Возникновение и развитие математической науки (Рыбников) 1987 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Возникновение и развитие математической науки (Рыбников) 1987

Назначение: ДЛЯ УЧИТЕЛЯ. Настоящая книга обращена в первую очередь к учителям математики. Она обращена также к студентам математических специальностей университетов и педагогических институтов, готовящимся к работе в школе. Цель книги — дать представление этому кругу читателей об опыте развития математических знаний и убедительно показать, что знание этого опыта будет содействовать выполнению ими своих профессиональных обязанностей — обучению детей математике и привитию им навыков логически строгих элементов научного мышления.

© " Просвещение" Москва 1987

Авторство: Константин Алексеевич Рыбников

Формат: DjVu, Размер файла: 1.88 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ... 3

      Глава 1. О начальных математических представлениях... 5

      Глава 2. Каковы были пути формирования математической науки ... 14

      Глава 3. Из истории арифметики... 50

      Глава 4. Как алгебра начинала свой исторический путь... 66

      Глава 5. Геометрия: наука и учебная дисциплина... 88

      Глава 6. Многоликая тригонометрия... 107

      Глава 7. Математический анализ: начальные идеи, первые успехи, главные трудности... 119

      Вместо заключения. Книга прочитана. Что же дальше?... 151

      Список литературы... 158

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

 

 

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Возникновение и развитие математической науки (Рыбников) 1987 года

СКАЧАТЬ DjVu

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 Ежегодно в школы приходят миллионы детей. Долгие годы затем они изучают основы математических наук. Сложен их путь и велики встающие перед ними трудности. Ученики не просто воспринимают (впитывают) концентрат приемов вычислений и логических суждений, который должен составить основу их математических знаний и посильных приложений. Нет! Они учатся и в своем личном обучении отражают в той или иной степени общий исторический путь, следуя которому человечество добывало математические знания. Вглядитесь в то, как дети учатся, произведите необходимые сравнения, и вы увидите, что это так.

      Успехи учителя в преподавании математики решающим образом зависят от того, какие ответы получает от него ученик на вопросы о том, когда, в силу каких причин и при каких обстоятельствах возникла необходимость в знании преподаваемого в данный момент материала, как этот материал (теоремы, вычислительные приемы и пр.) нашли (открыли), какие задачи с его помощью решались раньше и решаются сейчас, с какими другими частями математики он связан и т. п. Нет нужды доказывать, что неумение отвечать на подобные вопросы, разнообразные формы уклонения от ответов равносильны запрету мыслить: они развивают пассивность и воспитывают отвращение к математике.

      Не приносят желаемого успеха и те случаи, когда учитель, по существу незнакомый с историей развития своей науки, включает время от времени в свои уроки разрозненные исторические справки, забавные случаи, анекдоты и пр. Это, конечно, может несколько оживить тоскливое течение урока, но — не больше того и не всегда. Разрозненный набор фактов, как принято говорить, «не работает». А «работают» факты лишь тогда, когда они регулярны и подчинены общим концепциям, опирающимся на историко-научную и общекультурную эрудицию учителя.

      В соответствии с целью книги в ней рассматривается история только тех математических дисциплин, которые изучают в школе. Ее главной особенностью является то, что в каждой главе внимание читателя оказывается привлеченным к описанию процесса развития соответствующей части математики и проявляющихся при этом закономерностей. Говоря проще, речь идет о том, в силу каких причин и при каких обстоятельствах математические дисциплины, преподаваемые в школе, приобрели именно такое содержание и такую форму, в каких учителя преподают, а ученики их ныне изучают.

      По очевидным причинам в книге приведен лишь тщательно отобранный минимум историко-научных фактов. Существует много книг, позволяющих быстро пополнить фактический материал; их краткий список приведен нами в конце.

      В тех случаях, когда оказывается возможным и уместным, в книге рассматриваются конкретные связи историко-научных, методологических и методических вопросов. В заключении разъяснено, каким путем читатель сможет продолжить повышение квалификации в области историко-методологических проблем своей науки, добиваясь того, чтобы профессиональные занятия учителя-математика (воспитательно-педагогические, прикладные и теоретические) производились в соответствии с общими идеями и положениями марксизма-ленинизма.

      Задачу написать эту книгу поставили перед автором члены редколлегии журнала «Математика в школе», в особенности главный редактор проф. Черкасов Р. С. Они же предоставили автору возможность опубликовать на страницах журнала ряд статей, имеющих целью выработку такого содержания и стиля изложения, которые лучше соответствовали бы насущным нуждам и интересам учителей математики. Без творческого и регулярного содействия педагогической общественности книга, по всей вероятности, не могла бы быть написана.

      Автор благодарит проф. Белоусова В. Д., проф. Гусака А. А., проф. Дорофеева Г. В., доц. Дорофееву А. В., проф. Мищенко А. С., проф. Соболева В. И., прочитавших рукопись книги и оказавших ему помощь советами и рекомендациями.

      С благодарностью автор примет замечания и предложения читателей.

     

      Глава 1

      О НАЧАЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ

      Вопросы о том, как складывались первичные математические представления, какой вид они принимали, как проходили первые этапы их совершенствования, никогда не теряли своей актуальности и не потеряют ее в будущем. В том, чтобы правильно освещать эти вопросы, заинтересованы весьма широкие слои человеческого общества: и те, кто только начинает свое математическое образование; и те, кто учит детей математике, так как это способствует отысканию и использованию наиболее эффективных методических приемов. Сведениями о ранней истории своей науки интересуются также ученые-математики, исследующие ее логический строй как с теоретическими, так и с практическими целями.

      Своеобразие проблемы состоит в том, что поиски действительного начала математических знаний человечества уводят нас в седую, еще дописьменную древность. По мере продвижения в глубь истории резко убывает фактическая основа, на которую можно опираться в своих суждениях. Время и обстоятельства неумолимо уносят в небытие (или препятствуют извлечению из небытия) материальные свидетельства развития интеллектуальной жизни древних народов. Особенно большой вред нанесли (и продолжают наносить) различные завоеватели и колонизаторы, расисты, проповедники якобы богом избранной, «исключительной» расы, народности, религии.

      Давно уже нет на земле племен или иных устойчивых общностей людей, которые являлись бы носителями отзвуков далекого прошлого. Очень мало осталось памятников культуры и других источников информации о знаниях людей в ранние периоды истории. Все, что известно, подвергалось и подвергается изучению археологами, этнографами, специалистами по сравнительному языкознанию, историками науки. Их усилия по восстановлению, описанию и сохранению этого незаменимого и невосполнимого материала, будучи объединенными, приносят, разумеется, свои плоды. Однако фактов все-таки не очень много и мало надежды на существенное обогащение фактической основы подобных исследований в будущем.

      В настоящей главе мы предлагаем читателю сжатый обзор того, что оказалось возможным извлечь из имеющихся в наличии фактов, относящихся к ранним периодам развития математических познаний людей. Естественно, что прежде всего речь пой-

      дет о характеристике процессов формирования начальных математических абстракций (числа, фигуры), составляющих основу количественных и пространственных характеристик материального мира.

      Начнем с описания того, как складывалось понятие о числе (на первых порах натуральном, т. е. целом положительном). Очевидным представляется высказывание, что это понятие возникло и сформировалось в результате многократно применяемой (в силу практической необходимости) операции счета, перечисления предметов. Однако, несмотря на кажущуюся простоту, естественность, свою «изначальность», операция счета не является на самом деле первичной, простейшей. Она возникает и применяется на уже сравнительно высоком уровне развития математических элементов мышления. Ей предшествовало, как выясняется, несколько ступеней усовершенствования логических суждений.

      Проблема воссоздания исторических ситуаций, приведших к появлению абстракции натурального числа, очень сложна. Хотя мотивы экономического развития разных народов в основном сходны, но пути интеллектуального развития весьма разнообразны. Затрудняет, естественно, решение проблемы также недостаточность и разрозненность имеющихся в наличии фактов.

      Все-таки, как бы ни была пестра и фрагментарна картина развития математических знаний в ранние периоды истории человеческой культуры, в ней можно проследить главные (как мы думаем) этапы интересующего нас сейчас процесса. На них в интересах основного замысла настоящего описания и постараемся сосредоточить внимание читателя.

      1. История человечества со всею очевидностью показывает, что даже самые, казалось бы, изначальные понятия людей не являются врожденными (и уж тем более не ниспосланы «свыше»). Они суть отражения свойств и отношений реальных предметов объективно существующего мира. Приобретаются они в ходе активной деятельности людей. Именно благодаря труду и сопровождающей его членораздельной речи мозг и органы чувств человека достигли значительного совершенства. В результате, после длительной эволюции, мозг человека выработал среди прочих способность создавать абстракции, необходимые для счета и измерения.

      2. Начальная ступень числовых, количественных, представлений состояла, по-видимому, в восприятии человеком свойства численности, количественности, конкретных совокупностей предметов. Вначале множество предметов характеризуется со стороны его целостности (т. е. все ли предметы находятся налицо). Это позволяет сравнить рассматриваемое множество с другими, более или менее многочисленными, нежели данное. Такой счет называют чувственным. Его зачатками владеют даже животные. Процесс выделения свойства количественности из совокупности свойств конкретных множеств, осознания его особенностей и функциональной роли занял, по всем данным, весьма длинный исторический период.

      3. По мере перехода людей на более высокий уровень интеллектуального развития чувственный счет оказывается недостаточным. Появляется необходимость сравнивать множества, например поэлементно сопоставляя их численность. Появлялась она преимущественно в процессе общения людей и выполнения ими операций обмена. Неравночисленность множеств предметов заставляет вырабатывать понятия «больше», «меньше», «равно».

      4. Числовая характеристика множеств выделяется и преобразуется в объект самостоятельного рассмотрения, что находит свое выражение в поисках множеств, играющих роль эталона при сопоставлениях: пальцы рук и ног, наборы камешков, раковин, счетных палочек и других предметов.

      5. Вводятся названия чисел, поначалу небольших. Постепенно число названий растет; складывается общее представление о числе (имеется в виду натуральное число).

      6. Натуральные числа сравниваются по величине, абстрагируясь постепенно при этом от всех других свойств. Формируется начальный отрезок ряда натуральных чисел, вначале короткий, но постепенно удлиняющийся.

      7. Появляются записи, где фигурируют символические обозначения чисел и действий над ними, развивается символический аппарат, совершенствующийся в последующем в соответствии с основным требованием: быть удобным для выражения и производства вычислительных операций.

      8. Складываются разнообразные системы счисления (5-, 10-, 12-, 20-, 60-...ричные), для применения которых унифицируется символика.

      Таков или примерно таков был путь формирования понятия целого положительного числа. Более общие классы чисел сложились, естественно, позднее, и их историю можно проследить по письменным источникам, о чем будет идти речь далее.

      Перейдем к вопросу о формировании начальных геометрических представлений. Этот процесс имел, разумеется, свои особенности. Однако этапы развития, отмеченные выше, в основном имели место и в этом случае. Из оперирования с индивидуально воспринимаемыми пространственными телами вырастали геометрические абстракции тела, фигуры, позволяющие идентифицировать их по сходству геометрических характеристик. Следующим этапом было сравнение множеств тел и выделение абстрагированного эталона — идеального тела. На таком пути формировались геометрические понятия со своими специфическими символическими (графическими, наглядными) изображениями. Последние и являлись символами, отображающими геометрическую определенность объекта, его пространственную особенность, отвлекаемую для изучения от всех других свойств материальных тел.

      В самом деле, данные истории материальной культуры убедительно доказывают, что еще в эпоху, когда люди пользовались кремневыми орудиями для труда и охоты, они придавали им преднамеренно геометризированную форму: треугольников, ромбов, трапеций. Конечно, эти формы образовывались постепенно и не вследствие стремлений к «геометризации», а потому, что оказывались наиболее приспособленными к определенному виду труда, к тому, чтобы резать, рубить, скрести и т. п.

      Дальнейший толчок развитию геометрических представлений дали ремесла: гончарное, строительное и др. Особенно сильное влияние оказало в этом направлении земледелие, когда задачи проведения границ участков, определения площадей, длин и т. п. сделались жизненно насущными. Появление орнаментов на изделиях знаменовало уже закрепление представлений о равенстве, подобии, симметрии фигур.

      Минул огромный по длительности период человеческой истории, прежде чем смутные представления людей о количест-венности и о формах, присущих конкретным вещам, преобразовались в понятия числа, геометрической фигуры и т. п. И когда это произошло, то появился новый вид знаний — математическое. Счет и измерение сделались важным средством развития математических знаний и вычислительно-измерительной практики людей.

      «Число» и «фигура», исторически первые понятия математики, в наше время лежат в основе всех математических знаний. Сходство логического строя оснований математики и исторического процесса становления ее начальных понятий сделалось особенно наглядным в последние 100 лет. За это время работа по обоснованию математики в силу известных исторических причин и в условиях возрастающих требований к логической (математической) строгости была в особенности активной. Она привела к тому, что в основания математики вслед за теориями действительного числа вошла теория множеств и сопредельные с нею логические средства доказательств. И вот тогда упомянутое сходство проявилось вполне отчетливо.

      В самом деле, возвратимся к тем восьми пунктам в нашем тексте, которыми мы описывали этапы формирования первичных математических представлений. Очевидно, что в п. 2 речь идет об идентификации элементов множеств, о самом задании множеств. В п. 3 говорится об операции отображения множеств, а если посмотреть поглубже, повнимательнее, то и о ранних попытках выражения причинной зависимости. Последняя разовьется затем в понятие отображения множеств (п. 4) и функциональной зависимости. Вводится упорядоченность множеств (пп. 5 и 6), а количественные характеристики начнут получать символическое выражение (пп. 7 и 8).

      Подобное соответствие между логической структурой оснований современной математики и историческим процессом формирования первичных математических понятий отнюдь не случайно. Оно является примером проявления на математическом материале общефилософской закономерности, известной под названием принципа единства исторического и логического.

      Существо этой закономерности, кратко говоря, состоит в следующем: логическое и историческое — это философские понятия, связанные с двумя способами рассмотрения исторически протекающего процесса. При историческом способе исследования факты и события рассматривают и объясняют с учетом различных случайностей и зигзагов, сквозь которые прокладывают себе дорогу объективные закономерности. При логическом же способе рассмотрения исторические факты и события излагают в необходимой закономерной последовательности и связях, т. е. за исключением всего несущественного, случайного, нетипичного. В основном, в главном логическое совпадает с историческим.

      Ф. Энгельс указывал, что логический способ рассмотрения в сущности является «тем же историческим методом, только освобожденным от исторической формы и от мешающих случайностей. С чего начинает история, с того же должен начинаться и ход мыслей, а его дальнейшее движение будет представлять собой не что иное, как отражение исторического процесса в абстрактной и теоретически последовательной форме; отражение исправленное, но исправленное соответственно законам, которые дает сам действительный исторический процесс, причем каждый момент может рассматриваться в той точке его развития, где процесс достигает полной зрелости, своей классической формы»1.

      Работа и размышления над проблемой единства исторического и логического могут принести немалую пользу в преподавательской деятельности. Тот уровень знаний и требований к воспринимаемости математических сведений, с которого начинается обучение математике в школах, не изначален. Он может и не быть еще достигнутым новичком-школьником. В таких случаях понимание учителем путей формирования математических представлений людей может послужить источником плодотворных методических приемов. Речь здесь идет о таких приемах, которые могут помочь преодолеть, по возможности безболезненно, кажущиеся внезапными и необъяснимыми случаи непонимания, тупиковые ситуации, столь нередкие у школьников младших, да и не только младших, классов. Увидеть в преподаваемом математическом материале его исторически обусловленное место в логически последовательной структуре математического знания, передать ученикам это понимание — значит увлечь их, сделать математические занятия доступными и интересными.

      Продолжим наш рассказ о том, как люди накапливали математические знания. Перейдем к описанию математики тех времен, от которых дошли до нас первые письменные свидетельства или достаточно достоверные сведения о них. Это позволит нам вести изложение несколько более конкретно, чем мы могли

      1 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. — 2-е изд. — Т. 13. — С. 497.

      себе это позволить до сих пор. Упомянутые свидетельства (или, как мы их будем иногда называть, источники) являются частью истории стран, обладавших древними цивилизациями.

      Когда мы говорим о странах древних цивилизаций, исторический опыт которых донес до нас достоверные сведения о ранних этапах истории математики, то мы имеем в виду совершенно конкретный материал. На обширных пространствах, где в наше время располагаются Китай, Индия, страны Среднего и Ближнего Востока, а также прибрежные государства средиземноморского бассейна, т. е. в полосе, где природные условия особо благоприятны для жизни людей, издавна существовали государственные формирования общественно-экономической жизни человеческих обществ. Уровень их экономического развития и административного устройства повышался раньше и быстрее, чем у других народов, живших в более суровых условиях. Развитие экономики сопровождалось относительно более быстрым ростом культуры и образованности. Об этом можно судить не только по дошедшим до нас прекрасным архитектурным, техническим памятникам, произведениям искусства, но и письменным памятникам. Среди последних сохранились (чаще всего в пересказах) такие, что были посвящены целиком или в значительной степени трактовке математических задач или даже теоретических проблем математики. Хотя они были далеки друг от друга по времени написания, по целям и обстоятельствам, разобщены территориально, из них можно почерпнуть важную информацию историко-научного характера.

      Примем следующий порядок описания этого материала:

      — источники, их датировка и место появления;

      — социально-экономическая обстановка, относящаяся к источникам;

      — сжатый обзор содержания источников;

      — общие выводы и заключения.

      Такой порядок должен позволить на ограниченном числе страниц ввести читателя (в большинстве случаев человека занятого) в суть проблемы, не разбрасываясь на описание многих фактов. Материал будем группировать по месту происхождения, называя эти части условно: Египет, Вавилон (государства, располагавшиеся на территории современного Ирака, и соседние территории), Китай и Индия.

      Начнем с описания источников. То, что нам известно о математике Древнего Египта, почерпнуто из рукописей, написанных черной и красной красками на папирусе — бумаге, выделанной из нильского тростника. Таких рукописей дошло до нас только две, если не считать еще нескольких коротких отрывков. Одну из рукописей, самую большую (размерами 5,5 X 0,35 м) называют папирусом Райнда, по имени английского египтолога, приобретшего ее в Египте. Находится эта рукопись в Лондоне, в Британском музее. Другой папирус, примерно такой же длины, но более узкий (около 0,03 м), находится в Москве, в Музее изобразительных искусств. Оба папируса датируются эпохой Среднего царства (около 2000 лет до н. э.). Вообще-то папирусов сохранилось довольно много, но других математических — нет.

 

★ ЕЩЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "МАТЕМАТИКА"

ВСЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "МАТЕМАТИКА"

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика