1. Развитие логического мышления является одним из важнейших элементов коммунистического воспитания в школе.

В геометрии наибольшее значение для развития логического мышления имеют задачи на доказательство (теоремы). Они способствуют развитию у учащихся определённости, последовательности, обоснованности мышления. На этих задачах учитель может научить учащихся таким методам познания, как анализ, синтез.

2. Опыт показывает, что полезно начинать решать задачи на доказательство возможно раньше, подбирая их по степени трудности.

Первым шагом обычно являются упражнения, в которых ученик приучается отделять условие от заключения (например, задача № 4). Затем переходят непосредственно к задачам на доказательство. Учащимися должно быть усвоено, что доказать теорему — значит при помощи рассуждений и умозаключений перейти от условия теоремы к её заключению. Обосновывать доказательство можно ссылками на определения, аксиомы и ранее доказанные теоремы. В результате таких рассуждений доказанное положение приобретает достоверность.

На первых порах следует решать возможно больше л&гких задач, где для доказательства применяется одна, а потом две теоремы (например, задачи № 21—28).

Ученик, прочитав текст задачи, сначала должен сделать чертёж, выделить и записать, что дано (условие) и что требуется доказать (заключение). Чертёж не должен содержать лишних условий, которых не было в тексте. Например, если дан треугольник, то нельзя чертить равнобедренный треугольник, так как это может сбить с правильного хода доказательства (такие частные случаи составляют вопрос исследования). Затем ученик намечает план решения, основные моменты доказательства, и, пока он ведёт решение, нет надобности требовать от него детального объяснения. Когда же ученик доведёт решение до заключения, он должен обосновать каждый шаг доказательства и кратко его записать.

Лёгкие задачи можно на уроке решать устно. В этом случае полезно приготовить таблицы, подобные прилагаемой таблице 1.

448. Обозначим радиус дуги АМС через г; треугольник ОАС, вращаясь вокруг оси ОД, образует конус, у которого V_0AC = -^- кг⁸ • r = y№ (1); сегмент АМС при вращении образует шаровой сегмент второго рода, и тогда (см. № 446)

И_лмс = 6~ "fr <2)

Наконец, объём тела, образованного вращением фигуры АВСМ, найдём как разность объёмов цилиндра с образующей ВС и полушара с образующей дугой АМС.

2 1

^VABCM = «Г^а'Г--^Г* 'Г = -£ №. (3)

Из равенств (1), (2) и (3) следует, что эти три тела вращения равновелики.

449. Центр шара, описанного около многогранника, есть точка, равно удалённая от всех его вершин. Обратно, точка, равно удалённая от всех вершин многогранника, есть центр описанного шара. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и в точке пересечения делятся пополам; поэтому точка пересечения их равно отстоит от всех вершин параллелепипеда и, следовательно, есть центр описанного шара.

450. Пусть в прямой призме В ABCDA&C& £BAD+£BCD= = 2d, тогда около основания ABCD можно описать окружность; пусть О — центр этой окружности; аналогично 01 — центр окружно-

Черт. 194. сти, описанной около AiBiCiDx.

Тогда прямая OOi — геометрическое место точек, равно отстоящих от вершин А, В, С, D (или Д_ь В_и С_ь Z>i). Проведём через точку К, середину ребра ДД_Ь плоскость, перпендикулярную AA_t до пересечения с OOi в точке О₂. Эта плоскость есть геометрическое место точек, равно отстоящих от концов ребра AA_lt а потому точка <Э_а равно отстоит от всех вершин призмы, и, следовательно, есть центр описанного шара.

451. Пусть ABCAxBxCj. — прямая призма (черт. 194), у которой высота в два раза больше радиуса круга, вписанного в основание. Проведём бис- секторные плоскости двугранных углов AA_t и BB_lt которые пересекутся по линии OOi. Каждая из этих плоскостей- есть геометрическое место точек, равно удалённых от граней двугранного угла, а линия пересечения OOi — геометрическое место точек, равно удалённых от трёх боковых граней; при этом расстояние от любой точки OOi до любой боковой грани равно радиусу г круга, вписанного в основание призмы. Высота призмы равна по условию 2г, и, следовательно, середина высоты призмы равно отстоит от всех граней призмы и потому служит центром вписанного шара.

452. Плоскости, проведённые через середины рёбер тетраэдра перпендикулярно к ним, пересекаются в одной точке (см. № 381), причём эта точка равно отстоит от всех вершин тетраэдра и, следовательно, есть центр описанного шара. В отличие от задачи № 381, достаточно провести только три перпендикулярные плоскости, чтобы найти центр шара.

453. По условию задачи шар должен касаться всех граней тетраэдра или одной грани и продолжений трёх других. В этом случае радиусы каждого шара, проведённые в точки касания, перпендикулярны плоскости граней и потому будут расстояниями от центра шара до этих плоскостей, и, значит, центр вписанного или вневписанного шара равно удалён от плоскостей его граней. 06-

ратно, всякая точка, равно удалённая от плоскостей его граней, служит центром одного из рассматриваемых шаров. Значит, для решения задачи надо установить существование точки, равно удалённой в первом случае от всех граней, во втором случае от одной грани и продолжения трёх других (черт. 195).

1) Биссекторные плоскости, проведённые через рёбра тетраэдра, пересекаются в одной точке I (см. № 382), причём эта точка равно отстоит от всех граней, следовательно, и есть центр вписанного шара. В данной задаче достаточно провести только три биссекторные плоскости двугранных углов, рёбра которых не пересекаются в одной точке.

2) Рассмотрим область ACDB'B"B"‘ (черт. 195), прилежащую к грани ACD, она образована этой гранью и продолжениями граней BCD, BAD, ВАС. Проведём биссекторные плоскости двугранных углов AC, CD, DA; каждый из этих двугранных углов меньше развёрнутого двугранного угла, и потому эти биссекторные плоскости составляют с гранью ACD острые двугранные

углы, а, следовательно, пересекаются в одной точке; пусть это будет точка /₂. Каждая из приведённых биссектор- ных плоскостей есть геометрическое место точек, равно удалённых от его граней (например, биссекторная плоскость CI%D двугранного угла CD есть множество точек, равно удалённых от граней ACD и B"B"'DC), и, значит, точка пересечения их /₃ равно удалена от грани ACD и полуплоскостей В'В"СА, В" В"* DC, B'"B'AD, т. е. от продолжений трёх других граней, а потому служит центром шара, вневписанного в тетраэдр ABCD так, что касается грани ACD и продолжений трёх других его граней. Аналогично можно получить вневписанные шары, касающиеся трёх других граней тетраэдра.

454. Пусть SABCD. — правильная пирамида, SO — её высота. Через середину ребра SA проведём к нему

Черт. 195.

перпендикулярную плоскость до пересечения с SO в точке Эта плоскость есть геометрическое место точек, равно удалённых от точек А и S, a SO — высота правильной пирамиды — есть геометрическое место точек, равно удалённых от вершин основания А, В, С,., а потому их точка пересечения равно удалена от всех вершин пирамиды и, следовательно, есть центр описанного шара.

455. Пусть SABC. — правильная пирамида, SO — её высота. Проводим биссекторную плоскость двугранного угла АВ до пересечения с SO в точке О_ь Эта плоскость есть геометрическое место точек, равно удалённых от граней SAB и АВС. ,zSO — высота правильной пирамиды — геометрическое место точек, равно удалённых от всех боковых граней пирамиды, и потому их точка пересечения равно удалена от всех граней пирамиды и, следовательно, есть центр вписанного шара.

456. Центр шара, описанного около тетраэдра, есть точка пересечения трёх плоскостей, проведённых перпендикулярно к рёбрам тетраэдра через их середины (см. № 452), а центр вписанного шара есть точка пересечения трёх биссекторных плоскостей, проведённых через три ребра тетраэдра, не выходящие из одной вершины (см. № 435). Пусть ABCD — правильный тетраэдр; проведём биссекторную плоскость двугранного угла DC, которая пересечёт противолежащее ребро в точке F. Пусть АО — высота правильного тетраэдра, тогда высота BE треугольника BCD пройдёт через точку О и поделит DC пополам; аналогично и АЕ — высота треугольника ACD, значит, угол ЛЕВ — ли

Черт. 196.

нейный угол двугранного угла DC, и потому прямая EF — биссектриса угла АЕВ. Но в треугольнике АЕВ стороны АЕ и BE равны, как высоты равных правильных треугольников ACD и BCD, значит, треугольник АЕВ — равнобедренный и биссектриса ЕЕ I АВ (1); кроме того, CD_\_ СВ и потому по теореме о трёх перпендикулярах для скрещивающихся прямых CD_\_AB (2). Поэтому ребро АВ, перпендикулярное к двум прямым CD и EF плоскости CFD, перпендикулярно и к самой плоскости CFD (по теореме о двух перпендикулярах). Значит, биссекторная плоскость двугранного угла правильного тетраэдра есть и плоскость, перпендикулярная к ребру в его середине, а потому центры вписанного и описанного шаров совпадают.

457. Вершина пирамиды (черт. 196) проектируется в центр окружности, описанной около основания (см. № 341), тогда её высота есть геометрическое место точек, равно удалённых от вершин основания пирамиды (см. № 343); проводим через середину бокового ребра плоскость, перпендикулярную к нему; эта плоскость есть геометрическое место точек, равно удалённых от концов этого ребра, и потому точка пересечения этой плоскости и высоты пирамиды равно удалена от всех вершин пирамиды и потому служит центром описанного шара.

458. Пусть SABCD. — пирамида, в которой двугранные углы АВ, ВС, CD,. равны между собой и SO — её высота. Из точки О плоскости основания проведём OK I АВ и соединим точки 8 и К прямой, тогда по теореме о трёх перпендикулярах SK. I АВ, значит, угол SKO — линейный угол двугранного угла АВ. Аналогично строим линейные углы SLO, SMO,. двугранных углов ВС, CD,. По условию двугранные углы АВ, ВС, CD,. равны, а потому равны и все линейные углы SKO, SLO, SMO,. Значит, прямоугольные треугольники SKO, SLO, SMO,. равны по общему катету SO и равному острому углу, а потому равны и катеты OK, OL, ОМ,. (1,) сторон основания пирамиды SABCD. и вписанного в основание. Из равенства треугольников следует также, что L K.SO = /, LSO = L 2И8О. (2). Проведём биссекторную плоскость двугранного угла АВ, которая пересечёт высоту SO в точке а из точки Ot перпендикуляры OtKi, OiLt, OtMt,. на грани SAB, SBC, SCD,.,., но плоскость линейного угла перпендикулярна его граням (см. № 348) и потому точка Ot проектируется на боковые грани так, что точка Ki будет на SK, L_t — на SL, Mt — на SM и т. д. Тогда прямоугольные треугольники SOtKi, SOtLt, SOtMj. равны, так как имеют общую гипотенузу SOt и равные острые углы, следовательно, OtKi = = 0iL₁ = 0₁M₁ = . (3). Проведённая биссекторная плоскость есть геометрическое место точек, равноудалённых от граней SAB и ABCD, значит, OtKi = OOi (4), а из (3) и (4) следует, что точка Ot равно удалена от всех граней пирамиды и является центром вписанного шара.

Плоскость, перпендикулярная к радиусу, проведённому в точку касания, касается шаровой поверхности, и потому точки Ki, Lt, Af_x,. будут точками касания.

459. 1) Возьмём правильный многогранник ABCDE., все рёбра его равны между собой. Через середины рёбер АВ, ВС и CD проведём плоскости а, р и у, перпендикулярные к этим рёбрам. Плоскость а есть геометрическое место точек, равно удалённых от точек А, В и 0 — от В и С, т — от С и D, следовательно, точка их пересечения О равно отстоит от вершин А, В, С и D. Проведём через середину какого-нибудь четвёртого ребра АК плоскости В, тогда плоскость В — тоже геометрическое место точек, равно удалённых от

т. е. точка О равно отстоит от потому является центром круга,