Сто задач (Штейнгауз) 1976 год - старые учебники

8. Пропорция 13 62

8а. Симметрические выражения 13 62

9. Иррациональность корня 14 62

10. Неравенство 14 62

11. Числовые последовательности 14 63

Глава II

ТОЧКИ, МНОГОУГОЛЬНИКИ, ОКРУЖНОСТИ, эллипсы

12. Точки на плоскости 15 64

13. Исследование угла 15 65

14. Площадь треугольника 15 65

15. Деление периметра треугольника 16

на равные части 66

15а. Центр тяжести 16 70

16. Деление треугольника 16 70

17. Треугольники 16 71

18. Треугольная сеть (I) 16 71

19. Треугольная сеть (II) 17 72

20. Что останется от прямоугольника? 17 73

3

Задача Решения

20а. Четырехугольники 17 74

21. Разбиение квадрата 17 74

22. Сеть квадратов 18 76

23. Решетка точек 18 77

24. Точки решетки, заключенные внутри круга 18 78

25. 14 = 15 18 78

26. Многоугольник 19 78

27. Точки и окружность 19 79

28. Геометрическая задача 19 80

Глава III

ПРОСТРАНСТВО, МНОГОГРАННИКИ, ШАРЫ

29. Деление пространства 20 80

30. Две проекции 20 81

31. Куб 20 81

32. Геодезические 21 82

33. Движение молекулы 21 83

34. Развертка куба 21 84

35. Кубы 21 85

36. Гексаэдр 22 86

37. Тетраэдр 22 87

38. Тетраэдр с конгруэнтными гранями 22 88

39. Октаэдр 22 90

40. Расстояние на поверхности 22 91

41. Путешествие мухи 22 92

42. Правильный додекаэдр 23 93

42а. Вписанный многогранник 23 94

43. Многогранник 23 100

44. Невыпуклый многогранник 23 101

44а. Модели правильных многогранников 23

45. Задача из Страны чудес 24 114

46. Три сферы и прямая 25 114

47. Одно свойство сферы « 25 115

47а. Укладывание шаров (I) 25 116

476, Укладывание шаров (II) 25 117

Глава IV

ЗАДАЧИ ПРАКТИЧНЫЕ И НЕПРАКТИЧНЫЕ

47в. Опечатка в учебнике 26 119

48. Игрушка 26 119

49. Праздничный окорок « 26 120

50. Раздел лепешки 27 120

51. Раздел треугольного торта 27 121

52. Взвешивания 28 122

52а. Когда его день рождения? 28 123

53. Сколько лет Софье Сергеевне? 28 123

4

Задачи Решения

54. Сколько рыб в пруду? 28 124

55. Калибровка валиков 28 124

56. Сто двадцать шариков 29 124

57. Лента на трубке 30 125

58. Часы с одинаковыми стрелками 30 125

59. Великаны и карлики 30 127

60. Ученики классов А и В 30 128

61. Статистика 31 128

62. Группы крови 32 130

63. Снова о группах крови 33 130

63а. Кассовая задача 33 131

636. Сады 34 131

64. Излишек труда 34 132

65. Диагональ прямоугольного параллелепипеда 34 134

66. Перевязывание коробок 35 134

66а. Другое перевязывание 35 135

67. Безмен 35 136

G8. Минимум длины 35 137

69. Деление на части прямоугольников и квадратов 36 137

70. Практическая задача 36 143

71. Соседние города 37 144

72. Железнодорожная сеть (I) 37 144

73. Железнодорожная сеть (II) 37 145

74. Пробный полет 37 147

75. Солнце и Луна 37 148

76. Космография 37 148

Глава V

ШАХМАТЫ, ВОЛЕЙБОЛ, погоня

77. Шахматная доска 38 149

78. Еще раз о шахматной доске 38 149

79. Ладья на шахматной доске 38 153

80. Эллиптический бильярд 39 156

81. Спортивная задача (I) 39 156

82. Спортивная задача (II) 39 156

83. Теория спортивных розыгрышей 39 157

84. Объединение волейбольных команд 40 157

85. Турниры 40 158

86. Велосипедист и пешеходы 41 159

87. Четыре собаки .  41 159

88. Погоня (I) 41 159

89. Погоня (II) 41 160

90. Действительно ли условия задачи неполные? 42 160

91. Моторная лодка (I) 42 161

92. Моторная лодка (П) 42 161

5

Задачи Решения

Глава VI МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИКЛЮЧЕНИЯ ДОКТОРА ШАР АДЕНА

93. Удивительное число 43 162

94. «Сантиметр» » 43 162

95. Игра в слова 43 163

96. Студенческие долги 44 163

96а. «Криптонам № 2 44 164

966. Кубики 45 165

97. Странное общество 45 165

98. Счеты • 46 166

99. Поливание улиц 46 167

100. Французские города  47 167

Глава VII

ЗАДАЧИ БЕЗ РЕШЕНИЯ

Плюсы и минусы 48

Треугольник в треугольнике » « 49

Части квадрата • » 49

Деление окружности 49

Лучи в пространстве «. 50

Неограниченная шахматная доска 50

Еще раз счеты 50

Сравнивание весов 50

Банки в ящике 51

Бактерии 51

Подъезжает цирк! 51

Три ковбоя 52

Допрос 52

Стрелки на додекаэдре 52

ОТ РЕДАКТОРА

Автор настоящей книги Гуго Штейнгауз (1887— 1972) — видный польский ученый, один из основоположников всемирно известной польской математической школы ). Наряду с разносторонними чисто научными интересами в жизни Штейнгауза большое место занимали и педагогические увлечения. Блестящий преподаватель и популяризатор науки Г. Штейнгауз сыграл видную роль в становлении польского математического университетского преподавания.

Статьи и книги, обращенные к учащимся средних школ, были для него отнюдь также не редкостью. В 1938 г., накануне войны, появился уникальный «Математический калейдоскоп» Г. Штейнгауза — книга с картинками, которую сам автор характеризует как своеобразный «математический зоопарк», знакомство с которым бесспорно доставит читателю удовольствие, а кое-кого серьезно приохотит к математике. Эта замечательная книга и по сей день пользуется широкой известностью во всем мире: первый ее английский перевод был издан в США в год выхода польского оригинала книги; после войны появилось весьма богато изданное русское издание (М.— Л., Гостехиздат, 1949), а вслед за тем — английское издание в Англии; венгерское издание; чешское издание и т. д. ). Почти таким же успехом пользуется и книга «Сто задач», вышедшая в свет в польском оригинале в 1958 г. и уже в следующем году изданная и по-русски (М., Физматгиз, 1959). Наконец, недавно в нашей стране была посмертно издана книга Г. Штейнгауза «Задачи и размышления» (М., «Мир», 1974), объединившая ряд журнальных публикаций выдающегося польского педагога и популяризатора; этой книге предпослан перевод обширной статьи о Штейнгаузе польского математика Э. Марчевского.

В 1963 г. в Польше книга «Сто задач» была переиздана на английском языке. В подготовке этого издания активное участие принял автор книги: он расширил или переработал решения некоторых задач и пополнил книгу рядом новых тем; при этом, стремясь во что бы то ни стало оправдать заголовок книги, он пошел на исключение из ее текста некоторых задач с тем, чтобы общее их число по-прежнему равнялось ста. В основу настоящего издания положено именно это английское издание книги; мы, однако, не сочли нужным исключать из ее состава некоторые из входящих в первое издание задач, что было сделано, явно, лишь из чисто формальных соображений (из любви к «круглому» числу сто); эти исключенные из английского издания книги задачи помечаются буквами а, б и т. д. после их номера. Все входящие в первое русское издание задачи и их решения даны в переводе Г. Ф. Боярской и Б. В. Бо-ярского, который публиковался ранее; этот перевод, однако, был для настоящего издания заново пересмотрен и кое-где исправлен. Новые задачи и их решения перевели с английского Е. О. Головина и Ю. О. Головин. В некоторых местах редактор снабдил текст книги подстрочными примечаниями, указывающими на иную относящуюся к разбираемым темам литературу; эти весьма немногочисленные примечания помечены звездочками в отличие от нумерованных сносок автора.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ

К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ

Эта небольшая книга возникла как отклик на то неблагополучие в математической подготовке школьников, которое вскоре после войны ощутили многие работники университетов и технических институтов. Стала очевидной необходимость более тесного сотрудничества между преподавателями средних школ и творчески работающими математиками. Некоторые ученые начали публиковать в общеобразовательных журналах задачи для учащихся средних школ, стремясь стимулировать таким путем интерес школьников к математике.

В этой книге читатель найдет 100 элементарных задач и решения всех этих задач. Некоторые из задач могут оказаться известными учащимся старших классов, по в основном я старался избегать дублирования тех уп-ражнений, которые имеются в распространенных пособиях для средних школ. Не стремясь к исчерпывающей классификации задач, я отдавал предпочтение в первую очередь тем из них, которые естественным образом воз-никают из геометрических рассмотрений. Не предполагая знакомства читателя с высшей математикой, я был ограничен в возможном выборе задач. Этим и объясняется небольшой размер настоящего сборника. Решения, однако, изложены достаточно подробно для того, чтобы быть попятными как учителям средних школ, так и тем из их учеников, которые любят или, во всяком случае, не боятся самостоятельно думать.

Последнюю главу книги составляют задачи, решения которых здесь не указаны, причем во многих случаях у меня была весьма уважительная причина эти решения опустить: дело в том, что я их не знаю. Я надеюсь, 9 что читатели постараются решить некоторые из этих задач, причем хорошо, если они будут считать, что решения задач известны: это заблуждение может придать им силы и позволит достичь цели там, где автору это не удалось.

«Сто задач» могут помочь и некоторым студентам- первокурсникам, обескураженным трудностями высшей математики. Демонстрируя им элементарную математику с новой для пих стороны, «Сто задач» могут помочь перекинуть мост через кажущуюся пропасть между «элементарной» и «высшей» математикой.

Эта книга первоначально была опубликована по-польски; английский ее вариант был дополнен, а решения старых задач иногда отредактированы заново. Существует также русский перевод «Ста задач», опубликованный тиражом в 100 000 экземпляров.

Г. Штейнгауз

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ПОЛЬСКОМУ ИЗДАНИЮ

Большинство задач оригинальны, но не все: некоторые из них общеизвестны, некоторые принадлежат другим авторам; в тех случаях, когда автор известен, я называю его имя.

Несмотря на помощь многих лиц, я должен все- таки сослаться на латинскую поговорку, которая хвалит уже само желание, если даже исполнение отстало от намерений. Но главная цель будет достигнута, если читатели увидят на примере ста задач смысл и дух настоящей математики.

Г. Штейнгауз

ЗАДАЧИ

ГЛАВА I

ЧИСЛА,РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА

1. Упражнение по таблице умножения. Строим следующую последовательность цифр.

Пусть первой цифрой будет 2, следующей 3,

2-3 = 6,

третьей цифрой последовательности будет 6;

3.6 = 18.

четвертой цифрой будет 1, а пятой 8;

6-1=6, 1-8 = 8,

шестой цифрой является 6, затем следует цифра 8 и т. д.

Вот последовательность цифр, которую мы получим: 2^ 3_6_1_8_6_8.

Дужки внизу между цифрами означают выполненные умножения, результаты которых мы уже вписали как очередные цифры последовательности; например, теперь следовало бы умножить 8 на 6 и вписать цифры результата: 4, 8. Недостатка в множимых цифрах у нас никогда не будет, так как при каждом умножении дужки передвигаются на один шаг, а полученный результат по меньшей мере однозначен, а часто и двузначен, и поэтому прибавляется по меньшей мере одна цифра.

Доказать, что цифры 5, 7, 9 никогда не появятся в этой последовательности.

2. Интересное свойство чисел. Напишем произвольное натуральное число в десятичной системе счисления

11

(например, 2583) и вычислим сумму квадратов цифр этого числа (2а + 5я + 8а + 3я == 102). С полученным числом проделаем то же самое (12+ О3 + 2а = 5) в будем поступать таким же образом и далее

(5а = 25, 22 + 52 = 29, 2а 4- 9а « 85, ).

Доказать, что если этот процесс не приведет нас к единице (ясно, что после этого единица будет повторяться бесконечное число раз), то наверняка приведет к числу 145, после чего появится цикл

145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, который далее будет все время повторяться.

3. Делимость на И. Доказать, что при любом на-туральном к число

g5*+l | 4.5Л+2 । $5Л

делится на И.

4. Делимость чисел. Число

3^05 4105

делится на 13, 49, 181 и 379, но не делится на 5 и 11.

Как это проверить?

5. Облегченная теорема Ферма. Если х, у, z, п — натуральные числа, причем п z, то равенство хп + 4 уп = zn невозможно.

6. Расстановка чисел. Найти 10 таких чисел xlt ^з, , Як,, чтобы

число находилось внутри интервала [0, 11, числа и х2 по одному находились в первой и второй половине этого интервала,

числа xlt х2, хэ по одному находились в каждой из трех равных частей интервала,

числа xlf х2, х3, х4 по одному находились в каждой четверти этого интервала и т. д., наконец, чтобы

числа xlt Х2, , л:10 по одному находились в каждой из частей интервала [0,1], полученных путем его деления на 10 равных отрезков.

7. Обобщение. Разрешима ли предыдущая задача, если вместо 10 искать п чисел (п — произвольное натуральное число), удовлетворяющих п аналогичным условиям?

7а. Перестановка букв. Из комплекса букв aabbcc можно получить 90 различных перестановок. Из перестановки aabcbc можно получить перестановку aacbcb, записывая букву с вместо буквы b и букву b вместо буквы с; из перестановки aacbcb можно получить перестановку bcbcaa, если прочесть ее в обратном порядке, а из этой последней перестановки путем замены букв можно получить перестановку acacbb, и т. д.

Все такие перестановки, как aabcbc, aacbcb, bcbcaa, acacbb, мы считаем несущественно различными. Перестановки же, как, например, aabcbc и abcbca, мы считаем существенно различными, так как ни замена букв, ни прочитывание их в обратном порядке, ни многократное применение этих операций не могут преобразовать один комплекс в другой.

Вопрос: сколько имеется существенно различных перестановок букв aabbcc?

8. Пропорция. Числа А, В, С, р, q, г связаны между собой соотношениями

А \ В = р, В : С = q, С : А = г.

Записать пропорции

Л =

в таком виде, чтобы на пустых местах появились выражения, состоящие из р, q, г, и чтобы эти выражения получались одно из другого путем циклической перестановки букв р, q, г. (Мы понимаем это следующим образом: если вместо р напишем q, вместо q напишем г, а вместо г напишем р, то первое выражение преобразуется во второе, второе — в третье, а третье — в первое).

8а. Симметрические выражения. Такие выражения, как х + У + z или xyz, являются симметрическими. Под этим мы понимаем, что их значение не меняется при перестановке в них переменных х, у, z каким угодно образом. Приведенные выше примеры очевидны; но существуют симметрические выражения, симметричность которых не является очевидной, например:

11 « — + — 2з| + ]л;— г/|4-я4- у + 2z.

13

Докажите симметричность этого выражения и определите его значение таким образом, чтобы симметричность стала очевидной.

9. Иррациональность корня. Докажите элементарным путем, что положительный корень уравнения

я6 + я == 10

является иррациональным.

10. Неравенство. Доказать неравенство

А 4- а 4* В 4- Ь В 4* Ь 4" 4"

А 4- а 4“ В 4* 4” 4~ 4~ 4* ® 4* ® 4*

с + С 4- Л + а

С 4- с 4- Л 4- а -HJ 4- г '

в котором все буквы обозначают положительные числа.

11. Числовые последовательности. Найти последовательность а0, alf «а, положительных чисел такую, что а0 == 1 и ап — ап+1 = ап+2 при п » 0, 1, 2, Показать, что существует только одна такая последовательность.

ГЛАВА II

ТОЧКИ, МНОГОУГОЛЬНИКИ, ОКРУЖНОСТИ, эллипсы

12. Точки на плоскости. На плоскости дано несколько (или несколько десятков) точек. Каждую из них соединяем отрезком прямой с ближайшей точкой; при этом не возникает сомнения, какая из точек является ближайшей, ибо предполагается, что все расстояния различны.

Доказать, что полученная фигура не содержит замкнутого многоугольника или пересекающих отрезков.

13. Исследование угла. Пусть xlt х2, , хп — положительные числа. Выберем на плоскости луч ОХ, отсечем на нем ОРХ — xlt затем перпендикулярно к ОРХ отсечем РгР2 — затем перпендикулярно к ОР2 отсекаем Р2Р3 = и т. д. вплоть до Pn-tPn = хп. При этом прямые углы ориентированы так, что их левые стороны проходят через точку О. Можно считать, что луч ОХ вращается вокруг точки О (от первоначального положения, проходя через точки Plt Р%, ) до конечного положения ОРп, описывая некоторый угол.

Доказать, что при данных числах xt угол этот будет наименьшим, если они пронумерованы в убывающем порядке, х2 хп, и будет наибольшим, ес

ли они пронумерованы в возрастающем порядке.

14. Площадь треугольника. Доказать без помощи тригонометрии, что если в треугольнике X А = 60°, то площадь S треугольника определяется формулой

S = [а2 - (6 - е)2], (1)

15 а если У А = 120°, то

S= Qla2-(b-c)2l. (2)

15. Деление периметра треугольника на равные части. Возьмем произвольный треугольник. Мы, конечно, можем пересечь его прямой так, чтобы разделить его периметр пополам. Мы даже можем заранее задать направление пересекающей прямой. Если мы это проделаем дважды, в двух различных направлениях, то прямые пересекутся в некоторой точке Q. Тогда через точку Q пройдут две прямые, делящие периметр пополам.

Существует ли точка, через которую могут пройти три такие прямые? Если существует, то как ее найти?

15а. Центр тяжести. Пусть Р — центр тяжести трех точек 4, В, С (говоря о центре тяжести каких- либо трех точек, будем подразумевать, что массы, размещенные в этих точках, одинаковы). Пусть 4Х, Blt С\ — соответственно центры тяжести следующих троек точек: В, С, Р; С, А, Р\ 4, В, Р.

Доказать, что центром тяжести тройки 4Х, Blt Ct снова является точка Р.

16. Деление треугольника. Разделить треугольник на 19 треугольников так, чтобы в каждой вершине полученной фигуры (а также в вершинах большого треугольника) сходилось одинаковое число сторон.

В этой задаче число 19 нельзя заменить большим числом, но можно заменить меньшими числами. Какими же?

17. Треугольники. В этой задаче п обозначает натуральное число. На плоскости заданы Зп точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Можно ли образовать из этих точек (приняв их за вершины) п треугольников, не пересекающихся и не содержащих друг друга?

Подобную задачу при 4п точках можно поставить для четырехугольников, при 5п точках — для пятиугольников и т. д. Все ли эти задачи решаются положительно?

18. Треугольная сеть (I). Как известно, всю плоскость можно покрыть сетью равносторонних треугольников.

16

Можно ли в каждом узле этой сети поместить один из знаков плюс или минус так, чтобы для каждого из треугольников, составляющих сеть, имело место следующее правило: если в двух вершинах треугольника имеется одинаковый знак, то в третьей вершине будет плюс, а если наоборот — то в третьей будет минус.

Конечно, можно всюду расставить плюсы, но это тривиальное решение мы исключаем.

19. Треугольная сеть (II), Доказать, что нельзя покрыть всю плоскость сетью треугольников так, чтобы в каждой вершине сходилось пять треугольников.

20. Что останется от прямоугольника? Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны а и b которого находятся в пропорции золотого сечения, т. е. удовлетворяют равенству

а : b = b : (а — Ь).

Вообразим, что прямоугольник этот вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать; остаток снова будет золотым прямоугольником. Становимся по левую сторону стола, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону прямоугольника, и поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка прямоугольника, за исключением одной, будет раньше или позже отсечена. Определить положение этой исключительной точки.

20а. Четырехугольники. Соединяем поочередно се-редины сторон выпуклого четырехугольника. Мы получим меньший четырехугольник. Доказать, что он является параллелограммом, площадь которого равна половине площади большого четырехугольника. Сохранит ли силу эта теорема без предположения о выпуклости?

21. Разбиение квадрата. Квадрат площади 1 км2 разбит на три части Л, S3, Каким бы это разбиение ни было, обязательно найдется по крайней мере одна пара точек Р и Qt принадлежащих одной части и таких,

17 что расстояние между ними не меньше У65/64

1,00778 (км).

Как это доказать?

22. Сеть квадратов. Плоскость можно покрыть равными квадратами; узлы этой сети в математике называют целочисленной решеткой.

Можно ли эти узлы обозначить буквами а, &, <?, d так, чтобы каждый составной квадрат имел в своих вершинах все четыре буквы и чтобы в каждом столбце и в каждой строке решетки тоже фигурировали все четыре буквы?

23. Решетка точек. Определение целочисленной решетки дано в условии задачи 22. Ясно, что выбирая подходящий радиус, всегда можно добиться, чтобы окружность этого радиуса с центром в точке (/2, /З) проходила через заданную точку решетки. Требуется доказать, что, однако, на каждой такой окружности лежит не более одной точки решетки.

24. Точки решетки, заключенные внутри круга. В этой задаче мы имеем дело с решеткой, расположенной внутри круга К, точнее, с теми точками целочисленной решетки, которые заключены внутри этого круга (но не на его окружности).

Доказать, что для любого целого неотрицательного числа п существует круг, содержащий ровно п точек решетки.

25. 14 =2 15. На съезде участников математической олимпиады во Вроцлаве в 1952 году проф. Я. Минусинский указал такое деление всей плоскости на семиугольники, в каждой вершине которого сходятся три семиугольника. Исходя из этого, я покажу, что 14 == = 15. Обозначим через Р угол в 180°. Сумма углов в семиугольнике равна 5Р, поэтому средняя величина

5

угла в семиугольнике равна у Р. Так как вся плоскость покрыта семиугольниками, то средняя величина угла в паркетаже равна у Р. Но в каждой вершине сходятся три таких угла, следовательно, средняя величина угла при каждой вершине равна -я- Р. Отсюда вытекает, что О

2 п средняя величина угла в паркетаже равна у Р^ так

18

как каждый угол принадлежит какой-нибудь вершине. Следовательно,

2 п 5 2 5 tf .J»

у Р = у Р, у — у, 14 = 15,

что и требовалось доказать.

Найти ошибку в приведенном выше рассуждении.

26. Многоугольник. На плоскости даны п точек; никакие три из них не лежат на одной прямой. Всегда ли можно найти замкнутый «-угольник с непересекающимися сторонами, вершинами которого являются эти точки?

27. Точки и окружность. На плоскости даны четыре точки, через которые нельзя провести ни окружность, ни прямую. Можно ли эти точки так обозначить буквами At В, Dy чтобы точка D лежала внутри окружности, проходящей через точки Л, Bt Ci

28. Геометрическая задача. Дан эллипс, длина большой оси которого равна 2а, а длина малой оси равна 2Ь. Нарисовать замкнутую кривую той же длины, что и длина эллипса, ограничивающую площадь, большую площади эллипса на (а — Ъ)2.

ГЛАВА Ш

ПРОСТРАНСТВО, МНОГОГРАННИКИ, ШАРЫ

29. Деление пространства. Через фиксированную точку пространства проводим плоскости так, чтобы разделить пространство на возможно большее число частей. Одна плоскость разделит пространство на две части, две пересекающиеся плоскости — на четыре части, три пересекающиеся в некоторой точке плоскости и не имеющие другой общей точки делят пространство на восемь частей. Какое максимальное число частей можно получить при четырех плоскостях? А какое — при п плоскостях?

30. Две проекции. Представим себе плоскость 77 lt касательную к земному шару в Северном полюсе N, и плоскость ZZ2 касательную к земному шару в Южном полюсе 5. Можно начертить одну карту, проектируя каждую точку на поверхности земли из N на Z72, И другую карту, проектируя каждую точку из S на Пг\ это — так называемая стереографическая проекция. Теперь мы можем сложить обе плоскости так, чтобы меридианы сошлись. Каждой точке одной карты отвечает определенная точка другой карты, следовательно, мы определили некоторое отображение плоскости на себя. Как непосредственно определить это отображение?

31. Куб. Держа в руке модель куба так, чтобы он мог вращаться вокруг своей самой длинной оси (т. е. вокруг прямой, соединяющей противоположные вершины), можно намотать на него без просветов черную пряжу. Пряжа заштрихует только половину куба (почему?). То же самое можно проделать с другой осью; их всего четыре, и каждый раз мы используем другой цвет пряжи (черный, красный, голубой и 20

желтый). Вся модель будет покрыта разными цветами, а из их смешения возникнут смешанные цвета (модель куба белая и этого цвета мы не учитываем). Сколько будет цветовых оттенков на кубе и каких?

32. Геодезические. Эта задача не требует знания математики. Наложим на неподвижный куб резинку (так называемую «рецептную», используемую в аптеках для упаковки лекарств) таким образом, чтобы она держалась на кубе и не пересекала сама себя.

Линию, по которой уложится эта резинка, мы называем геодезической линией.

1. Сколько раз все геодезические линии покроют поверхность куба (т. е. сколько геодезических линий пройдет через каждую точку поверхности куба)?

2. Сколько имеется различных семейств геодезических линий, покрывающих поверхность куба?

33. Движение молекулы. Внутри кубической коробки движется без воздействия внешних сил материальная частица, которая отражается от стен коробки, согласно классическому закону (угол падения равен углу отражения, т. е. перпендикуляр к грани в точке отражения есть биссектриса угла, образованного прямой, по которой молекула прибывает, и прямой, по которой она удаляется). Возможно ли, чтобы молекула беспрестанно двигалась по замкнутому шестиугольнику, поочередно ударяясь при каждом обходе обо все стороны коробки? Определить точки отражений и проверить, заузлен ли полученный шестиугольник или нет.

34. Развертка куба. Модели многогранников делаются из плоских разверток. В развертке грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания картонной развертки вдоль ребер. Таких различных разверток правильный тетраэдр имеет две. Сколько их имеет куб?

35. Кубы. Как известно, все пространство можно заполнить равными кубами. В каждой вершине будет сходиться восемь кубов. Поэтому можно — путем соответствующего отсечения вершин у кубов и склейки смежных отсеченных частей в одно тело — заполнить пространство правильными октаэдрами (восьмигранниками) и телами, оставшимися от кубов. Какие это будут тела? Если мы максимально возможно увеличим октаэдры, то какую часть пространства они займут?

21

36. Гексаэдр. Существует ли отличный от куба гексаэдр (шестигранник), все грани которого являются конгруэнтными ромбами?

37. Тетраэдр. Имеются 6 стержней различной длины, причем известно, что при любом их упорядочении из них можно составить тетраэдр (треугольную пирамиду). Сколько различных тетраэдров при этом может получиться?

38. Тетраэдр с конгруэнтными гранями. Можно ли построить треугольную пирамиду (тетраэдр), все грани которой являются конгруэнтными треугольниками с произвольно заданными длинами а, Ь, а сторон?

Если это возможно, то каков объем этого тетраэдра?

39. Октаэдр. Можно ли построить восьмигранник (октаэдр), все грани которого являются конгруэнтными четырехугольниками? Можно ли построить десятигранник (декаэдр) и, общее, 2п-гранник (где п 3 — произвольное целое число), обладающий тем же свойством?

40. Расстояние на поверхности. Сопоставим каждой паре точек замкнутой выпуклой поверхности кратчайшую из соединяющих их дуг (не исключено, что такая дуга не единственная, например, для любой пары диаметрально противоположных точек сферы существует бесконечно много кратчайших дуг). Расстоянием между точками А и В на поверхности назовем длину кратчайшей дуги АВ. Теперь мы можем говорить про расстояние РХ между Р и произвольной точкой X нашей поверхности. Для каждой точки Р можно найти самую дальнюю от нее точку Q поверхности (конечно, такая точка также может быть не единственной). Пример со сферой может создать впечатление, что для подобной пары точек PQ всегда имеются по крайней мере две соединяющие пх кратчайшие дуги. Показать, что для некоторого тетраэдра это утвержде-ние неверно.

41. Путешествие мухи. Муха села на вершину модели правильного додекаэдра (двенадцатигранника) и решила обойти его, двигаясь по ребрам додекаэдра; при этом ей удалось посетить все вершины, не побывав ни в одной из них дважды и вернувшись в конце путешествия в исходную вершину. После этого она попробовала обойти тем же способом все вершины ромбического додекаэдра, ограниченного 12 ромбами (рис. 1). Удалось ли ей это?

42. Правильный додекаэдр. Грани правильного додекаэдра (двенадцатигранника) можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы каждые две смежные грани были разных цветов. Доказать, что существуют всего четыре способа решения этой : Г'гч^/1

задачи, если условиться считать // / / j!

одним решением две раскраски, !/\ ~d! / /

которые можно получить одну из X. Z'

другой вращением додекаэдра.

42а. Вписанный многогранник.

В правильный додекаэдр можно рпс j вписать куб так, чтобы ребра куба являлись диагоналями правильных пятиугольников, служащих гранями додекаэдра. Это можно сделать несколькими способами; сколькими же? Все такие кубы образуют звездчатый многогранник; каков объем этого полученного в объединении всех кубов многогранника, если объем додекаэдра равен 1?

Какое тело образует общая часть (пересечение) всех кубов?

43. Многогранник. Все грани выпуклого многогранника обязательно выпуклы. А обратно, обязательно ли является многогранник выпуклым, если все его грани — выпуклые многоугольники? В частности, существуют ли два многогранника (например, два тридцатигранника), ограниченных одинаковым числом попарно конгруэнтных граней (грани одного и того же тела не обязательно должны быть конгруэнтными между собой), из которых одно является выпуклым, а второе не является?

44. Невыпуклый многогранник. Может ли невыпуклый многогранник быть ограничен конгруэнтными четырехугольниками?

44а. Модели правильных многогранников. Из шести ребер правильного тетраэдра можно выбрать четыре ребра, образующих замкнутый косой, т. е. неплоский четырехугольник. Этот четырехугольник можно считать моделью тетраэдра, ибо он содержит все вершины тетраэдра. То же самое легко проделать с кубом;

23 тогда мы получим (неплоский) восьмиугольник, содержащий все вершины куба. Можно ли этот прием рас-пространить на другие правильные многогранники, т. е. на октаэдр, додекаэдр и икосаэдр? Сколько решений имеет задача?

45. Задача из Страны чудес. Люис Кэррол, математик и знаменитый детский писатель, был автором забавных нелепиц. Он советовал, например, пользоваться картой с масштабом 1:1, ибо достаточно разложить ее на земле, чтобы в любой момент знать, где находишься: надо просто прочитать надпись, на которой стоишь.

Представим себе, что, последовав этому совету, мы проведем на земном шаре прочной краской по суше и по морю меридианы и параллели и повсюду поместим каллиграфические названия городов, портов и стран. Компас станет излишним, но одна трудность все-таки останется: как отыскать кратчайший путь к избранной точке. Известно, что ортодромы, т. е. кратчайшие пути, не являются па этой карте Алисы из Страны чудес локсодромами, т. е. линиями, пересекающими меридианы (и параллели) под постоянным углом. Хуже всего то, что никакая перестройка координатных линий нам не поможет, ибо все системы координат будут обладать этим недостатком. Виноват в этом, конечно, земной шар, который так непрактично устроен.

Чтобы исправить пашу планету, лучше всего, конечно, начать с ее карты. Можно, например, начертить прямоугольную сеть параллелей и меридианов и свернуть карту в цилиндр так, чтобы параллели превратились в окружности. На такой цилиндрической планете кратчайший путь от одной точки к другой точке всегда пересекает меридианы под постоянным углом. Можно также разрезать карту вдоль параллели, обозначив на ней точку N, и свернуть ее в конус с вершиной в точке N. У конической планеты в точке 7V будет Северный полюс, параллели не будут пересекаться, исходящие из N меридианы тоже не будут, но каждая параллель пересечет каждый меридиан в двух точках, точно так же как и па земном шаре. И так же, как и раньше, кратчайший путь вновь будет иметь постоянное направление.

24

Но можно найти еще более интересную модель. На карте будет прямоугольная сеть координатных линий, но на планете появится только одно семейство линий: каждая линия пересечет любую другую в двух точках, а также и себя в одной точке. Принцип постоянного направления будет сохранен. Что это за модель?

Магистр Р. Новаковский, когда я ему рассказал об этих двух моделях, немедленно определил третью: прямоугольная сеть состоит из меридианов, параллелей и «посредников».

46.Три сферы и прямая. Три сферы имеют общую точку Р, причем известно, что никакая прямая, проходящая через точку Р, не касается сразу всех сфер. Показать, что эти сферы имеют еще одну общую точку.

47. Одно свойство сферы. Пусть известно, что все плоские сечения некоторой поверхности являются окружностями (точка рассматривается как окружность нулевого радиуса). Доказать, что эта поверхность является сферой.

47а. Укладывание шаров (I). У нас имеется неограниченный запас одинаковых шаров. Уложим три из них так, чтобы все они соприкасались между собой, и затем присоединим четвертый шар так, чтобы он соприкасался с тремя первыми. У нас получатся четыре гнезда, и в каждое из них можно вложить по одному шару. Теперь у нас уже восемь шаров. Сколько гнезд они образуют? Сколько теперь можно уложить шаров новым слоем?

Можно ли продолжать этот процесс?

476. Укладывание шаров (II). У нас имеется неограниченный запас одинаковых шаров. Берем один из них и обкладываем его двенадцатью шарами, соприкасающимися с ним. Сколько будет теперь гнезд для последующих шаров? Можно ли в каждое гнездо уложить шар? Из скольких шаров будет состоять третий слой (первый состоит из одного, второй из 12 шаров)? Всегда ли мы сможем в последующих слоях заполнить все гнезда?

Г ЛАВ А IV

ЗАДАЧИ ПРАКТИЧНЫЕ И. НЕПРАКТИЧНЫЕ

47в. Опечатка в учебнике. Некий автор, читая свой учебник, заметил, что в предложении: «Отсечь 9 см на левой стороне угла в 60°, а на правой. и вычислить расстояние между полученными таким образом точками» — на месте проставленных нами точек имеется опечатка: наборщик увеличил число сантиметров, указанное в рукописи, на 1. Конечно, наборщик и не подумал изменить ответ, напечатанный в конце учебника. Несмотря на это, опечатка не привела к ошибке. Какое число набрал наборщик в задаче?

48. Игрушка. На картонном кружке нарисован концентрический меньший кружок, разделенный на восемь секторов равной величины: четыре белых и четыре черных. Оставшееся кольцо разделено на 10 равных секторов, белых и черных вперемежку, по пять секторов каждого цвета. Кружок надеваем на гвоздь и приводим в быстрое вращательное движение. Вначале секторы сливаются в однообразный серый цвет, но через минуту появляется кольцо, вращающееся в одну сторону, и кружок, вращающийся в обратную сторону, хотя все сделано из одного куска картона.

Эта игрушка действует только при электрическом освещении, но не в каждом городе. Почему?

49. Праздничный окорок. Три соседки сложились по 15 рублей и купили окорок (без кожи, сала и костей). Одна из них разделила его на три части, уверяя, что части по весу равны. Другая заявила, что доверяет только весам в магазине на углу; там оказалось, что якобы равные части после пересчета стоимости соответствуют 14, 15 и 16 рублям. Третья участница проверила 26