в газетах. Бурный процесс математизации науки, техники, народного хозяйства начался в пятидесятых годах после появления и быстрого совершенствования ЭВМ. Он привел к формированию современной прикладной математики, которая включает круг вопросов, связанных с использованием математических методов и вычислительной техники. Этому научному направлению уделено большое внимание в решениях XXIV и XXV съездов КПСС. Одна из важнейших задач, поставленных XXV съездом перед советской наукой, сформулирована следующим образом: «Расширять исследования но теоретической и прикладной математике. Развивать научные работы, направленные на создание и эффективное применение в народном хозяйстве электронно-вычислительной техники».

Цель настоящей книги заключается в том, чтобы в популярной форме рассказать широкому кругу читателей и прежде всего учащейся молодежи о прикладной математике, об идеях, методах, трудностях исследований, связанных с применением математических методов и вычислительной техники к изучению законов природы и их использованию в практической деятельности людей.

Математика является одной из самых древних наук. Она зародилась на заре человеческой цивилизации под влиянием потребностей практики. Строительство, измерение площадей земельных участков, навигация, торговые расчеты, управление государством требовали умения производить арифметические вычисления и определенных геометрических знаний. В дальнейшем математика развилась в стройную логическую систему, как составная часть общего комплекса научных знаний. Потребности естествознания, техники, всей практической деятельности людей постоянно ставили перед математикой новые за дачи и стимулировали ее развитие. В свое очередь про гресс в математике делал математические методы более эффективными, расширял сферу их применения и, тем самым, способствовал общему научно-техническому прогрессу.

Роль математики в различных областях человеческой деятельности и в разное время была существенно различ ной. Она складывалась исторически,4 и существенное влияние на нее оказывали два фактора: уровень развития математического аппарата и степень зрелости знаний об изучаемом объекте, возможность описать его наиболее существенные черты и свойства на языке математических понятий и уравнений или, как теперь принято говорить, возможность построить «математическую модель» изучаемого объекта.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, не тождественна объекту, а является его приближенным отражением. Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность сформулировать задачу его изучения как математическую и воспользоваться для анализа универсальным математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы объекта. Математика позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, т. е. спрогнозировать результаты будущих наблюдений. А ведь прогнозирование — всегда трудная задача, и оправдывающиеся прогнозы являются предметом особой гордости любой науки.

Сложность построения и исследования математической модели существенно зависит от сложности изучаемого объекта. Математические методы давно и весьма успешно применяются в механике, физике, астрономии, т. е. в науках, в которых изучаются наиболее простые формы движения материи. Математика стала языком этих наук, относящихся к разряду «точных». Значительную роль играла также математика в технике. Этим вплоть до недавнего времени исчерпывалась сфера широкого применения математических методов. Ситуация резко И8мени-

лась с появлением ЭВМ. Причина этого заключается в следующем. В математике часто встречаются задачи, решение которых не удается получить в виде формулы, связывающей искомые величины с заданными. Про такие задачи говорят, что они не решаются в явном виде. Для их решения стрейьгся найти какой-нибудь бесконечный процесс, сходящийся к искомому ответу. Если такой процесс указан, то, выполняя определенное число шагов и затем обрывая вычисления (их нельзя продолжать бесконечно), мы получим приближенное решение задачи. Эта процедура связана с проведением вычислений по строго определенной системе правил, которая задается характером процесса и называется алгоритмом.

Такой подход к решению математических задач был известен еще до появления ЭВМ, но применялся весьма редко из-за исключительной трудоемкости больших вычислений. Когда Лаверье «открыл» за письменным столом «на кончике пера» новую планету (Нептун), рассчитав ее траекторию по возмущениям траектории планеты Уран, то это было научным подвигом, навсегда вошедшим в историю науки. Однако в большинстве случаев исследователи стремились избегать больших вычислений. Поэтому сложные математические модели, для которых не удавалось получить ответа в виде формул, либо вообще не рассматривались, либо упрощались с помощью дополнительных предположений. Упрощение модели снижало степень ее соответствия изучаемому объекту, делало результаты исследования объекта менее точными и, следовательно, менее интересными, а иногда и приводило к ошибкам.

Опытный вычислитель тратил на выполнение одного арифметического действия в среднем за рабочую смену около полминуты. Современные ЭВМ выполняют миллионы операций в секунду. Таким образом, за короткий промежуток времени, порядка 30 лет, благодаря ЭВМ скорость проведения вычислений возросла примерно в 100 миллионов раз. Такого скачка не было за всю историю человечества ни в одной сфере человеческой деятельности.

Применение численных методов на баве ЭВМ сразу существенно расширило класс математических задач, допускающих исчерпывающий анализ. Теперь уже исследователю при построении математической модели какого-то объекта не нужно стремиться к упрощениям, которые были необходимы раньше при желании получить ответ в явном виде. Его внимание прежде всего, должно быть направлено на то, чтобы правильно учесть все наиболее существенные особенности изучаемого объекта и отразить их в математической модели. После того, как модель построена, встает вопрос о разработке алгоритма решения соответствующей математической задачи и его реализации на ЭВМ. Таким образом, ЭВМ изменили подход к применению математики как метода исследования. Они вызвали переориентацию многих сложившихся направлений математики и развитие ряда новых. Сегодня ЭВМ являются одним из определяющих факторов научно-технического прогресса. Их применение способствует ускорению развития ведущих отраслей народного хозяйства, открывает принципиально новые возможности проектирования сложных систем при значительном сокращении сроков их разработки и внедрения в производство, обеспечивает выбор оптимальных режимов производственно-технологических процессов, создает условия для совершенствования управления и повышения производительности труда. Если обычно машины брали на себя физические функции человека в процессе производства, дВлали его сильнее, то ЭВМ помогают человеку в умственной деятельности, делают его умнее. Они являются одним из важных факторов превращения науки в непосредственную производительную силу нашего общества. Без ЭВМ не могли бы развиваться многие крупные научно-технические проекты современности (космические исследования, атомная энергетика, сверхзвуковай авиация и т. д.).

Благодаря ЭВМ идет интенсивный процесс математизации не только естественных и технических, но также и общественных наук. Важное значение приобрело применение математических методов в экономике. Математическое моделирование начинает широко использоваться в химии, геологии, биологии, медицине, психологии, лингвистике. Большое внимание уделяется подготовке высококвалифицированных кадров, способных реализовывать те огромные возможности, которые открывает эффективное использование ЭВМ. Во многих университетах и институтах созданы факультеты прикладной или вычислительной математики. Подтверждается точка зрения К. Маркса, который, по словам П. Лафарга, считал, что «наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой».

В заключение остановимся коротко на содержании книги. Она начинается с трех глав, посвященных трем основным элементам прикладной математики: математическим моделям, вычислительным алгоритмам и электронно-вычислительным машинам. Эти главы дают общее представление о современной прикладной математике.

Последующие главы носят более специальный характер. В них разбираются различные типичные задачи прикладной математики и методы их решения. Эти главы практически не зависят друг от друга и могут читаться в любом порядке (но обязательно после трех первых глав). Однако мы считаем, что выбранный в книге порядок, подчиненный, в частности, принципу постепенного возрастания сложности, является наиболее естественным.

Изложение материала в каждой главе начинается с вопросов, которые в той или иной степени входят в программу средней школы и вам знакомы. Однако они подаются под таким углом зрения, чтобы было легко сделать следующий шаг: перейти от школьных вопросов к реальным задачам прикладной математики.

Книга, конечно, не охватывает всех сторон современной прикладной математики. Это обусловлено и небольшим ее объемом, и тем, что она рассчитана на читателей, которые знакомы с математикой в объеме средней школы. При отборе материала какую-то роль сыграл субъективный фактор, связанный с профессиональными интересами авторов. В частности, в книге очень коротко рассказано об электронно-вычислительных машинах, остались практически не затронутыми вопросы программирования. Эти темы могли бы стать предметом отдельной книги.

Мы надеемся, что книга пробудит дополнительный интерес к математике и ее многочисленным приложениям, поможет вам по-новому взглянуть на достаточно широкий круг математических идей и понятий, которые изучаются в настоящее время в школе, научит лучше использовать эти знания на практике. Мы также рассчитываем на то, что у некоторых из вас появится желание стать специалистами в этой очень интересной области. Что же, факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ и многочисленные родственные факультеты других вузов нашей страны ждут вас. Добро пожаловать.

Глава 1

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

§ 1. Пусть дано...

Такими словами явно или неявно обычно начинаются формулировки теорем и условий математических задач. Затем на языке строго определенных математических понятий следует полное изложение исходных предпосылок, которое воспринимается совершенно одинаково любым математиком, являющимся специалистом в соответствующей области.

Иначе обстоит дело с прикладными задачами. В них непосредственно задается реальный «нематематический» объект: явление природы, производственный процесс, конструкция, система управления, экономический план и т. д. Исследование начинается с формализации объекта, с построения соответствующей математической модели: выделяются его наиболее существенные черты и свойства и описываются с помощью математических уравнений. Только после того, как построена математическая модель, т. е. задаче придана математическая форма, мы можем воспользоваться для ее изучения математическими методами.

Вы знакомы с математическими моделями, хотя, может быть, раньше и не встречали этого термина. Представьте себе, что нужно определить площадь комнаты или, если быть более точным, площадь пола комнаты. Для выполнения такого задания измеряют длину и ширину комнаты, а затем перемножают полученные числа. Эта элементарная процедура фактически означает следующее. Реальный объект — пол комнаты заменяется абстрактной математической моделью — прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь пола.