Сборник логических упражнений (Никитин) 1970 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Сборник логических упражнений (Никитин) 1970

Назначение: Сборник рассчитан на учителей математики, которые могут использовать упражнения на уроках и в кружковой работе, и на студентов физико-математических факультетов педвузов.

      Книга, состоящая из трех разделов («Понятия», «Суждения» и «Доказательства»), содержит 365 задач и вопросов. Большинство упражнений принадлежит автору, часть задач заимствована из различных источников. Более трудные задачи отмечены звездочкой.

© " Просвещение" Москва 1970

Авторство: Виктор Владимирович Никитин

Формат: DjVu, Размер файла: 1.25 MB

СОДЕРЖАНИЕ

От редактора 3

      Предисловие 6

      I. Понятия 7

      II. Суждения 21

      III. Доказательства 34

      Ответы, решения, указания 57

      Литература 95

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Сборник логических упражнений (Никитин) 1970 года

СКАЧАТЬ DjVu

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 ОТ РЕДАКТОРА

      В дореволюционной гимназии (а одно время — и в советской школе) преподавали логику. Логику часто определяют как «науку о законах правильного мышления». Предполагалось, очевидно, Что неотъемлемым атрибутом зрелости, по достижении которой человеку выдается аттестат, является умение мыслить (и к тому же — правильно мыслить).

      Против самого замысла возразить что-либо трудно, но на деле чаще всего получалось, что умение (или неумение) мыслить — само по себе, а «предмет», именуемый логикой, — сам по себе. Величайшее достижение античной науки — формальная логика Аристотеля оказывалась, если можно так выразиться, слишком пластичной, чтобы ее можно было легко приспособить к нуждам быстро развивающихся естественных наук, не говоря уже о чисто практических приложениях.

      Сравнительно совсем недавно — в 10 — 20-х годах нашего столетия — выяснилось, что все плодотворное содержание традиционной логики допускает гораздо более ясное и прозрачное изложение в терминах и представлениях логики современной — так называемой математической (или символической) логики. И в наши дни девять из десяти людей, изучающих логику, благополучно перешагивают через «классический» ее этап и овладевают исчислением высказываний и исчислением предикатов не с большим (хотя и не с меньшим), трудом, чем несколькими годами раньше или позже овладевают, скажем, химией или аналитической геометрией.

      Традиции «гуманитарного» преподавания логики, однако, далеко еще не умерли, и «традиционная формальная логика» не торопится уступать свое место в учебных планах нематематических факультетов. Это отчасти обусловлено и тем обстоятельством, что современные элементарные изложения логики, хотя и отказались от вводных глав, вреде «Теории понятия», составлявших солидную долю объема старых учебников, предполагают все же

      наличие у читателя хотя бы минимума «логической культуры», «интеллигентности мышления» или того, что мы привыкли называть «общей эрудицией».

      За последнее десятилетие в связи с широко известным проникновением в самые различные области знания и практической деятельности методов и идей машинной математики резко возрос и интерес к её идейному фундаменту — логике. Я уже не говорю о том, что саму задачу обучения «правильному мышлению» тоже как будто бы считать решенной или устаревшей рановато. Жизнь требует своего, и там, где нет ни традиционной «гуманитарной», ни современной «математической» логической базы, в целях ликвидации логической безграмотности, появляются многочисленные «сборники логических упражнений», к жанру которых принадлежит и предлагаемая вниманию читателя книга.

      К настоящему времени на русском языке вышло уже несколько, элементарных изложений логики и примыкающих к ней проблем, написанных на вполне современном уровне. В дополнение к указанной автором литературе порекомендую их читателю. (…)

      Сказанное, конечно, отнюдь не исключает потребности в книгах, непосредственно связывающих логические понятия и методы с живой практикой школьного преподавания. Разумеется, название настоящей книги достаточно условно, и «логическая» ее специфика состоит разве лишь в том, что особый акцент в ней делается не на собственно математическое содержание задач, а на их логическую структуру. И, как справедливо подчеркивает автор в своем предисловии, именно математические задачи — особенно благодарный материал для воспитания логической культуры школьников.

      Считаясь с реальным положением дел и сознавая, что требовать у читателя предварительного знакомства с логикой (математической ли, традиционной ли — безразлично) было бы неразумно, автор предпосылает своим задачам краткие теоретические сведения по логике. Указания эти, однако, были сведены к минимуму, поскольку приобрести интеллигентность мышления в результате прочтения даже солидного учебника по логике (не говоря уже об отрывочных и беглых подсказках походу изложения) — не более реально, чем усвоить интеллигентность поведения, проштудировав учебник хорошего тона.

      Культура (и поведения, и мышления) приобретается в процессе общения с людьми и в работе. Впрочем, читателю полезно помнить, что смысл всех «логических» терминов весьма близок (хотя и не всегда совпадает буквально) с обыденно-разговорным их значением, что понятия — это близкие аналоги известных каждому из нас по школьной грамматике имен существительных, суждения строятся из понятий по существу так же, как выражающие их предложения строятся из составляющих слов, а умозаключения — это просто цепочки суждений, построенные по простым и понятным правилам (каждое суждение из такой цепочки следует из предыдущих, — если, конечно, умозаключение построено правильно и заслуживает, следовательно, титула доказательства). Единственное — но непременное! — условие успешного усвоения материала книги состоит в том, чтобы ни один «ученый» термин ее не воспринимался как «само собой понятный» до того, как читатель действительно усвоит его содержание. Впрочем, это условие было бы полезно соблюдать при чтении и многих других книг. Что же касается этой, то она безусловно сможет принести пользу как учителям (настоящим и будущим), так и их ученикам-школьникам.

      Ю. А. Гастев.

     

      ПРЕДИСЛОВИЕ

      Одной из задач средней школы является развитие логического мышления учащихся. Эта задача наиболее успешно решается на уроках математики. При изучении математики логическая структура рассуждений раскрывается с наибольшей четкостью. Обучение умению оперировать понятиями, правильно строить и анализировать суждения (предложения, утверждения, высказывания), проводить умозаключения и доказательства всегда должно быть в центре внимания учителя математики.

      Систематическая и целенаправленная работа по развитию логического мышления учащихся затрудняется отсутствием специального пособия, содержащего логические вопросы и задачи из области школьной математики.

      Настоящий сборник представляет собой первый опыт создания такого пособия. Сборник рассчитан на учителей математики, которые могут использовать упражнения на уроках и в кружковой работе, и на студентов физико-математических факультетов педвузов.

      Книга, состоящая из трех разделов («Понятия», «Суждения» и «Доказательства»), содержит 365 задач и вопросов. Большинство упражнений принадлежит автору, часть задач заимствована из различных источников. Более трудные задачи отмечены звездочкой.

      Пособие содержит ответы и решения большинства задач, а также совсем краткие теоретические пояснения и рекомендации по использованию литературы. Автор надеется, что книга сможет оказать помощь учителю в. его повседневной работе.

      Автор выражает глубокую благодарность Ф. П. Козаченко и Н. А. Ростовцеву за ценные указания и советы. Автор глубоко признателен Н. Н. Шоластеру и А. А. Шершевскому за их обстоятельные рецензии.

      Все замечания и предложения автор просит направлять по адресу: Москва, 3-й проезд Марьиной Рощи, 41, издательство «Просвещение», редакция математики.

     

      I. ПОНЯТИЯ

     

      Те «кирпичи», из которых строится здание науки, принято называть понятиями. Каждая наука изучает не только и не столько отдельные, единичные предметы и факты, сколько общие понятия, формирующиеся в результате абстракции от свойств этих единичных предметов и фактов и в фиксировании того общего, что присуще всем им. Так, физика интересуется не столько отельными предметами, сколько общими понятиями - материальной точки и твердого тела, геометрия изучает не конкретные нарисованные на бумаге или на доске треугольники и окружности, а общие понятия треугольника, окружности и т. п. Совокупность свойств, присущих всем треугольникам, составляет, как говорят, содержание понятия треугольника, совокупность свойств всех окружностей — содержание понятия окружности и т: п. Понятие характеризуется также своим «объемом» — так называют множество предметов, подпадающих под определение данного понятия и характеризуемых им.

      В одних случаях понятие бывает удобнее задавать его содержанием (например, «Окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от какой-либо ее точки»), в других — объемом («Планеты Солнечной системы — это Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон»). Между содержанием и объемом существует тесная связь хотя и не вполне однозначная. Наиболее простой пример — понятия с пустым объемом, т. е. такие, что предметов, характеризуемых данным понятием, вообще не существует. Пустота объема понятия может определяться противоречивостью (несовместимостью) его свойств («остроугольный шар» и т. п.), но может быть следствием и чисто фактических обстоятельств. Например, в понятии «космонавт», как мы хорошо знаем, нет ничего противоречивого, между тем объем этого понятия (увеличивающийся на наших, глазах) еще совсем недавно был пуст.

      Один из распространеннейших способов задания, определения понятий — так называемые определения через род (некоторое более общее понятие) и видовое отличие (т. е, признаки, присущие не любым представителям этого более общего понятия, а лишь некоторым, подпадающим под данное определение). Пример: «ромб — это равносторонний параллелограмм». Переход от родового понятия к видовому называют ограничением понятия (кривая второго порядка — эллипс — окружность); обратный переход от вида к роду — обобщением (квадрат — правильный многоугольник — многоугольник). Разбиение родового понятия на непересекающиеся (т. е. не имеющие общих признаков) видовые понятия называют делением данного родового понятия («Треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные») . Про получающиеся в результате деления понятия говорят, что они находятся в отношении соподчинения.

      Понятия, определяемые внешне различный образом, могут и совпадать («равноугольный треугольники «равносторонний треугольник»); в этом случае их называют тождественными.

      Если же их объемы совпадают лишь частично («треугольник» и «правильный многоугольник»), то понятия пересекаются.

      Если содержания двух понятий определяются взаимно отрицающими друг друга свойствами (рациональные и иррациональные числа, соизмеримые и несоизмеримые отрезки и т. п.), то такие понятия называют противоречащими. Если же между двумя понятиями можно «вставить» некоторое третье, «нейтральное» (естественно, что здесь мы даем не определение, а лишь пояснение термина), то их называют противоположными (между положительными и отрицательными числами лежит нуль, между острыми и тупыми углами — прямой угол и т. п.).

      Все дополнительные термины, относящиеся к понятиям, поясняются по ходу формулировок задач.

      Более подробные сведения о понятиях читатель может найти в книге Д. П. Горского «Логика» (М., Учпедгиз, 1958.); см. также: В. В. Никитин и К. А. Рупасов. Определения математических понятий в курсе средней школы. М., Учпедгиз, 1963.

     

      1. Приведите примеры геометрических понятий, которые выражаются одним, двумя, тремя, четырьмя словами.

      4. Перечислите известные вам свойства прямой. Укажите но менее пяти свойств.

      5. Найдите геометрические свойства, общие для прямой и окружности.

      6. Что описывается в следующем предложении: свойство прямой или свойство плоскости?

      «Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и каждая точка этой прямой принадлежит этой же плоскости».

      А в этом предложении?

      «Всякая прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость на две выпуклые области».

      7. Укажите свойства, присущие всём треугольникам (основные, или необходимые, свойства); только некоторым треугольникам (отделимые свойства); свойства, не принадлежащие ни одному треугольнику (противоречивые свойства).

      8Г Приведите примеры теорем, в которых говорится о противоречивых признаках понятий.

      9. Перечислите свойства квадрата (приведите не менее 15 свойств).

      10. Перечислите свойства правильной усеченной пирамиды (укажите не менее 10 свойств).

      11. Укажите свойства, присущие всем прямоугольникам; свойства, присущие лишь некоторым из них.

      12. У параллелепипеда все грани — параллелограммы. Является ли это свойство свойством одних лишь параллелепипедов?

      13. Найдите общие свойства трапеции и ромба; треугольника и параллелограмма; прямоугольника и круга.

      14. Назовите свойства, которые являются общими для всех выпуклых многоугольников.

      17. В чем сходство прямой и наклонно» призм; в чем их различие?

      18. Перечислите основные свойства прямоугольника и ромба. Сравните эти свойства с основными свойствами квадрата.

      19. Укажите свойства, общие для прямоугольника и ромба. Сравните эти свойства со свойствами параллелограмма.

      20. Назовите свойства, которые могут принадлежать параллелограмму только одновременна.

      21. Назовите свойства, которые параллелограмму могут принадлежать как одновременно, так и отдельно друг от друга.

      22. Назовите свойства, которые параллелограмму могут принадлежать только отдельно друг от друга.

      23. Назовите такие свойства, которые параллелограмму могут принадлежать одновременно, причем одно из них (но не другое) может и отдельно принадлежать параллелограмму.

      24. Перечислите известные вам свойства правильного (выпуклого) пятиугольника.

      25. Докажите, что свойства пятиугольника иметь равные углы и равные стороны являются независимыми.

      26. Перечислите известные вам свойства ромба. Из перечисленных свойств укажите пары независимых свойств; пары несовместимых свойств.

      27. Для всех ли многоугольников равенство сторон и равенство углов являются независимыми свойствами?

      28. Приведите пример свойств, которые для одной фигуры были бы зависимыми, а для другой — независимыми.

      29. Рассмотрите.свойства четырехугольника; равенство всех сторон, равенство всех углов, равенство диагоналей; установите, в какой зависимости они находятся. Другими словам», установите, следует ш каждое из указанных свойств из остальных (вместе взятых и в отдельности). Эту же задачу решите для пятиугольника.

      30. Найдите зависимость между следующими рвойствами трапеции: равенство боковых сторон, перпендикулярность диагоналей, равенство высоты и средней линии.

      31. Приведите примеры свойств, которые для одной фигуры были бы зависимыми, а для другой — несовместимыми.

      32. Укажите свойства, которые для четырехугольника были бы несовместимыми, а для пятиугольника — независимыми.

      33. Какую связь между свойствами четырехугольника устанавливает теорема: «В параллелограмме противоположные стороны попарно равны»?

      34. Какую связь между свойствами параллелограмма устанавливает теорема: «В прямоугольнике диагонали равны»?

      35. Приведите примеры тождественных понятий.

      36. Приведите примеры пересекающихся понятий.

      37. Приведите примеры противоречащих понятий.

      38. Какие понятия являются противоположными (противоречащими) по отношению к понятиям: «больше», «положительный», «острый»?

      39. Приведите пример понятий, имя одного из которых получается прибавлением приставки «не» к имени другого, но не являющихся тем не менее противоречащими.

      40. Изобразите с помощью круговых схем («кругов Эйлера») отношение по объему между понятиями: 1) прямые, лежащие в одной плоскости; 2) параллельные прямые; 3) скрещивающиеся прямые. (Пересекающиеся понятия обозначаются пересекающимися кругами, несовместимые — непересекающимися, тождественные — совпадающими; отношение подчинения понятий обозначается включением соответствующих им кругов и т. п.)

      41. Найдите геометрические понятия, отношения между которыми соответствовали бы указанным на рисунке 2 схемам.

      42. Приведите примеры противоречивых понятий.

      43. Покажите несовместимость следующих условий: многогранник, все многогранные углы трехгранные, число вершин нечетное.

      44. Приведите примеры несравнимых понятий.

      45. Употребляя слова «все», «некоторые», «каждый», укажите отношение по объему между следующими понятиями: 1) прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник; 2) равносторонний треугольник, равноугольный треугольник; 3) прямоугольник, квадрат.

      46. В чем различие следующих предложений:

      1) на спектакле присутствовали все учащиеся нашего класса;

      2) на спектакле присутствовали учащиеся нашего класса;

      3) на спектакле присутствовали только учащиеся нашего класса;

      4) на спектакле присутствовали только некоторые учащиеся нашего класса;

      5) каждый учащийся нашего класса присутствовал на спектакле?

      47. Приведите примеры истинных суждений, содержащих слова: «все», «некоторые», «каждый», «не все», «любой»,; существует», «не существует», «только некоторые», «всякий».

      (…)

 

★ ЕЩЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "МАТЕМАТИКА"

ВСЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "МАТЕМАТИКА"

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика