3) Так как в устных задачах учащимся приходится иметь дело с сравнительно небольшими и «круглыми» числами, все вычисления над которыми производятся гораздо скорее, чем при письменном решении задач, то времени на решение таких задач требуется значительно меньше, чем на решение письменных задач такой же сложности. Поэтому в течение определенного промежутка времени учащиеся могут решить устных задач значительно больше, чем письменных, и, следовательно, в большей степени развить свое уменье разбираться в сложных задачах.

4) Наконец, устные задачи являются незаменимым материалом при ознакомлении учащихся со всяким новым типом сложных задач. Решая устную задачу (или ряд устных задач) нового типа, учащиеся почти все свое внимание сосредоточивают на математической структуре за* дачи, отвлекаясь на процессы вычислений лишь в незначительной степени (на очень короткое время). При решении же письменной задачи дети нередко имеют дело с более сложными числами, производство вычислений над которыми отвлекает детей от математического содержания решаемой задачи и они поэтому не получают цельного, логически связного представления о структуре задачи. Следовательно, первое знакомство учащихся с задачами любого нового типа надо проводить исключительно на устных задачах. Да и во всей последующей работе над задачами каждого типа устные задачи, должны играть не меньшую роль, чем письменные.

Все эти соображения приводят к тому, что учителю нужно иметь у себя достаточный запас готовых устных задач всех типов, которые должны быть усвоены учащимися начальной школы. Так как в арифметических сборниках для III и IV классов таких задач очень мало, а составление их в достаточном количестве и в должной системе — работа для многих учителей довольно трудная, то настоящий сборник может оказать учителям некоторую помощь в их работе по арифметике.

Остановимся кратко на вопросе о том, когда и как нужно проводить работу над устными задачами в школе. Пользуясь данным сборником, задачи из него надо решать с учащимися не «от случая к случаю» и не в те пять минут, которые обычно отводятся для устного счета в начале каждого урока арифметики, а систематически. Если учащиеся начали решать тот или иной тйп задач, то не следует отвлекать их внимание на задачи других типов до тех пор, пока данный тип не будет усвоен ими в полной мере (разумеется, в тех пределах, какие заранее будут намечены учителем для данного класса). В течение всего периода работы над задачами данного

типа уроки решения задач с учителем должны проводиться преимущественно на устных задачах; письменные же задачи этого типа нужно давать, главным образом, для самостоятельной работы учащихся в классе и дома.

Одна-две первые задачи каждого типа должны быть тщательно разобраны под непосредственным руководством учителя. При решении же следующих задач этого типа надо предоставлять учащимся больше самостоятельности: если одну задачу сначала разобрали и наметили с учителем план решения, и только после этого учащиеся стали самостоятельно решать ее, то другую такую же (той же математической структуры) задачу пусть они решают совершенно самостоятельно, без всякого предварительного разбора с учителем, и только после решения расскажут (объяснят), как решали.

Самый процесс решения задачи учащиеся могут выполнять двояко: если задача не очень сложная (в два-три действия) и числа, с которыми приходится иметь дело, удобны для запоминания, то вся задача с первого действия до последнего решается в уме, без всяких записей выполняемых действий, и только после того, как решение будет рассказано учителю, оно записывается учащимися в тетрадях или только на доске. Если же задача многосложная (больше трех действий) или при решении ее приходится оперировать с трудными для запоминания числами (недостаточно «круглыми»), то, производя вычисления в уме, учащиеся могут одновременно записывать (в строчку) соответствующие действия. В отдельных случаях будут встречаться и такие числа, действия над которыми производить в уме довольно трудно (например, в некоторых задачах типа «Пропорциональное деление»). В этих случаях можно допустить и письменные вычисления (столбиком).

Для более успешной работы над типовыми задачами очень полезно первые задачи каждого типа иллюстрировать с помощью соответствующих рисунков, чертежей или другого наглядного материала. Эти иллюстрации должны наталкивать учащихся на самостоятельное «отыскание» способов решения и таким образом помогать им вполне сознательно усваивать эти способы.

I. НА СТОЛЬКО-ТО БОЛЬШЕ ИЛИ МЕНЬШЕ

А

Наглядные упражнения. Учитель кладет перед учащимися в одну кучку несколько карандашей или других предметов и в другую столько же карандашей, обращая при этом внимание учащихся на то, что в обеих кучках карандашей поровну. Потом во вторую кучку добавляет еще 3 карандаша и предлагает учащимся вопросы: 1) В какой кучке карандашей стало больше? 2) На сколько больше? Нужно проделать то же еще два-три раза, увеличивая одну из кучек не на 3, а на какое-нибудь другое число карандашей.

Затем надо провести несколько таких упражнений: положив в две кучки поровну карандашей, например, по 8, спросить учащихся: «Что надо сделать, чтобы во второй кучке карандашей стало, например, на 4 больше, чем в первой?» Получив ответ: «во вторую кучку надо прибавить еще 4 карандаша», нужно заставить одного из учащихся сделать это, т. е. прибавить 4 карандаша, и затем проделанное на карандашах записать на доске: 8 кар.+ 4 кар.= 12 кар.

На таких упражнениях учащиеся легко поймут как смысл выражения «на столько-то больше», так и то, что для решения вопроса в таких случаях применяется действие сложение.

После нескольких наглядных упражнений уже можно переходить к обычному, отвлеченному решению задач, в которых требуется увеличить число «на столько-то».

1. В одной коробке 12 карандашей, а в другой на 3 карандаша больше. Сколько карандашей во второй коробке?

2. Брату 15 лет, а сестре на 3 года больше. Сколько лет сестре?

Попутно надо выяснить учащимся на конкретных примерах сходство понятий: больше — дороже — выше — шире — глубже — толще — длиннее и т. п., меньше — дешевле — ниже и т. д.

3. Ученик купил линейку и угольник: за линейку заплатил 25 коп., а за угольник на 15 коп. дороже. Сколько денег он израсходовал на всю эту покупку?

4. В деревне на одной стороне улицы 18 домов, а на другой на 9 домов больше. Сколько всего домов в этой деревне?

5. Ученики посадили возле школы клены и березки: кленов посадили 8, а березок на 4 больше. Сколько всего деревьев учащиеся посадили возле школы?

Примечание. При решении этой задачи надо выяснить учащимся, что когда мы узнаем число посаженных березок, то прибавляем 4 березки не к 8 кленам, а к 8 березкам, потому что если березок было посажено на 4 больше, чем кленов, то это значит, что их было столько же, сколько кленов, т. е. 8, да еще 4 березки. Следовательно, запись наименований чисел в первом действии должна быть такая: 8 бер. + + 4 бер. = 12 бер. или: 8 дер. 4- 4 дер. = 12 дер., но ни в коем случае нельзя допустить такую запись: 8 кл. + 4 бер. = 12 дер., или 8 кл. + 4 бер. = 12 бер.

Б

Наглядные упражнения, а) Положить перед учащимися в одну кучку несколько карандашей и в другую столько же карандашей. Потом из первой кучки взять 5 или другое число карандашей так, чтобы учащиеся видели это, и спросить: 1) В которой кучке карандашей стало меньше? 2) На сколько меньше? б) Положить в две кучки поровну карандашей и предложить учащимся сделать так, чтобы в одной кучке стало на 3 карандаша меньше. Проделанное на карандашах нужно записать на доске.

6. В одной коробке 20 перьев, а в другой на 6 меньше. Сколько перьев во второй коробке?

7. Отцу 40 лет, а мать на 5 лет моложе. Сколько лет матери?

8. В классе мальчиков 20, а девочек на 5 меньше. Сколько всего учащихся в классе?

При решении этой задачи (как и всех других, где говорится о предметах, имеющих различные названия), так же, как и при решении задачи. № 5, нужно обратить внимание на то, что, определяя число девочек, мы отнимаем 5 девочек не от 20 мальчиков (что сделать никак невозможно), а от 20 девочек, т. е. рассуждаем так: если бы девочек в классе было столько же, сколько мальчиков, то их было бы 20 дев. На самом же деле их было на 5 меньше — следовательно, число «20 дев.» (как бы предполагаемое или допускаемое) мы уменьшаем на «5 дев.».

9. Девочка принесла ив лесу грибов — рыжиков, волнушек и груздей. Рыжиков 15 штук, волнушек на 5 больше, чем рыжиков, а груздей на 10 меньше, чем рыжиков. Сколько всего грибов принесла девочка?

10. Для ремонта школы привезли бревен: еловых—12, сосновых на 18 больше, чем еловых, а березовых на 20 меньше, чем сосновых. Сколько всего бревен привезли?

11. Женщина купила в магазине два платья; за одно заплатила 25 руб., а за другое на 15 руб. дороже. Сколько денег осталось у женщины, если до покупки она имела 100 рублей?

12. В школе 95 учащихся; из них в первом и втором классах по 24 человека, а в третьем классе на 3 человека больше, чем во втором. Сколько учащихся в четвертом классе?

II. РАЗНОСТНОЕ СРАВНЕНИЕ

(Для II класса)

Наглядные упражнения. Надо положить перед учащимися несколько палочек в две неравные кучки и дать им сосчитать число палочек в меньшей кучке ( в большей же кучке считать не надо). Затем — спросить, как узнать, не пересчитывая всех палочек, насколько во второй кучке палочек больше, чем в первой? На этом примере нужно обратить внимание детей на то, что если вторая кучка больше первой, то в ней имеется столько же палочек, сколько в первой, да еще несколько «лишних». Чтобы узнать, сколько именно лишних, надо из всей второй кучки взять (отнять) столько палочек, сколько их во всей первой кучке. Кроме того, надо показать, что на сколько во второй кучке больше, чем в первой, на столько же

в первой меньше, чем во второй. Проделав несколько таких упражнений, можно переходить к обычному решению задач.

13. В школьном саду 12 старых яблонь и 20 молодых. На сколько молодых яблонь больше, чем старых?

14. Длина школьного зала 12 м, а ширина 8 м. На сколько метров длина зала больше ширины?

15. В первом классе школы учатся 18 мальчиков и 22 девочки, а во втором классе 21 мальчик и 15 девочек. На сколько в первом классе учащихся больше, чем во втором?

16. Мальчик купил тетрадь за 15 коп. и. карандаш за 8 коп., а девочка купила 2 тетради по 20 коп. каждую. Кто из них израсходовал денег больше и на сколько копеек больше?

17. Девочка с матерью нашли 76 грибов; из них девочка нашла 30 грибов. На сколько грибов девочка нашла меньше, чем ее мать?

18. В магазине продали одному покупателю 2 м шерстяной материи по 45 руб. и 8 м бумажной по 9 руб. за метр. За какую материю получили больше и на сколько больше?

19. Мальчик написал предложение из 48 букв в 3 минуты, а его сестра то же предложение написала в 2 минуты. На сколько букв мальчик писал в минуту меньше, чем его сестра?

20. Крестьянин прошел 45 км за 9 часов, а его сосед на лошади проехал это же расстояние за 5 часов. На сколько километров человек проходит в час меньше, чем пробегает лошадь?

21. Колхозник в прошлом году заработал 27 мешков-, ржи и 20 мешков ярового зерна. Нынче он заработал всего зерна на 18 мешков больше, чем в прошлом году, причем ржи получил 40 мешков. Сколько мешков ярового зерна он получил нынче?

1И. ВО СТОЛЬКО-ТО РАЗ БОЛЬШЕ ИЛИ МЕНЬШЕ

(Для II класса)

Наглядные упражнения. В начале урока нужно провести с учащимися, примерно, следующую беседу. «Смотрите, дети. Я в одну коробку кладу 5 карандашей; теперь 10

в другую коробку кладу тоже 5 карандашей, потом еще 5 карандашей и еще 5 карандашей (при раза по 5). В которой коробке карандашей стало больше? (Отв.: во второй). Во второй коробке сколько раз по столько карандашей, как в первой? (Отв.: три раза). В таком случае говорят, что во второй коробке в 3 раза больше карандашей, чем в первой».

Надо проделать два-три таких упражнения, а потом предложить учащимся: «Отложите в одну кучку 6 палочек. Отложите в другую кучку в 4 раза больше, чем отложили в первую, откладывайте так, как я откладывал (т. е. не сразу все палочки, а 4 раза по 6 палочек). Сколько всего палочек получилось во второй кучке? Давайте запишем, как мы составили вторую кучку и сколько получилось: 6 п. .4- 6 п. + 6 п. + 6 п. = 24 п. или короче: 6 п. X 4 = 24 палочки».

Таким образом выясняется, что сколько раз мы берем одно число, чтобы составить другое, во столько раз второе число больше первого. Следовательно, чтобы получить число, которое в несколько раз больше какого-нибудь данного числа, нужно это (данное) число умножить на столько, во сколько раз искомое число должно быть больше данного.

В связи с указанными упражнениями выясняется учащимся и понятие «во столько-то раз меньше». Для этого надо обратить внимание учащихся на то, что если, например, 15 карандашей в 3 раза больше, чем 5 карандашей, то, наоборот, 5 карандашей в 3 раза меньше 15. Если надо найти такое число, которое в 3 раза меньше 15, то это значит, что 15 в три раза больше того числа, которое надо найти, т. е. составлено из трех таких чисел. Следовательно, чтобы найти это число, надо 15 разделить на 3 равные части.

После наглядного выяснения учащимся указанных понятий переходим к обычному решению задач, содержащих в себе; эти понятия.

22. Карандаш стоит 8 коп., а тетрадь для рисования в 5 раз дороже. Сколько стоит тетрадь для рисования?

23. Учитель купил для своего класса перьев и карандашей: перьев 90 штук, а карандашей в 3 раза меньше. Сколько карандашей купил учитель?

24. Женщина купила крупных и мелких пуговиц: крупных 12 штук, а мелких в 4 раза больше. Сколько всего пуговиц купила женщина?

25. С одной гряды накопали 72 кг крупного картофеля и в 3 раза меньше мелкого. Сколько килограммов всего картофеля накопали с этой гряды?

26. В саду сняли яблоки с двух яблонь: с одной 32 кг„ а с другой в 2 раза больше. Сколько потребуется ящиков, чтобы сложить все эти яблоки, если в каждый ящик сложат по 24 кг?

27. Крестьянин имеет запас ячменной и овсяной крупы: ячменной 72 кг, а овсяной в три раза меньше. На сколько месяцев ему хватит этой круты, если каждый месяц он будет тратить по 16 кг?

28. Ученик решал дома примеры на сложение, вычитание и умножение: на сложение сделал 18 примеров, на вычитание в 2 раза меньше, а на умножение в 2 раза больше, чем на сложение. Сколько всего примеров решил ученик?

29. В стаде есть черные, красные и пестрые коровы: черных 16 коров, красных в 3 раза больше, а пестрых в 2 раза меньше, чем черных. Сколько всего коров в стаде?

30. Школьники посадили цветы на трех клумбах: на первой клумбе — 24 цветка, на второй в два раза больше, чем на первой, а на третьей в 3 раза меньше, чем на второй. Сколько всего цветов посадили школьники?

31. Девочка составила букет из полевых цветов—васильков, ромашки и гвоздики: васильков она взяла 36 цветков, ромашки в 4 раза меньше, чем васильков, а гвоздики в 2 раза больше, чем ромашки. Сколько всего цветочков вошло в букет?

IV. КРАТНОЕ СРАВНЕНИЕ

(Для П класса)

32. Мальчик купил для удочки крючков: крупных 8 штук и мелких 24 штуки. Во сколько раз мелких крючков он купил больше, чем крупных? (или: во сколько раз крупных меньше, чем мелких?)

33. Брат и сестра собирали грибы; брат нашел 24 гриба, а сесгра 48 грибов. Во сколько раз брат нашел меньше грибов чем сестра?

34. Ученики получили в течение месяца 100 отметок; из них 25 отметок хороших, а все остальные отличные. Во сколько раз отличных отметок они получили больше, ч,ем хороших?

35. В мастерской работает 48 человек; из них женщин 12 человек. Во сколько раз мужчин в этой мастерской больше, чем женщин?

36. В колхозе все луговое сено помещается в 3 сараях, по 32 воза в¹ каждом, а все клеверное — в 2 сараях, по 24 воза в каждом. Какого сена в колхозе больше и во сколько раз?

37. Из магазина продали 5 кг масла по¹16 руб. за килограмм и 4 десятка яиц по 5 руб. за десяток. Во сколько раз за яйца получили меньше, чем за масло?

ПОВТОРЕНИЕ

38. Матери 48 лет, отец на 6 лет старше матери, а их сын на 30 лет моложе матери. Во сколько раз отец старше сына?

39. Три ученика посадили на грядке лук: один посадил 24 луковицы, другой на 16 луковиц больше первого, а третий в 2 раза меньше второго. Сколько всего луковиц посадили на грядке?

40. Ученик купил флакон туши, линейку и угольник; за тушь он заплатил 39 коп., за линейку на 13 коп. меньше, а за угольник в 2 раза больше, чем за тушь. Во сколько раз угольник дороже линейки?

41. На озере плавали 3 стада уток: в одном стаде было 54 утки, в другом в 3 раза меньше, а в третьем на 24 утки меньше, чем в первом. В котором стаде, во втором или в третьем, уток было больше и на сколько больше?

42. Скотный двор совхоза имеет 3 отделения; в первом отделении помещается 46 коров, во втором в 2 раза меньше, чем в первом, а в третьем на 7 коров больше, чем во втором. Сколько всего коров на скотном дворе?

43. В одной школе всего 95 учащихся; из них в I классе 24 учащихся, во II на 8 учащихся больше, чем в первом, а в III в 2 раза меньше, чем во втором. Сколько учащихся в IV классе?

44. Девочка взяла из библиотеки книжку, в которой 90 страниц. В первый день она прочитала 30 страниц, во

второй на 5 страниц меньше. На сколько страниц после двух дней ей осталось читать меньше, чем она прочитала?

45. Из ларька продали 100 тетрадей; из них в одну линейку 32 штуки, в две линейки в два раза меньше, чем в одну линейку, в косую клетку на 9 штук больше, чем в две линейки, а в прямую клетку — все остальные. Сколько продали тетрадей в прямую клетку?

V. НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ ДАННОГО ЧИСЛА (Для II, Ill и IV классов)

Чтобы учащиеся могли успешно работать над задачами как данного, так и следующего типа, необходимо выяснить им следующее:

1) Когда мы берем не весь предмет (например, яблоко, булку, лист бумаги и т. п.), а только часть его, то эта часть всегда меньше целого предмета. Точно так же, если мы берем не все данное число, например, 24, а только часть его, то эта часть будет таким числом, которое меньше, чем все данное число.

2) В тех случаях, когда мы хотим; взять не безразлично какую, не случайную часть предмета, например, яблока, а определенную часть, мы поступаем следующим образом: разрезаем яблоко на несколько одинаковых частей (кусков) и берем одну из этих частей (один кусок). Часть эту мы называем таким словом, которое показывает, на сколько равных частей мы разрезали наше яблоко. Так, если мы разрезали его на 4 равных части, то любая из этих частей (любой кусок) называется «четвертая часть» яблока; если разрежем на 6 равных частей, то каждая часть будет называться одна «шестая часть» яблока и т. д. Если, разделив яблоко на 6 равных частей, мы возьмем потом не одну часть, а например, две (два кусы), то говорим, что взяли «две шестых части»; если возьмем пять кусков, говорим «пять шестых частей» и т. п. (Иногда слово «часть» или «частей» опускают и говорят короче: «одна шестая», «три шестых» и т. п.).

Точно так же, если мы хотим взять не случайную, а определенную часть какого-нибудь данного числа, мы это число должны разложить (разделить) на столько

равных частей, какую часть мы хотим взять. Так, например, если нам нужно взять одну шестую часть числа 24, то мы должны разложить это число на 6 равных частей, т. е. представить его состоящим из шести одинаковых слагаемых, каждое из которых будет «одна шестая часть» 24. А чтобы узнать, чему будет равно каждое слагаемое или каждая часть, мы 24 делим на 6, получаем 4. Значит 24 содержит в себе шесть раз по 4 (24 = 44-4 + 4 + 4 + 4 + 4 или 24 = 4 X 6); следовательно, 4 есть одна шестая часть 24. Из этого также видно, что «шестых частей» во всем числе содержится шесть; а если бы мы разложили число 24 на 8 равных частей, то каждая часть была бы «одна восьмая часть», и таких частей во всем числе было бы восемь.

Выяснять эти понятия учащимся нужно непременно наглядно — с помощью деления на части таких предметов, как яблоко, круг, полоска бумаги и т. п., а затем на палочках или кубиках, которые будут служить конкретным выражением определенных чисел.

46. В коробке было 100 перьев. Четвертую часть этих перьев роздали ученикам. Сколько перьев осталось в коробке?

47. Для отопления школы заготовили 84 куб. м дроз. Одна седьмая часть этого количества были сосновые дрова, а все остальные — березовые. Сколько кубических метров березовых дров заготовили?

48. С яблони сняли 72 кг яблок и сложили их в 3 корзины: в первую корзину — одну четвертую часть, во вторую — одну шестую всех яблок, а в третью — все остальные яблоки. Сколько яблок сложили в третью корзину?

49. В трех стогах сложено 96 ц сена: в одном стоге— третья часть, в другом — четвертая часть всего сена, а в третьем остальное. Сколько сена в третьем стоге?

50. Женщина израсходовала в магазине 5 руб. 40 коп. Третью часть этих денег она отдала за булку, четвертую часть оставшихся за кофе, а на остальные купила сахару. Сколько она отдала за сахар? (Отв.: 2 руб. 70 коп.).

51. Колхоз ежедневно отпускает своему скоту 900 кг

сена. Одну пятнадцатую всего этого сена дают овцам, одну треть оставшегося — коровам, а все остальное — лошадям. Сколько сена получают лошади? (Ответ: 560 кг).

52. Ученик купил тетрадей, карандашей и 2 одинаковых учебника и за все заплатил 3 руб. 20 коп.: за тетради он отдал одну четвертую часть всех денег, за карандаши — одну шестую оставшихся, а за учебники — все остальные. Сколько стоит каждый учебник? (Отв.: 1 руб.).

53. Пешеход в три дня прошел 144 км: в первый день он прошел % всего расстояния и еще 12 км, во второй день ^J/₃ того, что осталось после первого дня, и еще 18 к'м. Сколько он прошел в третий день? (Отв.: 46 км).

54. Школа купила 450 тетрадей. Две трети этих тетрадей были в одну линейку, две девятых в две линейки, а остальные в клетку. Сколько было тетрадей в клетку? (Отв.: 50 тетрадей).

55. Мальчик поймал в течение дня 120 рыб. Три восьмых этого количества были плотички, две пятых — окуни, а все остальные — ерши. Сколько ершей мальчик поймал? (Отв.: 27 ершей).

56. Со школьного сада сняли 360 кг яблок и сдали их в магазин по следующим, ценам: ⁵/12 всех яблок по 1 руб. 20 коп. за килограмм; ⁴/₉ по 1 руб., а все остальные — по 80 коп. за килограмм. Сколько получили за все яблоки? (Отв.: 380 руб.).

57. В продуктовый магазин доставили 350 кг пшеничной муки трех сортов: ³/₅ всего количества по 2 руб. за килограмм; ²/₇ — по 3 руб. и всю остальную муку — по 4 руб. за килограмм. Сколько стоила вся доставленная мука? (Отв.: 880 руб.).

58. В библиотеке 1000 книг разложили в три шкафа: в первый ²/г, всего количества, во второй ³/₅ оставшихся, а в третий — все остальные книги. Сколько книг положили в третий шкаф? (Отв.: 240 книг).

59. Из магазина продали трем школам 800 карандашей. Первая школа взяла ²Д всего этого количества, вторая % оставшихся, а третья — все остальные карандаши. Сколько карандашей взяла третья школа? (Отв.: 180).

60. Школа сняла с своего сада 600 кг яблок. ³/₅ этого количества отложили для завтраков учащимся, % оставшихся для детского дома, а все остальные яблоки продали по 2 руб. за килограмм. Сколько получили за проданные яблоки? (Отв.: 300 руб.).

61. Путешественник проделал путь в 840 км.

этого пути он проехал на пароходе, ⁿ/i2 оставшегося — по железной дороге, а все остальное расстояние прошел пешком, делая по 5 км в час. Сколько часов путешественник шел пешком? (Отв.: 8 час.).

VI. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА ПО ДАННОЙ ЧАСТИ ЕГО (Для II, III и IV классов)

62. У меня в кармане коробка со спичками. Третья часть этих спичек равна 15. Сколько спичек в коробке?

63. Колхозник купил себе шапку за 25 руб. и отдал за нее ^J/4 всех бывших у него денег. Сколько денег было у колхозника?

64. Колхозница продала на базаре % дневного удоя молока и получила 3 руб. 20 коп. Сколько она получила бы, если бы продала весь дневной удой?

65. Мальчик купил 2 карандаша по 8 коп. и заплатил за них Vo всех своих денег. Сколько денег имел мальчик до покупки карандашей?

66. Колхозники убрали сено на лугу, и ¹/₅ его свезли в сарай на 24 подводах, по 3 ц на каждой подводе. Сколько всего сена получил колхоз с этого луга?

67. Две женщины купили вместе кусок полотна: одна взяла себе ¹/₅ всего куска и заплатила 16 руб. Сколько заплатила за полотно вторая женщина? (Отв.: 64 руб.).

68. Два покупателя купили вместе ящик гвоздей. Один из них взял себе Уз всех гвоздей и заплатил 4 руб. 50 коп. Сколько должен был заплатить второй покупатель? (Отв.: 9 руб.).

69. У меня в коробке столько спичек, что если взять ²/₅ их, то получится 16 спичек. Сколько спичек в коробке? (Отв.: 40).

70. Мальчик израсходовал % своих денег на, покупку

2 Устное решение—1603

17

книги и Ve на покупку тетради. За книгу он заплатил 1 руб. Сколько он заплатил за тетрадь? Сколько у него было денег до покупки¹ книги и тетради? (Отв.: 20 коп., 1 руб. 60 коп.).

71. Колхозник купил себе ботинки за 75 руб. и отдал за них 24 всех взятых с собою денег. Сколько денег было у колхозника до покупки ботинок? (Отв.: 100 руб.).

72. Женщина собрала с гряд огурцы и Vs, всего собранного количества посолила. Сколько всего огурцов она собрала, если посолила 140 штук? (Отв.: 160 огурцов).

73. Женщина купила 3 м материи по 80 руб. за метр и¹ в уплату отдала ⁴/₅ всех бывших у нее денег. Сколько денег было у женщины до покупки материи? (Отв.: 300 руб.).

74. Учитель купил для школы 30 куб. м дров, по 12 руб. за кубометр, и израсходовал ⁴/₅ всех отпущенных на отопление денег. Сколько денег было отпущено на отопление школы? (Отв.: 450 руб.)

75. Ученик взял из библиотеки книгу и прочитывал ежедневно по 14 страниц. За 5 дней он прочитал ⁷/i2 всей книги. Сколько всего страниц в книге? (Отв.: 120 страниц).

76. Плотники взялись поставить забор кругом сада. Ставя ежедневно по 42 м, они за 5 дней поставили s/ю всего забора. Найти длину всего забора. (Отв.: 700 л).

77. Женщина продавала на базаре землянику: ²/₅ всей земляники она продала по 25 коп. за стакан и получила 3 руб., а остальную землянику продала по 20 коп. за стакан. Сколько она получила за всю землянику? (Отв.: 6 руб. 60 коп.).

78. Учащиеся посадили на школьном участке несколько кустов малины, причем мальчики посадили ³/₅ всего количества, а девочки — остальные 40 кустов. Сколько всего кустов малины посадили учащиеся? (Ответ.: 100 кустов).

79. Ученик шел из дома в школу. Когда он прошел ²/₅ всего пути, ему осталось итти еще 900 м. Определить расстояние от дома ученика до школы? (Отв.: 1 км 500 jt).

80. Учитель роздал учащимся % всего бывшего в школе запаса перьев, после чего у него осталось 75 перьев. Сколько перьев учитель роздал учащимся? (Отв.: 45 перьев).

81. Из школьной библиотеки выдано для чтения ²/<> всех имеющихся книг, а на лицо в библиотеке имеется 560 книг. Сколько книг выдано для чтения? (Отв.: 160 книг).

82. Колхозник получил на трудодни рожь и ²/_э ее продал по 1 руб. 10 коп. за килограмм, а остальные 840 кг оставил для семьи. Сколько он получил за проданную рожь? (Отв.: 264 руб.).

VII. СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ (Для III и IV классов)

83. Девочка сняла яблоки с 4 яблонь: с одной 12 яблок, с другой 15, с третьей 20 и с четвертой 17 яблок. Все эти яблоки она разложила поровну в четыре тарелки. Сколько яблок она положила в каждую тарелку?

84. Мальчик удил рыбу 4 часа. В первый час он поймал 5 рыб, во второй — 8, в третий — 12 ив четвертый— 7 рыб. По сколько рыб в среднем он ловил в час?

85. В первый день шестидневки рабочий заработал 12 руб., во второй день—15 руб., в третий день—16 руб., в четвертый день — 18 руб., в пятый день— 19 руб. Сколько в среднем рабочий заработал в день?

86. Колхозница имела 4 курицы. Одна из них снесла за год 90 яиц, другая—120 яиц, третья — 180 яиц и четвертая — 210 яиц. Сколько яиц в среднем приходится на каждую курицу?

87. Девочка шла от дома до школы 5 минут: в первую минуту она прошла 80 м, во вторую минуту — 90 м, в третью минуту—75 м, в четвертую минуту — 70 м и в пятую минуту — 65 .и. Определить среднюю скорость движения девочки.

88. Автомобиль шел 3 часа со скоростью 40 км в час, 2 часа со скоростью 45 км и 3 часа со скоростью 50 км

в час. Определить среднюю скорость автомобиля. (Отв.: 45 км).

89. В колхозе было засеяно рожью два участка земли, один в 30 га, другой в 20 га. Первый участок дал по 15 ц, а второй по 20 ц зерна с каждого гектара. Определить средний урожай ржи с 1 га. (Отв.: 17 ?().

90. Во время уборки картофеля на колхозном поле работало 3 дня по 20 человек, 5 дней по 24 человека и 4 дня по 30 человек. Сколько человек в среднем ежедневно занималось уборкой картофеля? (Отв.: 25 чел.).

91. Маляр работал в течение летнего сезона четыре месяца, из которых в первый месяц он заработал 350 руб., во второй — 400 руб., в третий — 500 руб. Сколько он заработал в четвертый месяц, если средний месячный заработок его за сезон равнялся 450 руб.? (Отв.: 550 руб.).

92. Семья колхозника состоит из отца, матери, сына и дочери. Отец выработал за год 260 трудодней, мать — 190 трудодней, сын — 350 трудодней. Сколько трудодней выработала дочь, если в среднем на каждого члена семьи пришлось 275 трудодней? (Отв.: 300 трудодней).

93. Из 20 коров колхозного стада 10 коров дают в день по 8 л молока, 5 коров — по 12 л. По сколько литров дают в день остальные коровы, если средний удой одной коровы в стаде составляет 11 л в день? (Отв.: 16 л).

94. Учащиеся одного класса решили в школе за 9 месяцев следующее количество задач: в первые три месяца по 30 задач, в следующие четыре месяца — по 50 задач в месяц. По сколько¹ задач они решили в остальные два месяца, если среднее количество задач, решенных в месяц, равняется 40 задачам? (Отв.: по 35 задач).

VIII. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЕЛ ПО ИХ СУММЕ И РАЗНОСТИ

(Для II, III и IV классов)

К пониманию способа решения задач этого типа легко подвести учащихся с помощью наглядного изображения содержания задачи. Возьмем для этого, например, такую

задачу: «Два мальчика купили вместе 46 слив, причем старший взял себе на 4 сливы больше младшего. Сколько слив взял каждый?».

Изобразим эту задачу следующим образом. Пусть младший мальчик наполнил своими сливами целую кружку. Старший тоже сложил свои сливы в такую же кружку; но так как у него было на 4 сливы больше, чем у младшего, то эти четыре сливы не поместились в кружке, и он положил их возле кружки. Зарисуем на доске одну кружку со сливами) (взял младший) и под нею другую кружку со сливами, а рядом с последней — четыре отдельных сливы (это взял старший). Сбоку сделаем фигурную скобку, обнимающую весь рисунок, и за скобкой напишем: «Всего 46 слив».

Предлагаем, учащимся всмотреться в картинку и сообразить, как можно узнать, сколько слив в одной кружке, т. е. сколько слив взял младший. В случае затруднения проводим беседу с помощью, примерно, таких вопросов:

Сколько всего слив в двух кружках вместе с 4 отдельными сливами? (Отв.: 46 слив).

Можно ли сразу узнать сколько слив в одной кружке? Почему нельзя?

Что сначала нужно узнать? (Отв.: Нужно узнать, сколько слив в двух кружках без 4 слив — «лишних»).

Как же это узнать? (Отв.: 46 сл. — 4 сл. = 42 сл.).

Теперь можно узнать, сколько слив в одной кружке? Как это узнаем? (Отв.: 42 сл. : 2 = 21 сл.).

Как теперь узнать, сколько слив взял старший мальчик? (Отв.: 21 сл. + 4 сл. = 25 сл.).

Аналогичным образом можно провести работу над одной-двумя задачами и с помощью палочек или кубиков и т. п. (вместо рисунков на доске).

Перед решением более сложных задач этого типа в IV классе нужно обратить внимание учащихся на следующее:

1) Когда мы производим деление одного числа на другое, то всегда делим на равные части; делить на неравные части мы не умеем.

2) Если нам известна сумма нескольких одинаковых слагаемых, например, х + х + х = 45, то, чтобы узнать,

чему равно одно слагаемое (х), нужно сумму (45) разделить на число слагаемых (3).

3) В тех случаях, когда дана сумма неодинаковых слагаемых и надо найти каждое слагаемое, делить сразу эту сумму на число слагаемых нельзя, потому что в состав суммы входят неравные части (слагаемые), а мы умеем делить только на равные части. Поэтому, чтобы можно было делить на равные части, нужно сначала уравнять слагаемые. Для уравнивания же слагаемых нужно или от больших слагаемых отнять по столько, на сколько каждое из них больше меньшего слагаемого, или наоборот: к меньшим слагаемым прибавить по столько, на сколько каждое из них меньше большего слагаемого. Но сколько мы будем отнимать (или прибавлять) от слагаемых, на столько будет уменьшаться (или увеличиваться) и сумма. Если, например, сумма трех слагаемых равна 75, причем второе слагаемое больше первого на 5, а третье больше первого на 10, то чтобы сделать второе и третье слагаемые равными первому, нужно от второго отнять 5, а от третьего 10. Но тогда и сумма всех слагаемых уменьшится на 5 и на 10, т. е. на 5 + 10 = 15, и будет равна 75— 15 = 60. Сделать на самом деле вычитание 5 из второго слагаемого и 10 из третьего слагаемого мы не можем, потому что не знаем величины этих слагаемых. Но зато мы знаем, что если бы это вычитание мы сделали, то сумма уменьшилась бы на 15, т. е. стала бы равна 60, и в составе этой суммы все три слагаемые были бы равны между собою (каждое равнялось бы первому слагаемому). Поэтому, чтобы найти одно слагаемое (первое), теперь мы можем 60 разделить на 3 равные ча- сти.

Вышеприведенные рассуждения нужно подкрепить наглядными примерами и связать с содержанием задач, чтобы учащиеся отчетливо различали, что в каждой данной задаче надо принимать за слагаемые и что является их суммой.

95. В двух коробках было 75 карандашей, причем в одной на 15 карандашей больше, чем в другой. Сколько карандашей было в каждой коробке? (Отв.: 30 и 45).

96. Ученик купил за 64 коп. линейку и угольник, при

чем за угольник заплатил на 16 коп. дороже, чем за линейку. Сколько стоили линейка и угольник отдельно? (Отв.: 24; 40).

97. Женщина купила 900 г белого и черного хлеба, причем черного на 100 г больше, чем белого. Сколько граммов того и другого хлеба отдельно купила женщина? (Отв.: 400 г и 500 а).

98. В совхозе засеяли рожью и пшеницей 240 га, причем пшеницей на 60 га меньше, чем рожью. Сколько га засеяли тем и другим зерном отдельно? (Отв.: 150 га и 90 га).

99. В школе всего 345 учащихся; из них девочек на 25 меньше, чем мальчиков. Сколько в школе девочек и мальчиков отдельно? (Отв.: 160 девочек и 185 мальчиков).

100. Рабочий купил себе костюм и пальто и заплатил 640 руб. Костюм стоит на 160 руб. дешевле, чем пальто. Сколько рабочий заплатил за костюм и пальто отдельно? (Отв.: 240 руб.; 400 руб.).

101. Из 340 листов бумаги сделали тетради и блокноты, причем¹ на тетради ушло на 20 листов больше, чем на блокноты. На каждую тетрадь шло по 3 листа бумаги, а на блокнот по 4 листа. Сколько сделали тетрадей и сколько блокнотов? (Отв.: 60 тетрадей, 40 блокнотов).

102. Колхозники в течение дня убрали 60 возов лугового сена и 30 возов клевера, всего 30 т. В этом числе лугового сена было на 6 т больше, чем клевера. Сколько центнеров, в среднем, весил воз лугового сена и воз клевера (отдельно)? (Отв.: 3 ц; 4 ц).

103. Три сестры нажали в течение дня 320 снопов; из них средняя нажала на 20 снопов больше, чем младшая, а старшая на 30 снопов больше, чем младшая. Сколько снопов нажала каждая сестра? (Отв.: 90; ПО; 120).

104. Трое рабочих сделали 215 гаек, причем второй рабочий сделал на 15 гаек больше первого, а третий на 20 гаек больше первого. Сколько гаек сделал каждый рабочий? (Отв.: 60; 75; 80).

105. Ученик прочитал книгу в 210 страниц в течение 4 дней: во второй день он прочитал на 5 страниц больше, чем в первый, в третий на 15 страниц больше, а в чет

вертый на 30 страниц больше, чем в первый. Во сколько дней он прочитал бы эту книгу, если бы в каждый день прочитывал по столько, как в четвертый день? (Отв.: в 3 дня).

106. В магазин привезли ящик мелких апельсинов и 3 ящика крупных, всего 840 штук. Мелких апельсинов в ящике было на 120 штук больше, чем в каждом ящике крупных. Сколько было мелких апельсинов в ящике? (Отв.: 300 шт.).

107. В продуктовую лавку привезли 5 мешков ржаной муки и 1 мешок пшеничной, всего 496 кг. В мешке пшеничной муки было на 16 кг больше, чем в мешке ржаной. Сколько килограммов той и другой муки отдельно привезли в лавку? (Отв.: 400 кг и 96 кг).

108. Ученик купил коробку цветных карандашей и 2 тетради для рисования и за все заплатил 1 руб. 65 коп., причем за каждую тетрадь платил на 15 коп. дороже, чем за карандаши. Сколько стоила тетрадь и сколько коробка карандашей? (Отв.: 45 коп.; 60 коп.).

109. Отец и два его сына выработали в колхозе 850 трудодней, причем каждый из сыновей выработал на 65 трудодней больше отца. Сколько трудодней выработал отец и сколько каждый сын? (Отв.: 240; 305).

ПО. Женщина купила 2 кг рыбы и 4 кг мяса и за все заплатила 33 руб. За килограмм мяса она платила на 2 руб. 25 коп. дороже, чем за килограмм рыбы. Сколько она заплатила за рыбу и мясо отдельно? (Отв.: 8 руб.; 25 руб.).

111. На мельницу привезли 3 мешка овса и 4 мешка ржи, всего 5 ц. Каждый мешок овса весил на 20 кг меньше, чем мешок ржи. Сколько килограммов того и другого зерна отдельно привезли на мельницу? (Отв. 180 кг; 320 кг).

112. На трех полках 520 книг; из них на средней полке на 40 книг больше, чем на нижней, а на верхней на 20 книг больше, чем на средней. Сколько книг на каждой полке? (Отв.: 140; 180; 200).

113. С трех яблонь сняли 310 кг яблок, причем со второй яблони на 20 кг больше, чем с первой, а с третьей на 15 кг больше, чем со второй. Сколько килограммов

яблок сняли с каждой яблони? (Отв.: 85 кг, 105 кг и 120 кг).

114. 1000 яблок разложили в 4 ящика: в первый и второй ящики положили поровну, в третий на 50 яблок больше, чем во второй, а в четвертый на 100 яблок больше, чем в третий. Сколько яблок положили в каждый ящик? (Отв.: 200; 250; 350).

115. Велосипедист в течение трех дней проехал 370 км, причем во второй день на 20 км меньше, чем в первый, и в третий на 40 км меньше, чем во второй. Сколько километров он проехал в каждый день отдельно? (Отв.: 150 км, 130 км, 90 км).

116. Ученик IV класса за три четверти учебного года решил 305 задач, причем во вторую четверть решил на 25 задач меньше, чем в третью, а в первую на 5 задач меньше, чем во вторую. Сколько задач он решил в каждую четверть. (Отв.: 90; 95; 120).

117. Рабочий заработал в 3 месяца 1300 руб., причем во второй месяц на 60 руб. больше, чем в первый, а в третий на 20 руб. меньше, чем во второй. Сколько он заработал в каждый месяц? (Отв.: 400 руб.; 460 руб.; 440 руб.).

118. Расстояние в 820 км летчик пролетел в 3 часа, причем во второй час он пролетел на 50 км больше, чем в первый, а в третий на 30 км меньше, чем во второй. Сколько километров он пролетел во второй и сколько в третий час? (Отв.: 300 км; 270 км).

119. Длина всего забора вокруг прямоугольного огорода равна 320 м. Длина огорода на 40 м больше его ширины. Найти площадь этого огорода. (Отв.: 6000 кв. м).

IX. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЕЛ ПО ИХ СУММЕ И КРАТНОМУ ОТНОШЕНИЮ

(Для 111 и IV классов)

Работу над задачами этого типа полезно начать с наглядного разбора первой задачи. Возьмем, например, такую задачу: «С двух яблонь сняли 100 кг яблок, причем со второй яблони в 3 раза больше, чем с первой.

Сколько' килограммов яблок сняли о той и другой яблони отдельно?

Рассуждаем с учащимися следующим образом.

Предположим, что всеми яблоками с первой яблони мы наполнили одну корзину. Рисуем корзину с яблоками и пишем под нею: «Яблоки с первой яблони».

Сколько же таких корзин можно наполнить яблоками со второй яблони, если сказано, что со второй сняли в 3 раза больше, чем с первой? (Отв.: три корзины).

Ниже рисуем еще три таких же корзины с яблоками и под ними: пишем: «Яблоки со второй яблони».

Сколько же всего корзин яблок получилось? (Отв.: 4 корзины).

Как записать, откуда у нас получилось 4 корзины? Отв.: 1 корз. + 3 корз. = 4 корз.).

Сколько килограммов яблок во всех корзинах? (Отв.: 100 кг).

Как же узнать, сколько' килограммов яблок в одной корзине, т. е. сколько сняли с первой яблони? (Отв.: 100 кг : 4 = 25 кг).

Как теперь узнать, сколько килограммов яблок сняли со второй яблони? (Отв.: 25 кг X 3 = 75 кг, или 100 кг — 25 кг = 75 кг).

После такого наглядного разбора и решения задачи нужно рассказать учащимся, что яблоки можно было бы складывать не в корзины, а просто в кучки — по столько же, по сколько и в корзины; тогда с первой яблони получилась бы одна кучка или часть, а со второй три таких же кучки или части. Обыкновенно, когда решают такие задачи, то» и распределяют сначала все по кучкам и называют их частями. Меньшее количество обыкновенно принимают за одну часть (кучку), а большее — за столько частей, во сколько раз оно больше меньшего. Так проводится первое ознакомление учащихся с основным способом решения задач данного типа.

Наряду о этим весьма полезно рассмотреть структуру задач этого типа и с теоретической стороны. В разобранной задаче 100 кг есть сумма двух слагаемых, из которых одно — число яблок с первой яблони, другое — число яблок со второй яблони. Но так как эти числа (слагаемые) не равны между собою, то, чтобы найти каждое из них, нельзя их сумму делить на две равные части. Однако,

нам известно, что* второе число (слагаемое) в 3 раза больше первого; это значит, что в нем содержится три таких числа, как первое. Поэтому второе число можно разложить на три числа (на три слагаемых), из которых каждое равно первому. Следовательно, во всей сумме содержится 1 число + 3 числа = 4 числа, равных первому числу. Чтобы найти одно первое число (первое слагаемое), 100 кг делим на 4 равные части.

120. Колхозник продал двум покупателям 150 яблок, причем первому в 4 раза больше, чем второму. Сколько яблок купил первый покупатель? (Отв.: 120 яблок).

121. В колхозе намолотили белого и серого гороха — всего 120 причем белого в 3 раза больше, чем серого. Сколько центнеров белого гороха намолотили? (Отв.: 90 ц).

122. Школа израсходовала 450 тетрадей в клетку и в одну линейку, причем в клетку в два раза меньше, чем в одну линейку. Сколько тех и других тетрадей отдельно израсходовала школа? (Отв.: 150; 300).

123. Стрелковый кружок во время занятий сделал 240 выстрелов; из них неудачных (без попадания в цель) было в 5 раз меньше, чем удачных (с попаданием в цель). Сколько было удачных выстрелов? (Отв.: 200).

124. Ученик купил за 3 руб. 20 коп. линейку, угольник и циркуль. Угольник стоил в 3 раза дороже, чем линейка, а циркуль в 4 раза дороже линейки. Сколько' стоила каждая вещь в отдельности? (Отв.: 40 коп.; 1 руб. 20 коп.; 1 руб. 60 коп.).

125. Ленту длиною в 7 м 50 см продали трем покупательницам, из которых первая взяла в 4 раза больше второй, а третья в 5 раз больше¹ второй. Сколько метров ленты купила каждая покупательница? (Отв.: 3 м; 75 см\ 3 м 75 см).

126. Колхоз посадил на 3 участках 180 ц картофеля, причем на третьем участке в 3 раза меньше, чем на втором, и в 5 раз меньше, чем на первом. Сколько картофеля колхоз посадил на каждом участке? (Отв.: 100 ц; 60 ц\ 20 ц).

127. Велосипедист в течение 3 дней проехал 360 км, причем во второй день проехал в 2 раза меньше, чем

в первый, и в 3 раза меньше, чем в третий. Сколько он проехал в каждый день отдельно? (Отв.: 120 км; 60 км; 180 км).

128. Ученики сделали 420 цветных флажков — голубых, зеленых и красных. Зеленых сделали в 3 раза больше, чем голубых, а красных в 2 раза больше, чем зеленых. Сколько флажков каждого цвета сделали ученики? (Отв.: 42; 126; 252).

129. Сельсовет отпустил на ремонт 3 начальных школ 1800 руб. Вторая школа получила в 2 раза больше первой, а третья в 3 раза больше второй. Сколько денег получила на ремонт каждая школа? (Отв.: 200 руб.; 400 руб.; 1200 руб.).

130. Экскурсанты проехали по железной дороге, на пароходе и на лошадях — всего 800 км. На пароходе они проехали в 2 раза меньше, чем по железной дороге, а на лошадях в 5 раз меньше, чем на пароходе. Какое расстояние они проехали по железной дороге и на пароходе отдельно? (Отв.: 500 км; 250 км).

131. Женщина купила булку, печенья и конфет и за все заплатила 9 руб. 80 коп.: за печенье отдала в 2 раза меньше, чем за конфеты, а за булку в 2 раза меньше, чем за печенье. На какую сумму она купила печенья и конфет отдельно? (Отв.: 2 руб. 80 коп.; 5 руб. 60 коп.).

132. Учащиеся одной школы получили за неделю 700 отметок; из них посредственных было' в 3 раза меньше, чем отличных, а хороших в 2 раза больше, чем отличных. Сколько отличных и хороших отметок (отдельно) получили учащиеся за эту неделю? (Отв.: 210 отл.; 420 хор.).

133. В колхозе имеется 620 га земли. Из этого количества неудобной земли (болото, заросли и т. п.) в 6 раз меньше, чем луговой, а пашни в 4 раза больше, чем луговой. Сколько в колхозе луговой земли и сколько пашни (отдельно)? (Отв.: 120 га; 480 га).

134. Девочка за 3 дня собрала 120 белых грибов, причем во второй день она нашла в 3 раза меньше, чем в первый, а в третий в 4 раза больше, чем во второй.

Сколько грибов она нашла в каждый день (отдельно)? (Отв.: 45; 15; 60).

135. В районе ПО школ; из них средних в 14 раз меньше, чем неполных средних, а начальных в 40 раз больше, чем средних. Сколько в районе школ каждого типа отдельно? (Отв.: 2 ср.; 28 неп. ср.; 80 нач.).

136. На заводе в трех цехах работает 750 человек; из них в первом цехе в 4 раза больше, чем во втором, а в третьем столько, сколько в первом и во втором вместе. Сколько рабочих в каждом цехе? (Отв.: 300; 75; 375).

137. В школе 240 учащихся; из них отлично учатся в 2 раза больше, чем посредственно, а хорошо — столько, сколько посредственно и отлично вместе. Сколько учащихся учится хорошо и отлично (вместе)? (Отв.: 200 уч.).

138. В колхозе имеется 840 га земли, причем луговой в 3 раза больше, чем занятой лесом, а пашни в 2 раза больше, чем луговой и под лесом вместе. На сколько гектаров пашни в колхозе больше, чем луговой земли? (Отв.: на 350 га).

139. Весною школьники посадили на трех участках 480 кг картофеля, причем на втором участке в 5 раз больше, чем на первом, а на третьем в 3 раза меньше, чем на первом и втором вместе. Сколько картофеля посадили на каждом участке? (Отв.: 60 кг; 300 кг; 120 тег).

140. На складе было 120 мешков крупной и мелкой соли, причем число мешков крупной в 2 раза больше, чем мелкой. Мешок крупной соли весил 90 кг, а мешок мелкой 80 кг. Сколько всего центнеров соли было¹ на складе? (Отв.: 104 ц).

141. В фруктовый магазин привезли несколько ящиков крупных и мелких яблок, всего 540 кг, причем крупных в 2 раза больше (по> весу), чем мелких. Крупных яблок в каждом ящике было 40 кг, а мелких 30 кг. Сколько всего ящиков яблок привезли? (Отв.: 15 ящ.).

142. Женщина купила два отреза полотна, всего 48 м, причем один отрез был в 3 раза меньше другого. Метр большего отреза стоил 5 руб., а метр меньшего 6 руб.

Сколько женщина заплатила за все полотно? (Отв.: 252 руб.).

143. Из магазина продали на 880 руб. шерстяной и бумажной материи, причем шерстяной в 2 раза больше, чем бумажной. Метр шерстяной материи стоил в 5 раз дороже, чем метр бумажной. На какую сумму продали шерстяной материи? (Отв.: на 800 руб.).

144. Для школы купили на 9 руб. 10 коп. карандашей и резинок, причем карандашей в 3 раза больше, чем резинок. На какую сумму купили карандашей, если каждый карандаш стоил вдвое дороже резинки? (Отв.: 7 руб. 80 коп.).

КОМБИНАЦИИ VIII и IX ТИПОВ

(Для IV класса)

145. Мальчик поймал в течение трех дней 102 рыбки: во второй день он поймал на 6 рыбок больше, чем в первый, а в третий в 2 раза больше, чем в первый. Сколько рыбок поймал он в каждый день? (Отв.: 24; 30; 48).

146. Ученик выполнял домашние задания по математике, географии и литературе в течение 2 ч. 20 мин. На географию он затратил на 15 мин; больше, чем на математику, а на литературу в 3 раза больше, чем на математику. Сколько времени он занимался литературой? (Отв.: 1 час 15 мин).

147. Девочка купила за 9 руб. тетрадей, учебников и сумку для книг; за учебники она заплатила в 4 раза больше, чем за тетради, а за сумку на 1 руб. 80 коп. больше, чем за учебники. Сколько стоила сумка? (Отв.: 5 руб.).

148. Женщина собрала с 3 гряд 305 огурцов, причем с первой гряды в 3 раза больше, чем со второй, а с третьей на 25 огурцов больше, чем с первой. Сколько огурцов она собрала с третьей гряды? (Отв.: 145 огурцов).

149. 570 учащихся средней школы размещены в трех этажах: в первом этаже помещается на 30 человек меньше, чем во втором, а в третьем в 2 раза больше, чем во втором. Сколько учащихся помещается в каждом этаже? (Отв.: 120; 150; 300).

150. В саду 225 плодовых деревьев — слив, вишен и яблонь; из них слив на 15 меньше, чем вишен, а яблонь в 5 раз больше, чем слив. Сколько в этом саду плодовых деревьев каждого рода в отдельности? (Отв.: 30; 45; 150).

X. НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЕЛ ПО ИХ РАЗНОСТИ И КРАТНОМУ ОТНОШЕНИЮ

(Для IV класса)

Если учащиеся хорошо поняли структуру задач предыдущего типа и сознательно усвоили способ их решения, то понять задачи данного типа им нетрудно. Однако показать особенность задач этого типа, отличающую их от задач предыдущего типа, и этим самым помочь учащимся найти способ решения — все же лучше с помощью наглядного изображения первой задачи. Возьмем для этого следующую задачу: «Две женщины продали на базаре яйца, причем вторая продала в 4 раза больше первой. Сколько яиц продала та и другая, если вторая продала на 60 штук больше, чем первая?»

Проводим с учащимися следующую беседу.

Допустим, что у первой женщины яйцами была наполнена одна корзина. Нарисуем корзину с яйцами и возле нее напишем: «Продала первая».

Сколько таких корзинок продала вторая женщина, если в задаче сказано, что она продала в 4 раза больше первой? (Отв.: 4 корзинки).

Под первой корзинкой нарисуем еще 4 корзинки с яйцами и напишем: «Продала вторая».

На сколько яиц вторая женщина продала больше первой? (Отв.: на 60 яиц больше).

Если бы вторая женщина продала не больше, а столько, сколько первая, тогда сколько корзин у нее было бы продано? (Ответ: одна корзинка).

На самом же деле она продала одну корзинку и еще сколько корзинок? (Ответ: одну и еще 3 корзины).

Как это можно узнать? (Ответ: 4 корз. — 1 корз. = 3 корз.).

Стало быть, в скольких корзинках помещались лишние 60 яиц? (Ответ: в 3 корзинках).

Как же узнать, сколько яиц помещалось в одной корзинке, т. е. сколько яиц продала первая женщина? (Ответ: 60 яиц : 3 = 20 яиц).

Как теперь узнать, сколько яиц продала вторая женщина? (Ответ: 20 яиц X 4 = 80 яиц, или: 20 яиц 4- 60 яиц = 80 яиц).

После этого выясним учащимся, что вместо корзинок можно считать кучками или частями.

151. На двух полках лежат книги, причем на верхней полке в 3 раза больше, чем на нижней. Сколько книг на каждой полке, если на верхней на 50 книг больше, чем на нижней? (Отв.: 75; 25).

152. Учащиеся посадили возле школы цветы на двух клумбах, причем на второй клумбе в 5 раз больше, чем на первой. Сколько цветов посадили на той и другой клумбе отдельно, если на второй посадили на 48 цветов больше, чем на первой? (О1ъ. 12, 60).

153. Брат и сестра купили на базаре орехов: брат купил 1 стакан, а сестра в 4 раза больше. Сестра заплатила за свои орехи на 1 руб. 20 коп. больше, чем брат. Сколько стоил стакан орехов? Сколько заплатила за орехи сестра? (Отв.: 40 коп.; 1 руб. 60 коп.).

154. Две. колхозницы продали масло по одинаковой цене за килограмм: одна продала 1 кг, а другая в 3 раза больше. Вторая получила за свое масло на 30 руб. больше первой. Сколько получила каждая? (Отв.: 15 руб.; 45 руб.)-

155. Два ученика купили одинаковых тетрадей, причем старший купил в 5 раз больше младшего и заплатил на 1 руб. 60 коп. больше, чем младший. Сколько каждый заплатил за тетради? (Отв.: 40 коп.; 2 руб.).

156. Девочка купила линейку и блокнот для рисования, который стоил в 4 раза дороже линейки. За блокнот девочка заплатила на 1 руб. 20 коп. больше, чем за линейку. Сколько стоила линейка и сколько блокнот (отдельно)? (Отв.: 40 коп.; 1 руб. 60 коп.).

157. На собрании присутствовали мужчины и женщины, причем женщин в 6 раз больше, чем мужчин. Сколько всего человек было на собрании, если женщин было на 150 человек больше, чем мужчин? (Отв.: 210 человек).

158. Колхозники посеяли ячмень на двух участках, из которых второй в 4 раза больше первого. На второй участок они высеяли на 360 кг больше, чем на^- первый. Сколько центнеров ячменя колхозники посеяли на двух участках (вместе)? (Отв.: 6 г$).

159. Две женщины купили мануфактуры по¹ одинаковой цене за метр, причем первая купила в 3 раза меньше второй и заплатила на 96 руб. меньше, чем вторая. Сколько метров мануфактуры купила каждая, если метр стоит 12 руб.? (Отв.: 4 м\ 12 л0.

XI. ПРОСТОЕ ТРОЙНОЕ ПРАВИЛО (Для П, III и IV классов)

Задачи этого типа по способу их решения можно подразделить на три группы: 1) задачи, решаемые способом приведения к единице (А), 2) задачи, решаемые способом отношений (Б), и 3) задачи, решаемые способом приведения к равным: группам (В).

Структура всех задач на «простое тройное правило» очень проста, и учащиеся легко' разбираются в. ней. Но разные способы решения представляют для учащихся далеко не одинаковую трудность. Способ решения задач первой группы (приведение к единице) очень прост и потому, подходя к решению этих задач, нет особой надобности в наглядном изображении задачи, как это мы делали с задачами предыдущих типов. Здесь целесообразнее применить аналитический метод разбора 1—2 первых задач. Способ решения задач второй группы (способ отношений) значительно труднее; поэтому для выяснения его нужно или проделать с учащимися ряд целесообразно подобранных подготовительных упражнений, указанных под № 174, или разобрать первую задачу с помощью наглядного изображения ее. Возьмем для этого задачу № 175: «5 морковок на базаре продают за 18 коп. Сколько надо заплатить за 20 таких морковок?»

Учащиеся попытаются сначала решить эту задачу способом приведения, к единице. Но когда увидят, что 18 не делится на 5, то остановятся в недоумении, и трудность задачи покажется непреодолимой. Но достаточно сделать следующее: нарисовать в одном месте группу ив

3 Устное решение—1603

33

5 морковок и подписать «Стоят 18 коп.», а в другом нарисовать 20 морковок, расположенных такими же группами (по 5 морковок), и подписать вопрос: «Сколько стоят?» — и учащиеся, смотря на эти рисунки, увидят, что 20 морковок состоят из четырех пятков (20 м.: 5 м. = 4), а каждый пяток стоит 18 коп. Следовательно, 4 пятка стоят 18 коп. X 4 = 72 коп.

После решения полезно сделать вывод, что для решения таких задач, в которых указана стоимость (или вес и проч.) какого-нибудь данного количества предметов и нужно узнать стоимость (или вес и пр.) другого количества таких же предметов, поступают так: если нельзя узнать, сколько стоит (или весит) один предмет (потому что общая их стоимость или вес не делится без остатка на число их), то узнают, во сколько раз второе количество предметов (стоимость или вес которого нужно найти) больше первого количества (стоимость или вес которого известны); затем данную в задаче стоимость (или вес) первого количества умножают на полученное число, так как второе количество стоит (или весит) во столько раз больше, чем первое, во сколько раз в нем предметов больше, чем в первом.

Способ решения задач третьей группы нетрудно вывести, исходя из способов решения задач первых двух групп.

А

160. 4 карандаша стоят 32 коп. Сколько стоит один карандаш? Сколько надо заплатить за 5 таких карандашей?

161. За 3 блокнота заплатили 60 коп. Сколько надо заплатить за 5 таких блокнотов?

162. Чтобы сшить 18 рубашек, нужно 54 м полотна. Сколько нужно полотна, чтобы сшить 15 таких рубашек?

163. 6 рабочих за день вырыли канаву длиною в 96 .и. Какой длины канаву выроют 4 рабочих, если будут работать так же, как и первые?

164. Семье необходимо в неделю (семь дней) 28 кг хлеба. Сколько хлеба нужно этой семье на месяц (30 дней)?

165. На 5 грузовиках привезли 90 ц клади. Сколько

такой же клади привезли бы 30 грузовиков (при прежней нагрузке)?

166. Чтобы сделать 30 тетрадей, нужно 150 листов белой бумаги. Сколько листов бумаги пойдет на 200 таких тетрадей?

167. За 5 карандашей заплатили 40 коп. Сколько таких же карандашей можно купить за 72 коп.?

168. На изготовление двух скворечниц дети употребили 36 гвоздей. На сколько скворечниц им хватит 90 гвоздей?

169. 6 пильщиков напилили за день 24 куб. м дров. Сколько нужно таких пильщиков, чтобы напилить в день 56 куб. м дров?

170. Расстояние в 30 км пешеход прошел в 6 часов. Во сколько часов он пройдет 40 км, если пойдет с такой же скоростью?

171. С 12 га, засеянных пшеницей, в колхозе собрали 216 ц зерна. Сколько гектаров нужно засеять, чтобы при таком же урожае собрать 360 ц зерна?

172. Из 135 м полотна сшили 45 рубашек. Сколько таких рубашек можно сшить из 420 м?

173. На опытном участке школьники посадили¹ 630 штук картофеля: мальчили посадили 270 штук, а девочки остальное. Мальчики заняли 6 грядок. Сколько таких грядок заняли девочки, если густота посадки на всех грядках была одинаковая? (Отв.: 8 грядок).

Б

(Подготовительные упражнения)

174. а) Линейка стоит 15 коп., а угольник 60 коп. Во сколько раз угольник дороже линейки?

б) Брат и сестра купили одинаковых конфет, причем сестра купила в 3 раза больше, чем брат. Брат заплатил за свои конфеты 30 коп. Сколько заплатила сестра?

в) В другой раз брат купил конфет на 80 коп., а сестра на 40 коп. Кто купил больше конфет и во сколько раз больше?

г) На 3 рубашки пошло 8 м материала. Сколько пойдет материала, если сошьют не 3 рубашки, а в 5 раз

больше? Сколько метров нужно, чтобы сшить 30 таких рубашек?

175. 5 морковок на базаре продают за 18 коп. Сколько надо заплатить за 20 таких морковок? (Отв.: 72 коп.).

176. На приготовление 3 рам идет 4 доски. Сколько нужно досок, чтобы изготовить 24 рамы? Сколько рам можно изготовить из 48 досок? (Отв.: 32 доски; 36 рам).

177. 5 лошадям в месяц нужно 32 ц сена. Сколько сена нужно в месяц 15 лошадям? (Отв.: 96 ц).

178. На школу, в которой 8 печей, отпускается на год 60 куб. м дров. Сколько дров нужно отпустить на школу, в которой 16 печей? (Отв.: 120 куб. м).

179. Из 12 кг ржаной муки получается 17 кг печеного хлеба. Сколько хлеба получится из 60 кг муки? Сколько муки нужно, чтобы получить 170 кг хлеба? (Отв.: 85 кг; 120 кг).

180. Из 7 л молока получается 300 г масла. Сколько нужно молока, чтобы получить 3 кг масла? (Отв.: 70 л).

181. С участка площадью в 4 га колхоз получил 70 т клевера (сена). Сколько тонн клевера получится с участка в 12 га при таком же урожае? (Отв.: 210 т).

182. Для изготовления 3 клеток потребовалось 25 м проволоки. Сколько таких же клеток можно изготовить из 100 м проволоки? (Отв.: 12 клеток).

183. В одной лампе в течение 3 часов сгорело 125 г керосина. На сколько часов хватило бы для этой лампы 1 кг керосина? (Отв.: 24 часа).

184. Грузовой автомобиль за 9 часов прошел 165 км. Сколько часов ему понадобится, чтобы с такой же скоростью пройти 55 км2 (Отв.: 3 часа).

185. Плотник взялся сделать забор длиною 270 м. В первые 8 дней он сделал 180 м забора. Сколько дней ему еще придется работать, чтобы выполнить работу до конца? (Отв.: 4 дня).

В

186. а) Десяток яиц продавался на базаре за 3 руб. 75 коп. Сколько надо было заплатить за 30 штук яиц?

б) Пара слив продавалась на базаре за 5 коп. Сколько надо было заплатить за 4 пары? Сколько за 20 штук слив?

187. Два покупателя купили в магазине яиц: один — 30 штук, другой — 50 штук. Первый заплатил 12 руб. 75 коп. Сколько заплатил второй? (Отв.: 21 руб. 25 коп.).

188. Две женщины купили на базаре яблок. Одна—20, а другая—30 таких же яблок. Первая заплатила за яблоки 2 руб. 50 коп. Сколько заплатила вторая? (Отв.: 3 руб. 75 коп.).

189. 8 пильщиков напилили в день 36 куб. м дров. Сколько дров могли бы напилить в день 14 таких пильщиков? (Отв.: 63 куб. м).

190. За 10 груш покупатель заплатил на базаре 1 руб. 25 коп. Сколько надо заплатить за 6 таких груш? (Отв.: 75 коп.).

191. Два мальчика купили слив: один — 40, другой — 25 штук. Первый заплатил 96 коп. Сколько должен заплатить второй? (Отв.: 60 коп.).

192. 10 косцов накосили 162 ц травы. Сколько травы накосили, бы за это же время 15 таких косцов? (Отв.: 243 ц).

193. В мастерской сшили сначала 6 платьев, на которые пошло 24 м материи, потом еще 9 таких же платьев. Сколько стоят все платья, если метр материи стоит 6 руб., а приклад и работа каждого платья 16 руб.? (Отв.: 600 руб.).

XII. СЛОЖНОЕ ТРОЙНОЕ ПРАВИЛО (Для III и IV классов)

По характеру своей структуры задачи на сложное тройное правило ничем не отличаются от задач на простое тройное правило. Разница между ними лишь в том, что в состав задач на простое тройное правило входят только две пропорциональные величины (количество товара и его стоимость, количество рабочих и заработанная ими сумма денег, количество рабочих и количество выполненной ими работы и т. п.). В задачи же на сложное тройное правило входят три или более пропорциональные величины, например: число рабочих, время, затраченное на работу, и количество сделанной работы или заработанная сумма де

нег и т. п. Надо показать учащимся, что и решаются эти задачи такими же способами, как и задачи на простое тройное правило, т. е. способом приведения к единице, способом отношений и в некоторых случаях способом приведения к равным группам.

Возьмем простейшую задачу на сложное тройное правило: «4 землекопа в 5 дней вырыли канаву длиною 280 м. Какой длины канаву выроют 3 таких землекопа в 6 дней?». Подходить к решению этой задачи нужно аналитически, причем рассуждения в процессе анализа можно вести двумя путями, которые приводят к двум несколько различным вариантам решения. В одном случае мы придем к такому решению:

1) 280 м : 4 = 70 м (вырывает один землекоп в 5 дней) или 280 .и : 5 = 56 м (вырывают 4 землекопа в 1 день).

2) 70 .и : 5 = 14 м (вырывает 1 землекоп в 1 день) или 56 ,ч: 4 = 14 м (вырывает 1 землекоп в 1 день).

3) 14 м X 3 = 42 м (вырывают 3 землекопа в 1 день) или 14 м X 6 = 84 „я (вырывает 1 землекоп в 6 дней).

4) 42 м X 6 = 252 я (выроют 3 землекопа в 6 дней) или 84 м X 3 = 252 м (выроют 3 землекопа в 6 дней).

В другом случае мы получим следующее решение:

1) 5 дн. X 4 = 20 дн. (столько рабочих дней потребовалось, чтобы вырыть 280 „к).

2) 280 м : 20 = 14 м (вырывает в 1 рабочий день).

3) 6 дн. X 3 = 18 дн. (столько рабочих дней затратит 2-я артель).

4) 14 м X 18 = 252 м (выроет 2-я артель).

В том и другом случае мы имеем решение «способом приведения к единице». Но второму варианту нужно отдать предпочтение, так как без него нельзя будет обойтись при решении таких задач, которые не могут быть решены приведением к единице, а решаются способом отношений или приведением к равным группам (см. задачи под литерой Б).

А

194. Трем каменщикам за 6 часов работы уплатили 36 руб. Сколько надо уплатить 5 таким каменщикам за 8-часовую работу? (Отв.: 80 руб.).

195. На двух тракторах в течение 6 смен вспахали

48 га. Сколько гектаров можно вспахать на трех таких тракторах в течение 8 смен? (Отв.: 96 га).

196. На завтраки для 40 учащихся в течение 10 дней израсходовано' продуктов на 120 руб. На какую сумму потребуется таких же продуктов на завтраки для 60 учащихся в течение 20 дней? (Отв.: 360 руб.).

197. 5 коровам в течение шестидневки скормили 3 ц 60 кг сена. Сколько сена нужно (при такой же суточной даче) 3 коровам в течение месяца (30 дней)? (Отв.: 10 ц 80 кг).

198. 5 землекопов в 4 дня вырыли канаву длиною в 300 .к. Сколько нужно таких же землекопов, чтобы они в 6 дней вырыли такую же канаву на протяжении 720 .и? (Отв.: 8).

199. На трех сеялках за две смены засеял» 72 га. Сколько нужно таких сеялок, чтобы за 5 смен засеять 240 га? (Отв.: 4).

200. 4 мастера в течение 5 дней заработали 300 руб. Сколько должны так же работать 3 таких мастера, чтобы заработать 360 руб.? (Отв. : 8 дней).

201. 20 лошадям в течение 3 дней скормили 9 ц 60 кг сена. На сколько дней хватит (при такой же суточной даче) 15 лошадям 1-2 ц сена? (Отв. : 5 дней).

202. 8 пахарей, работая каждый на одной лошади, вспахали за 5 дней 16 га земли, а 2 трактора, работая по столько же часов в день, за 3 дня вспахали 24 га. Во сколько раз трактором пахать скорее, чем на лошади? (Отв.: в 10 раз).

203. В фруктовый магазин привезли 5 ящиков яблок по 32 кг в каждом и 3 ящика груш по 30 кг в каждом. Яблоки стоили 240 руб. Сколько стоили груши, если килограмм груш ценился на 50 коп. дороже килограмма яблок? (Отв. : 180 руб ).

Б

204. Семья из 4 человек в 5 дней израсходовала 10 кг 250 г муки. Сколько муки (при таком же количестве расходования на человека) нужно семье из 6 человек нй 10 дней? (Отв.: 30 кг 750 г).

205. 16 лесорубов в 5 дней заработали 620 руб. Сколь

ко заработают 10 лесорубов в 2 дня, если будут работать так же, как и первые? (Отв.: 155 руб-).

206. 20 лошадей в 15 дней съедают 5 т корма. Сколько корма нужно 18 лошадям на 50 дней? (Отв.: 15 т).

207. 40 учащихся в течение 25 учебных дней израсходовали в школе чернил на 3 руб. На какую сумму надо купить таких же чернил, чтобы их хватило 50 учащимся на 100 учебных дней? (Отв.: 15 руб.).

208. 8 косцов в 3 дня выкосили луг в 10 га. Сколько нужно косцов, чтобы в 4 дня выкосить луг в 20 га? (Отв,: 12).

209. 2 трактора за 9 дней вспахали 85 га земли. Во сколько дней 6 таких тракторов могли бы вспахать 170 га земли? (Отв.: 6 дней).

210. Две машинистки в течение 6 часов напечатали 90 страниц. Сколько страниц напечатают 4 таких машинистки в течение 9 часов? (Отв.: 270 стр.).

XIII. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ (Для II, III и I-V классов)

Приводимые здесь задачи на «пропорциональное деление» разбиты на две группы: А и Б. Задачи первой группы (А) по своей структуре весьма сходны с задачами на «тройное правило», и способ их решения учащиеся находят легко, особенно при аналитическом разборе их. Задачи же второй группы (Б) значительно¹ труднее для детей; поэтому для сознательного усвоения способа их решения следует прибегнуть к наглядному изображению задачи. В качестве примера возьмем следующую задачу этой группы: «Для канцелярии купили по одинаковому, количеству ручек и перьев и заплатили 96 коп. Ручка стоила 10 коп., а перо 2 коп. Сколько ручек (и перьев) купили?»

Учащиеся уже знают, что если известна стоимость одного предмета и стоимость нескольких таких предметов, то, чтобы определить количество этих предметов, нужно

стоимость искомого количества разделить на стоимость одного предмета. Так как в данной задаче стоимость искомого количества предметов дана не отдельно для ручек и перьев, а вместе, то нельзя эту стоимость делить на стоимость одной только ручки или одного¹ пера. Но благодаря тому, что ручек и перьев куплено поровну, можно ручку и перо соединить и считать эту «пару» одним предметом, а вместе с этим, определить и стоимость этой «пары» (10 коп. + 2 коп. = 12 коп.). Соединив так все ручки с перьями, мы будем иметь их на сумму 96 коп. Покажем это на рисунке так: нарисуем, ручку со вставленным в нее пером (или прикрепим к доске настоящую ручку с пером), над нею напишем: «10 коп. (над ручкой) + + 2 коп. (над пером)» и предложим учащимся решить вопрос: «Сколько таких ручек (каждая с пером) нужно взять, чтобы они стоили 96 коп.?» Теперь учащиеся легко справятся с решением этого вопроса.

А

211. Два мальчика купили на 90 коп. тетрадей. Один взял 3 тетради, другой 2 тетради. Сколько каждый должен заплатить за. свои тетради?

212. Два куска одинакового ситца стоят 96 рублей. В одном куске 10 л, в другом 14 л. Сколько стоит каждый кусок?

213. Два ученика купили на 1 руб. 50 коп. бумаги для рисования: один купил 4 листа, другой 6 листов. Сколько заплатил за бумагу каждый?

214. Книжный магазин продал двум школам на 20 руб. одинаковых учебников. Одна школа взяла 10 учебников, а другая 15. Сколько заплатила за учебники каждая школа?

215. За побелку стен bi школе двум малярам заплатили 250 руб. Один маляр побелил 180 кв. л, другой 320 кв. м. Сколько заработал тот и другой отдельно? (Отв.: 90 руб.; 160 руб.).

216. Для трех школ заготовлено 200 куб. л дров. Сколько дров должна получить каждая школа, если в одной 5 топок (печей), в другой — 8 и в третьей — 12 топок? (Отв.: 40; 64; 96).

217. За перевозку груза трем извозчикам заплатили

65 руб. Один извозчик перевез 520 кг, другой 400 кг » третий 380 кг. Сколько получил каждый извозчик? (Отв.: 26 руб.; 20 руб.; 19 руб.).

218. На трех участках посеяли 2 т 5 ц зерна. Площадь одного участка 4 га, площадь другого 6 га, площадь третьего 10 га. Сколько зерна посеяли на каждом участке отдельно? (Отв.: 5 24; 7 50 кг', 12 ц 50 кг).

219. Ученик прочитал книгу из 180 страниц в 4 дня. В первый день он читал 2 часа, во второй и третий по 3 часа и в четвертый день — 4 часа. Сколько страниц он ирочитал в каждый день отдельно? (Отв.: 30; 45; 45; 60).

220. Колхозник выработал за год 300 трудодней, его жена — 280, старший сын — 320 и младший сын — 240¹ трудодней. При расчете им выдали 57 ц хлеба. Сколько хлеба заработал каждый член семьи? (Отв.: 15 ц', 14 цг 16 ц; 12 ц).

221. Колхозница продала трем покупателям масло » выручила 42 рубля. Один покупатель взял 400 г, другой 500 г, третий 1 кг 500 г. Сколько заплатил за масло каждый покупатель? (Отв.: 7 руб.; 8 руб. 75 коп.; 26 руб. 25 коп.).

222. За три булки белого хлеба заплатили' 11 руб. 02 коп. Одна булка весила 2 кг 100 г, другая 1 кг 800 г, третья 1 кг 900 г. Сколько стоила каждая булка? (Отв.: 3 руб. 99 коп.; 3 руб. 42 коп.; 3 руб. 61 коп.).

223. Две столовых купили 45 л молока по одинаковой цене за литр. Одна столовая заплатила 24 руб., другая 30 руб. Сколько литров взяла та и другая столовая отдельно? (Отв.: 20 л; 25 л).

224. Из магазина продали двум покупателям 20 м полотна по одинаковой цене. Один покупатель заплатил 36 руб., другой 54 руб. Сколько метров купил тот и другой покупатель? (Отв.: 8 м; 12 л,)-

225. Колхоз снял урожай ржи с трех участков, общая площадь которых равна 45 га. С одного участка получилось 160 ц, с другого 240 ц, с третьего 320 ц. Сколько гектаров в каждом участке? (Урожай на всех участках был одинаковый). (Отв.: 10 га; 15 га; 20 га).

226. Трем артелям землекопов выдано 4 140 рублей. В одной артели было 8 рабочих, в другой 15 и в третьей 42

12 рабочих. Первая артель работала 10 дней, вторая 6 дней и третья 5 дней. Сколько должна получить каждая артель? (Отв.: 1440 руб.; 1620 руб.; 1080 руб.).

227. Три землекопа вырыли канаву длиною 360 .и. Первый землекоп работал 5 дней по 6 часов, второй 6 дней по 8 часов и третий 6 дней по 7 часов. Сколько метров канавы вырыл каждый землекоп, если все они работали с одинаковой производительностью (скоростью)? (Отв.: 90 м; 144 м', 126 м).

Б

228. Для канцелярии купили по одинаковому количеству ручек и перьев и заплатили 96 коп. Ручка стоила 10 коп., а перО' 2 коп. Сколько ручек (и перьев) купили? (Отв.: 8).

229. Из 60 м полотна сшили несколько пар мужского белья (рубашек и кальсон), причем на каждую рубашку пошло 3 м, а на кальсоны 2 м. Сколько пар белья сшили? (Отв.: 12).

230. Купили по одинаковому количеству стаканов и блюдечек и заплатили 7 руб. 20 коп. Стакан стоит 40 кол., а блюдечко 80 коп. Сколько стаканов и блюдечек купили? (Отв.: 6).

231. Для столовой купили поровну столовых и чайных ложек и заплатили 14 руб. Столовая ложка стоила 45 коп., а чайная 25 коп. Сколько тех и других ложек (отдельно) купили? (Отв.: 20).

232. Ученик купил учебник за 1 руб. 20 коп. и уплатил за него пятачками и гривенниками (пятикопеечными и десятикопеечными монетами), причем тех и других монет дал поровну. Сколько всего монет ученик дал в уплату за учебник? (Отв.: 16 монет).

233. На постройке скотного двора в колхозе работает по одинаковому числу каменщиков и плотников. Каждый каменщик зарабатывает в день 12 руб., а плотник 10 руб.; все же каменщики и плотники получают за день 132 руб. Сколько всего человек работает на постройке? (Отв.: 12).

234. Служащий получил 300 руб зарплаты двадцати- рублевым® и тридцатирублевыми билетами, причем тех и

других билетов получил поровну. Сколько' рублей он получил теми и другими билетами отдельно? (Отв.: 120 руб.; 180 руб.).

235. Учитель купил для всех учащихся своего класса ручек и тетрадей, по одной на каждого' учащегося, и за все заплатил 10 руб. Тетрадь стоила 15 коп., а ручка 10 коп. На какую сумму он купил тетрадей и ручек отдельно? (Отв.: 6 руб.; 4 руб.).

236. В фруктовый магазин привезли по> одинаковому количеству ящиков груш и яблок. Каждый ящик груш весил 30 кг, а ящик яблок 40 кг; все же привезенные фрукты вместе весили 840 кг. Сколько килограммов тех и других фруктов отдельно привезли? (Отв.: 360 кг', 480 кг).

237. В колхозе было засеяно ячменем столько же гектаров земли, сколько и овсом. Собрав урожай, ячменя получили с каждого гектара 12 ц, а овса 10 ц; всего¹ же зерна (овса и ячменя вместе) собрали 550 ц. Сколько получили центнеров ячменя и овса отдельно? (Отв.: 300 ц; 250 ц).

238. Все учащиеся III класса купили себе по 1 тетради для рисования, по! 1 карандашу и 1 резинке и за все заплатили 8 руб. 40 коп. Тетрадь стоила 25 коп., карандаш 7 коп. и резинка 3 коп. На какую сумму купили тетрадей, карандашей и резинок отдельно? (Отв.: 6 руб.; 1 р. 68 к.; 72 коп.).

239. Из колхоза отправили на мельницу по одинаковому количеству мешков ячменя, ржи и гороха, всего 960 кг. Мешок ячменя весил 70 кг, мешок ржи — 80 кг и мешок гороха — 90 кг. Сколько килограммов ячменя, ржи и гороха отдельно отправили на мельницу? (Отв.: 280 кг; 320 кг; 360 кг).

240. За 1 руб. 40 коп. купили несколько ручек ив 10 раз больше — перьев. Ручка стоила 15 коп., а перо 2 коп. Сколько купили ручек и сколько перьев? (Отв.: 4; 40).

241. Покупатель купил на 6 руб. товара и уплатил за него 15-копеечными и 20-копеечными монетами, причем первых дал в два раза больше, чем вторых. Сколько тех

и других монет отдельно он дал в уплату за товар? (Отв.: 24; 12).

242. Из кондитерского магазина продали несколько килограммов конфет по 8 руб. за килограмм, и в три раза больше — печенья по' 5 руб. за килограмм и за все получили 230 руб. На какую сумму продали конфет и печенья отдельно? (Отв.: 80 руб.; 150 руб.).

243. Колхоз заготовил для своего скота 280 т сена из расчета по 3 т на каждую лошадь и по 2 г на каждую корову. Зная, что коров в колхозе в два раза больше, чем лошадей, вычислить, сколько сена заготовлено для лошадей и для коров отдельно? (Отв.: 120 г, 160 т).

XIV. нахождение неизвестного по разности ДВУХ ВЕЛИЧИН

(Для III и IV классов)

В состав простейших задач этого типа обыкновенно входят две пропорциональные величины (например, количество товара и стоимость), причем дано два числовых значения одной величины (например, количества товара) и разность двух пропорциональных им числовых значений другой величины (стоимости товара), например: «Два ученика купили тетрадей: один — 5 штук, другой — 8 штук. Второй заплатил за тетради на 54 коп. больше первого. Сколько заплатил за тетради каждый?»

Подходим к разбору задачи аналитически: выясняем с учащимися, что’ для того, чтобы узнать, сколько каждый заплатил за тетради, надо знать не только число купленных каждым учеником тетрадей, но и стоимость одной тетради. Чтобы помочь учащимся сообразить, как найти эту стоимость в данной задаче, надо обратить их внимание на то, что если бы второй ученик купил столько же тетрадей, сколько первый, т. е. 5, то и заплатил бы столько же, сколько первый; заплатил же он больше—потому, что купил! тетрадей больше. Теперь представим себе дело таким¹ образом: пусть второй ученик заплатил сначала только за 5 тетрадей — следовательно, столько, сколько и первый, а потом доплатил еще 54 коп. — очевидно, за те тетради, которые он взял сверх пяти («лишние» против пяти), т. е. за 8 т. — 5 т. = 3 тетради. Отсюда видно, что

54 коп. есть стоимость 3 тетрадей. Чтобы найти стоимость одной тетради, нужно 54 коп. разделить на 3 равные части. Таким образом, план решения задачи будет таков:

1) На сколько тетрадей второй ученик купил больше первого? (или лучше: за сколько тетрадей второй ученик заплатил 54 коп.?) (8 т. — 5 т. = 3 т.).

2) Сколько стоила каждая тетрадь? (54 коп.: 3 = = 18 коп.).

3) Сколько заплатил за тетради первый ученик?

(18 коп. х 5 = 90 коп.).

4) Сколько заплатил за тетради второй ученик?

(18 коп. X 8 = 1 руб. 44 коп.).

Для большей отчетливости полезно и здесь прибегнуть к наглядному изображению содержания задачи. Для этого рисуем 5 тетрадей и под ними пишем: «Стоят х копеек»— это купил первый ученик. Ниже рисуем 8 тетрадей, рас- нолагая их так же, как и первые пять. Затем спрашиваем учащихся:

Который ряд тетрадей (верхний или нижний) стоит дороже?

На сколько нижний ряд дороже? Почему дороже?

Если в нижнем ряду возьмем только 5 тетрадей, то сколько они будут стоить — больше или меньше, чем 5 тетрадей верхнего ряда? (Отв.: одинаково).

Под пятью тетрадями нижнего ряда тоже пишем: «стоят х копеек».

Сколько же стоят остальные три тетради? (Или: «За какое же количество тетрадей второй ученик заплатил лишние 54 коп.?).

Пишем под тремя последними тетрадями: «54 коп.».

После этого учащиеся ясно видят, что 54 коп. есть стоимость трех тетрадей. Отсюда, следовательно, можно найти стоимость одной тетради.

Если бы мы содержание разобранной задачи перестроили таким образом, чтобы искомыми были количества тетрадей, купленных каждым учеником, тогда задача представилась бы в таком виде: «Два ученика купили тетрадей: один — на 90 коп., другой — на 1 руб. 44 коп. Второй купил на 3 тетради больше первого. Сколько тетрадей купил каждый из них?» Рассуждения, приводящие к стыде

сканию способа решения, здесь те же, что и в первом случае.

В разобранной задаче цена единицы товара (одной тетради) была одинакова для того и другого ученика; но к этому же типу нужно отнести и те задачи, в которых цены товара разные, но зато количество его для обоих покупателей одинаковое, например:

«Два ученика купили по одинаковому количеству тетрадей. Один из них платил по 15 коп., а другой по 20 коп. за каждую тетрадь; за все же тетради второй заплатил на 40 коп. больше первого. Сколько заплатил каждый?» Здесь проще всего подойти к решению задачи, рассуждая следующим образом. Если бы ученики купили по одной тетради, тогда второй заплатил бы больше первого на 20 коп. — 15 коп. = 5 коп. Если бы они купили потом по второй тетради, тогда второй заплатил бы больше первого еще на 5 коп., а всего на 10 коп. больше первого и т. д. Следовательно, сколько раз по 5 коп. «лишних» заплатил второй, по столько тетрадей они купили. Стало быть, каждый купил столько тетрадей, сколько раз в 40 копейках содержится по 5 коп., т. е. 40 коп. : 5 коп. = — 8 (тетрадей).

Вместо количества товара и его стоимости, в состав задач этого типа могут входить и многие другие пропорциональные величины, как например: количество предметов и их вес, количество рабочих и количество выработанной ими продукции и др.

А

244. Мальчик купил 5 яблок, а девочка 8 таких же яблок. Девочка заплатила за яблоки на 24 коп. больше, чем мальчик. Почем за штуку продавались яблоки? Сколько заплатил за яблоки мальчик и сколько девочка?

245. В магазине продали одному покупателю 18 .« фланели, другому 24 м такой же фланели. Второй покупатель заплатил за фланель на 30 руб. больше первого. Сколько заплатил каждый? (Отв.: 90 руб.; 120 руб.).

246. Для столовой купили два мешка одинаковой крупы — в одном 50 кг, в другом 70 кг. За второй мешок заплатили на 50 руб. больше, чем за первый. Сколько заплатили за всю крупу? (Отв.: 300 руб.).

247. Школьники III и IV классов одной школы внесли деньги на выписку газеты: III класс — на 18 экземпляров, а IV класс!— на 22 экземпляра, причем последний внес на 3 руб. 20 коп. больше первого. Сколько денег внесли школьники обоих классов вместе? (Отв.: 32 руб.).

248. На отопление школы, в которой 15 печей, отпущено на 56 куб. м дров больше, чем на отопление другой школы, в которой только 8 печей. Сколько куб. метров дров отпущено той и другой школе (отдельно)? (Отв.: 120 куб. л; 64 куб. л).

249. Ученик прочитал две книги, из которых в одной 120 страниц, в другой 180 стр. На чтение первой книги он затратил времени на 5 часов меньше, чем на чтение второй. Сколько времени он читал ту и другую книгу отдельно, если скорость чтения все время была одинаковая? (Отв.: 10 час.; 15 час.).

250. В колхозе засеяли пшеницей два участка, из которых в одном 8 га, в другом 12 га. На второй участок высеяли на 5 ц 20 кг больше, чем на первый. Сколько пшеницы высеяли на оба участка, если густота посева на том и другом участке была одинаковая? (Отв.: 26 ц).

251. Колхозница продала на базаре две корзинки яиц — в одной 3 десятка, в другой 45 штук. За первую корзинку она получила на 6 руб. меньше, чем за вторую. Сколько она получила за все проданные яйца? (Отв.: 30 руб.).

252. Два_; велосипедиста ехали с одинаковой скоростью. Один из них проехал 75 км, другой 120 км, причем второй находился в пути на 3 часа больше первого. Сколько часов потребовалось тому и другому, чтобы проехать указанные расстояния? (Отв.; 5 час.; 8 час.).

253. Колхозник продал две корзинки вишен; за одну корзинку взял 7 руб. 20 коп., а за другую 10 руб. 80 коп. Во второй корзинке было на 2 кг ягод больше, чем в первой. Сколько всего килограммов вишен продал колхозник? (Отв.: 10 кг).

254. Колхозница сварила два таза варенья. В первый таз она всыпала 16 стаканов ягод, а во второй 10 стаканов. Сколько всего сахару она израсходовала, если во

второй таз, по расчету, она положила на 1 кг 200 г меньше, чем в первый? (Отв.: 5 кг 200 г).

255. Чтобы напилить «рюх» для игры в городки, взяли две жерди: одну длиною 6 м, другую 4 м 50 см. Со второй жерди получилось на 10 рюх меньше, чем с первой. Сколько всего рюх напилили? (Отв.: 70).

256. Купили два куска одинакового полотна. Из меньшего куска сшили 18 женских рубашек,употребив по 2 л на каждую, а из большего— 16 мужских рубашек по 3 л на каждую. Сколько заплатили за оба куска, если больший стоил на 60 руб. дороже меньшего? (Отв.: 420 руб.).

257. В течение 8 вечеров в одной комнате лампа горела каждый вечер по 5 часов, а в другой комнате такая же лампа горела по 6 часов. За это время во второй комнате сгорело керосина на 400 г больше, чем в первой. Сколько всего керосина израсходовали за 8 вечеров? (Отв.: 4 кг 400 г).

258. Школа, в которой 80 учащихся, купила по 3 карандаша на каждого учащегося. Другая школа, в которой 45 учащихся, купила по 4 таких же карандаша на учащегося и заплатила на 3 руб. 60 коп. меньше первой. На какую сумму купила карандашей каждая школа? (Отв.: 14 руб. 40 коп.; 10 руб. 80 коп.).

Б

Вводные упражнения

а) Мальчик купил 4 пера и девочка 4 таких же пера. Кто из них должен больше заплатить?

б) Мальчик купил 2 простых карандаша, а девочка 2 химических. Химический карандаш стоил на 6 коп. дороже, чем простой. 1) Кто — мальчик или девочка — должен был заплатить больше? На сколько копеек больше? 2) Если бы они купили не по 2, а по 5 карандашей, то на сколько копеек девочка заплатила бы больше мальчика?

в) Две женщины купили поровну ситца; одна платила за метр на 30 коп. дороже, а за весь ситец отдала на Г руб. 20 коп. больше, чем другая. По сколько метров ситца они купили?

259. Для школы купили несколько карандашей и

Устное решение—1603

49

столько же ручек. Карандаш стоит 7 коп., а ручка 10 коп.; за все же ручки заплатили на 60 коп. больше, чем за карандаши. Сколько денег уплатили за всю эту покупку? (Отв.: 3 руб. 40 коп.).

260. Две женщины продали на базаре по одинаковому количеству ягод: одна продала чернику по 20 коп. за стакан, а другая землянику — по 35 коп. за стакан. Вторая получила за свои ягоды на 1 руб. 50 коп. больше первой. Сколько каждая из них получила за ягоды? (Отв. 2 руб.; 3 руб. 50 коп.).

261. Колхозница посадила лук на длинных и коротких грядках, причем тех и других грядок было поровну. На каждой длинной грядке посадила 80 луковиц, а на короткой 30 луковиц; на всех же длинных посадила на 200 луковиц больше, чем на коротких. Сколько всего луковиц посадила колхозница? (Отв.: 440).

262. В мастерскую купили несколько метров бумажной материи по 12 руб. за метр и столько же метров шерстяной — по 47 руб. за метр. За всю шерстяную материю заплатили на 350 руб. больше, чем за бумажную. На какую сумму купили всей материи? (Отв.: 590 руб.).

263. Из магазина продали несколько килограммов печенья по 6 руб. 80 коп. за килограмм, и столько же по 5 руб. 60 коп. За все печенье второго сорта получили на 7 руб. 20 коп. меньше, чем за печенье первого сорта. Сколько получили за все печенье? (Отв.: 74 руб. 40 коп.).

264. В колхозе имеется лошадей столько же, сколько и коров. На каждую лошадь отпускается в месяц 5 ц сена, а на корову 3 ц\ на всех же коров отпускают на 60 ц меньше, чем на лошадей. Сколько всего сена расходует колхоз в месяц? (Отв.: 24 т).

265. Купили по одинаковому количеству метров бумажного и льняного полотна и заплатили за все бумажное полотно 32 руб., а за льняное 48 руб. Сколько стоил метр того и другого полотна, если метр льняного на 2 руб. дороже метра бумажного? (Отв.: 4 руб.; 6 руб.).

266. Ученик IV класса в течение нескольких часов прочитал 60 страниц, а ученик III класса в течение такого же времени успел прочитать только 40 страниц той же книги. По сколько страниц в час читает тот и другой ученик, 50

если один из них читает в час на 5 страниц больше другого? (Отв.: 15 стр.; 10 стр.).

267. На ссыпной пункт привезли два воза зерна: на одном возу было столько мешков овса, сколько на другом мешков ржи. Весь овес весил 7 ц, а рожь 8 ц 50 кг, причем каждый мешок ржи был тяжелее мешка овса на 15 кг. Сколько весил мешок того и другого зерна? (Отв.: 70 кг\ 85 кг).

XV. ИЗМЕНЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ В СВЯЗИ € УВЕЛИЧЕНИЕМ ИЛИ УМЕНЬШЕНИЕМ ОДНОГО ИЗ СОМНОЖИТЕЛЕЙ НА НЕСКОЛЬКО ЕДИНИЦ

(Для IV класса)

268. Девочка принесла из сада слив и разложила их поровну в несколько блюдечек. Когда она положила в каждое блюдечко по 10 слив, то у нее еще оставалось 24 сливы, а когда она разложила все сливы, тогда в каждом блюдечке оказалось по 16 слив. Во сколько блюдечек она разложила сливы? (Сколько слив она разложила?) (Отв.: 4; 64 сливы).

269. Учитель поручил ученику купить для школы несколько карандашей по 10 коп. каждый. Но так как в такую цену карандашей в лавке не оказалось, то ученик купил нужное количество карандашей по 8 коп. каждый и таким образом израсходовал на 20 коп. меньше, чем предполагалось. Сколько карандашей купил ученик? (Отв.: 10).

270. Женщина, отправляясь в магазин, чтобы купить несколько метров сатина по 7 руб., взяла столько денег, сколько нужно было уплатить за сатин. Но в магазине са-> тина в такую цену не оказалось, и она купила другого, по 6 руб. 40 коп. за метр, и потому у нее осталось 2 руб. 40 коп. Сколько метров сатина женщина купила и сколько денег у нее было взято с собой? (Отв.: 4 м; 28 руб.).

271. Мальчик принес из леса орехи. Часть этих орехов он роздал своим братьям, каждому по 25 штук, и у него еще осталось 35 орехов. Если бы он дал братьям по 30 орехов, то у него осталось бы только 20 орехов. Сколько братьев было у мальчика и сколько орехов он принес? (Отв.: 3 брата; 110 орехов).

272. Служащий получил на некоторое время отпуск.

Если он во время отпуска будет тратить ежедневно по 8 руб., то в конце отпуска у него останется 84 руб., а если будет тратить по 10 руб. в день, то останется 52 руб. На сколько дней служащий получил отпуск и сколько денег он имеет. (Отв.: 16 дней; 212 руб.).

273. Колхоз имеет столько семян ячменя, что если посеет на каждом гектаре намеченного участка по 120 кг, то 180 кг семян останется, а если посеет по 130 кг на гектар, то останется 120 кг семян. Сколько у колхоза запасено семенного ячменя? (Отв.: 9 i/J.

274. Школа сделала запас перьев из расчета по 6 перьев на ученика. Но так как каждому ученику в течение года потребовалось по 8 перьев, то сделанного запаса нехватило,—-пришлось прикупить еще 150 перьев. Каков был первоначальный запас перьев? (Отв.: 450).

275. Женщина, отправляясь в лавку, чтобы купить пшеничной муки по 2 руб. 40 коп. килограмм, взяла с собой столько денег, сколько нужно было уплатить за муку. Но в лавке оказалась мука только в 2 руб. килограмм и потому у нее осталось 2 руб., после покупки нужного ей количества муки. Сколько денег было' у женщины? (Отв.: 12 руб.).

276. Школа имеет запас тетрадей. Если каждому ученику потребуется 10 тетрадей, то 50 тетрадей из этого запаса останется, а если каждому ученику нужно будет 12 тетрадей, то 30 тетрадей нехватит. Сколько в школе учащихся и каков запас тетрадей? (Отв.: 40 учащихся; 450 тетрадей).

277. Один гражданин покупает в магазине полотно. Если он возьмет полотно в 4 руб. 20 коп. метр, то у него останется 6 руб., а если будет брать такое же количество полотна по 5 руб. метр, то 10 руб. у него нехватит. Сколько денег он имеет? (Отв.: 90 руб.).

XVI. НАХОЖДЕНИЕ НЕИЗВЕСТНОГО С ПОМОЩЬЮ ИСКЛЮЧЕНИЯ ОДНОЙ ИЗ ВЕЛИЧИН

(Для IV класса)

Подойти к решению задач этого типа можно путем упражнений в решении простых вопросов, подводящих детей к пониманию структуры этих задач и усвоению 52

способа их решения (см. ниже «Вводные упражнения»). Но лучше — изобразить первую задачу наглядно. Возьмем, например, такую задачу: «За 3 яблока и 5 груш заплатили 90 коп., а за 3 таких же яблока и 7 груш заплатили 1 руб. 14 коп. Сколько стоит яблоко и сколько груша?».

Рисуем в верхнем ряду 3 яблока и 5 груш, проводим под ними охватывающую их снизу скобку и пишем стоимость их «90 коп.». Рисуем в нижнем ряду 3 яблока и 7 груш, проводим скобку, охватывающую 3 яблока й 5 груш, т. е. столько, сколько и в первом ряду; затем проводим скобку, которая охватывает крайние две груши. Спрашиваем учащихся: «Сколько стоят фрукты, охваченные первой скобкой в нижнем ряду?» Получив ответ — 90 коп., пишем его под этой скобкой (как стоимость охваченных фруктов, которая равна стоимости всего верхнего ряда); под второй скобкой обозначаем с помощью ж неизвестную нам стоимость двух груш. Между 90 коп. и х ставим плюс и спрашиваем учащихся, чему равна сумма 90 коп. + х, т. е. стоимость всего нижнего ряда. Получив ответ, пишем знак равенства и указанную сумму: «1 руб. 14 коп.». После этого предлагаем учащимся всмотреться в рисунок со всеми сделанными на нем цифровыми обозначениями и сообразить, как найти стоимость одной груши. Можно провести, например, такую беседу:

Какой ряд фруктов стоит дороже? (Нижний).

Почему нижний ряд дороже? (Потому, что в нем больше груш).

На сколько же груш в нем больше, чем в верхнем ряду? Как это узнать? (Ответ: 7 гр. — 5 гр. = 2 гр.).

А на сколько нижний ряд дороже, чем верхний? Как это узнать? (Ответ: 1 руб. 14 коп. — 90 коп. = 24 коп.).

Стало быть 24 коп. это стоимость чего? (Стоимость двух груш).

Можно теперь узнать стоимость одной груши? Как это узнать? (24 коп. : 2 = 12 коп.).

Теперь про верхний ряд мы можем сказать так: «3 яблока и 5 груш стоят 90 коп. Одна груша стоит 12 коп. Сколько стоит одно яблоко?»

Дальше учащиеся доводят решение задачи до конца (12 коп. X 5 = 60 коп.; 90 коп. — 60 коп. = 30 коп.; 30 коп.: 3 = 10 коп.).

Вводные упражнения

а) Два ученика купили тетрадей и карандашей — тетрадей поровну, а карандашей второй купил на 1 карандаш больше первого. Первый за свою покупку заплатил 32 коп., а второй за свою 40 коп. Почему второй мальчик заплатил больше первого? За сколько карандашей он заплатил лишние деньги? Сколько стоит 1 карандаш?

б) Один мальчик купил 4 тетради и 2 карандаша и заплатил 60 коп., другой купил 4 таких же тетради и 3 карандаша и заплатил 66 коп. Сколько стоит 1 карандаш? Сколько стоила 1 тетрадь?

278. Мальчик купил 3 карандаша и 4 тетради и заплатил 84 коп. Девочка купила 3 таких же карандаша и 6 тетрадей и заплатила 1р. 14 коп. Сколько стоит карандаш и сколько тетрадь отдельно? (Отв.: 8 коп.; 15 коп.).

279. Одна женщина купила 5 м белого материала и 6 м цветного и заплатила 41 руб., другая купила такого же материала 5 м белого и 9 м цветного и заплатила 51 руб. 50 коп. Сколько стоит метр того и другого материала? (Отв.: 4 руб.; 3 руб. 50 коп.).

280. Из 195 листов бумаги в переплетной мастерской сделали 20 маленьких и 15 больших блокнотов. В другой раз из 285 листов сделали 20 таких же маленьких и 25 больших блокнотов. Во сколько раз на большой блокнот бумаги шло больше, чем на маленький? (Отв.: в 3 раза).

281. В мастерской сшили для одной заказчицы 12 наволочек и 5 простыней и на все израсходовали 38 м полотна. Для другой заказчицы сшили 12 таких же наволочек и 8 простыней и употребили 50 м полотна. Сколько потребуется полотна, чтобы сшить 10 таких наволочек и 4 простыни? (Отв.: 31 м).

282. Из хлебопекарни отправили в одну булочную 80 булок черного хлеба и 240 белых булок, всего 280 кг, в другую булочную — 80 булок черного хлеба и 300 белых булок, всего 310 кг, а в третью булочную— 100 булок черного хлеба и 400 белых булок. Сколько килограммов черного и белого хлеба (вместе) отправили в третью булочную? (Отв.: 400 кг).

283. 10 лошадям и 25 коровам нужно в день 480 кг сена, а 10 лошадям и 20 коровам в два дня нужно 840 кг

сена. Сколько сена нужно 5 лошадям и 15 коровам в 3 дня? (Отв.: 810 кг).

284. В 3 больших лампах и 5 маленьких сгорало за 4 часа 3 кг 400 г керосина. В 3 таких же больших и 8 маленьких лампах за 6 часов сгорело 6 кг керосина. Сколько керосина сгорит в 2 больших и 4 маленьких лампах за 5 часов? (Отв.: 3 кг).

285. Из фруктового ларька продали одному покупателю 8 груш и 10 мелких яблок за 3 руб. 10 коп., а другому 8 таких же груш и 15 крупных яблок за 5 руб. 35 коп. Крупное яблоко продавалось на 10 коп. дороже, чем мелкое. Почем за штуку продавались груши и те и другие яблоки? (Отв.: 20 коп.; 15 коп.; 25 коп.).

286. Из магазина продали одному покупателю 15 м ситца и 8 м сатина, а другому 15 м такого же; ситца и 12 м фланели!, которая стоила на 75 коп. дешевле, чем метр сатина. Первый покупатель заплатил за свой товар ПО руб., а второй 126 руб. Почем продавался метр каждой материи? (Отв.: 4 руб.; 6 руб. 25 коп.; 5 руб. 50 коп.).

287. Один покупатель купил 10 яблок и 4 апельсина и заплатил 13 руб. 50 коп. Другой купил 20 таких же яблок и 10 апельсинов и заплатил 32 руб. Почем за штуку продавались те и другие фрукты? (Отв.: 35 коп.; 2 руб. 50 коп.).

288. На изготовление 6 маленьких сеток и 4 больших пошло 96 м тонкой проволоки. В другой раз на 3 таких же маленьких и 8 больших сеток пошло 120 м. Сколько метров проволоки шло на каждую маленькую и большую сетку? (Отв.: 8 л; 12 л/).

289. 4 кг ячменной крупы и 3 кг гречневой стоят 21 руб., а 6 кг ячменной и 2 кг гречневой стоят 22 руб. Сколько Стоит килограмм той и другой крупы отдельно? (Отв.: 2 руб. 40 коп.; 3 руб. 80 коп.).

290. На 8 лошадях и 2 грузовиках привезли 106 ц груза. В другой раз на 6 лошадях и 3 грузовиках привезли 117 ц груза. Сколько центнеров груза, в среднем, привозила каждая лошадь и грузовик отдельно? (Отв.: 7 ц; 25 ц).

XVII УРАВНИВАНИЕ ДАННЫХ

(Для IV класса)

Возьмем такую задачу этого типа: «Одна ручка и одно перо вместе стоят 18 коп. Купили 4 ручки и 10 перьев и заплатили 90 коп. Сколько стоят ручка и перо отдельно?» Чтобы решить эту задачу, учащиеся должны рассуждать, примерно, так: «Если бы перьев купили столько же, сколько ручек, то заплатили бы 4 раза по 18 коп., потому что 1 ручка и одно перо вместе стоят 18 коп., еще 1 ручка и 1 перо—18 коп. и т. д. (четыре раза). Поэтому надо 18 коп. умножить на 4, получится 18 коп. X 4 = 72 коп. Столько заплатили бы за 4 ручки и 4 пера вместе. На самом же деле заплатили больше, потому что перьев купили не 4, а больше. Узнаем, на сколько больше заплатили: 90 коп. — 72 коп. = 18 коп. и на сколько перьев купили больше, чем 4; 10 п. — 4 п. = 6 перьев. Ясно, что 18 коп. есть стоимость 6 перьев. Узнаем стоимость одного пера: 18 коп.: 6 = 3 коп. А так как перо вместе с ручкой стоят 18 коп., то одна, ручка (без пера) стоит 18 коп. — 3 коп. = = 15 коп.».

Но чтобы учащиеся могли так рассуждать без помощи наводящих и подсказывающих вопросов учителя, представим задачу наглядно в следующем виде. Нарисуем сначала рядом 4 ручки со вставленными в них перьями, а затем остальные 6 перьев; под каждой ручкой напишем «18 коп.», а под 6 перьями — х (икс). Соединив эти данные знаками сложения ( + ) и написав знак равенства и сумму, получим под рисунками такую запись:

18 к. +. 18 к. 4- 18 к. +,18 к. + х = 90 коп.

Рассмотрев внимательно такую картинку вместе со всеми записями, учащиеся сами без помощи учителя сообразят, как им найти значение х и затем определить стоимость одного пера.

291. Стакан и блюдечко вместе стоят 90 коп. Купили 10 стаканов и 6 блюдечек и заплатили 7 руб. Сколько стоит стакан и сколько блюдечко? (Отв.: 40 коп.; 50 коп.).

292. Для столовой купили 30 вилок и 20 ножей и заплатили 48 руб. На какую сумму купили вилок и ножей отдельно, если одна вилка и один нож вместе стоят 2 руб.? (Отв.: 24 руб.).

293. Для буфета купили 15 глубоких и 20 мелких тарелок и заплатили 51 руб. Сколько заплатили за те и другие тарелки отдельно, если одна глубокая и одна мелкая тарелка вместе стоят 3 руб.? (Отв.: 27 руб.; 24 руб.).

294. В магазине было 8 корзин клюквы и 5 корзин брусники, всего 405 кг. Сколько весила вся клюква и вся брусника отдельно, если 1 корзина клюквы и 1 корзина брусники вместе весили 60 кг? (Отв.: 280 кг', 125 кг).

295. В сельскую лавку привезли 30 пар детских ботинок и 20 пар детских галош, всего на 780 руб. На какую сумму привезли ботинок и галош отдельно, если пара ботинок и пара галош вместе стоят 30 руб.? (Отв.: 540 руб.; 240 руб.).

296. Один покупатель купил 1 лимон и 1 апельсин и заплатил 3 руб. 50 коп., а другой купил 3 таких же лимона и 10 апельсинов и заплатил 24 руб. 50 коп. Сколько второй покупатель заплатил за лимоны и сколько за апельсины? (Отв.: 4 руб. 50 коп.; 20 руб).

297. Торговый ларек продал одному покупателю 1 кг печенья и 1 кг конфет и получил 15 руб. После этого в ларьке осталось 15 кг печенья и 10 кг конфет, всего вместе на сумму 182 руб. Сколько стоят оставшиеся в ларьке конфеты и печенье отдельно? (Отв.: 86 руб.; 96 руб.).

298. Один покупатель купил в колхозе 1 кг масла, 1 десяток яиц и заплатил* 17 руб. 50 коп. Другой покупатель купил по таким же ценам 2 кг масла и 5 десятков яиц и заплатил 45 руб. 50 коп. На какую сумму продали в колхозе масла и яиц отдельно? (Отв.: 42 руб.; 21 руб.).

XVIII. ДВИЖЕНИЕ НАВСТРЕЧУ

(Для IV класса)

Вводные упражнения

а) Сколько раз от 40 нужно отнять по 5, чтобы не осталось ни одного?

Сколько раз от 48 нужно