Вычислительная работа в курсе математики средней школы (Брадис) 1962 год - старые учебники

§ 3, 11 Приближенные формулы 62

§ 3, 12 Некоторые измерительные приборы —

Глава 3. Приближенные вычисления со строгим погрешностей по способу границ и по способу границ погрешностей 65

§ 3, 13 Приближенные значения —

§ 3, 14 Десятичные знаки и значащие цифры 67

§ 3, 15 Различные способы оценки точности приближенных значений 68

§ 3, 16 Вычисления со строгим учетом погрешностей по способу границ 73

§ 3, 17 Вычисления со строгим учетом погрешностей по способу границ погрешностей 80

§ 3, 18 Случай, когда способ границ погрешностей дает лучшие результаты, чем способ границ 87

§ 3, 19 Вычисления с наперед заданной точностью ... 89

§ 3, 20 Сравнительная оценка двух способов строгого учета погрешностей 94

Глава 4. Предельные погрешности результатов действий над приближенными значениями, заданными с определенным числом знаков 97

§ 3, 21 Постановка вопроса —

§ 3, 22 Предельная погрешность алгебраической суммы 98

§ 3, 23 Предельная погрешность произведения двух приближенных сомножителей 99

§ 3, 24 Предельная погрешность произведения нескольких приближенных сомножителей . 103

§ 3, 25 Предельная погрешность частного 105

§ 3, 26 Предельная погрешность квадрата и куба .... НО § 4,7. Предельная погрешность корней квадратного и кубического « « . 112

Глава 5. Средние погрешности результатов действий над приближенными значениями, заданными с определенным числом знаков 115

§ 3, 27 Средняя линейная и средняя квадратическая погрешность числа, представляющего собой результат округления до k десятичных знаков или k значащих цифр —

§ 3, 28 Средние погрешности суммы двух слагаемых . . 117 § 5,3. Средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы любого числа членов 121

§ 3, 29 Средняя квадратическая погрешность произведения 123 § 5,5. Средняя квадратическая погрешность частного 128 § 5,6. Средняя квадратическая погрешность квадрата и куба 133

§ 3, 30 Средняя квадратическая погрешность корней квадратного и кубического 134

§ 3, 31 Сводка результатов 135

Глава 6. Распределение погрешностей в результатах действий над приближенными значениями 137

§ 3, 32 Постановка вопроса —

§ 3, 33 Распределение погрешностей суммы . 139

§ 3, 34 Распределение погрешностей произведения ... 145 § 6,4. Распределение погрешностей частного 154

Глава 7. Правила подсчета цифр в результатах действий над приближенными числами 156

§ 3, 35 Принцип академика Крылова —

§ 3, 36 Правила подсчета цифр, вытекающие из принципа академика Крылова 161

§ 3, 37 Другая редакция правил подсчета цифр 173

§ 3, 38 Правила подсчета цифр в новейшей зарубежной

литературе 176

§ 3, 39 Приближенные формулы 178

Часть II. Методика школьных вычислений

Глава 8. Вычислительная работа учащихся средней школы в условиях политехнического обучения 181

§8, I. Общие соображения о вычислительной работе учащихся политехнической средней школы —

§ 3, 40 Воспитательное значение вычислительной работы 187

§ 3, 41 Счетные приборы и вычислительные машины для точных расчетов 192

§ 3, 42 Математические таблицы в школе 195

§ 3, 43 Счетная логарифмическая линейка 200

§ 3, 44 Графические вычисления 202

§ 3, 45 Некоторые способы и средства измерения .... 204

Глава 9. Первый круг сведений о приближенных вычи

§ 3, 46 (V и VI классы) 206

§ 3, 47 Учебник арифметики А. П. Киселева —

§ 3, 48 Задачник С. А. Пономарева и Н. И. Сырнева до его переработки в 1960 г 209

§ 3, 49 Некоторые другие книги 210

§ 3, 50 Первый круг сведений о приближенных вычислениях в книге «Арифметика» И. К. Андронова и В. М. Брадиса 211

§ 3, 51 Приближенные вычисления в книге И. К. Андронова «Арифметика дробных чисел и основных величин» 212

§ 3, 52 Как перестроить ' программу школьного курса арифметики? . . . 213

§ 3, 53 Некоторые ошибки учителя, относящиеся к вычислительной работе учащихся 214

Глава 10. Второй круг сведений о приближенных вычислениях. Вычислительная работа на втором этапе средней школы 216

§ 3, 54 Строгий учет погрешностей по способу границ —

§ 3, 55 Понятие об абсолютной и относительной погрешностях и их границах 220

§ 3, 56 Некоторые вычислительные работы в VI и VII классах 222

§ 3, 57 Вычислительная работа в VIII классе 227

§ 3, 58 Вычислительная работа в IX, X, XI классах 237

А. Литература на русском языке 239

Б. Литература на иностранных языках 248

ОТ АВТОРА

Я писал эту книгу в 1956 и 1957 гг., подводя в ней итоги своей многолетней работы по обоснованию и пропаганде рациональных методов школьных вычислений. Книга адресована тем учителям математики средней школы, которые желают глубже ознакомиться с этими методами, и методистам-математикам, в особенности авторам учебников.

В Программе КПСС читаем: «Среднее образование должно обеспечивать прочное знание основ наук, усвоение принципов коммунистического мировоззрения, трудовую и политехническую подготовку в соответствии с возрастающим уровнем развития науки и техники...» . Это требование Программы вызывает необходимость существенных изменений постановки преподавания математики в нашей средней школе, которая шагнула вперед по сравнению с дореволюционной школой, но еще во многом не удовлетворяет этому возрастающему уровню науки и техники.

Вопрос о недопустимом расхождении между вычислительной работой учащихся средней школы и практическими требованиями жизни вот уже более века является одним из нерешенных вопросов методики преподавания математики. В декабре 1958 г. Верховный Совет СССР принял закон «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР». Одной из деталей той перестройки преподавания математики, которая должна проводиться и уже проводится в силу этого закона, является усиление внимания к вычислительной работе, этой заключительной стадии решения всевозможных прикладных математических задач. Вот важнейшие факты, относящиеся к теории и практике школьных вычислений, имевшие место в течение последних четырех лет.

Новая программа математики, разработанная Академией педагогических наук РСФСР и утвержденная в 1960 г. Министерством просвещения РСФСР, сделала большой шаг вперед, включив в курс арифметики VI класса тему «Приближенные вычисления», на которую отводится 16 часов в самом начале учебного года, и значительно усилив внимание к числовым расчетам во многих других темах.

Начата переработка применительно к новой программе стабильных учебников (руководств и задачников), причем во многих случаях существенно усиливается внимание к вычислительной работе.

Очень оживилась работа над методическими вопросами, связанными со школьными вычислениями, о чем ясно сви-детельствует тот поток статей, который поступает по этим вопросам в редакцию журнала «Математика в школе» и частично публикуется. Много внимания уделяется вопросам связи преподавания математики и смежных дисциплин, в особенности физики и машиноведения.

Можно отметить также, что методисты-математики в странах социализма с большим интересом откликаются на советские работы по школьным вычислениям. Например, в ГДР появилась статья М. Gimpel’n со ссылками на статью В. М. Брадиса «Устный и письменный счет», которая стала известна в ГДР благодаря переводу на немецкий язык первого тома «Энциклопедии элементарной математики», где она была напечатана. В румынском математическом журнале «Gazeta matematica §i fizica» в 1960 г. появилась статья старшего преподавателя Кировоградского педагогического института Н. И. Прайсмана, освещающая положение с вычислительной работой в советской средней школе. Ряд откликов по этим вопросам был помещен в педагогической печати Болгарии, Чехословакии, Китая, Кореи, а из капиталистических стран — в Японии.

Приношу глубокую благодарность за внимание и помощь проф. И. К- Андронову, проф. А. И. Маркушевичу, проф. К. А. Семендяеву, проф. Е. Г. Ларченко, инженеру Н. Ф. Гуляеву, инженеру И. Я. Байкову и проф. И. Я. Депману.

ВВЕДЕНИЕ

1. Полвека тому назад профессор Киевского университета В. П. Ермаков писал: «Большой недостаток средних школ заключается в неумении производить вычисления. При всяком вычислении нужно ответить на вопрос: с какою точностью найден результат. Это основной вопрос. Далее, нужно позаботиться, чтобы вычисления были возможно просты, чтобы не производить лишних действий, чтобы результат получался возможно быстрее. Для выполнения этой цели нужно знать решение следующей задачи: сколько в каждом из данных чисел удержать цифр, чтобы результат получился с должной точностью. О приближенном вычислении в средних школах ученики не имеют никакого пред-ставления. Это можно судить по тому, что ученик берет

3,14 и вычисляет окончательный результат при помощи семизначных логарифмов.

Всякое дело нужно производить с толком и с разумением. Толковое вычисление в средних школах должно быть поставлено на первом плане. Сознательное вычисление по приближению особенно важно в высших технических училищах, так как оно дает возможность быстро получать правильный результат» .

В. П. Ермаков был одним из передовых работников русской высшей школы;'он правильно понимал задачи математического образования как в высшей, так и в средней школе, знал постановку школьного курса математики и ту подготовку, какую получали выпускники средней школы. Его требование о сознательном отношении к точности получаемых результатов и о том, чтобы получать их с наименьшими затратами сил и времени, в настоящее время не только подтверждается жизнью, но и во много раз усилилось: преподавание математики в условиях политехнического обучения, отнюдь не снижая требований к глубине теоретической подготовки, наравне с ними ставит и требования овладения практическими приложениями математики; одним из таких требований, и весьма серьезным, является повышение уровня вычислительной культуры учащихся.

Однако за время, протекшее с 1905 г., когда В. П. Ермаков писал приведенные выше строки, и до настоящего времени, несмотря на все грандиозные перемены в государственном и общественном строе, несмотря на радикальную перестройку нашей средней школы, вычислительная культура выпускников средней школы продолжает оставаться недопустимо низкой. Математическая наука и практические ее приложения за полвека шагнули далеко вперед, а школьники знакомятся с вычислительной техникой и теоретическими ее основами по тем самым, лишь слегка переделанным руководствам, какие были составлены в последней четверти XIX в.

Новые задачники по арифметике и алгебре, изданные в последние годы, делают по части вычислительной культуры столь робкие шаги, что никакого заметного улучшения отметить пока нельзя;

2. В чем же^ причина такого застоя в деле улучшения вычислительной культуры учащихся средней школы? Существует много статей и книг как на русском, так и на других языках, рассматривающих положение с теорией и практикой вычислений. Через все эти работы, написанные учителями средней школы, работниками высшей технической и высшей педагогической школы, инженерами, красной нитью проходят две мысли, ясно выраженные и в приведенной выше цитате из статьи проф. В. П. Ермакова: 1) надо научить приемам вычислений с приближенными значениями, так как эти приемы имеют существенные особенности по сравнению с приемами обычных арифметических вычислений над числами, которые предполагаются точно выражающими значения соответствующих величин; 2) надо научить применять различные средства и способы, упрощающие и сокращающие выполнение расчетов всякого рода (как с точными, так и с приближенными значениями ^величин). Будем обозначать эти две стороны дела (несколько условно) 6

терминами «рационализация» и «механизация» вычислительной работы.

Признание необходимости повышения вычислительной культуры учащихся средней школы в русскую методическую литературу по математике пришло давно, еще в середине XIX в., а образцы вполне рационального вычисления в научных исследованиях давались и раньше, например в работах Н. И. Лобачевского. Все возрастающие требования к приложениям математики со стороны техники вызвали еще в 50-х годах прошлого века появление работ, посвященных рационализации вычислений в школе и прежде всего особенностям операций с приближенными значениями величин. Так, в 1857 г. в типографии Петербургской академии наук была напечатана книга В. И. Беренса «Теория численных приближений», следовавшая изложению французской книги М. J. Vielle, изданной в 1854 г. В 1857 г. вышла книга Франца Симашко, автора учебников для военно-учебных заведений, получивших значительное распространение, полнее и самостоятельнее рассматривавшая вопрос. В этой книге читаем: «В практике чаще встречаются приближения, нежели точные числа: действительно, нет измерения, в котором можно было бы избежать погрешностей... Конечно, погрешностями от измерений, по их малости, можно пре-небрегать, но от действий над приближениями получаются новые приближения, иногда с такими большими погрешностями, которых нельзя оставлять без внимания... Даже вместо точных чисел берут иногда их приближения, для избежания продолжительных действий; точность этих приближений зависит от требований вопроса. По мнению сочинителя, вычисление по приближению должно войти в элементарный курс математики,, предпочтительно перед теми статьями, которые остаются без приложений, как, например, периодические дроби в арифметике, корни из многочленов, общий наибольший делитель многочленов, решение неопределенных уравнений в целых числах и др.»

Множество статей и книг, появившихся в течение последнего столетия как у нас, так и за рубежом, рассматривавших и теоретические основы вычислительной работы, и методические вопросы, связанные с повышением вычислительной культуры учащихся, ясно показывает, что ответ на вопрос о причинах застоя в этом деле надо искать не в недостатке внимания к нему.

3. Естественно предположение, что причиной застоя в деле повышения^ вычислительной культуры учащихся является просто сила традиций, которые в практике преподавания, по-видимому, сильнее, чем во многих других сторонах нашей жизни. Вот что говорит о силе традиций академик А. Н. Крылов, всю жизнь боровшийся за рациональные методы вычислительной работы в своей специальной области — в кораблестроении — и сделавший тем самым многое для улучшения вычислительной работы. «Приступив в 1892 г. к чтению курса теории корабля, я предпослал этому курсу основания о приближенных вычислениях вообще и в приложении к кораблю в частности, выставляя как принцип, что вычисление должно производиться с той степенью точности, которая необходима для практики, причем всякая неверная цифра составляет ошибку, а всякая лишняя цифра — половину ошибки. Насколько практика этого дела была несовершенная, я показал на ряде примеров, где 90% было таких лишних цифр, которые без ущерба для точности результата могли быть отброшены, а в одном вычислении, исполненном в чертежной Морского технического комитета, такой напрасной работы было 97%... Затем долголетней практикой я убедился, что если какая- либо нелепость стала рутиной, то чем эта нелепость абсурднее, тем труднее ее уничтожить» (подчеркнуто мной.— В. Б.).

В школьном преподавании сила традиций чрезвычайно велика, притом даже больше среди методистов, чем среди массы учителей, и это, конечно, создает свои трудности в борьбе за рационализацию школьных вычислений. Но здесь имеет; место другая сторона дела, имеющая еще большее значение, — недостаточная разработанность научной основы практических приемов вычислений с приближенными значениями.

Это и есть главная причина отсутствия прогресса в школьных вычислениях: плохие старые традиции держатся потому, что им на смену не выдвигались приемлемые для школы простые правила производства вычислений с приближенными значениями. Рассмотрим эту сторону дела несколько подробнее.

4. В обширной научной и методической литературе по вопросам теории приближенных вычислений ясно намечаются три основных направления, которые несколько условно можно назвать «классическим», «техническим» и «геодезическим». Классическое направление характеризуется стремлением указывать наибольшую возможную в данном случае или, иначе, предельную погрешность всякого приближенного значения, что в конце концов сводится к указанию двух чисел, между которыми это приближенное значение заключено (будем называть эти два числа его «низшей» и «высшей» границами). Делается это либо посредством указания границы погрешности, абсолютной или относительной, либо просто посредством указания этих двух границ приближенного числа. Вполне последовательно выдерживают это направление составители математических таблиц. Они дают значения той или иной функции с погрешностями, не превосходящими половины еди-ницы разряда последней цифры табличного значения. Из книг научного характера, вполне выдержанных в этом направлении, укажем книгу Liiroth’a и переведенную на русский язык книгу Г. Шуберта. Методическая литература в большей своей части относится к этому направлению, но ограничивается понятиями и теоремами, относящимися к границам абсолютной и относительной погрешностей, вовсе отказываясь от применения более простого по идее и более строгого по существу способа вычисления высшей и низшей границ, хотя в научной литературе именно этот способ широко применяется начиная с Архимеда («Измерение круга»).

Лучшим учебником по приближенным вычислениям, выдержанным в духе этого направления и предназначенным для учителей и учащихся средней школы, является книга И. Н. Кавуна, вышедшая двумя изданиями в 1922 и 1923 гг.

После появления этой книги многим стало ясно, что искать средства улучшения повседневных вычислений учащихся средней школы надо не на этом пути: вычисление границ погрешностей, рекомендуемое этой книгой (и множеством других), является существенным осложнением всякого расчета, требует немалой дополнительной вычислительной работы, да и обоснование соответствующих теорем 1В в. М. Брадис 9 Возможно лишь в старших классах школы, в то время как рационализация вычислений нужна уже с V класса.

Отказываться от способа границ и способа границ по-грешностей в средней школе нельзя, но они должны занять, принимая во внимание их доступность, только второе и третье места: на второе место надо поставить способ границ, для понимания которого совершенно достаточно изучаемой в школьном курсе арифметики зависимости между данными и результатами четырех арифметических действий (в дальнейшем естественно используются более сложные функциональные зависимости, постепенно появляющиеся в школьном курсе математики); на третье место надо поставить способ границ погрешностей, требующий уже значительно более сложного обоснования. В то время как способ границ вполне доступен учащимся VII, даже VI класса, способ границ погрешностей вряд ли можно давать раньше IX, даже X класса. Разумеется, самые понятия «истинной абсолютной погрешности», «истинной относительной погрешности» и их границ можно дать значительно раньше, уже в VI или даже в V классе, чтобы приучать учащихся к их использованию и постоянному применению, но теоремы о границах абсолютных и относительных погрешностей в результатах действий над приближенными значениями, если уж давать в школе, то значительно позже.

Объединяя способ вычисления границ и способ вычисления границ погрешностей, можно говорить о «строгом учете погрешностей». Ясно, что стать основным способом школьного вычисления ни тот, ни другой из способов строгого учета погрешностей не может.

Вопрос о том, какой же способ вычислений с приближенными значениями надо поставить в школе на первое место, разрешается лишь при изучении других направлений в приближенных вычислениях.

5. Второе направление («техническое») стремится обойтись без вычисления погрешностей, обращая внимание лишь на то, сколько цифр нужно для изображения числа с некоторой определенной точностью. Основной его принцип, известный у инженеров под названием «принципа Крылова», сформулирован академиком А. Н. Крыловым следующим образом: «Результат всякого вычисления и измерения выражается числом; условимся писать эти числа так, чтобы по самому их начертанию можно было судить о степени точности: для этого стоит только принять за правило писать 10

число так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верны, и лишь последняя цифра была бы сомнительна и притом не более, как на одну единицу» .

Некоторые работы, в основе которых лежит принцип Крылова, стремятся выполнить последнее его требование, сводящееся к тому, чтобы абсолютная погрешность каждого приближенного результата была не более единицы разряда последней его цифры. В таких работах мы в сущности опять возвращаемся к первому направлению, т. е. к строгому учету погрешностей. Другие же авторы, и прежде всего сам академик Крылов, не следят за буквальным выполнением последнего требования, допуская некоторую неопределенность границы погрешности последней сохраненной цифры результата. В работе А. П. Фан дер Флита прямо предлагается выписывать все верные цифры и первую сомнительную. В этом допущении одной сомнительной цифры и заключается характерная особенность «технического» направления. Оно представлено, кроме упомянутых работ А. Н. Крылова и Фан дер Флита, книгами Шиманских и Bourget, докладом В. А. Крогиуса на I съезде преподавателей математики и др. К этому же «техническому» направлению относятся многочисленные отдельные правила, встречающиеся в самых различных книгах, говорящих о применении математики, например в книге Г. Григорьева и др. В духе этого направления выдержаны все вычисления в некоторых учебниках.

Среди методистов-математиков это «техническое» направление доверием вовсе не пользуется: неопределенность последней цифры результатов, получаемых при применении правил, рекомендуемых в работах этого направления, делает эти правила в глазах математиков весьма расплывчатыми, а результаты — крайне ненадежными. Является желание отбрасывать эту сомнительную последнюю цифру, а следствием этого является такое осложнение в работе, что нечего и думать о введении этих «усовершенствованных» правил в школу. Вот в качестве примера одно из таких правил: «Для вычисления произведения или частного двух приближенных чисел с т точными цифрами достаточно в каждом из них взять по т + 1 точных цифр, если ни одно из них не начинается с единицы, ит + 2 точных цифр в том из них, которое начинается с единицы»*. Здесь, как и большинство других авторов, приближенное значение а считается имеющим т точных цифр, если абсолютная погрешность его не превышает одной единицы порядка m-й слева цифры. Относительно всех правил этого рода следует заметить, что, согласно им, число точных цифр результатов всегда меньше числа точных цифр в компонентах, а потому после выполнения трех-четырех действий над данными, имеющими, как обыкновенно, три-четыре точные цифры, от этих данных ничего не останется (результат не будет иметь ни одной точной цифры). Практическая ценность правил такого рода сводится к нулю, на практике они никогда не употребляются.

Но некоторые из простых (не «усовершенствованных») правил технического направления получили широкое применение. Например, в Ленинградском астрономическом (бывшем Вычислительном) институте было принято такое «основное положение»: «... при (логарифмических) действиях умножения, деления, возведения в степень приближенных чисел из к цифр можно получить не более к цифр» (сообщено мне в 1924 г. заместителем директора этого института Б. В. Нумеровым).

В то время как первое направление (вычисления со строгим учетом погрешностей) является вполне обоснованным, на практике оно применяется сравнительно редко, так как требует значительной дополнительной работы. Второе («техническое») направление, широко используемое на практике, не разработано теоретически и внушает большие сомнения.

Подкупает простота правил, рекомендуемых этим направлением, но смущает неясность в вопросе о возможных ошибках результатов. Например, при делении приближенных чисел, имеющих по три значащие цифры каждое, рекомендуется брать частное с тремя значащими цифрами, но если, например, округлить до трех значащих цифр числа 100,499 и 0,100501, частное которых равно 999,980..., то получим числа 100 и 0,101, частное которых равно 990,099..., т. е. почти на 10 единиц меньше, чем надо. Это не противоречит правилу Б. В. Нумерова; но за что можно ручаться при применении этого правила?

Недоверие к тем правилам, какие с успехом применялись в технике, надо признать вполне законным.

6. Отличительной особенностью третьего направления является то, что здесь интересуются не только предельными погрешностями приближенных значений, т. е. наибольшими возможными их отклонениями от истинных значений, но и вероятностями различных значений этих отклонений, и просто игнорируют такие погрешности, которые хотя и возможны, но весьма маловероятны и встречаются поэтому очень редко. Это направление теории приближенных вычислений представляет собой целую разработанную науку, известную под разными названиями («теория ошибок», «теория уравновешивания», «Ausgleichungslehre», «теория уравнительных вычислений») и целиком основанную на теории вероятностей. Более всего приложений находит это направление в астрономических и геодезических работах; а потому будем называть его «геодезическим». Из книг на русском языке, изложенных в духе этого «геодезического» направления, укажем книги Ф. Р. Хельмерта, Л. А. Сопоцько, А. А. Иванова, В. И. Романовского. Особенно подробно правила действий над приближенными числами ’ разработаны А. С. Чеботаревым.

Для работ этого направления характерным является использование не только предельных, т. е. наибольших возможных, но и средних квадратических погрешностей. Например, в книге А. С. Чеботарева показано (на стр. 68— 69), что, найдя сумму 5 слагаемых, каждое из которых округлено до сотых долей, надо сохранить все полученные цифры, а не округлять эту сумму до десятых, как часто рекомендуют.

Однако в работах этого направления нет достаточно удобных общих правил, которые без дополнительной работы позволяли бы устанавливать, какие цифры в результате каждого действия над приближенными значениями следует сохранять, какие отбрасывать.

На стр. 71—72 упомянутой книги рассмотрен пример: сколько цифр следует сохранить в произведении 4 сомножителей:

84,18; 126,70; 6,858; 928,3.

После выкладок, занимающих почти страницу, получен ответ: произведение 67 900 249, 09 752 840 надо округлить до тысяч, так как средняя квадратическая его погрешность составляет около 13 900; в результате получается число 67 900 000, которое лучше записать в виде 6,790 -107. Если же применять те «правила подсчета цифр», о которых сейчас будет речь, получаем последовательно

84,18 • 126,70 « 10,666 • 103; 10,666 • 103 • 6,858 =

= 73,147 . 103; 73,147 . 103 • 928,3 = 6,790 • 107 и утверждаем, что ошибка в четвертой цифре (0) не может быть значительной. Проведя для контроля вычисление по способу границ, получаем, что искомое произведение больше, чем 6,788 • 107, и меньше 6,792 • 107, так что его можно записать в виде 6,790 (±0,002) десятков миллионов. Как видим, правила подсчета цифр дали без дополнительных выкладок оценку погрешности результата, более .близкую к действительной, чем правила «геодезического» направления (конечно, так бывает не всегда).

7. Детальное изучение работ всех трех рассмотренных направлений показало с полной ясностью, что ни первое направление, требующее больших дополнительных вычислений для учета погрешности результата, ни третье, требующее ряда сведений из теории вероятностей и тоже немалой дополнительной работы, чтобы дать характеристику точности получаемых в ответах чисел, не имеют и не могут иметь шансов стать основным, постоянно применяемым способом приближенного вычисления.

Другая, не менее важная причина их неуспеха в школе — сложность рекомендуемых в обоих направлениях практических правил. Еще в 1860 г. J. Bourget писал: «Именно потому, что авторы делают из этих вопросов предмет слишком глубокого исследования, учащимся кажется столь трудным пользоваться методами приближенного вычисления. Краткость операций является целью, которую себе ставят; всякое более или менее сложное рассуждение должно быть из практических применений устранено: в этом основной принцип, который никогда нельзя упускать из вида, говоря о числовых выкладках» .

Примечание. Перевод с иностранной литературы здесь и далее сделан автором.

Этому важному требованию простоты практических правил вполне удовлетворяет второе «техническое» направление, связанное с именем академика А. Н. Крылова. Сопоставляя широкое успешное его применение на практике, ярко показанное в многочисленных и часто весьма сложных вычислениях, какие мы находим в работах как самого А. Н. Крылова, так и ряда других математиков, доводивших свои исследования до получения числовых результатов, привели меня к мысли, что правила этого направления могут быть убедительно обоснованы, и я еще в 1922 г. занялся поисками такого обоснования. Надо было выяснить, каковы предельные, т. е. наибольшие возможные, погрешности результатов отдельных действий над приближенными значениями, данными с определенным числом цифр, и каково распределение фактических его погрешностей, т. е. какова вероятность того, что действительная погрешность результата заключается в таких-то границах. Первый толчок в этом направлении, полностью оправдавший себя в дальнейшем, был дан книгой академика А. Н. Крылова , где на стр. 182—189 приведено решение следующей задачи: какова вероятность того, что ошибка в сумме S, составленной из s слагаемых, в каждом из которых может быть с одинаковой вероятностью ошибка, равная одному из чисел ряда:

— и, —(AZ—1), — (п— 2), 2, —1, 0, 4-1,

+ 2 + (п— 1), +п,

заключается между — h и 4- /г, причем h<^ns?

Если ошибка каждого слагаемого не превосходит и, то ошибка суммы s слагаемых не превосходит ns. Но какова вероятность получить ошибку суммы, близкую к этой предельной? Ведь совершенно невероятно, чтобы без специального подбора слагаемых все они имели максимально возможную ошибку, притом одного знака. По мере увеличения числа слагаемых, взятых с одним и тем же числом десятичных знаков, происходит не только накопление погрешностей, но и частичная их компенсация', погрешности со знаком плюс и минус, встречаясь примерно одинаково часто, должны компенсировать друг друга, сумма должна иметь в подавляющем большинстве случаев погрешность, значительно меньшую, чем предельная. Этот факт давно установлен в ра-ботах «геодезического» направления, где принято, что в сумме независимых слагаемых допустима погрешность, возрастающая пропорционально не числу слагаемых, а квадратному корню из этого числа; если, например, угломерный прибор дает отсчеты со средней квадратической погрешностью в а минут дуги, то допустимо расхождение между суммой измеренных внутренних углов п -угольника и теоретическим значением 180° • (п—2) этой суммы, не превосходящее числа а \/ п. На практике относятся с полным доверием к суммам целого ряда слагаемых, взятых с одним и тем же числом десятичных знаков, хотя погрешность, например, суммы 8 пятизначных логарифмов может доходить до 4 единиц разряда последней цифры.

8. Первые результаты, найденные мною в этом направлении, были опубликованы в 1923 г. Здесь было выяснено преимущество способа границ перед способом границ погрешностей, были даны теоремы о предельных погрешностях в результатах отдельных действий, были приведены результаты небольшого статистического исследования, относящегося к распределению погрешностей произведения: хотя произведение двух приближенных значений, взятых каждое с k значащими цифрами, может иметь погрешность до 6 единиц разряда k-й значащей цифры, но погрешности,, близкие к этому предельному значению, встречаются очень редко. В дальнейшем картина распределения погрешностей была уточнена и оказалась еще более благоприятной для обоснования правил, которые я назвал «правилами подсчета цифр». Первый их вариант был дан в этой работе 1923 г., и было выяснено, что применение их на практике, вполне приемлемое для учащихся средней школы, полностью ликвидирует те «нелепые хвосты ненужных цифр», которые так часто встречаются в школьных вычислениях*

Более глубокое исследование вопроса о предельных погрешностях и распределении фактических погрешностей результатов отдельных действий (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в квадрат и куб, извлечения квадратного и кубического корня) было дано в двух теоретических моих работах: «Умножение приближенных чисел» (1925) и «Опыт обоснования некоторых практических правил действий над приближенными числами» (1927). Они вполне подтвердили целесообразность «правил подсчета цифр», формулированных в первой статье. Печатных откликов эти мои работы не получили, но в беседах с рядом лиц, имеющих постоянно дело с вычислениями, я установил, что отношение к ним со стороны специалистов вполне благоприятное. Из этих лиц назову астронома М. Ф. Субботина; покойного академика В. И. Романовского, специалиста по теории вероятностей и математической статистике; профессора Ленинградского электротехнического института А. Ф. Гаврилова. Академик А. Н. Крылов, получив оттиск одной моей работы, откликнулся на нее следующим письмом:

«Глубокоуважаемый Владимир Модестович!

Позвольте Вас искренне поблагодарить за присылку Ваших весьма интересных работ.

Приучение еще со школьной скамьи к правилам вычисления без излишних цифр весьма важно, особенно для будущих техников, — искоренять ложные школьные навыки чрезвычайно трудно, я знаю это по собственному опыту.

Желаю Вам дальнейшего успеха. Еще раз искренне Вас благодарю. А. Крылов».

9. Выяснив теоретическую основу правил подсчета цифр и их применение на практике, я занялся в дальнейшем их пропагандой в докладах, статьях, книгах для учителей, в учебниках для студентов педагогических институтов и для учащихся средней школы. Составленный мною сборник «Четырехзначные математические таблицы», выпускаемый как учебник для старших классов средней школы с 1928 г. и вышедший в 1961 г. 32-м изданием на русском языке, а кроме того, изданный во многих советских республиках, в некоторых странах народной демократии и также в Японии, содержит текст восьми правил подсчета цифр (начиная с издания 1930 г.).