ВВЕДЕНИЕ

Важнейшими задачами единой трудовой политехнической школы являются подготовка высокообразованных, всесторонне развитых людей, вооружение учащихся глубокими и прочными знаниями по каждому предмету учебного плана, воспитание у них стремления к непрерывному совершенствованию знаний и умения самостоятельно пополнять их и применять на практике.

«В целях развития разносторонних интересов и способностей учащихся и их профессиональной ориентации в средних общеобразовательных школах организуются- факультативные занятия по выбору учащихся. Для этих же целей могут быть организованы школы и классы с углубленным теоретическим и практическим изучением отдельных предметов, различных видов труда, искусства и спорта», — говорится в «Основах законодательства Союза ССР и союзных республик о народном образовании».

Место внеклассных занятий по математике в 4 — 5 классах в общей системе углубленного изучения предмета в средней школе

Один из важных принципов постановки факультативных занятий и работы классов с углубленным изучением предмета — формирование готовности любого учащегося, проявившего устойчивый интерес и склонности в той или иной области, принять участие в соответствующей форме обучения.

Однако, чтобы выбор дополнительной учебной деятельности оказался надежным, а работа учащихся старших классов по углубленному изучению предмета успешной, необходима тщательно продуманная и повсеместно организованная система «дофакультативной» подготовки, система учебно-воспитательных мер, помогающих каждому учащемуся «найти себя», избрать интересные и посильные

¹ «О состоянии и мерах по дальнейшему совершенствованию народного образования в СССР. Материалы шестой сессии Верховного Совета СССР восьмого созыва 17—19 июля 1973 года». М., Политиздат, 1973, стр. 69.

ему занятия, активно развивать свои способности. Для этого нужна и этому служит широко развернутая массовая внеклассная работа по математике в младших и средних звеньях средней школы. Естественно, что в младших и средних классах преждевременное проведение факультативных занятий или дополнительное, углубленное изучение каких-либо учебных дисциплин было бы совершенно неоправданным.

Наиболее естественной и проверенной формой дофакультативной подготовки учащихся 4—6 классов, соответствующей их возрастным особенностям и возможностям, является внеклассная работа. В настоящее время в связи с переходом школы на новое содержание математического образования создаются благоприятные условия для организации внеклассной работы: сейчас тематика занятий может быть значительно расширена и пополнена по сравнению с прежними возможностями внеклассных занятий, ограниченных рамками курса арифметики старой программы.

Опыт передовых советских учителей позволяет утверждать, что внеклассная работа 4—6 классов — неотъемлемое звено в общей системе повышенной математической подготовки учащихся средних учетных заведений.

Основные цели внеклассной работы — развитие у учащихся интереса к предмету, накопление определенного запаса математических фактов и сведений, умений и навыков, дополняющих и углубляющих знания, приобретаемые в основном курсе.

Начало внеклассной работы по математике в современных условиях должно было бы переместиться уже в начальные классы.

К сожалению, пока еще нет достаточно обобщенного опыта организации внеклассной работы по математике с младшими школьниками; почти нет пособий для такой работы, адресованных учителям математики начальных классов.

Учитывая роль, которую должны сыграть внеклассные занятия в общей системе повышенной математической подготовки учащихся, необходимо в первую очередь позаботиться о серьезном улучшении этого вида работы с учащимися в среднем звене школы, т. е. в 4—5 классах.

Прежде всего здесь следует добиться наиболее массового охвата учащихся внеклассной и, особенно, кружковой работой: только при этих условиях можно надеяться на то, что не будет «утерян» ни один учащийся, обладающий потенциальными математическими способностями, которые позволили бы ему в будущем приобщиться ко многим видам деятельности, тесно связанным с математическими знаниями и развитием.

Предлагаемая читателю книга является учебно-методическим пособием для учителей математики 4—5 классов по вопросам методики и организации систематической внеклассной работы со значительным числом учащихся — в тесной связи с новым содержанием обучения по новым программам и учебникам. Излагаемый здесь ориентировочный учебно-методический материал призван

помочь учителю правильно определить место внеклассной работы в 4 и 5 классах в общей системе математического образования и в частности, в деле повышенной математической подготовки учащихся средней школы.

Особенности внеклассной работы в 4—5 классах. Основные характерные особенности внеклассной работы по математике: некоторая произвольность выбора тематики занятий; разнообразие форм работы с учащимися; занимательность; выделение сравнительно небольшого учебного времени на одну и ту же тему. Внеклассная работа с учащимися 4 и 5 классов имеет свои дополнительные особенности. Одна из них — недостаточно развитый, несформировав- шийся и еще неустойчивый интерес к предмету у большинства учащихся, принимающих участие в этой работе. Вместе с тем именно на этом этапе у учащихся такой интерес может и должен начать формироваться. Конечно, результаты успешных занятий математикой часто не зависят от срока начала внеклассной работы. Математическая одаренность или способности конкретного человека развиваются в любом возрасте, лишь бы были благоприятны для этого условия. При этом необходимо учитывать, что разнообразие математических теорий и их приложений требуют способностей разного характера. Чтобы обнаружить, какие именно способности могут развиваться у данного учащегося, ему полезно принять участие в самой разнообразной математической деятельности. Конечно, для проверки способностей детей на разном материале нужно много учебного времени. Невозможно не учитывать такие особенности поведения младших школьников, как обязательность, исполнительность, которые позволяют учителю еще до «озорного» возраста 6—7 классов заинтересовать учащихся предметом. Без внимания учителя к организации внеклассной работы в начальном и среднем звеньях общеобразовательной школы многие подростки и юноши никогда не придут в математику.

Эти обстоятельства подсказывают еще одну особенность проведения внеклассных занятий по математике в самом юном возрасте — на занятия надо приглашать учащихся, не дожидаясь пробуждения у них собственной инициативы. Внеклассная работа по математике в 4—5 классах должна быть массовой, охватывать по возможности не менее трети всех учащихся. Разумеется, названное число ориентировочное, т. к. в одних классах в эту работу будет вовлечено больше, а в других меньше учащихся.

Одной из особенностей проведения внеклассной работы в 4—5 классах является особое внимание учителя к поощрению учащихся. Такая забота характерна и для занятий со старшими учащимися, а в младших классах особенно важно не пропустить незамеченным ни один успех школьников в их дополнительной математической деятельности. В доброжелательности учителя, умении удивляться самым, казалось бы, незначительным сдвигам в работе своих воспитанников проявляется педагогическое мастерство, степень влияния учителя на формирование и развитие интереса к предмету у учащихся.

Учителя, хорошо знающие особенности учеников возраста 4—5 классов, учитывают, что эти учащиеся нередко с большим удовольствием выполняют кропотливые расчеты и выкладки. В этом возрасте мало развит «критицизм», присущий более взрослым учащимся, но очень популярна искренняя критика товарищей, нетерпимость к списыванию и дают себя знать побуждения раннего возраста: «Я сам!» Ученики 4—5 классов, как правило, очень любят посильные индивидуальные поручения — подготовить доклад, сообщение, написать заметку в стенгазету, участвовать в дежурстве, составить список или перечень. (Эта черта, в частности, способствует развитию у них интереса к изучению теоретико-множественного материала.)

В проведении внеклассной работы необходимо также опираться на любовь учащихся этого возраста к сказкам и различным интересным, веселым историям.

Организационные формы. Внеклассная работа по математике зарождается, в сущности, на занятиях в классе. Задачи повышенной трудности, помещенные в учебниках 4 и 5 классов,— это собственно упражнения для внеклассных занятий. Однако часть этих упражнений может быть и должна быть решена в классе при всех учащихся (хотя не нужно требовать, чтобы их умел решать каждый). Именно эти упражнения (или им подобные) связывают содержание и формы классных и внеклассных занятий.

Внеклассная работа с учащимися самим своим названием предполагает, что ее проводят вне уроков, обязательных для всех. Ее основные формы: кружковые занятия, конкурсы, решения задач, вечера и сборы, добровольные зачеты, математические стенгазеты и т. п.

В данной книге освещены почти все указанные виды работы (одни — полнее, другие— схематично), указано примерное распределение часов занятий. Так, здесь осуществлено планирование по темам и занятиям кружковой и другой внеклассной работы, предполагающее равномерное распределение времени занятий, учет занятости, физических возможностей и психологических особенностей школьников 4—5 классов.

Невозможно не указать на то, что внеклассная работа по математике в 4—5 классах — сильнодействующее педагогическое средство. Оно может принести пользу, но в руках невнимательно относящегося к делу учителя эта работа может обратиться против учащихся, отпугивая их от занятий математикой, оказывая вредное влияние на здоровье детей. Поэтому вовсе нет надобности заставлять каждого ученика перерешать все упражнения, приведенные ниже. Пусть дети решают столько задач, сколько смогут. Этого будет достаточно для постепенного математического развития каждого учащегося в отдельности и всего класса в целом.

Ориентировочно предполагается в течение учебного года проведение 25 занятий кружка, 2 зачетов (о них будет сказано ниже), 1 школьной олимпиады (в один тур) и 1—2 математических вечеров

или сборов. Если учесть, что к этому добавится еще и районная олимпиада учащихся 4—5 классов, то получится, что внеклассной работой некоторые учащиеся 4—5 классов будут заняты 29 раз в год. Всего в учебном году этих классов 35 учебных недель. Таким образом, предложенный в книге план ведения внеклассных занятий весьма плотен, и поэтому возможно отступление от него в сторону некоторого сокращения числа и объема занятий.

Б пособии регламентированы дозы времени каждого занятия. Регламентированы и домашние задания, хотя в кружковой работе не следует требовать полного их выполнения.

Несколько методических замечаний. Внеклассная работа, как показывает опыт советской школы, зависит от индивидуальных интересов учителя. Математическая и общепедагогическая квалификация организатора внеклассной работы также не может не оказать влияния на ее качество и научно-методический уровень. Большое значение имеют и личные вкусы учителя. Поэтому трудно дать конкретные методические указания по внеклассной работе, которые удовлетворили бы любого учителя. Однако все же могут быть высказаны и некоторые общие соображения, относящиеся к методике ведения кружковых занятий, организации вечеров, игр, викторин и пр.

Прежде всего о кружковых занятиях. Их проведение в значительной степени близко к урокам. Сходство классных и внеклассных занятий определяется организационной формой коллективной учебной работы, когда учитель ведет занятие с группой учащихся, проводит необходимые пояснения, спрашивает учащихся и т. п. При этом желательно учащимся предоставлять больше инициативы, давать им больше возможностей высказывать собственные суждения по обсуждаемому вопросу. Надо учесть, что иногда ошибочные рассуждения и их опровержения, тренировка в «разговоре» на математические темы дает учащимся больше пользы, чем изложение учителем готовых и «гладко сообщенных» решений. Ребята нуждаются в развитии собственной инициативы, своего личного подхода к решению данной задачи. (Это часто совсем небольшое отличие от решения, предлагаемого учителем или другим учащимся, но его надо обязательно выслушать всем участникам занятий или учителю.) Важно поощрять различные способы решения задач, не стремиться навязывать свое решение. Иной раз лучше решить двумя-тремя способами одну задачу, чем одним способом три задачи. Вместе с тем учителю необходимо следить за тем, чтобы тематика занятий была разнообразной, а примерное содержание, которое изложено в данной книге, по возможности, выполнено. Темп проведения кружковых занятий должен постепенно возрастать.

В книге даны все решения предлагаемых упражнений вовсе не потому, что учителю трудно будет справиться с решениями. Они приводятся для сокращения времени подготовки учителя к занятию и для того, чтобы он мог, имея один вариант решения, разработать другие способы, обсудить предложения учащихся.

Весьма сложным является начало организации внеклассных занятий, особенно для молодого, начинающего учителя. Здесь могут возникнуть трудности и у опытного учителя, которые главным образом связаны с недостаточной активностью кружковцев; у учащихся могут возникать затруднения при решении задач, которые учителю представлялись самыми легкими. В связи с этим перед учителем стоит методическая задача — расчленять трудные задачи на более простые вопросы или мелкие задачи на ту же тему, но доступные учащимся. Полезно разработать конкретные методические подходы (систему вопросов и упражнений), подводящие учащихся к решению трудных задач. Вместе с тем необходимо приучать детей находить самостоятельные приемы решения, не дожидаясь подсказки или наводящих вопросов. Трафарет и подсказка здесь не помогают, особенно в отношении выделения определенных типов задач и методов их решения. Здесь подсказка и чрезмерно полные разъяснения учителя способны «механизировать» и сделать стандартными подходы учащихся к решению задач и помешать развитию творчества и самостоятельности в работе. Ценность содержания внеклассной работы определяется разнообразием тематики и методов решения задач, новизной по отношению к содержанию урока математики в классе. Школьников обязательно надо учить ориентироваться в незнакомых ситуациях и областях, решать задачи на незнакомую фабулу, с непривычным для них математическим содержанием.

Нецелесообразно на занятиях кружка проводить систематическое повторение ранее пройденных вопросов, так как основная задача кружковой работы — развитие творческого подхода, повышение уровня математической подготовки, но не сообщение учащимся определенных математических фактов, подлежащих обязательному усвоению. Если учащийся пропустил какое-то занятие, то нет никакой надобности для него организовывать повторение на следующем занятии кружка с задержкой остальных учащихся. (Восполнение пробелов и упущений в подготовке отдельных учащихся можно проводить в индивидуальном порядке, но, конечно, если тема идет плохо и учащиеся почему-то плохо ее усваивают, можно и немного увеличить время на эту тему.)

К занятию учителю следует готовиться. Необходимо обдумывать (а иногда и записывать) план каждого занятия кружка, учитывая разнообразие методов работы с учащимися. Включать в этот план отдельные фрагменты бесед учителя, рассказов, выступлений учащихся с короткими сообщениями по истории математической теории, биографии ученых, интересными решениями задач, сообщениями о самостоятельных «исследованиях» и т. д. (Это поможет обобщению опыта внеклассной работы, систематическому улучшению ее организации и методики.)

Как уже было отмечено, большую пользу учащимся приносит разбор разных способов решения одной и той же задачи, что может быть осуществлено при проведении первого же занятия кружка в

четвертом классе на тему «Поиски закономерностей». Учащиеся могут придумывать на одно и то же условие задачи разные решения, которые удовлетворяют поставленным требованиям. Такие решения надо поощрять. Предварительного продумывания всех организационных вопросов требуют и другие виды внеклассной работы. Так, проведение игр математического содержания нуждается в заблаговременной и тщательной подготовке раздаточного материала и демонстрационных плакатов, которые должны быть всем хорошо видны.

Значительной подготовительной работы требует организация вечера или проведение математической викторины. При этом не следует забывать, что сама подготовка не менее полезна для учащихся, чем проведение мероприятий, особенно если в этой подготовке участвуют многие учащиеся.

Результаты работы учащихся и их проверка. Любое практически настоящее, важное дело немыслимо без учета и информации о результатах работы. Какими бы методами мы ни пользовались и в каких бы условиях ни проводилось обучение, нельзя обойтись без проверки полученных учащимися знаний и навыков, без проверки проведенной работы, без так называемой обратной связи получения информации о ходе и качестве усвоения изучаемого материала.

Проверка качества учебной работы учащихся необходима и во внеклассной работе. Конечно, в процессе работы учитель слышит ответы и выступления детей, получает информацию об отдельных успехах того или иного учащегося (даже если проводит занятия не один, а, например, с помощью старшеклассников или студентов). Однако эта информация часто не однородна у разных учителей, руководителей кружков, она не дает возможности сравнивать работу разных кружков и создать у учителя сложившееся мнение об общепринятых критериях оценки их эффективности, о том, какие результаты учащихся следует высоко расценивать безотносительно к уровню работы конкретного кружка.

Ранее не было попытки установить единый для всех школ подход к изучению успехов участников внеклассной работы по математике, установить единые критерии и методы проверочной работы. Поэтому в предлагаемом читателю пособии организация внеклассной работы включает конкретные предложения по проверке знаний, умений, навыков и развития учащихся. Для этой цели предлагается проведение двух зачетов и олимпиады в один тур в 4 классе и столько же зачетов и олимпиад в 5 классе. Цели и организационно-методические формы проведения этих видов учета успехов учащихся обсуждаются в соответствующем месте предлагаемой книги.

Организация небольших по объему содержания зачетов, олимпиады в один тур, премирование учащихся во время соревнований на вечерах и викторинах, индивидуальные наблюдения руководителей кружков во время занятий — все это представляет собой уже систему мер для получения достаточно полной информации о ходе внеклассной работы и успехах каждого учащегося в отдельности.

В пособии учебно-методический материал излагается следующим образом: сначала дается перечень задач на каждое из занятий кружка, потом излагаются методические указания и решения всех задач. Далее рассмотрено содержание олимпиад, содержание и методика зачетов, даются ответы к задачам, вынесенным на зачеты, затем описаны методика и содержание математических вечеров.

Учителю, прежде чем начать работу, полезно прочесть всю книгу. В ходе работы можно вносить в содержание внеклассных занятий те или иные изменения, которые полезны для данного класса и которые соответствуют вкусам самого учителя.

Предлагаемое учителям пособие согласовано с новой программой и учебно-методическими пособиями по математике для 4—5 классов. Приведенные здесь задачи частично составлены авторами, частично заимствованы из известных учителям книг и статей по внеклассной работе, а также из научно-популярных журналов («Наука и жизнь», «Знание — сила» и др.).