Сборник практических задач по математике. Пособие для учителей начальных классов (Сорокин) 1971 год - старые учебники

 II КЛАСС

Повторение пройденного в I классе

Сложение и вычитание в пределах 100 71

Увеличение и уменьшение на несколько единиц 74

Сравнение чисел (на сколько одно число больше или меньше другого)

Сотня

Сложение и вычитание —

Умножение

Деление на равные части 87

Деление по содержанию 89

Табличное умножение и деление 92

Доли единицы. Нахождение доли числа 102

Дециметр

Увеличение и уменьшение числа в несколько раз 105

Кратное сравнение чисел 106

Повторение табличною умножения и деления 109

Внетабличное умножение и деление

Особые случаи умножения и деления 115

Время и его измерение: минута, час, сутки, месяц, год 129

Задачи-расчеты 135

Тысяча

Нумерация 139

Меры длины: километр, метр, дециметр, сантиметр 141

Меры веса: килограмм, грамм 145

Сложение и вычитание 148

Умножение и деление 152

Виды треугольников. Деление фигуры на части и составление сложной фигуры из данных частей 157

III КЛАСС

Повторение пройденного во II классе 161

Тысяча 165

Работа на счетах 165

Устные упражнения при изучений письменных приемов арифметических действий 167

Особые случаи: нуль в арифметических действиях 170

Изменение суммы и разности 171

Изменение произведения и частного 172

Многозначные числа 174

Задачи на нахождение чисел по двум разностям 177

Устные упражнения при изучении умножения и деления многозначных чисел 179

Задачи на движение 184

Задачи на пропорциональное деление 191

Дроби

Раздробление и превращение долей 194

Нахождение части целого числа и целого по его части 197

Числовые значения буквенных выражений 199

Четыре арифметических действия над числами в пределах 1 000 000

Устные упражнения (с последующей проверкой на счетах) 200

Задачи на вычисление среднего арифметического 216

Меры времени 222

Задачи-расчеты 233

Занимательные задачи 245

Некоторые замечания по изучению мер 250

Понятие о симметрии фигур 251

Измерение площади. Задачи 254

Диаграммы 267

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий «Сборник практических задач по математике» ставит своей целью помочь учителям начальных классов (особенно учителям, начинающим работу) в подборе для каждого класса по каждой теме задач с практическим содержанием (помимо тех, какие имеются в принятых учебниках по математике) и дать полезные советы по методике решения таких задач.

Задачи, помещенные в настоящем «Сборнике», заставят ученика действовать: рисовать, чертить, вырезывать, измерять отрезки, находить площади, добывать необходимые для решения задач сведения, составлять планы, сметы, диаграммы, производить денежные расчеты и т. п. В этом смысле приведенные задачи и названы практическими.

При решении таких задач ученики развивают инициативу, самостоятельность, конструктивные способности, находчивость и смекалку, т. е. все те качества, какие им нужны будут в дальнейшей практической деятельности. Задачи, предлагаемые нами, с первых же шагов школьной жизни ребенка вырабатывают в нем умение владеть карандашом, линейкой, ножницами и постепенно вводят в круг вопросов, связанных или со школьной жизнью, или с жизнью общества.

Чтобы облегчить работу с задачами практического характера, в «Сборнике» отведено значительное место методическим указаниям.

В основном «Сборник» предназначен для использования задач на уроке и для заданий на дом. Однако задачи повышенной трудности мы рекомендуем решать на занятиях кружка.

Пользоваться задачами «Сборника» можно не только в порядке последовательного расположения, их, но и выборочно в соответствии с тем, какие из них нужны учителю при изучении определенного раздела программы.

В задачах, требующих измерения отрезков и площадей, уделено немало места измерениям в классной обстановке, т. е. таким измерениям, которые служат выработке важных практических навыков.

Многие задачи и упражнения, помещенные в «Сборнике», можно использовать как проверочные, тренировочные или контрольные работы. Приведенные в «Сборнике» практические задачи помогут учителю, работающему с двумя классами, а также учителю, желающему организовать в классе дифференцированные занятия детей с учетом их индивидуальных способностей.

В основу настоящего 3-го издания этого пособия положен материал, помещенный ранее в «Сборнике практических задач по арифметике» (изд. 2. М., Учпедгиз, 1963). Однако содержание книги радикально переработано в соответствии с новой программой, а материал для IV класса исключен. Переработке подверглись не только задачи, но и методические указания.

Пользуюсь случаем, чтобы выразить свою глубокую благодарность членам секции начальной школы Учебно-методического совета Министерства просвещения РСФСР рецензентам товарищам Н. И. Игнатьеву, М. С. Нахимовой, М. И. Федогко, Е. И. Шамис, способствовавшим своими высококвалифицированными замечаниями улучшению качества настоящего «Сборника практических задач по математике».

Автор.

1 класс

ЧИСЛО И СЧЕТ В ПРЕДЕЛАХ ПЕРВОГО ДЕСЯТКА

Перед началом учебного года очень важно, чтобы учитель I класса познакомился со своими будущими воспитанниками и их родителями. В беседе с ними надо сказать, что необходимо приобрести для первоклассника: в частности, для обучения математике потребуется учебник, тетради, линейка длиной 30 см с делениями, небольшие ножницы, нож для затачивания карандашей и разрезания бумаги, циркульная ножка для вставки карандаша, резинки мягкие, несколько пакетиков из твердой бумаги или небольшие сумочки для хранения дидактического материала и рисунков. Следует рекомендовать родителям первое время ежедневно проверять, все ли необходимые для уроков предметы у ребенка уложены в сумку.

Так как дети, поступающие в 1 класс, имеют весьма различные познания (некоторые умеют уже читать и решать простые задачи, а другие не знают букв и цифр), то учителю полезно заблаговременно ознакомиться, с каким «багажом» пришел в класс каждый из них.

Для этого до начала занятий в школе надо побеседовать наедине с каждым ребенком, поступающим в I класс.

Предварительно необходимо заранее хорошо продумать и составить вопросы (не более 10 — 12), подготовить пособия (палочки, набор цифр, наборы кружков разного цвета и т. п.). Вопросы для такой беседы можно взять из статьи Я. Ф. Чекмарева или из статьи М. И. Моро («Известия АПН РСФСР». «Вопросы обучения детей в I классе», 1959, № 107, стр. 77):

1. Умеешь ли ты считать? Посчитай.

2. Я тебе назову какое-нибудь число, а ты считай дальше.

Например, я скажу два, а ты считай дальше:

3, 4, 5, ...; 3, считай дальше ...; 6, считай дальше ... .

3. Теперь попробуй в обратную сторону посчитать: от 5 назад, от 10..., от 7... .

4. Сколько здесь лежит палочек? (Перед учеником 9 палочек.)

5. Слушай внимательно: «Мама сорвала с одной грядки 3 огурца, с другой 2. Сколько всего огурцов сорвала мама?»

6. «У мальчика было 5 тетрадей, он отдал 2 тетради сестре. Сколько тетрадей осталось у мальчика?»

7. Если к 4 прибавить 3, сколько получится?

8. Если от 6 отнять 3, сколько останется?

9. Узнай, синих кружков столько же, сколько и красных, или больше: а) предлагается для сравнения две кучки кружков одинакового размера, но разного цвета — 5 синих и 5 красных; б) предлагается для сравнения 6 синих кружков и 7 красных.

10. Что больше: 2 или 3? 7 или 8? 6 или 4?

Чтобы полученные по такой схеме данные могли быть использованы в работе учителя с классом наилучшим образом, надо придумать форму записи ответов детей. Такие формы имеются в указанной нами книге («Известия АПН РСФСР», 1959, № 107) на страницах 78 и 79.

Занятия с детьми в I классе в первые дни учебного года — дело нелегкое и очень ответственное, так как обычно приходится начинать работу с детьми, имеющими разное развитие, а их всех необходимо занять и заинтересовать. В эти дни учителю надо готовиться к урокам особенно тщательно, чтобы суметь привлечь к работе всех учеников класса.'

Если учитель заранее выяснил знания детей по математике н разбил их по степени знаний на группы, то ему надо готовить материал для каждой группы отдельно, чтобы во время урока все дети не только были заняты, но увлечены работой. С этой целью детям следует давать различные практические работы, изготовление наглядных пособий, например: вырезать из бумаги геометрические фигуры (квадраты и круги), изготовить по десять палочек и др.

На первых трех уроках учитель попутно с такими занятиями решает практические задачи, данные в учебнике и в настоящем «Сборнике», привлекая сначала более подготовленных учеников и постепенно вовлекая в работу всех детей.

Уроки по математике должны быть оборудованы необходимыми наглядными пособиями и измерительными инструментами: счетами, линейками (метровыми, 60- и 30-сантиметровьши), треугольниками, рулетками, сантиметровыми (портновскими) лентами, классными и ученическими циркулями, ножницами, запасом белой и цветной бумаги, различным раздаточным материалом (геометрическими фигурами, одинаковыми картинками или игрушками, палочками, пуговицами, камешками, орехами, желудями, шнурами разной длины и т. п.). Все это должно храниться в классном шкафу.

Обычно в первые дни занятий учитель выявляет представления и понятия детей, такие, как: «направо — налево», «больше — меньше», «длиннее — короче», «шире — уже», «толще — тоньше», «глубже — мельче». Выяснение этих понятий надо проводить непременно на конкретном материале, причем когда, например, учитель хочет выяснить понятие «длиннее — короче», он берет в руки две линейки, одинаковые но ширине, но разные по длине, а когда речь идет о понятии «шире — уже», тона-до взять две линейки (или ленты), одинаковые по длине, но разные по ширине. Для выяснения понятия «толще — тоньше» можно взять две различные по толщине веревки, или два шнура, или две палки, и во всех случаях эти предметы лучше брать одинаковые по длине. Понятие «глубже — мельче» желательно показать на двух стеклянных сосудах с водой, например: налить водой до краев две равные по высоте банки и проверить глубину их палочкой.

Для выяснения понятия, «дороже — дешевле» надо спросить детей о стоимости известных им предметов, например: сколько стоит ученическая тетрадь? (1 коп., 2 коп.) Сколько стоит линейка? (4 коп., 6 коп.) Что дороже? Что дешевле?

Дальше проверяются и расширяются познания детей в свете каких-нибудь однородных предметов: окон в классе, парт в одном ряду, домиков или птичек на картинке, цветков и т. п., а также познания детей в отвлеченном прямом и обратном счете в пределах первого десятка.

На одном из уроков в первую неделю занятий необходимо изготовить из картона или цветной бумаги по 10 квадратов (со стороной 2 — 3 см). Для этой цели лучше всего каждому ученику (или хотя бы на каждую парту) дать для образца картонный квадрат, предложить детям на листе плотной бумаги или картона,из которого они будут изготовлять фигуры, карандашом очертить стороны квадрата и вырезать его ножницами (или ножичком). Лучше очертить сразу все 10 квадратов, а затем уже их вырезать. Объясняя задание, учитель сначала на доске, а потом на бумаге показывает, как очерчивать и как вырезать квадрат, и следит, как это делают дети.

Изготовленные квадраты будут служить детям дидактическим материалом для прямого и обратного счета, изучения арифметических действий, составления числовых множеств, решения задач. (Если в приложении к учебнику имеются готовые квадраты или другие фигуры для вырезывания, то самодельные надо делать таких же размеров и такого же цвета, как и готовые, чтобы они могли служить заменой в случае утери или порчи готовых фигур.)

Подобным же образом (с помощью образчиков, данных учителем) ученики могут изготовить из картона или цветной бумаги круги диаметром 2 см (величиной в 15-копеечную монету). Изготовленные квадраты желательно хранить в одном пакете, а круги — в другом.

В первые дни занятий можно ограничиться изготовлением только этих двух фигур, а во время второй учебной декады таким же путем следует изготовить равносторонние треугольники (со стороной 2 — 3 см) и прямоугольники (со сторонами 2 см и 3 см). Для этих фигур потребуются еще два пакетика.

При счете различных предметов надо соблюдать следующий порядок: при прямом счете дети откладывают их налево (аналогично тому, как при прямом счете откладываются косточки на счетах), при обратном же счете — направо.

На первых порах при помощи изготовленных фигур можно решать, например, такие задачи (в дополнение к задачам стабильного учебника).

1. Положите на парт.у 7 квадратов и на каждый из них положите по кружку. Подсчитайте, сколько кружков вы положили.

2. Положите на парту 10 палочек и к каждой палочке снизу приложите по одному кружку. Сколько кружков вы приложили?

3. Закройте глаза и положите на парту 8 кружков, а под ними внизу положите квадраты, так чтобы квадратов было на один больше, чем кружков. Сколько квадратов вы положили? Откройте глаза и проверьте.

4. С закрытыми глазами положите на парту 6 палочек, а во втором ряду положите квадраты, так чтобы квадратов было на один меньше, чем палочек. Сколько квадратов вы положили?

Указание*. При выполнении заданий № 3 и 4 дети используют осязание. Таких задач желательно проделать несколько.

* Все указания в «Сборнике» даются для учителя, указания же для учащихся, если они необходимы, даны в текстах задач.

5. Положите 5 палочек. Что нужно еще сделать, чтобы на парте лежало 6 палочек? А что нужно сделать, чтобы на парте осталось 4 палочки?

Указание. От учащихся требуется ответ: «Чтобы стало 6 палочек, надо добавить одну палочку, а чтобы стало 4 палочки, надо убавить (или отнять) одну палочку». Второй вопрос задается тогда, когда учащиеся, ответят на первый.

6. Положите на парту столько палочек, сколько раз я стукну (учитель стучит, например, 4 раза).

Указание. Перед стуком следует предупредить детей, чтобы они молча считали. Проходя по рядам, следует проверить, все ли правильно положили палочки. Таких упражнений надо сделать несколько, увеличивая число ударов.

7. Сосчитайте, сколько раз я стукну, и положите на парту кружочков на один больше (учитель стучит 5 раз).

8. Сосчитайте, сколько раз я стукну, и положите на парту квадратов на один меньше (учитель стучит 6 раз).

Будьте внимательны! Еще раз сосчитайте, сколько раз я стукну (учитель стучит 4 раза, затем делает паузу в 2 сек и еще стучит 3 раза). Сколько всего стуков? Подряд ли я стучал? А как?

Игра. 1) Назовите быстро 4 различных цвета, 4 птицы, 4 имени мальчиков.

2) Назовите быстро 5 различных имен девочек, 5 домашних животных, 5 кушаний, 5 ученических принадлежностей.

3) Придумайте сами такие игры. Можно брать не 4 вида различных предметов, а 3.

Игра. Кто больше составит фигур из 1) 3 палочек? 2) 4 палочек? 3) 5 палочек?

Указание. Дети, раскладывая палочки различным образом, получают разные фигуры, например из трех палочек:

Чтобы выполнить эту игру, надо, чтобы у каждого ученика было по нескольку десятков палочек. В противном случае можно игру вести «на карандаше», но в этот период учащиеся едва ли смогут сделать много фигур карандашом.

9. Обведите карандашом в тетради столько квадратиков, сколько окон в классе.

10. Нарисуйте столько кружков, сколько поставлено картинок на планке доски (учитель ставит, например, 4 одинаковые картинки).

11. На планке поставлены картинки (учитель ставит 6 одинаковых картинок), а вы нарисуйте в тетради палочки, так чтобы палочек получилось на одну больше, чем картинок.

12. На планке кубики (учитель ставит 7 кубиков), а вы нарисуйте палочек на одну меньше, чем кубиков.

Указание. Понятие числа (в данном случае множества каких-либо предметов) с помощью различных анализаторов — зрения, слуха, осязания, движения — является важным фактором освоения числа.

13. Положите на парту в одном ряду несколько палочек, а в другом ряду — несколько кружочков. Чего больше — палочек или кружочков вы положили или палочек столько же, сколько кружков?

14. Положите в один ряд по линейке 6 квадратов, а в другой ряд — столько же кружков. Сосчитайте квадраты# сосчитайте кружки. Можно ли сказать, что квадратов и кружков лежит поровну?

15. Положите на парту столько палочек, сколько на одной руке пальцев. Сколько пальцев на одной руке? Сколько палочек вы положили? Сколько нужно положить палочек, чтобы их было столько, сколько пальцев на двух руках? Сделайте это.

16. Положите на парту в верхнем ряду 4 квадрата, а в нижнем ряду — 5 таких же квадратов. Кладите один квадрат под другим. В каком ряду больше квадратов — в верхнем или в нижнем? Какое число больше — 4 или 5? На сколько больше? Какое число меньше — 4 или 5? На сколько меньше?

Указание. Предварительно такая задача решается у доски с помощью каких-либо предметов: учитель кладет на планку, например, 3 картинки, а вызванному ученику дает в руки 4 такие же картинки и предлагает положить их ниже под каждой картинкой. Ученик положит 3 картинки, а четвертую вынужден будет положить дальше. После этого учитель задает вопросы.

17. Положите на парту в одном ряду 6 квадратов, а во втором ряду под ним 5 таких же квадратов. В каком ряду квадратов меньше — в верхнем или нижнем? А в каком ряду больше? Какое число больше — 5 или 6? А какое из них меньше? На сколько 6 больше 5? На сколько 5 меньше 6?

Указание. Учитель должен добиться от учеников, чтобы они уяснили понятия «столько же», «больше» и «меньше» не только на предметах, но и на числах. Уяснение этих понятий имеет важное значение для сознательного изучения детьми натурального ряда чисел, устной и письменной нумерации. С этой же целью можно и нужно спрашивать учащихся, «на сколько больше или меньше» какое-нибудь число соседнего с ним в натуральном ряду числа. Спрашивать же, каким действием узнают об этом учащиеся, на данном этапе, конечно, не следует, так как это будет выясняться лишь при решении задач на разностное сравнение.

18. Сложите на парте из палочек домик, подсчитайте, сколько палочек потребовалось на это, и положите столько же квадратов.

19. Сложите из палочек пароход, подсчитайте, сколько на это потребовалось палочек, и положите на парту столько же кружков.

20. Положите квадраты перед собой направо, считайте их по одному, откладывая налево. Сколько всех квадратов?

21. Теперь берите в руку по одному квадрату, откладывайте направо и говорите, сколько квадратов остается слева.

Указание. Предложить детям такой же прямой и обратный счет при помощи кругов.

При прямом и обратном счете учащиеся уже должны понимать, что каждое число натурального ряда представляет собой множество каких-либо предметов (единиц), количество которых равно тому последнему числу, которое названо при счете.

Кроме того, при изучении прямого и обратного счета каждый учащийся должен понимать, как образуется любое число натурального ряда: при прямом счете для образования следующего числа прибавляется единица, а при обратном — - вычитается единица. Этому способствуют те упражнения, которые выполняют учащиеся, решая задачи «Сборника», а также прямой и обратный счет каких-либо предметов: палочек, геометрических фигур, косточек счетов, предметов окружающей обстановки, картинок и т. п.

При изучении места числа среди других натуральных чисел в пределах 10 полезно проводить следующие 4 вида упражнений: 1) Какое число следует, скажем, после 7? 2) Какое число находится перед 7? 3) Какое число находится между 6 и 8? 4) Среди каких чисел находится число 7? Или: назовите числа, соседние с числом 7.

Наряду с изучением количественных числительных (одни, два, три и т. д.) надо научить детей и порядковым числительным (первый, второй, ..., десятый). Для этого полезно проделать ряд упражнений.

1) Вызвать к столу 5 учеников и предложить им слева направо пересчитаться: первый, второй, третий, четвертый, пятый (учитель спрашивает: «Каким по счету от окна в нашем ряду будет Коля? (Первым.) А Миша?

(Вторым.) Считайте дальше!» Когда каждый из учеников будет иметь свой номер, можно предложить поменяться местами первому со вторым, первому с третьим и т. д. После такой перестановки предложить детям встать так, как они встали вначале, и подобную же перестановку предложить сделать другим учащимся. После каждого обмена один из учеников подсчитывает количество всех учащихся. Затем можно вызвать пять-шесть учениц, которые будут считать: первая, вторая, третья и т. д. Они проделывают тоже ряд перестановок.