Сто задач по математике (Штейнгауз) 1986 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Сто задач по математике (Штейнгауз) 1986

Назначение: Настоящий сборник элементарных задач должен ввести читателей в практику универсального метода трактовки явлений, которому греки дали название математика, облегчить им переход от практики средней школы к настоящей математике и показать им эту науку на доступном материале. В связи с этим предлагаемый сборник предназначен, прежде всего, для учителей и более способных учеников.

      Большинство задач оригинальны, но не все: некоторые из них общеизвестны, некоторые принадлежат другим авторам; в тех случаях, когда автор известен, я называю его имя.

© "НАУКА" ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1986

Авторство: Гуго Штейнгауз, Перевод с польского Г. Ф. Боярской, Б. В. Боярского

Формат: DjVu, Размер файла: 2.37 MB

СОДЕРЖАНИЕ

От издательства 6

Из предисловия к английскому изданию 7

Из предисловия к польскому изданию 8

 

Глава I. ЧИСЛА, РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА

1. Упражнении по таблице умножения 9 46

2. Интересное свойство чисел 9 46

3. Делимость на 11

4 Делимость чисел 10 49

5. Облегченная теорема Ферма 10 50

6. Расстановка чисел 10 50

7. Обобщение 10 50

7а. Перестановка букв 10 53

8. Пропорция 11 53

8а. Симметрические выражения 11 54

9. Иррациональность корня И 54

ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...

10. Неравенство 11 54

11. Числовые последовательности 11 55

 

Глава 2. ТОЧКИ. МНОГОУГОЛЬНИКИ. ОКРУЖНОСТИ. ЭЛЛИПСЫ

12. Точки на плоскости 12 55

13. Исследование угла 12 56

14. Площадь треугольника 12 57

15. Деление периметра треугольника на равные части 13 57

15а. Центр масс 13 60

16. Деление треугольника 13 60

17. Треугольники 13 61

18. Треугольная сеть (1) 13 61

19. Треугольная сеть (II) 13 62

20. Что останется от прямоугольника? 14 62

20а. Четырехугольники 14 64

21. Разбиение квадрата 14 65

22. Сеть квадратов 14 66

23. Решетка точек 14 67

24. Точки решетки, заключенные внутри круга 15 67

25. 14=15 15 67

26. Многоугольник 15 68

27. Точки и окружность 15 68

28. Геометрическая задача 15 69

 

Глава 3. пространство, многогранники, шары

29. Деление пространства 16 69

30. Две проекции 16 70

31. Куб 16 70

32. Геодезические 16 71

33. Движение молекулы 17 71

34. Развертка куба 17 71

35. Кубы 17 74

36. Гексаэдр 17 74

37. Тетраэдр 17 75

38. Тетраэдр с конгруэнтными гранями 17 76

39. Октаэдр 18 77

40. Расстояние на поверхности 18 78

41. Путешествие мухи 18 79

42. Правильный додекаэдр 18 80

42а. Вписанный многогранник 18 82

43. Многогранник 19 85

44. Невыпуклый многогранник 19 88

44а. Модели правильных многогранников 19 88

45. Задача из Страны чудес 19 97

46. Три сферы и прямая 20 98

47. Одно свойство сферы 20 98

47а. Укладывание шаров (I) 20 99

47б. Укладывание шаров (II) 20 100

 

Глава 4. ЗАДАЧИ ПРАКТИЧНЫЕ И НЕПРАКТИЧНЫЕ

47. Опечатка в учебнике 21 102

48. Игрушка 21 102

49. Праздничный окорок 21 103

50. Раздел лепешки 22 103

51. Раздел треугольного торта 22 104

52. Взвешивания 22 104

52а. Когда его день рождения? 22 105

53. Сколько лет Софье Сергеевне? 23 105

54. Сколько рыб в пруду? 23 106

55. Калибровка валиков 23 106

56. Сто двадцать шариков 24 106

57. Лента на трубке 24 107

58. Часы с одинаковыми стрелками 24 107

59. Великаны и карлики 24 108

60. Ученики классов А и В

61. Статистика

62. Группы крови

63. Снова о группах крови

63а. Кассовая задача

63б. Сады

64. Излишек труда

65. Диагональ прямоугольного параллелепипеда

66. Перевязывание коробок

66а. Другое пересказывание

67. Безмен

68. Минимум длины

69. Деление на части прямоугольников и квадратов

70. Практическая задача

71. Соседние города

72. Железнодорожная сеть (I)

73. Железнодорожная сеть (II) 31 124

74. Пробный полет 31 126

75. Солнце и Луна 31 127

76. Космография 31 127

 

Глава 5. ШАХМАТЫ. ВОЛЕЙБОЛ, ПОГОНЯ

77. Шахматная доска 32 128

78. Гще раз о шахматной доске 32 128

79. Ладья на шахматной доске 32 131

80. Эллиптический бильярд 33 (34

81. Спортивная задача (I) 33 134

82. Спортивная задача (II) 33 134

83. Теория спортивных розыгрышей 33 134

84. Объединение волейбольных команд 33 135

85. Турниры 34 136

86. Велосипедист и пешеходы 34 136

87. Четыре собаки 35 137

88. Погоня (I) 35 137

89. Погоня (II) 35 137

90. Действительно ли условия задачи неполные? 35 138

91. Моторная лодка (I) 36 138

92. Моторная лодка (II) 36 139

 

Глава 6. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИКЛЮЧЕНИЯ ДОКТОРА ШАРАДЕКА

93. Удивительное число 37 140

94. «Сантиметр» 37 140

95. Игра в слова 37 140

96. Студенческие долги 38 140

96а. «Криптоним № 2» 38 141

96б. Кубики 39 143

97. Странное общество 39 143

98. Счёты 40 143

99. Поливание улиц 40 143

100. Французские города 40 144

 

Глава 7. ЗАДАЧИ БЕЗ РЕШЕНИЯ

Плюсы и минусы 41

Треугольник в треугольнике 42

Части квадрата 42

Деление окружности 42

Лучи в пространстве 42

Неограниченная шахматная доска 43

Еще раз счеты 43

Сравнивание весов 43

Банки в ящике 43

Бактерии 44

Подъезжает цирк! 44

Три ковбоя 44

Допрос 45

Стрелки на додекаэдре 45

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

 

 

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Сто задач по математике (Штейнгауз) 1986 года

СКАЧАТЬ DjVu

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

      Автор настоящей книги Гуго Штейнгауз (1887—1972) — видный польский ученый, один из основоположников всемирно известной польской математической школы. Наряду с разносторонними чисто научными интересами в жизни Штейнгауза большое место занимали и педагогические увлечения. Блестящий преподаватель и популяризатор науки Г. Штейнгауз сыграл видную роль в становлении польского математического университетского преподавания.

      Статьи и книги, обращенные к учащимся средних школ, были для него отнюдь также не редкостью.

      Большим и заслуженным успехом пользуется книга Г. Штейнгауза «Сто задач», вышедшая в свет в польском оригинале в 1958 г. и уже в следующем году изданная по-русски (М.: Физматгиз, 1959). В 1963 г. в Польше книга «Сто задач» была издана на английском языке. При подготовке этого издания автор расширил или переработал решения некоторых задач и пополнил книгу рядом новых тем, исключив из ее текста несколько задач с тем, чтобы общее их число по-прежнему равнялось ста. В основу второго русского издания положено именно это английское издание. Однако мы сочли возможным не исключать из ее состава некоторые из входивших в первое издание задач; эти исключенные из английского издания книги задачи помечены буквами а, б и т. д. после их номера.

      Все входящие в первое русское издание задачи и их решения даны в переводе Г. Ф. Боярской и Б. В. Боярского, который публиковался ранее. Новые задачи и их решения переведены с английского Е. О. Головиной и Ю. О. Головиным.

      Настоящее (четвертое) издание печатается практически без изменений.

     

      ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ

      Эта небольшая книга возникла как отклик на то неблагополучие в математической подготовке школьников, которое вскоре после войны ощутили многие работники университетов и технических институтов. Стала очевидной необходимость более тесного сотрудничества между преподавателями средних школ и творчески работающими математиками. Некоторые ученые начали публиковать в общеобразовательных журналах задачи для учащихся средних школ, стремясь таким путем стимулировать интерес школьников к математике.

      В этой книге читатель найдет 100 элементарных задач и решения всех этих задач. Некоторые из задач могут оказаться известными учащимся старших классов, но в основном я старался избегать дублирования тех упражнений, которые имеются в распространенных пособиях для средних школ. Не стремясь к исчерпывающей классификации отдачи, я отдавал предпочтение в первую очередь тем из них, которые естественным образом возникают из геометрических рассмотрений. Не предполагая знакомства читателя с высшей математикой, я был ограничен в возможном выборе задач. Этим и объясняется небольшой размер настоящего сборника. Решения, однако, изложены достаточно подробно для того, чтобы быть понятными как учителям средних школ, так и тем из их учеников, которые любят или, во всяком случае, не боятся самостоятельно думать.

      Последнюю главу книги составляют задачи, решения которых здесь не указаны, причем во многих случаях у меня была весьма уважительная причина эти решения опустить: дело в том, что я их не знаю. Я надеюсь, что читатели постараются решить некоторые из этих задач, причем хорошо, если они будут считать, что решения задач известны: это заблуждение может придать им силы и позво лит достичь цели там, где автору это не удалось.

      «Сто задач» могут помочь и некоторым студентам первокурсникам, обескураженным трудностями высшей ма тематики. Демонстрируя им элементарную математику новой для них стороны, «Сто задач» могут помочь перекинуть мост через кажущуюся пропасть между «элементарной» и «высшей» математикой.

      Эта книга первоначально была опубликована по-поль ски; английский ее вариант был дополнен, а решения ста рых задач иногда отредактированы заново. Существуй также русский перевод «Ста задач», опубликованный ти ражом в 100 000 экземпляров.

      Г. Штейнгау.

     

      ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПОЛЬСКОМУ ИЗДАНИЮ

      

      Несмотря на помощь многих лиц, я должен все-таки сослаться на латинскую поговорку, которая хвалит уже само желание, если даже исполнение отстало от намерений. Но главная цель будет достигнута, если читатели увидят на примере ста задач смысл и дух настоящей математики.

      Г. Штейнгауз

     

      ЗАДАЧИ

     

      50. Раздел лепешки. Каждую лепешку независимо от ее формы можно разделить на четыре равные части двумя взаимно перпендикулярными сечениями. Другими словами, для каждой плоской области с площадью Р можно найти такие две взаимно перпендикулярные прямые, что в каждой из четырех образуемых ими четвертей лежит часть этой области, имеющая площадь Р/4.

      (Доказать эту теорему значительно легче, чем фактически разделить на четыре равные части, скажем, треугольник со сторонами 3, 4, 5.)

     

      51. Раздел треугольного торта. Павел и Гавел должны разделить между собой треугольный торт. Гавел поставил условие, что он прямолинейным разрезом отрежет свою часть, а Павел согласился на это с тем условием, что ои заранее обозначит точку Р, через которую должен пройти этот разрез. Так как торт имеет одинаковую толщину в любом месте, а также однороден по вкусу, то задача имеет планиметрический характер. Вопрос ставится следующим образом: как Павел должен выбрать точку Р, чтобы лучше защитить себя от чревоугодия Гавла? Второй вопрос: какой величины излишек перепадет Гавлу, если Павел удачно решит первую задачу, а Гавел потом отрежет себе возможно большую часть торта?

      Если бы форма торта зависела от Павла, то он мог бы выбрать фигуру, имеющую центр симметрии (т. е. круг, квадрат, эллипс и т. д.), и поместить Р в этом центре. Тогда у Гавла не оказалось бы никаких преимуществ. Однако интересен вопрос, какая форма торта (при сохранении указанных вначале условий раздела) будет самой удобной для Гавла и какой наибольший излишек он сможет себе обеспечить, удачно выбрав форму торта?

     

      52. Взвешивания. Имеется 5 предметов различного веса, которые нужно упорядочить по убыванию весов, пользуясь чашечными весами без гирь, с помощью которых можно сравнить веса любых двух предметов. Как нужно действовать, чтобы решить задачу, используя наименьшее возможное число взвешиваний? Чему равно это число?

     

      52а. Когда его день рождения? День рождения Невядомского отмечали в многочисленном кругу. Кроме сестры хозяина Екатерины и его брата Иоахима, присутствовал известный путешественник Педанткевич и много других друзей Невядомского, которые ценили его варшавское гостеприимство.

      Кто-то спросил Педанткевича, что он делал год тому назад. Тот взял блокнот и с присущей ему педантичностью ответил: «Точно год тому назад я вышел на восходе солнца из палатки, прошел прямо на юг милю или немного больше, свернул на запад и через несколько часов, ничего не подстрелив, свернул на север. Своих собственных следов я уже не пересекал и, идя все время на север, вышел к палатке». Когда день рождения Невядомского?

     

      53. Сколько лет Софье Сергеевне? Наша знакомая Софья Сергеевна еще не стара, ибо родилась после первой мировой войны, но она не любит прямо отвечать на вопрос — сколько ей лет.

      Когда ее спросили 27 июля 1950 г., сколько ей лет, она ответила: мне всего один-год, так как я отмечаю день своего рождения только тогда, когда он совпадает с днем недели, н который я родилась, а такой день рождения я отмечала всего лишь один раз.

      Сколько лет Софье Сергеевне?

     

      54. Сколько рыб в пруду? Некий ихтиолог хотел определить, сколько в пруду рыб, годных для улова. Для этого он забросил сеть с заранее выбранным размером ячеек и, вытащив ее, обнаружил 30 рыб, отметил каждую из них меткой и бросил обратно в пруд. На другой день забросил ту же самую сеть и поймал 40 рыб, на двух из которых были его метки. Как по этим данным он приблизительно вычислил количество рыб в пруду?

     

      55. Калибровка валиков. Одна из составных частей бензинового двигателя имеет форму валика. Для измерения толщины валика служит стальная плита, в которой в ряд высверлены 15 отверстий с точно установленными размерами. Первое отверстие имеет диаметр 10 мм, каждое последующее имеет диаметр, на 0,04 мм больший предыдущего. Калибровка валика заключается во вкладывании его в отверстие; если он не помещается, то его диаметр считают больше диаметра отверстия, а если помещается, то считают его меньше. Таким образом, в конце концов диаметр валика определяется с погрешностью менее 0,04 мм (валики с диаметром меньше 10 мм, или больше 10,56 мм, не принимаются во внимание; остальные же идут на дальнейшую обработку).

      Рабочие, которым поручена калибровка, пробуют каждый валик на одном и том же числе отверстий, но, конечно,

      на разных отверстиях. Сколько проб измерения необходимо для каждого валика? Какова должна быть очередность проб?

     

      57. Лента на трубке. Ленту длиной 25 м и толщиной 0,1 мм намотали плотно на картонную трубку — получился валик диаметром 1 дм. Каков диаметр трубки?

     

      58. Часы с одинаковыми стрелками. Известно, что, определяя время без часов, никто не ошибается более чем на шесть часов.

      Часовой мастер вставил в часы две одинаковые стрелки, так что невозможно отличить малую от большой. Какова будет наибольшая ошибка, которая грозит владельцу часов?

     

      59. Великаны и карлики. На уроке физкультуры в классе, в котором все ученики были разного роста, учитель, построив класс прямоугольным строем, сказал. «Сейчас мы увидим, кто среди вас самый высокий карлик». Отыскал в каждом ряду самого низкого, а когда эти «карлики» выступили из строя и создали переднюю шеренгу, он выбрал самого высокого из них: «Вот самый высокий карлик».

      Мальчики вернулись на старые места, и тогда учитель сказал: «Сейчас я вам покажу самого низкого великана». Указал в каждой шеренге на самых высоких, а когда «великаны» выступили вперед, нашел самого низкого среди них: «Вот самый низкий великан».

      Могло ли случиться, что один и тот же мальчик мог оказаться самым низким «великаном» и самым высоким «карликом»? Существуют ли такие классы, в которых самый низкий «великан» меньше самого высокого «карлика?» А как обстояло бы дело, если бы учитель при определении «великанов» искал бы их в рядах, а не в шеренгах, т. е. точно так же, как искал «карликов»?

     

      60. Ученики классов А и В. В школе есть два класса: А и В. Ученики класса А хвастаются, что они выше ростом, чем ученики класса В, а ученики класса В считаются лучшими математиками. Когда однажды один из учеников класса А свысока посмотрел на ученика класса В, тот спросил: что, собственно, означает, что вы выше нас ростом? Значит ли это, что:

      1) любой из вас выше любого из нас?

      2) самый высокий из вас выше самого высокого из нас?

      3) для любого из учеников класса А найдется ученик класса В ниже ростом?

      4) каждый из учеников класса В ниже хотя бы одного из учеников класса А?

      5) для каждого ученика класса А можно указать ученика класса В ниже ростом, причем разным ученикам класса А соответствуют разные ученики класса В?

      6) для каждого из учеников класса В можно указать ученика класса А выше ростом, причем разным ученикам

      класса В соответствуют разные ученики класса А?

      7) самый низкий ученик класса В ниже самого низкого из учеников класса А?

      8) число учеников класса В, меньших ростом самого маленького из учеников класса А, больше числа учеников класса А, меньших ростом самого высокого из учеников класса В?

      9) суммарный рост учеников класса А больше суммарного роста учеников класса В?

      10) средний рост учеников класса А больше среднего роста учеников класса В?

      11) среди вас больше таких, которые выше кого-либо из нас, чем у нас таких, которые выше кого-либо из вас?

      12) среди вас больше учеников выше нашего среднего роста, чем среди нас учеников выше вашего среднего роста?

      13) серединный по росту из вас выше серединного по росту из нас (в том случае, если учеников в классе четное число, серединным ростом считается среднее арифметическое от роста серединной пары учеников)?

 

★ ЕЩЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "МАТЕМАТИКА"

ВСЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "МАТЕМАТИКА"

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика