Символы, обозначения, понятия школьного курса математики (Антипов, Шварцбурд) 1978 год - старые учебники

ВВЕДЕНИЕ

В 1977 г. средняя общеобразовательная школа полностью , перешла на новое содержание обучения по математике. Происшедшие изменения связаны не только с введением нового содержания, но и с коренной перестройкой всей методической системы преподавания традиционных вопросов. Новый курс математики в настоящее время представляет собой единую систему обучения с I по X класс.

В целях совершенствования преподавания математики немаловажное значение приобретают вопросы согласованного использования символов, обозначений, терминов и понятий. Их обсуждение целесообразно начать с сопоставительного рассмотрения указанных элементов в системе действующих учебников и учебных пособий на 1977/78 учебный год. Такой "срез" поможет взглянуть на всю систему символов, обозначений и понятий с общих позиций, увидеть распределение компонентов системы по классам и предметам. Этим может быть облегчен просмотр сквозной методической линии введения математических понятий в школьный курс.

В данной книге представлен лишь констатирующий материал, который может помочь проведению более глубокого анализа учебных пособий по математике и способствовать лучшей ориентации учителя в указанной системе (с I по X класс).

Не являясь справочником, эта книга освещает некоторые особенности изложения материала в том или ином учебнике. При этом же следует учесть, что разные способы введения понятий в учебниках, концентрация понятий по классам, употребление математических записей и другие имеют свое методическое обоснование, раскрытие которых не ставили перед собой авторы этой книги.

В книге обращается внимание на смысловое различие символа и обозначения. В математике имеется некоторый набор символов, из которых строятся обозначения. Часто встречаются односимвольные обозначения, например однозначные числа, однобуквенные обозначения и т. д.

Не всегда по начертанию можно понять - один это символ или их несколько. Приведем пример. Среди символов имеется символ "вертикальная черта". Далее, знак параллельности изображается с помощью двух вертикальных черт ||. Может возникнуть вопрос: считать ли знак параллельности одним самостоятельным символом или рассматривать его как комбинацию из двух символов. Знак =И= также можно считать самостоятельным символом или рассматривать его как комбинацию (наложение) символов = и / (косая черта). В практике для сложных символов используют как комбинации имеющихся штампов (наложение, группировка),так и отдельные штампы.

Выделение символа носит условный характер. В приведенных выше примерах можно было подойти по-разному к такому выделению. В примере же обозначения модуля числа х, а именно |х|, исключается разное толкование. Это обозначение представляет собой набор трех символов: | , х , |. Отделяя символы от обозначений в курсе математики, мы исходим из следующего. Символом будем считать такое начертание, для которого можно изготовить "штамп". Примерами таких штампов могут служить знаки клавиш пишущей машинки или клавиш пульта вычислительной машины, знаки типографского шрифта и т. д. При таком подходе знак || можно считать самостоятельным символом. Записи |х|, |4В| представляют собой обозначения, они не являются символами, для них не изготавливаются отдельные штампы, так как у них содержание между вертикальными чертами различно. Что касается обозначений функций синуса, косинуса и др., то, вообще говоря, можно изготовить штампы sin, cos, ... (как это сделано, например, на микрокалькуляторах). В некоторых языках программирования среди символов широко используются целые служебные слова.

Традиционный язык школьного курса математики далек от какого-либо универсального языка программирования, предназначенного для использования ЭВМ. Однако тенденция сближения языков программирования с языком математики и их взаимное влияние заставляют более четко вычленять средства математических описаний школьного курса математики. В связи с этим в данной книге обращено внимание на такие важные компоненты языка математических описаний, как символы, обозначения и понятия.

В разделе I приводится сводная таблица символов всего курса математики средней школы. В разделе II на основе имеющейся символики изложена система обозначений, принятая в этом курсе. Далее в разделе III перечисляются наиболее важные понятия школьного курса математики (по предметам и по годам обучения). Отметим некоторые особенности изложения материала.

Сначала фиксируется некоторая совокупность символов, что поможет во многих случаях различить символ и обозначение. В настоящее время в конце некоторых учебных пособий приводятся списки обозначений, которые в них используются. Но в этом деле наблюдается разнобой. В одних книгах эти списки называют указателями символов, в других - указателями обозначений, хотя существо их зачастую одно и то же.

При перечислении понятий мы придерживались следующего. Понятия, которым в учебнике дается явное определение или пояснение, похожее на определение, снабжаются соответствующими определениями или пояснениями. Понятия же, которые объясняются на примерах или которым даны расплывчатые пояснения, просто перечисляются без сопроводительного текста. Тексты определений и пояснений приводятся точно такими, какими они даны в учебниках (лишь в редких случаях мы допускаем редакционные изменения, соответствующие стилю нашего изложения).

В связи с различием подходов, реализованных в учебниках и учебных пособиях, и сложностью выделения точной принадлежности вводимых в учебных пособиях понятий, символов и обозначений в настоящей книге зачастую нет ожидаемых обобщений, а лишь указываются отдельные примеры. Например, при перечне возможных обозначений перпендикулярности объектов приведены не все случаи и т. п.

В заключение отметим, что любой учебник или учебное пособие хорошо снабдить перечнем употребляемых в нем символов и обозначений, а также предметным указателем, как это сделано в некоторых учебниках.

Авторы выражают благодарность рецензентам В. А. Гусеву, В. Л. Миронову, Л. Ф. Пи чур и ну за сделанные замечания. Они помогли авторам улучшить рукопись.

Авторы

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В данной работе сделана попытка рассмотреть всю совокупность символов, обозначений и понятий в учебниках и учебных пособиях по математике средней школы. Такой обзор может помочь учителю представить себе общую картину введения основных понятий, обозначений и символов, их распределение по учебникам и учебным пособиям, не прибегая к утомительному просмотру всех учебных книг. Несмотря на то, что включенный в книгу материал имеет констатирующий характер (отражает фактическое положение), при его подготовке возникли большие затруднения. В первую очередь они связаны со значительными различиями изложения учебного материала в разных учебных книгах. Во введении были указаны выделенные нами концентры, в пределах которых соблюдаются определенные принципы освещения и внешнего оформления основного содержания обучения. Однако внутри таких концентров и даже в пределах одного учебника не всегда осуществляется единый методический подход к введению и выделению основных понятий. Встречаются случаи, когда в пределах одной учебной книги понятия вводятся по-разному, поясняются или определяются. Так, одни понятия вводятся по всей строгости с помощью явного определения, другие- при помощи одних лишь разъяснений, заменяющих определение, третьи - с помощью пояснительных примеров, а четвертые - в общем тексте учебника, как бы попутно, без особого выделения. При этом часто и внешнее оформление не подчиняется единому подходу (отличаются шрифтовые выделения, отделение или отсутствие такового от основного текста и т. п).

Дополнительные трудности возникли при объединении материала из разных учебных пособий и особенно из разных кон-центров. В связи с этим выделенная нами совокупность понятий может в одном месте с определенной точки зрения оказаться неполной, а в другом - избыточной, а поэтому некоторые вопросы такого выделения представляются дискуссионными. Однако мы надеемся, что данная работа поможет наметить единые подходы к оформлению учебного материала в учебной книге, разумеется, с учетом возрастных особенностей школьников и специфики конкретного содержания. Это в свою очередь поможет решению одной из проблем учебника математики: окажет влияние на упорядочение и приведение в систему понятий школьного курса математики. Учителю книга даст возможность увидеть всю систему понятий и их место в курсе.

Рассмотрение системы понятий помогает выяснить роль и место символов и обозначений в курсе математики. Изучение школьниками символики курса математики имеет большое общеобразовательное и воспитательное значение не только потому, что в наше время, время математизации наук, она готовит учащихся к научному, абстрактному мышлению, но и потому, что готовит учащихся к жизни в условиях, когда все больше и больше встречаются и функционируют условные знаки и знаковые системы.

Человек на протяжении всей жизни имеет дело с символами и знаками самой разнообразной природы: Герб и флаг нашей Родины, пятиконечная красная звезда; символика пионерской и комсомольской атрибутики; символы нотной грамоты; денежные знаки; знаки дорожного движения; азбука Морзе, световые и звуковые сигналы; условные знаки географических карт; различные обозначения в курсах физики, химии, черчения и других предметах, в современном производстве и технике и т. д. Многие из этих символов имеют идейно-воспитательную направленность, помогают учащимся ориентироваться в информации, которую им необходимо воспринимать и обрабатывать.

Математическая символика является составной частью многих видов информации. Школьный курс математики является одним из наиболее естественных мест для систематического и сознательного усвоения учащимися общих принципов использования и переработки знаковой информации.

Знаки и знаковые системы детально обсуждаются в книге '"Психологические проблемы переработки информации", представляющей собой сборник статей ("Наука", 1977.) Обсуждая эту проблему в самом широком плане, статьи сборника указывают на ее злободневность в плане подготовки современного человека к восприятию и переработке знаковой информации. При этом достаточное внимание уделяется той роли, которую играют математические знаки в абстрактном мышлении человека, затрагиваются вопросы обучения математике с позиций усвоения знаков и знаковых систем.

Обсуждая терминологию, авторы4 первой статьи сборника "Психологические аспекты методологии и общей теории знаков и знаковых систем" М. В. Га мезо, Б. Ф. Ломов, В. Ф. Рубахин освещают и тонкости смыслового различия терминов "математические знаки" и "математическая символика".

В плане данной работы эти терминологические различия не являются принципиальными. Мы пользуемся общепринятым толкованием термина "математическая символика" и учитываем, что в области программирования для ЭВМ широко используется термин "символ" в смысле "знака". Среди математических символов есть устоявшиеся названия "знаки математических действий (операций)", "знаки отношений" и др.

Изучение символики курса математики связано с усвоением знаний других дисциплин учебного плана. Математические символы и обозначения встречаются в обиходе и окружающей уча-щихся действительности, при изучении всех предметов школы. Вместе с тем изучение математических символов, обозначений и понятий в других предметах не всегда согласовано, особенно в период перехода на новое содержание обучения. Различие в употреблении символов и обозначений нередко приводит к нарушению ГОСТов.

Материал данной книги может помочь общей работе по согласованию преподавания разных учебных предметов, установить более тесные меж предметные связи и тем самым способствовать восприятию учащимися целостной картины изучаемых ими явлений и фактов.

Рассмотрение с единых позиций символики в других предметах, ее меж предметное согласование и как следствие из этого неизбежное сокращение числа изучаемых учащимися символов, ликвидация разнобоя и противоречий употребления символов - несомненный резерв совершенствования обучения. Такая работа могла бы служить одновременно частью решения общей философской и психологической проблемы переработки знаковой информации человеком нашего общества.