Skip to main content

Начальные сведения о приближенных вычислениях (Шевченко) 1958 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

Начальные сведения о приближенных вычислениях (Шевченко) 1958

Назначение: В настоящей брошюре изложены самые элементарные сведения о приближенных вычислениях. Она предназначена в помощь учителям арифметики при опытах обучения простейшим измерениям и приближенному вычислению их результатов в младших классах общеобразовательной школы. Насколько удачен отбор материала и насколько доступна его трактовка, скажут учителя, которые будут пользоваться этой брошюрой.

Приношу глубокую благодарность редактору брошюры Ивану Львовичу Цветкову, вложившему в редактирование много труда, любви и знания. В частности, по его инициативе и при его непосредственном участии составлена и заново выполнена часть работы, относящаяся к обучению приближенным вычислениям в I — IV классах школы.

© ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР Москва 1958

Авторство: Иван Никитич Шевченко

Формат: PDF Размер файла: 3.55 MB

 

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ Стр.

Как возникают приближенные числа 3

О погрешности приближенных чисел и точности приближения 7

Об относительной погрешности приближенного числа ... 10

О правилах округления * . . 11

Приближенное частное 16

Среднее арифметическое 19

Обозначения приближенных чисел и соответствующая терминология . . е 22

О верных числах в приближенных результатах измерений и вычислений 24

Действия над приближенными числами и правила подсчета цифр в результатах 25

Указатель литературы 34

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатный учебник СССР - Начальные сведения о приближенных вычислениях (Шевченко) 1958 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ....

Печатается no решению Редакционно-издательского совета Академии педагогических наук РСФСР

КАК ВОЗНИКАЮТ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА

Числа, которые мы называем приближенными, иначе говоря, верными только приблизительно, но не совершенно точно, постоянно встречаются нам в жизни, в практике. Приближенные числа могут получаться прежде всего при счете предметов, если этих предметов слишком много и их почему-либо трудно или даже нельзя подсчитать точно.

Если, например/нужно подсчитать число деревьев на участке леса или в саду большой площади, то обычно подсчет поручают нескольким людям (или нескольким бригадам). Подсчет можно выполнять по-разному: можно разделить участок леса или сад на части по числу считающих, а потом сложить результаты; можно предложить считать каждому отдельно и потом сравнить результаты. Но, какой бы способ подсчета ни был выбран, результаты неизбежно окажутся не совсем одинаковыми: при подсчете большого числа деревьев трудно не ошибиться.

Если, например, трое подсчитывали деревья на одном и том же участке, то могут получиться итоги вроде таких: у первого-2640 деревьев, у второго —2703, у третьего ~ 2686 деревьев. Что можно сказать после такого подсчета? Только одно: на участке круглым числом около 2700 деревьев. Число 2700 — приближенное; точного числа деревьев мы не узнали, но ошибка невелика.

Другой пример. Чтобы узнать число жителей города, обыкновенно производят однодневную перепись, приглашая большое число счетчиков. Допустим, что итоги всех счетчиков безошибочны и правильно сложены.

Получилось число жителей, допустим, 65287. Что можно теперь сказать о числе жителей города? Пока шел подсчет, это число уже изменилось: сколько-то жителей уехало, вместо них приехало сколько-то новых; родились новые люди, некоторые могли умереть. Все, что можно утверждать с уверенностью, — это то, что в день переписи в городе жило около 65С00 человек. Это число приближенное, но оно дает достаточное представление о численности населения города. Здесь приближенное число возникло в результате округления. Точное число каждое мгновение может измениться, тогда как округленное до тысяч — довольно устойчиво в течение длительного промежутка времени.

Конечно, в результате счета предметов могут получаться и точные числа, если этих предметов не слишком много, если их число не слишком быстро меняется и если их без затруднений можно подсчитывать. Таковы: число окон или дверей в доме, число домов на улице, число учеников, пришедших сегодня в класс, и т. п.

Итак, в разных случаях и в разных обстоятельствах счет предметов может приводить и к точному, и к приближенному числу.

Но часто число получается в результате измерения какой-нибудь величины, например длины, площади, объема, веса. Такое число (его. называют значением величины) всегда бывает приближенным.

Если, например, мы будем измерять длину дома деревянным метром без делений или метровым полевым циркулем, то почти всегда мы получим не целое число метров, а, например, 32 м, с некоторым остатком, который меньше метра.

Что же можно знать о длине дома после этого измерения? Точное числовое значение длины остается неизвестным, но мы, во всяком случае, знаем, что эта длина больше 32 м, но меньше 33 м,. Как принято говорить, длина дома равна 32 м с точностью до 1 м. Если остаток больше половины метра, то можно будет считать длину дома равной не 32 м, а 33 м. Ясно, что и то и другое — числа не точные, а приближенные.

Можно было бы, конечно (если это почему-нибудь имеет практическое значение), измерить длину дома и точнее, взяв, например, вместо полевого циркуля мерную ленту (рулетку), разделенную на сантиметры. Если после измерения получилось, допустим, 32,36 м с некоторым остатком, меньшим чем 1 см, то точность будет значительно большей (неточность меньше 1 см), но число 32,36 все же будет не точным, а приближенным, только с меньшей погрешностью (см. стр. 7). Даже если остаток, меньший одного сантиметра, нельзя заметить ни глазом, ни другими средствами, то и тогда найденное значение длины нельзя будет считать точным числом уже потому, что деления рулетки не могут быть идеально равны между собой и не абсолютно точно равны каждое одному сантиметру (хотя погрешности, конечно, весьма малы).

Та же картина получится при измерении величины любого другого рода. При взвешивании, например, очень трудно добиться полного равновесия: кроме того, нет возможности изготовить совершенно одинаковые по весу гири; допускаемые границы отклонений гирь от точного веса устанавливаются законом или административными органами.

Таким образом, измерение величин всегда приводит не к точному, а к приближенному числу (той или другой степени точности). Первоначальное ознакомление с этим фактом должно иметь место в начальной школе, где упражнения в измерении длины и веса начинаются уже с I класса. Начиная с 1954/55 учебного года программа по арифметике для I — IV классов десятилетней общеобразовательной школы совершенно правильно требует поставить изучение арифметики в школе так, „чтобы число и мера служили орудием познания окружающей действительности", с тем чтобы в I — IV классах учащиеся приобрели, между прочим, „не только прочные знания мер, но и умение пользоваться ими для измерения". „Методические указания" к той же программе (стр. 43) в качестве средства для создания прочных измерительных навыков предлагают выполнение практических работ по измерению, проводимых в классе и вне класса. В процессе фактических измерений (по преимуществу это будут измерения длины) у учащихся не могут не возникнуть постепенно первичные представления о приближенном числе как результате измерения.

Наконец, приближенные числа могут возникать в результате арифметических операций над точными и, тем более, над приближенными числами (или точными и приближенными вместе). Самый простой случай возникновения приближенного числа в результате вычисления хорошо известен учащимся начальной школы: это—деление с остатком, дающее приближенное частное с точностью до единицы. После изучения десятичных дробей на этой основе возникает весьма распространенный вид приближенного числа — приближенное частное с любой десятичной точностью. Такое частное может получаться, например, при обращении обыкновенной дроби в десятичную, т. е. при делении одного целого числа на другое, если деление не может быть окончено, а между тем по характеру вопроса проще или удобнее пользоваться хотя бы при-ближенной, но конечной десятичной дробью.

И в вычислительной, и в житейской практике бывают такие случаи, когда точное число легко вычисляется, но почему-нибудь неудобно для употребления. Например, если по газовому счетчику нужно заплатить 25 рублей, разделив расход поровну между 8 пла- тельщиками, т. е. 25:8 — 3,125, то четверым из плательщиков придется заплатить по 3 р. 13 к., а остальным— по 3 р. 12. к., так как необходимо округлять суммы до целых копеек. В данном случае все 8 квартирантов уплачивают суммы, приближенные с точностью до 1 копейки, но четверо — „с недостатком*, а четверо — „сизбытком*.

Выше приводился пример числа, точно подсчитанного, но сразу после подсчета изменяющегося и в силу этого теряющего практическую значимость, которая, однако, длительно сохраняется, если округлить число до десятков или тысяч, как в случае с населением города.

Итак, можно указать три основных источника, порождающих приближенные числа: 1) измерение величин; 2) вычисление; 3) округление чисел (как точных, так и приближенных), вызываемое разнообразными обстоятельствами—большей частью технического характера.

О ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ И ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Во всех случаях, когда приходится иметь дело с приближенным числом, независимо от его происхождения, естественно возникает вопрос о точности приближения, т. е. о том, насколько его приближенное значение отличается от точного (чаще всего неизвестного или мало существенного при решении данной практической задачи).

Элементы теории и практики приближенных вычислений еще не нашли себе определенного места в общеобразовательной школе, но, видимо, в какой-то мере должны будут войти в школьный курс в связи с осуществлением задач политехнического обучения. В науке о приближенных вычислениях установились понятия абсолютной и относительной погрешности. Первое из них определяется так:

„Если буквой х обозначить точное, а буквой а — приближенное значение некоторого числа, то выражение (х — а), т. е. разность точного и приближенного значений (взятая по абсолютной величине), называется абсолютной погрешностью приближенного числа

Мы не думаем, чтобы это .или подобное определение могло быть положено в основу изучения приемов приближенных вычислений раньше, чем в VIII—X классах средней школы. Прежде всего его абстрактность заставит даже в этих классах знакомить с понятием погрешности как-нибудь проще и, главное, ближе к его практическому применению. Что же касается младших возрастов (вплоть до VII класса), то там придется вводить элементы теории очень осторожно, исходя из практики измерений и округления чисел, опять-таки главным образом в связи с практическими жизненными задачами.

Общие установки программы арифметики в начальной школе (данные, как мы видели выше, в объяснительной записке и методических указаниях) заставляют предполагать, что самая первоначальная подготовка к приближенным вычислениям будет проводиться уже в первых четырех классах общеобразовательной школы.

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

Автор-учебника - Шевченко И.Н., ★Все➙ Для Учителей, Математика - Арифметика, Методы вычислений - численные методы, Вычислительная математика, Математика - Для Учителей

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ и КНИГ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ и КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА

БОЛЬШЕ НЕТ

УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика