6. Мы видим, что применение формул действительно позволяет находить рациональные решения задач и приме ров. В связи с этим возникает вопрос: какие же формулы должны знать учащиеся наизусть?

Набор формул и отнесение их к основным и вспомогательным зависит от учебников и задачников, применяемых в школе.

Рассмотрим, например, формулу a sin х 4- b cos х = = |/а² + b² sin (х 4- <р), где угол <р определяется из условия.

В учебнике «Прямолинейная тригонометрия» Н. Рыбкина этой формулы не было, и лишь в § 71 излагались три способа решения уравнения a sin х 4- b cos х — с, среди которых приведено и решение посредством вспомогательного угла, деля обе части на b и полагая -у- = tg ср.

В учебнике «Тригонометрия» С. И. Новоселова уже на ходим специальный параграф: «§ 25. Преобразование в про изведение выражения a sin а 4~ b cos а», где дан вывод со ответствующей формулы. Но в «Сборнике задач по тригонометрии» П. В. Стратилатова, которым пользовались при изучении тригонометрии по учебнику С. И. Новоселова, нет примеров на применение этой формулы.

Если же рассмотреть учебник «Алгебра и элементарные функции», ч. 2 Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой, то легко видеть, что от учащихся требуется знать эту формулу на изусть (§ 167). В противном случае учащиеся не смогут устно определить область изменения функций: у = 3 sin х 4- 4- 4 cos х; у = 12 sin х — 5 cos х, как это требуется в упражнении № 1567 (изд. 1966 г.).

Следовательно, исходя из требований программы и учитывая возможности учащихся каждого конкретного класса, учитель должен проанализировать учебники и задачники и установить перечень формул, обязательных для запоминания. Вывод каждой из таких формул должен быть известен учащимся.

Большое значение имеет и умение устно преобразовать известную формулу, чтобы получать вспомогательные фор мулы, ибо нередко решение упрощается при применении несколько преобразованной формулы. Например, применение известной формулы куба суммы двух чисел в виде (a + б)³ = a³ 4- b³ 4- Заб (а 4- b) упрощает и облегчает ре шение многих алгебраических и тригонометрических уп ражнений.

а) Доказать, что трехчлен х³ 4~ рх + д обращается в нуль при (рассматриваются лишь действительные значения корней)¹. Обозначим кубические корни через а и Ь, получим:

х³ = (а 4- б)³ = а³ 4- б³ 4- Заб (а 4- б) =

- — д—рх, тогда

х³ 4- рх 4- д = — д — рх + рх д = 0.

б) Доказать тождество: sin⁶ а 4~ cos⁶ а 4- sin² 2а = 1. sin⁶ а 4- cos⁶ а 4--|-sin² 2a=(sin²a)³4-(cos²a)³4-3 sin²acos²a = = (sin² a)³ 4" (cos² a)³ 4~ 3 sin² a cos² a (sin² a -4- cos² a) = = (sin² a 4~ cos² a)³ = 1; 1 = 1.

Эту преобразованную формулу куба суммы целесообразно применять при решении иррациональных уравнений (см., например, № 552 из «Сборника задач по алгебре», ч. II П. А. Ларичева, изд. 1957 г.) и при решении систем уравнений. Рассмотрим две такие системы двух уравнений высших степеней.

В)

(х - у) (х² - у²) = 160, (х + у) (х^г + у’) = 580.

Сложим и вычтем почленно оба эти уравнения, получим систему уравнений, равносильную данной:

| х³ + f/³ = 370,

I ху(х + у) = 210.

¹ П. А. Ларичев. Сборник задач по алгебре, ч, II, Учпедгиз, 1951,

№ 395(2).

НО

а-[-Ы из алгебраической формы в тригонометрическую. Несколько проще находить <р по формуле tg <р = но при этом следует еще устанавливать, в какой четверти расположено комплексное число, ибо период тангенса равен к. Аргументы чисел, лежащих на координатных осях, учащиеся должны знать наизусть, что позволяет просто и быстро за писывать в тригонометрической форме действительные и чисто мнимые числа, сразу указывая их модуль и аргумент.

Нецелесообразно и применение общих формул корней простейших тригонометрических уравнений при решении таких, как sinх = + 1; cosx = 0; cosx=±l, ибо от веты, исходя из свойств функций, можно записать несколько проще. В случае уравнения cos х = О вместо х = ± Л- + .ы

тс

+ 2&тс записываем х = -^- + &тс; если sin х = 1, то вместо &

х = (— l)^ft -у + kit записываем х = -у + 2kit и т. д.¹

Мы уже говорили, что при оценке рациональности ре шений нельзя ограничиваться лишь сравнением вычислений или преобразований, надо учитывать и остальные состав ные части решения. Это замечание относится и к приме нению формул, где также нужно учитывать все решение. Приведем такой пример.

Проверить равенство В принципе безразлично, вычислять ли от обеих частей синус или косинус, так как выполняемые преобразования будут одинаковыми. Но в подобных примерах мало установить равенство значений функции, нужно еще исследовать, принадлежат ли углы в левой и правой частях к одному промежутку монотонности этой функции. И теперь уже не безразлично, будем ли мы сравнивать синусы или косинусы.

В левой части имеем сумму двух острых углов, которая находится в промежутке от 0 до тс, поэтому целесообразно вычислять косинус этой суммы: cos I arc sin -g- -|- arc cospJ =

¹ E. С. Кочетков, E. С. Кочеткова. Алгебра и элементарные функции, ч. I, «Просвещение», М„ 1966.

Так как arctg есть острый угол, то cos I arctg I > 0.

Следовательно, данное равенство не имеет места.

Если вычислять значения синуса от обеих частей равен ства, то решение значительно усложняется, ибо пришлось бы доказывать, что arcsin-v- 4- arccos > -к-.

• 8. ПРИМЕНЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ

1.  Как отыскание решений, так и их оформление нередко упрощаются при применении вспомогательных утверждений, в частности, различных лемм, изучаемых в теоретическом курсе математики. Рассмотрим, например, лемму о подо бии треугольников. На основании этой леммы доказываются все признаки подобия треугольников, она используется и при изложении раздела «подобные многоугольники».

И при решении задач по геометрии нередко значительно проще установить подобие треугольников ссылкой на лемму, чем на один из признаков подобия треугольников. Возьмем такую простую задачу:

Боковая сторона треугольника разделена на пять равных частей, и из точек деления проведены прямые, параллельные основанию. Основание равно 20 см. Определить отрезки параллельных прямых, заключенные между боковыми сто ронами.

Для ее решения устанавливаем, что полученные треугольники подобны данному треугольнику. Это нетрудно сделать, используя первый признак подобия треугольников, но легче и проще получить тот же результат ссылкой на лемму.

2.  Применение лемм упрощает не только обоснование ре шения, но нередко и сами вычисления. Рассмотрим, напри мер, лемму о равновеликости наклонной и прямой призм. Целесообразно, после того как учащиеся усвоят, что объем любой призмы равен произведению основания на высоту, обратить их внимание на возможность получения новой фор мулы: объем призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения призмы на ее боковое ребро, которая легко получается из леммы. Применение этой новой фор-

Черт. 21.

мулы при вычислении объемов некоторых наклонных призм приводит к довольно простым решениям. Приведем в качестве иллюстрации две задачи из § 16 «Сборника задач по геометрии», ч. ПН. Рыбкина.

№ 53_Р Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 At, а расстояние меж ду ними 26 м, 25 м и 17 м. Опре делить ее объем.

Для решения этой зада чи достаточно найти площадь

перпендикулярного сечения, стороны которого как раз и равны расстояниям между боковыми ребрами: 26 м, 25 м и 17 м. По формуле Герона

Объем призмы V = 204 • 15 = 3060 (ж³).

№ 55. В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней т ², а расстояние ее от противолежа щего ребра 2а. Чему равен объем призмы?

Различных треугольных призм, удовлетворяющих усло виям задачи, бесконечное множество, но задача определен ная, ибо все они будут равновелики. Нам кажется, что ее вообще нельзя решить без применения рассматриваемой леммы.

Для решения проведем перпендикулярное сечение KLM. данной наклонной призмы (черт. 21). Будем считать, что известна площадь грани ВСС^В^ значит, ВВ_Х • ML = т². Высота треугольника KLM на сторону ML, являющаяся перпендикуляром к плоскости грани ВСС_ЪВ_Х, будет равна расстоянию от ребра АА_Х до плоскости грани ВСС^В^ то есть равна 2 а. Тогда S^lm — -^-2а • KL; V = а • KL х X BB_r = ат² (куб. ед.).

Мы уже указывали, что решение многих стереометрических задач можно упростить, если применять лемму об объеме тела, полученного при вращении треугольника АВС вокруг оси, лежащей в плоскости треугольника, проходящей через его вершину С, но не пересекающей

Например, в учебнике «Тригонометрия» С. И. Новоселова теорема синусов доказывается с использованием формул а = 2R • sin А, но вывод их дается в процессе доказательства самой теоремы синусов.

Мы ранее приводили примеры задач, при решении ко торыхприменение этой леммы существенно упрощает как отыскание, так и оформление решения.

Рассмотрим еще такой пример. В учебнике «Алгебра и элементарные функции», ч. 2 Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочет ковой при доказательстве неравенства «для любого острого угла х sinx<x<tgx» (§ 213, изд. 1986 г.) получена фор мула [sin х| < |х| для всех действительных значений х. Знание последней формулы значительно облегчает решение многих задач на установление непрерывности функций, а также при проверке, что определенное число А является пределом данной функции в некотором процессе.

4. Остановимся на применении так называемых задач- теорем, когда результаты ранее решенных задач рассматриваются при решении последующих задач как теоремы. На пример, при решении задач по стереометрии часто приходится рассматривать проекцию наклонной, образующей рав ные углы со сторонами угла, расположенного в плоскости проекции. Поэтому целесообразно, чтобы учащиеся не хуже, чем обычную теорему, знали, что «если из вершины угла, лежащего на плоскости, провести наклонную к плоскости так, чтобы она составляла со сторонами угла равные углы, то проекция этой наклонной будет служить биссектрисой данного угла» (задача № 28 из § 1 «Сборника задач по гео метрии», ч. ПН. Рыбкина). При решении многих задач на пирамиды и наклонные призмы уже не нужно всякий раз обосновывать проекцию бокового ребра, в результате чего решение упрощается.

Во всех сборниках конкурсных задач и в других по собиях для поступающих в вузы решения многих задач на вычисление поверхностей пирамид излагаются с применением теоремы о площади проекции плоской фигуры, что тоже упрощает решение.

Считаем целесообразным ознакомить учащихся с этой теоремой для любого плоского многоугольника. Можно ограничиться разбором задачи из § 19 «Сборника задач по тригонометрии» Н. Рыбкина:

«Если все боковые грани какой-либо пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания под углом а, то

большинства семиклассников при требовании алгебраического решения.

В отдельных случаях ра циональные решения полу чаем при умелом сочетании алгебраического и арифметического методов. Мы уже при водили примеры задач на составление уравнений, решение которых существенно упрощается, если некоторые величины предварительно вычислить арифметически.

2. Решение многих геометрических задач вычислитель ного характера в VI—VII классах, решаемых обычно арифметически, значительно упрощается, если применить уравнения. Например, решение задачи: «Один из углов треугольника на 20° больше второго и на 50° меньше третьего угла Определить углы этого треугольника» посредством со ставления уравнения значительно проще, чем арифметически.

В «Сборнике задач по алгебре», ч. I П. А. Ларичева име ется довольно много задач с геометрическим содержанием для решения составлением уравнений при изучении алгебры в VI классе

Алгебраический метод решения отдельных, даже слож ных, задач на построение также доступен учащимся, ибо достаточно получить соответствующую формулу для определения  искомой величины, чтобы стало ясным все решение

задачи

Пусть, например, нужно решить задачу:

Дана полуокружность А МВ (черт 24) с диаметром АВ = 2R и две полуокружности на этом диаметре с радиусами Построить окружность, касающуюся трех дан ных полуокружностей

Вычислим радиус искомой окружности. По теореме Пи фагора OiO₃² = (\О² 4- ОО₃², где О₃ — центр искомой окружности Приняв О₃М за х, получим решив которое, найдем: х =

Рассмотрим еще такую задачу:

выми высотами х, равными ребру куба. Сравнивая объемы, получим уравнение: abc = -±- abx 4- асх 4~ Ьсх, abc откуда

Ранее приводились примеры тригонометрических уравнений, решения которых оказывались весьма простыми в результате использования алгебраического неравенства о² 4- > 2. Но нередко применение тригонометрии упрощает доказательство неравенств.

Пусть требуется доказать неравенство

Наличие знака абсолютной величины усложняет алгебраическое доказательство этого неравенства. Но если принять а = tg а, что возможно при любом действительном значении а, получим: р _ _fl2 = _{t t}g_{2 а} = sin 2а, и неравен

ство становится очевидным.

Решение задач на построение значительно упрощается, причем не только оформление, но и отыскание решения, при применении результатов некоторых задач на доказательство. Например, с учащимися VII класса почти всегда решают задачу на доказательство: «Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм есть ромб». Зная это предложение, семиклассники легко находят решение задачи: «Построить ромб по двум его диагоналям», причем доказательство правильности по строения опускается из-за его очевидности.

Применяются не только результаты ранее решенных задач, но и методы их решения. Например, наиболее рациональное решение задачи на вычисление: «Определить вы соту трапеции, зная ее основания, а — 28, b = 16 и диагонали di = 17 и d₂ = 39», получим, если используем идею решения соответствующей задачи на построение: «Построить трапецию по двум основаниям и двум диагоналям». Переместив одну из диагоналей в направлении оснований на расстояние, равное меньшему основанию, получим тре угольник с двумя известными сторонами, и высота трапеции может быть вычислена по формуле.