Skip to main content

Великаны и карлики в мире чисел (Литцман) 1959 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

Великаны и карлики в мире чисел (Литцман) 1959

Назначение: Эта маленькая книжка принадлежит перу известного немецкого популяризатора математики Вальтера Литцмана. Она рассчитана на широкий круг читателей и вполне может быть рекомендована школьникам средних классов, так как для ее понимания требуется знакомство в основном лишь с элементами арифметики. Однако в конце книги автор переходит к более сложным вопросам, с которыми интересно будет познакомиться и более подготовленному читателю.

Книга может быть полезной также и педагогам, которые найдут здесь обширный материал как для классных занятий, так и для работы школьного математического кружка.

© Государственное издательство физико-математической литературы Москва 1959

Авторство: Вальтер Литцман, Перевод с пятого немецкого издания Л.С. Товалевой Под редакцией И.М. Яглома

Формат: PDF Размер файла: 5.82 MB

СОДЕРЖАНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора перевода . 4

1. О счете 5

2. Числовая система . . 10

3. Наглядное представление больших чисел с помощью мер длины и времени, площадей и объемов. 14

4. Кое-что о вычислениях с большими числами. 21

5. Наибольшее число, которое можно записать тремя цифрами . 26

6. О числах простых и совершенных 33

7. Еще несколько примеров числовых великанов 45

8. Числовые карлики 53

9. В мире великанов и карликов также считают обыкновенными числами . 65

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

Скачать бесплатный учебник СССР - Великаны и карлики в мире чисел (Литцман) 1959 года

СКАЧАТЬ PDF

📜 ОТКРЫТЬ ОТРЫВОК ИЗ КНИГИ

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Настоящий перевод выполнен с пятого немецкого издания 1953 года, заметно отличающегося от предыдущих. Несмотря на то, что со времени выхода этого издания прошло не так много времени, возможно, что некоторые из приведенных в книге сведений могут уже сейчас считаться устаревшими. Редакция не ставила целью привести все имеющиеся здесь данные в полное соответствие с самыми последними достижениями науки, поскольку задача книжки состоит лишь в том, чтобы проиллюстрировать некоторые из тех разделов математики и естествознания, в которых встречаются очень большие и очень маленькие числа. Книжка снабжена небольшим числом примечаний редактора (обозначенных звездочками в отличие от нумерованных подстрочных сносок автора), в которых, в частности, даны ссылки на другую доступную читателю книги литературу и отмечены некоторые последние результаты, полученные с использованием современных вычислительных машин.

И. М. Яглом

1. О СЧЕТЕ

Нарисуй на листке бумаги несколько маленьких кружочков примерно так, как изображено на рис. 1. Затем предложи своему приятелю закрыть глаза и положи перед ним этот листок; пусть он быстро откроет глаза и тотчас опять закроет их. А теперь спроси у него, сколько кружочков было нарисовано на бумаге. Он почти наверняка ошибется — если, конечно, не схитрил, но в этом мы его подозревать не станем. «Значит приятель даже не умеет быстро сосчитать до девяти»,— подумаешь ты, если нарисовано было именно девять кружков.

Теперь повтори этот опыт. Нарисуй только четыре кружка примерно так, как показано на рис. 2. В этом случае твой приятель определенно правильно укажет число кружков. Следовательно, мы можем одно

временно охватить глазом лишь сравнительно небольшое число предметов. Возможно, ты теперь попробуешь установить, где проходит граница между числом предметов, которые ты сам сможешь или не сможешь сразу воспринять.

В этой связи можно вспомнить о следующей игре. Один из играющих отворачивается, а остальные кладут на стол в один ряд несколько оказавшихся под рукой различных предметов: перочинный нож, ножницы, карандаш, листок бумаги, пуговицу, почтовую марку и т. д. Теперь водящему

разрешается повернуться и недолго,— скажем, минуты две,— рассматривать лежащие на столе предметы. Затем он должен снова отвернуться и назвать предметы, которые запомнил. Удивительно, как мало их окажется. И здесь встает благодарная задача — определить степень восприимчивости каждого участника игры.

Однако совсем нетрудно при помощи специального приема увеличить число запоминаемых предметов. Если расположить изображенные на рис. 1 девять кружков так, как это показано на рис. 3, то твой приятель с одного взгляда сумеет правильно определить их число. И в приведенной выше игре можно увеличить свои шансы запомнить не только число и вид отдельных предметов, но, возможно, даже и порядок, в котором они лежат. За то время, пока ты осматриваешь предметы, быстро придумай какую-нибудь историю, и чем более нелепую, тем лучше. Например: одноногий ножи двуногие нож н и- ц ы, прогуливаясь, встретили карандаш. Ножницы говорят ножу: «Очини карандаш, а я тем временем отрежу кусочек бумаги, и карандаш нам напишет

письмо. За неимением другого, мы запечатаем его пуговицей и наклеим марку» и т. д. «История», правда, довольно глупая, но тем легче ее запомнить. Фокус заключается лишь в том, чтобы придумать ее за две минуты.

Если твой приятель, которому ты показал нарисованные на рис. 1 кружки, захочет все же узнать, сколько их нарисовано, то он их попросту сосчитает. Можно сосчитать предметы и по памяти; один окажется при этом более искусным, другой — менее. Если тебя спросят, сколько окон твоего дома или твоей школы смотрят на улицу, то ты, наверно, не сумеешь быстро ответить, хотя и видишь эти дома постоянно. Но ты сможешь мысленно представить себе эти дома и попробовать сосчитать их окна. Или же ты вспомнишь, сколько классов школы выходят на улицу и сколько окон в каждом из них. В сущности, это — тот же самый прием, что и в опыте с девятью кружками, расположенными на рис. 3, где тоже достаточно представить себе кружки — и ты определишь их число: ведь расположение этих кружков тебе знакомо так же хорошо, как, скажем, расположение кружков на костяшке домино. В описанной выше игре тебе на помощь пришло воображение точно так же, как и при подсчете окон дома.

Посмотрим, какие еще условия необходимы, чтобы можно было сосчитать какие-то предметы. Для этого, прежде всего, нужно, чтобы число предметов во время счета оста- 6

вал ось неизменным. Ты скажешь, что это само собой разумеется. Не совсем! Вспомни сказку о пастушонке, который должен был ответить царю на три вопроса. Один из них гласил: сколько капель в море? Мальчик не растерялся; он воспользовался тем, что число это все время меняется, и уклонился от прямого ответа: «Останови все реки и ручьи, которые вливаются в море, и тогда я отвечу на твой вопрос!».

Следующее условие: считающий должен уметь считать. И это тоже не само собой разумеется! Маленькие дети не умеют считать; для того чтобы научиться счету, они должны несколько подрасти. Не умеют считать и некоторые первобытные народы. Есть такие народы, которые обозначают числа свыше четырех просто словом «много». У племени янкосов на Амазонке число 3 называется «поэттаррарорин- коароак». «К счастью, на этом их арифметика кончается»,— сказал тот, от кого я это узнал.

Но и взрослые культурные люди тоже не всегда имеют навыки к счету. Мы ведь хотим считать быстро и не задумываясь. Если мы после каждого числа будем думать, как называется следующее, то, значит, мы плохо считаем. Однако, если мы будем считать быстро и машинально, то нам легко ошибиться. Заставь кого-нибудь считать: 1090, 1091, 1092 и т. д.; часто после 1099 назовут 2000. В немецком языке источником многих ошибок при быстром счете является неудобная перестановка порядка единиц и десятков в названиях чисел: здесь говорят, например, «шесть и пятьдесят» (sechsundfiinfzig) вместо «пятьдесят шесть». Изменение этого порядка приветствовали бы вое, кто в силу своей профессии связан со счетом.

С другим затруднением мы встречаемся в том случае, когда, наоборот, счет приходится вести слишком медленно. Как считает угольщик мешки, которые он один за другим вносит в подвал? Как считает ученик дни, остающиеся до начала школьных каникул? То, что в последнем случае счет ведется назад, а не вперед, существенного значения не имеет. В обоих случаях трудно все время держать в памяти нужное число. Поэтому приходится прибегать к значкам или отметкам. Угольщик одну за другой ставит черточки каждый раз, когда вносит в подвал мешок; мальчик же, наоборот, зачеркивает каждый раз черточку, когда проходит еще один день. Таким образом, здесь пересчитываются не сами предметы, а черточки.

Мы достаточно много говорили о счете и о том, как следует поступать в различных случаях; пора уже заняться этим делом на практике.

Сосчитай спички в спичечной коробке! Наполни стакан горошинами и определи их число! Сосчитай буквы на одной странице этой книги! Эти три примера покажут тебе, что не так уж легко подсчитать точно число предметов, если оно достаточно велико. Считать придется внимательно и для проверки пересчитывать несколько раз.

Впрочем, в счете можно совершенствоваться — если только достаточно практиковаться в нем. Кассир в банке, постоянно считающий денежные знаки, или почтовый служащий, отсчитывающий открытки, более искусны в счете этих предметов, чем все другие люди.

Не думай, однако, что всегда можно сосчитать все предметы, число которых нам хочется узнать. Можно потратить лучшие годы своей жизни на подобные подсчеты и все же не сосчитать многого. Ведь если считать со скоростью одного числа в секунду, то за минуту мы сможем насчитать 60 чисел, за час — 3600, а за десятичасовой «рабочий день»— 36 000. И если посвятить такой работе 50 лет, проводя за этим остроумным занятием 300 рабочих дней в году, то мы досчитали бы до 540 000 000, т. е. примерно до полумиллиарда. Все, что превосходит это число,— а такого в нашей жизни имеется немало,— не может быть сосчитано никаким сколь угодно добросовестным счетчиком.

Тут нам на помощь приходят считающие машины. Мы все знакомы, например, с газовым и электрическим счетчиками. Что бы мы стали делать, если бы нам самим приходилось подсчитывать расход газа и электричества? Но даже и там, где мы могли бы сами справиться, мы часто привлекаем на помощь приборы, например секундомер или шагомер. В тех же случаях, когда требуемая быстрота счета превосходит возможности человека, единственным нашим спасением является машина. Отсчитывающее устройство ротационной машины, например, отсчитывает в час 20 000 газет пачками по 50 штук в каждой.

Так как не все можно подсчитать (а иногда нам просто не хочется тратить на это силы), то даже в тех случаях, когда было бы интересно знать точное количество предметов, часто довольствуются приблизительной оценкой их числа. Организм человека состоит из 18 000 000 000 000 000 клеток; у слона их даже 700 000 000 000 000 000. Говорят, 8

что самка термита (белого муравья) в течение 10 лет откладывает каждые две секунды по яйцу, что составляет 15 552 000 яиц в год. Никто, однако, не вообразит, что эти числа точны —ясно, что они представляют собой лишь примерные оценки действительных чисел. Подобные оценки для практики необычайно важны. Однако и здесь сноровка не приходит сама!

Попробуй-ка оценить какое-либо большое количество предметов. Например, пусть в праздник на площади собралась большая толпа людей; сколько их: 200, 1000 или 5000? Или еще: покажи компании банку с горошинами; кто точнее всех оценит их число, тот получит приз. Трудно себе представить, насколько велик бывает разрыв между оценками, которые дают различные люди (а также между всеми этими оценками и действительным числом). Однако часто беспомощность в оценках является недопустимой.

Как можно упражняться в оценках? Прежде всего, нужно заняться точным счетом и измерением величин. При этом мы научимся представлять себе, скажем, толпу в 100, 500, 1000 человек или расстояние в 100, 200, 300, 400, 500 метров. Если же случается иметь дело с предметами, не поддающимися непосредственному подсчету, то приходится призывать на помощь оценки. Приведем простой пример. В одном немецком городе пришлось всем семьям, имеющим детей, выдать карточки на получение молока. Город насчитывал 50 000 жителей. Для выдачи карточек были назначены 2 дня, по 5 часов в день. Требовалось отдельно заполнить карточки на каждую семью; при этом нужно было предъявлять метрические свидетельства детей, для того чтобы можно было занести их имена в специальные списки. Однако, когда наступили дни выдачи карточек, то, ко всеобщему неудовольствию, оказалось, что выдававшие карточки лица никак не могут справиться с этим делом. Долгое и для многих бесплодное ожидание! А ведь предварительный расчет и примерная оценка могли бы помочь делу. Если на каждого человека тратить только по 2 минуты, то за час можно отпустить 30 человек, а за 10 часов — 300. Ясно поэтому, что если посадить за эту работу только 5 человек, то они никак не смогут справиться с нею.

Но здесь мы уже вышли за рамки, намеченные для этой главы. Мы вычисляли, а не считали. Прежде чем вернуться к этой теме, следует решить один вопрос, от которого

мы отклонились выше. Как овладеть большими числами, как справиться с числовыми великанами, до которых мы никак не можем дойти при фактическом счете?

2. ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА

Если требуется сосчитать большое число предметов, то не мешает повторить счет несколько раз. Почтальон приносит вам 832 рубля; пока он их вам отсчитывает, вы следите за счетом; затем он их еще раз пересчитывает, а вы, прежде чем взять деньги, вероятно, еще раз проверите их. Но даже и после всего этого вы не были бы уверены в правильности счета, если бы он не производился особым образом. Предположим, что почтальон принес вам эту сумму рублями (на самом деле этого, конечно, не бывает). При этом он не положит все рубли на стол беспорядочной кучей, а сгруппирует их определенным образом, например, отсчитает по 10 штук и положит отдельные десятки рублей маленькими кучками, причем еще позаботится, чтобы в одном ряду лежало по 10 таких кучек. Таким образом, получится 8 рядов, 3 пачки и еще 2 отдельные бумажки.

Прием, которым мы пользовались здесь, применяют всегда, когда нужно сосчитать очень много предметов. Товары, поступающие в продажу в большом количестве, например булавки, пуговицы, перья и т. д., считают дюжинами и гроссами*). Угольщик, о котором мы говорили выше (стр. 7), не просто ставит черточку за черточкой; каждой пятой он перечеркивает предыдущие четыре. Поэтому, например, число 13унего имеет следующий вид: 1111 111| |J|. Также и при приближенной оценке больших чисел прибегают к подобной группировке. Из всех способов группировки важнейшим является тот, который связан с нашими правилами образования чисел, с их написанием и наименованиями. Мы, как и почтальон, о котором рассказывалось выше, объединяем десять предметов в десяток, десять десятков — в сотню и т. д. Такое объединение удобно для наглядной иллюстрации больших чисел. Так, учитель счета Буссе, живший около 1800 года, представлял число 2326 так, как это изображено на рис. 4: шесть точек в конце — это единицы, следующие за ними два бумажных куль

  • ) Гросс — двенадцать дюжин.

ка — десятки, три мешочка — сотни, а два ящика, изображенных прямоугольниками,— тысячи.

Насколько десятичная система облегчает овладение большими числами, видно по системам записи чисел, целиком игнорирующим связанное с этим преимущество или не использующим его полностью. Числа, написанные римскими цифрами, как MDCCLIX или MMDCCCLXXIV не прочтешь так быстро, как, например, 1888 или 1797.

Рис. 4.

Если же иметь дело с очень большими числами, то даже и наша простая система их изображения не слишком практична, ни в смысле чтения, ни в смысле записи. Вот пример из книги «Математические развлечения», вышедшей в 1636 году: «Астрономы вычислили, что длина окружности небесного свода равна 508781250 милям., поверхность же его — 82364023748224431 ру квадратным милям. Из этого следует, что объем шара такого же радиуса равен примерно 3596299963139791266979190761957504 кубическим милям». Сможешь ли ты без затруднения прочесть эти числа, в особенности последнее из них?

Как сделать запись таких больших чисел более наглядной? Для этого группируют цифры по три, начиная справа. Другими словами, в нашу десятичную систему дополнительно вводят еще группировку по тысячам. Числа

508781 250 миль 82364023748224 431 кв. миля

3 596 299 963 139 791 266 979 190761 957 504 куб. мили

уже гораздо более наглядны. Правда, для того чтобы читать такие числа, нужно хорошо знать их названия. Для чисел до тысячи их знает каждый школьник, даже младших классов. До миллиона дело тоже еще идет легко. Следовательно, мы владеем уже всеми названиями чисел до числа 999 999 999 999 включительно; словами «девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять миллионов

девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять». Число наверху в первом ряду — 508 миллионов 781 тысяча 250.

При этом мы обошли число, которое употребляется весьма часто: миллиард. Это широко распространенное сейчас слово, означающее тысячу миллионов, в Германии вошло в употребление лишь с XIX века.

Однако продолжим наш разговор о числовой системе! Миллион миллионов называют биллионом*). Второе из выписанных выше чисел читается так: 82 тысячи 364 биллиона 23 тысячи 748 миллионов 224 тысячи 431. Далее, миллион биллионов называется триллионом, миллион триллионов — квадриллионом и т. д. Третье из наших чисел начинается с 3 тысяч 596 квинтиллионов. Дальше прочти его сам.

Если мы продолжим ряд названий: биллион, триллион, квадриллион и т. д. достаточно далеко, то мы сможем не только написать, но и прочесть любое число, как бы велико оно ни было. Тебе кажется, что это само собой разумеется. Однако не всегда это было так. Греческий ученый Архимед, замечательнейший математик древнего мира, написал по этому вопросу очень поучительное сочинение под названием «Исчисление песчинок», которое сохранилось до нашего времени **). Он ставит целью определить количество песчинок, вмещающихся в шар величиной во всю вселенную. Что Архимед понимает под вселенной, мы уточнять не станем, как бы важно это ни было для истории астрономии. Да Архимед, в сущности, и не стремился указать точное число песчинок, помещающихся в его вселенной. Ему важно было показать, что можно образовать числа большие, чем невероятно боль

*) Автор описывает принятую в Германии систему наименований чисел, отличную от общепринятой в СССР, да и в ряде других стран (США, Франция). У нас обычно биллионом называют то число, которое автор называет миллиардом (тысяча миллионов, а не миллион миллионов), соответственно этому триллионом называется тысяча биллионов (немецкий биллион), квадриллионом — тысяча триллионов и т. д.

Мы не стали менять здесь текст автора, тем более, что вопрос о наименованиях чисел не имеет большого значения: названия чисел свыше биллиона употребляются крайне редко; вместо этого обычно используют записи больших чисел в виде произведений некоторых множителей на степени числа 10 (см. ниже, стр. 28). Также и далее все названия чисел понимаются в том смысле, который объяснен в тексте.

  • *) См. Архимед, Исчисление песчинок (Псаммит), М.— Л., ГТТИ, 1932.

шое число — число песчинок во вселенной. Стоящая перед ним задача относилась не к астрономии, а к а риф' метике!

Архимед предположил, что в объеме одного макового зернышка могут поместиться около 10 000 песчинок (что с лихвой покрывает истинное значение!) и что сорок маковых зерен, положенных рядом, достигают ширины пальца 1). Если знать радиус вселенной, то легко можно вычислить, какое число песчинок может в ней поместиться. Для подобных вычислений существуют формулы, которые Архимед хорошо знал. Задача была бы сравнительно проста, если бы существовала такая система счисления, какую мы имеем теперь. Однако тогда ее нужно было еще создать. Это и было истинной целью работы Архимеда.

Проследим немного за этой работой. Наибольшим числом, для которого греки имели специальное наименование, было 10 000. Это число они называли мириадой. Числа до мириады мириад (т. е. до 10 000 х 10 000 = 100 000 000) Архимед назвал числами первого порядка; числа от мириады мириад до 100 000 000 х 100 000 000 — числами второго порядка; от этого числа и до 100000 000 х 100000 000 х х 100 000 000 — числами третьего порядка и т. д. до числа 100 000 000-го или мириад-мириадного порядка. Последнее число — единицу с 800 000 000 нулями — обозначим через Р. Числа от 1 до Р Архимед назвал числами первого периода. Числа от Р до 100 000 000 Р образуют первый порядок второго периода; затем Архимед переходит ко второму порядку второго периода, к третьему порядку и т. д. до 100 000 000-го порядка второго периода, после которого начинается третий период. Таким же образом можно образовать четвертый, пятый период и т. д. Архимед доводит эту систему до 100000000-го, т. е. мириад-мириадного периода, и находит, наконец, ее последнее число: мириада мириад единиц мириад-мириадного порядка мириад-мириадного периода.

Изображается это число единицей с 80 000 биллионов нулей. Это поистине числовой исполин, превосходящий всякое воображение!

1) Мне сообщили, что несколько школьников действительно терпеливо сосчитали число песчинок в I см3 песка, чтобы проверить предположение Архимеда. Они получили совершенно другой результат. Сочинение Архимеда следовало бы назвать <Исчисление пылинок»,— настолько малы его песчинки.

Если бы Архимеда не привлекало само создание числовой системы, ему бы вовсе не нужен был такой огромный числовой аппарат. Для решения его задачи достаточно сравнительно небольшого числа. Ему не нужно забираться даже во второй период, не говоря уже о высших. Число песчинок меньше 10 000 000 единиц восьмого порядка первого периода.

Эти соображения Архимеда больше,чем что-либо другое, показывают важность приемов, которые позволяют сделать числовые исполины более наглядными.

3. НАГЛЯДНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ МЕР ДЛИНЫ И ВРЕМЕНИ, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ

Ты, вероятно, уже встречался с числовыми исполинами, о которых говорил себе: <Я не могу их себе представить!». Ты знаешь, что в газетах, книгах и таблицах иногда прибегают к различного рода сравнениям, позволяющим сделать большие числа более доступными пониманию. В популярных книгах по астрономии, например, где все время приходится иметь дело с величинами, превосходящими наши представления, часто прибегают к подобному наглядному изображению больших чисел.

f---- 1------ 1--- 1---- 1------ 1----- 1—►-

0 12 3 4 5 6

Рис. 5.

Чтобы лучше представить себе числа, их последовательность, величину и действия над ними, их изображают точками луча, расположенными на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 5). Этот луч называется числовым лучом. Понятно, что на рисунке мы можем показать лишь часть числового луча. Представим себе этот луч с нанесенными на нем на одинаковом расстоянии друг от друга числовыми отметками, неограниченно продолженным в направлении стрелки. На нашем рисунке начальная точка луча, обозначенная числом 0, расположена слева. При таком способе изображения чисел, прежде всего, надо установить длину отрезка, служащего единицей измерения, т. е. рас

стояние между точками 0 и I числового луча. Если мы примем за единицу измерения 1 см, то расстояние между начальной точкой и точкой, обозначенной числом 7, составит 7 см; расстояние от 0 до числа 817 составит 8 ж 17 см, до числа 233 588—2 км 335 м 88 см. О числах порядка миллиона таким способом еще можно получить довольно четкое представление. (Как велико расстояние между начальной точкой и числом 1 000 000 при единице измерения в 1 см? в 1 мм?) Числа же, доходящие до биллионов, уже трудно вообразить себе с помощью числового луча, так как отрезки получаются слишком длинные. Если принять за единицу 1 мм, то для изображения 1 миллиарда уже потребуется отрезок в 1000 км. Если составить 1 миллиард рублей 20-копеечными монетами, положенными друг на друга, то, принимая толщину монеты за 1 мм, мы получим «столбик» высотой 5000 км.

Другой пример. В Германии перед последней войной выкуривали примерно 80 миллиардов папирос в год. Если их положить цепочкой, то при длине одной папиросы в 6,5 см они составят «отрезок» в 5 200 000 км. Километр — это (примерно) одна сорокатысячная часть земного экватора. Следовательно, цепочка из папирос обовьет экватор 130 раз!

Вот еще пример изображения чисел с помощью длин. Кто-то вычислил, что объем знаменитой пирамиды Хеопса в Египте равен 2 678 257 л3; отсюда можно вывести, что ее вес составляет 7 231 294 т. Последние цифры этого числа сомнительны, первые же, по-видимому, точны. Чтобы представить себе наглядно этот громадный вес, заметим, что грузоподъемность обычного товарного вагона равна 16 т (грузоподъемность написана на каждом вагоне!). Значит, поезд, состоящий из 50 вагонов, может перевезти 800 т. Следовательно, чтобы доставить материал для постройки пирамиды Хеопса, потребовалось бы около 9000 товарных составов. Это поистине грандиозное количество. Сколько же несчастных людей должны были отдать свои силы этой стройке!

Для наглядного изображения больших чисел часто используется и время. Мы все хорошо знаем, что такое секунда, минута, сутки, год. Старые люди могут представить себе несколько десятилетий. Но о столетиях и тысячелетиях тоже можно составить себе представление, если только связать их с определенными историческими событиями.

Математика - Кружки и секции

БОЛЬШЕ НЕТ

КНИГИ И УЧЕБНИКИ ПО АРИФМЕТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Популярная математика - ДЛЯ ШИРОКОГО КРУГА, ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

 

Найти похожие материалы можно по меткам расположенным ниже

             👇

Автор-учебника - Литцман В. , Автор-учебника - Яглом И.М. , ★ВСЕ➙ Внеклассные - Дополнительные занятия, Школьные Кружки - Секции, ★ВСЕ➙ Перевод с иностранного, Популярная математика, Популярная арифметика, Математика - Внеклассные - Дополнительные занятия, Математика - Кружки - Секции, Математика - Перевод с иностранного

НОВЫЕ ПУБЛИКАЦИИ УЧЕБНИКОВ и КНИГ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

ПОПУЛЯРНЫЕ УЧЕБНИКИ и КНИГИ ПО МАТЕМАТИКЕ

БОЛЬШЕ НЕТ

Еще из раздела - МАТЕМАТИКА

БОЛЬШЕ НЕТ

УЧЕБНИКИ ПО МАТЕМАТИКЕ СПИСКОМ И ДРУГИЕ РАЗДЕЛЫ БИБЛИОТЕКИ СВ

Яндекс.Метрика