Теория вероятностей. Сборник задач (Дороговцев, Сильвестров, Скороход, Ядренко) 1980 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Теория вероятностей. Сборник задач (Дороговцев, Сильвестров, Скороход, Ядренко) 1980

Назначение: Для студентов университетов, педагогических институтов и технических вузов. Перевод с украинского

Сборник содержит задачи по основным разделам теории вероятностей и некоторым разделам теории случайных процессов. К задачам даны ответы, к более сложным задачам - указания и решения.

© "Вища школа" Киев 1980 

Авторство: Анатолий Яковлевич Дороговцев, Дмитрий Сергеевич Сильвестров, Анатолий Владимирович Скороход, Михаил Иосифович Ядренко, Под общей редакцией члена-корреспондента АН УССР А.В. Скорохода

Формат:DjVuРазмер файла: 4.44 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава I. Случайные события

§ 1. Операции над множествами, алгебра и алгебра множеств 3

§ 2. Комбинаторика 9

§ 3. Стохастический эксперимент. Пространство элементарных событий 19

§ 4. Классическое определение вероятности 26

§ 5. Геометрические вероятности 32

§ 6. Аксиомы теории вероятностей 34

§ 7. Условные вероятности, независимые случайные события 41

Глава II. Случайные величины

§ 1. Дискретные случайные величины 53

§ 2. Общее понятие случайной величины 65

§ 3. Случайные величины и случайные векторы 70

§ 4. Нормальное распределение на плоскости 103

ОТКРЫТЬ:  оглавление полностью...

 

§ 5. Неравенство Чебышева и некоторые другие неравенства. . 107

§ 6. Условные вероятности и условные математические ожидания НО

Глава III. Последовательности случайных событий и последо¬вательности случайных величин

§ 1. Последовательности независимых событий. Лемма Бореля- Кантелли. Закон 0 и 1 125

§ 2. Последовательности независимых случайных величин ... 129

§ 3. Понятия сходимости последовательности случайных величин 136

§ 4. Закон больших чисел 157

§ 5. Неравенство Колмогорова и некоторые неравенства, связан¬ные с ним 165

§ 6. Ряды из независимых случайных величин 168

§ 7. Усиленный закон больших чисел 183

§ 8. Мартингалы 194

Глава IV. Простейшие процессы Маркова

§ 1. Производящие функции 199

§ 2. Схема восстановления 208

§ 3. Обобщенный процесс Пуассона 220

§ 4. Случайные блуждания 229

§ 5. Цепи Маркова 243

Глава V. Предельные теоремы теории вероятностей

§ 1. Характеристические функции 264

§ 2. Центральная предельная теорема 279

§ 3. Безгранично делимые и устойчивые распределения 289

§ 4. Винеровский процесс 297

§ 5. Функционалы от винеровского процесса 303

Решения, указания, ответы 309

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Теория вероятностей. Сборник задач (Дороговцев, Сильвестров, Скороход, Ядренко) 1980 года

СКАЧАТЬ DjVu

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 II.3.29. Пусть О — начало координат, Р — случайная точка на оси Ox, a Q — точка с координатами (0, 1). Известно, что угол OQP равномерно распределен на от¬резке —5-, -5- . Найти функцию распределения и плотность распределения для абсциссы точки Р.

II.3.30. Точка А равномерно распределена на окруж¬ности единичного радиуса с центром в начале координат. Пусть — проекция точки А на ось Ох. Вычислить: а) функцию распределения б) плотность распределения

в) М|; г)

II.3.31. Колесо вагона единичного радиуса имеет тре¬щину на внешнем крае. Пусть £ — высота трещины над землей после случайной остановки вагона. Найти функ¬цию распределения £.

II.3.32. На окружности радиуса R берут наудачу две точки с равномерным распределением. Найти функцию распределения расстояния у между ними и вычислить Му.

II.3.33. Точка Р равномерно распределена на окруж¬ности радиуса R с центром в начале координат. Найти функцию распределения и плотность распределения дли¬ны у отрезка касательной, проведенной в точке Р до точки пересечения с осью Ох. Существует ли Му?

II.3.34. На отрезок оси ординат с концами (0, 0) и (0, R) брошена наудачу точка (ордината этой точки равно¬мерно распределена в интервале (0, R)). Через эту точку проведена хорда окружности ха + у2 = R2, перпендику¬лярная к оси Оу. Найти функцию распределения длины этой хорды.

II.3.35. Стержень длины I наудачу разломали на две части. Найти функцию распределения длины меньшей части.

II.3.36. На отрезок [0, TJ наудачу бросили две точки. Пусть у — расстояние между ними. Найти функцию рас¬пределения у и вычислить Му, Dy, Му”.

11.3.37. Два человека договорились встретиться в про¬межутке времени [0, 7^. Пусть у — время, которое при¬дется ждать одному из них до момента встречи. Найти функцию распределения у и вычислить Му.

II.3.38. На отрезке [0, Т] наудачу берут две точки с равномерным распределением. Эти точки разбивают

отрезок [О, Т] на три отрезка. Найти функцию распреде¬ления каждого из полученных трех отрезков.

II.3.39. На отрезке [О, Т] наудачу берут п точек с рав¬номерным распределением. Эти точки разбивают [О, Т] на п +1 отрезков. Доказать, что каждый отрезок имеет одну и ту же функцию распределения. Найти эту функ¬цию распределения.

11.3.40. Пусть некоторый прибор начинает работать в нулевой момент времени, а в случайный момент вре¬мени | выходит из строя. Допустим, что условная веро-ятность того, что прибор выйдет из строя в промежутке времени (х, х + Дх) при условии, что это не произошло до момента х, равна X Дх + о (Дх). Доказать, что при х > > 0 справедливо равенство

Р{В<х} = 1 —е~Ч

т. е. случайная величина | имеет показательное распре¬деление с параметром X.

II.3.41. Пусть £ — время безотказной работы некоторого прибора, который начинает работать в нулевой момент вре¬мени. Допустим, что условная вероятность того, что прибор выйдет из строя на интервале времени (х, х -j- Дх), если он не выходил из строя до этого времени, равна 1 (х) Дх + 4-о(Дх). Доказать, что функция распределения £ имеет вид

F (х) в 1 — ехр |— J X (u) du} . о

II.3.42. Распределение Вейбулла. Доказать, что если в предыдущей задаче Х(х) = саха~1 (а> 1, с > 0), то функция распределения | имеет вид

F (х) = 1 — ехр {—сх?}.

II.3.43. Пусть £ — случайная величина с показатель¬ным распределением, a t > 0 — фиксированное действи¬тельное число. Найти распределение | — t при условии, что ? t.

II.3.44. Пусть F(x) — функция распределения поло¬жительной случайной величины |, обладающая таким свойством:

P{£<* + x/£>/} = PU<x}.

Доказать, что

F (х) = 1 — е-х* (х > 0).

II.3.45. Пусть В имеет показательное распределение с параметром К. Вычислить:

а) М?; б) Щ; в) !}.

II.3.46. Длительность работы электронной лампы яв¬ляется случайной величиной, имеющей показательное рас¬пределение с А = 0,003. Через год лампу заменяют, даже если она и не вышла из строя. Найти математическое ожидание времени работы лампы.

П.3.47. Пусть g — случайная величина, равномерно распределенная на (0, 1). Найти функцию распределения случайной величины t] = ln-g-. Вычислить Мц.

II.3.48. Пусть В — равномерно распределенная на [0, 1] случайная величина. Найти функцию распределения случайной величины т) = —In (1—£).

II.3.49. Пусть |— случайная величина, показательно распределенная с параметром А. Найти распределение слу¬чайной величины г| = ||]. Вычислить Мг|.

II.3.50. Пусть £ имеет нормальное распределение N (0, 1). Найти распределение случайной величины г| = .

Существует ли Мг|?

II.3.51. Случайная величина | имеет нормальное рас¬пределение N (0, о2). При каком а вероятность попада¬ния в интервал (а, Ь) будет максимальной?

II.3.52. Доказать следующие свойства функции рас¬пределения:

а) Иш х \ — dF (и) — 0;

х-+0 U

00

б) Иш х С — dF(u) = 0;

х-*+°° х и

X

в) lim х \ — dF(u)=0;

0 J и оо

X

г) Нт х $ — dF(u) = 0.

 

Для развития ПРОЕКТА!

С этой книгой читают

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика