ЛЮДИ И ЧИСЛА

Число, возможно, самое удивительное творение человеческого гения. Уже мыслители Древней Греции удивлялись неисчерпаемости его свойств и многообразию применений. Честь открытия числа приписывали мифологическим героям или богам. Выдающийся древнегреческий драматург Эсхил (525—456 гг. до н. э.) написал драму «Прометей прикованный», где герой, перечисляя главнейшие открытия, которые он передал людям, говорит:

Я всходы и закаты звезд Им первый показал. Для них я выдумал Науку чисел, из наук важнейшую.

Считали даже, что числа вечны, были всегда — столь трудно представить жизнь без этих постоянных спутников и помощников в делах человека. Много красивых и занимательных легенд сложили люди о числах. Но только длительное изучение культуры разных народов, первых математических текстов, математических знаний людей древнекаменного века (палеолита) раскрыло еще более удивительную, но уже не мифическую, а действительную историю возникновения и развития понятия числа. Конечно же, числа, как и другие изобретения человека, не вечны и не подарены ему кем-то, а создавались самим человеком на определенном уровне обобщения огромного опыта решения задач практического характера. Более ста лет тому назад Ф. Энгельс опроверг идеалистические измышления об истоках возникновения и движущих силах развития понятия числа. В своей гениальной книге «Анти-Дюринг» он писал: «Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума» (Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 37).

Итак, понятие натурального числа создавалось как модель количественной характеристики конечных и равночисленных совокупностей объектов действительного мира независимо от их физической природы. Сегодня это очевидная истина. Но так было не всегда. Не всегда были и числа. В 1973 г. ученые встретили в джунглях острова Минданао (Филиппины) неизвестное ранее племя людей — тасадаев. Когда у них спросили, сколько человек насчитывает их племя, тасадаи не только не могли ответить на поставленный вопрос, они даже не знали, о чем у них спрашивают. Тасадаи катастрофически отстали в своем математическом развитии, их математика еще оставалась на дочисловом уровне. Они не знали даже первых натуральных чисел I, 2, 3, 4. Поистине ошеломляющий марафон должна была пройти человеческая мысль, чтобы от математики тасадаев достичь высот, на которые приглашает читателей эта книга.

В ней уже сняты леса огромной стройки и творение поколений безымянных и известных нам Колумбов математики предстает перед читателями во всем своем блеске и великолепии. Некоторым читателям книга эта может показаться несколько утомительной. Изучение азбуки или музыкальных гамм — тоже не развлечение. Но только овладев ими, мы можем насладиться поэзией А. С. Пушкина и Т. Г. Шевченко, музыкой Моцарта и П. И. Чайковского.

В науке чисел есть своя особенность, не сразу постижимая красота — логическое совершенство построения числовых систем.

Различные системы счисления и строгие правила действий над числами — это не свободные творения разума. Они обладают теми свойствами математических понятий и отношений между ними, которые превращают эти понятия в наиболее совершенные модели количеств и количественных отношений объектов окружающего человека мира. Именно поэтому числа завоевали огромный авторитет надежного и мощного инструмента в познании тайн природы, безотказного в практической и хозяйственной деятельности и самых тонких теоретических исследованиях.

Интересно и весьма полезно знать хотя бы главные этапы на пути восхождения человека к вершинам числа от счета на пальцах до ЭВМ. Гениальный математик, создатель одной из первых вычислительных машин Г. В. Лейбниц (1646— 1716) предупреждал: «Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет.».

Чтобы раскрыть читателям глубину результатов, связанных с овладением счетом и системами счисления, изложение теоретического материала книги сопровождается краткими повествованиями о наиболее впечатляющих открытиях тайн числа и его важнейших применениях.

А. Г. Конфорович

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

Под системой счисления обычно понимают совокупность приемов записи и наименования чисел.

Системы счисления подразделяются на непозиционные и позиционные.

Примером непозиционной системы счисления, достаточно широко применяющейся в настоящее время, может служить так называемая римская нумерация (римские цифры). В этой системе значение цифры не зависит от ее положения в записи числа. Например, в записи числа XXX (тридцать) цифра X в любом месте означает число десять.

Примером позиционной системы является хорошо известная нам десятичная система счисления. В позиционной системе счисления значение каждой цифры изменяется с изменением ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в записи числа 555,5 цифра пять повторяется четыре раза, но при этом самая левая означает количество сотен, стоящая рядом с ней справа — количество десятков, еще правее, перед запятой,— количество единиц, а цифра, стоящая после запятой,— количество десятых долей единицы.

Последовательность цифр 555,5 представляет собой сокращенную запись выражения:

5 • 10² + 5 • 10' 4-5 • 10° + 5 • 10"¹ , где

10²=100, 10' = 10, 10°= 1, 10"' = -^.

В десятичной позиционной системе счисления для записи любых чисел используются только десять различных знаков (цифр):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Эти знаки введены для обозначения десяти последовательных чисел, начиная с нуля и кончая девятью. Число десять мы обозначаем уже символом «10». Для записи этого числа мы не вводим новых знаков, а пользуемся уже имеющимися.

Запись чисел в этой системе основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего, старшего разряда. В связи с этим саму систему называют десятичной, число десять — основанием системы,

а знаки (цифры) 0,1,2,3,4,5,6,7,8.9 — базисными числами системы (они служат для обозначения некоторых различных целых и дробных чисел).

Итак, в позиционной системе счисления значение каждой цифры поставлено в зависимость от того места, где она стоит в изображении числа.

Позиционные системы нашли широкое применение в практической деятельности людей.

К непозиционным, как уже отмечалось, относится римская система.

Историческая справка

Тасадаи — племя людей, так и не открывших числа, не дошедших даже до счета на пальцах, все же умели получать информацию о количестве предметов, имевших важное значение в их практической деятельности Они сравнивали количества таких предметов с некоторыми наиболее часто встречающимися совокупностями однородных и наиболее важных объектов. Если надо было сообщить, что поймана одна рыба, убит один зверь и т. д., вспоминали Луну или Солнце, если же речь шла о двух предметах, им соответствовали слова «губы», «глаза», «уши», «крылья» и т. д., если о четырех — «стороны света», о пяти — «рука», о десяти — «обе руки». Таким образом, численность предметов сравнивалась с численностью некоторой совокупности-эталона. Полученная количественная характеристика была еще неотделима от конкретных качественных свойств пересчитываемых предметов. Однако, не зная еще чисел, человек все же научился устанавливать отношения «равно», «больше» и «меньше». Открытие совокупностей-эталонов, каждая из которых как бы представляла бесконечный класс равночисленных конечных совокупностей, стало очень важным шагом на пути формирования понятия числа.

Со временем числа-качества начали постепенно отделяться от конкретных объектов. Так, у аборигенов Флори-

ды «на-куа» — это 10 яиц, «йа-ба- нар» — 10 корзин и т. д. И хотя самого слова «на» («десять»), отделенного от конкретных объектов, еще нет, но человеческая мысль уже зафиксировала, что это «на» есть чем-то общим в различных совокупностях и зависит не от конкретного содержания составляющих их предметов, а лишь от их количества.

Усложнение практической деятельности и огромная умственная работа по обобщению ее результатов с неизбежностью привели человека к формированию первых натуральных чисел, вначале только 1 и 2. Но это было огромное завоевание теоретической мысли. К. Маркс писал: «.Первой теоретической деятельностью рассудка, который еще колеблется между чувственностью и мышлением, является счет» (М а рксК., Энгельс Ф. Соч., т. 1, с. 31).

На берегах Амазонки, в Южной Америке в прошлом веке было обнаружено племя индейцев, которые знали только три натуральных числа: 1,2 и 3.