За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов (Депман, Виленкин) 1989 год - старые учебники

3. Из науки о числах

Когда-то числа служили только для решения практических задач. А потом их стали изучать — узнавать их свойства. С помощью чисел выражали и такие понятия, как справедливость, совершенство, дружба. Ученые установили, как по записи числа узнавать, на какие другие числа оно делится. Они научились находить простые числа и стали изучать их свойств. Иногда открытия в науке о числах делали совсем юные математики.

4. Математические игры

Многие занимательные игры основаны на свойствах чисел. Числа понадобились и для того, чтобы разобраться в некоторых играх. Понять такие игры бывает несложно, но чтобы научиться правильно действовать с кубиком Рубика нужны разделы математики, которые не изучают в школе.

5. Математика и шифры

Математику применяют и для шифрования и для расшифровки донесений разведчиков, сообщений дипломатов, военных приказов. Некоторые методы шифровки и расшифровки сообщений основаны на свойствах чисел, в частности на особой арифметике, которую называют арифметикой остатков.

6. Рассказы о геометрии

Еще в древности, изготавливая посуду и орудия труда, люди стали придавать им определенную форму. Так они познакомились со свойствами фигур. Науку о различных свойствах фигур назвали геометрией, ее применяли для измерения земельных участков. Сейчас геометрия нужна не только землемерам, но и инженерам, рабочим, изготавливающим сложные детали, морякам и космонавтам, ведущим свои корабли.

7. Математика у народов нашей Родины

Математикой занимались и древние армяне, и народы Средней Азии. На Руси занятия этой наукой начались почти тысячу лет тому назад. Первую печатную книгу по математике написал Леонтий Филиппович Магницкий почти 300 лет тому назад. В этой книге много занимательных задач. Когда-то их решал великий русский ученый Михаил Васильевич Ломоносов.

8. Как измеряли в древности

Без измерений нельзя ни сшить платье, ни выточить на токарном станке деталь, ни узнать, который Час.

В древности длины измеряли локтями, длиной ступни, длинами зерен, а массу — массами зерен, воды определенного объема и т.д. В каждой стране были свои единицы измерения.

9. Старые русские меры

В дореволюционных книгах часто встречаются такие единицы длины, как версты, сажени, аршины, футы. В торговле тогда применяли пуды, фунты, золотники. Об этих и других единицах измерения рассказывается в этой главе.

10. Метрическая система мер

Двести лет тому назад в разных странах применялись различные единицы измерения длин, площадей, масс и т. д. Эти единицы оказались не согласованными друг с другом. Во время Французской революции была разработана метрическая система мер, оказавшаяся самой простой и удобной. Во внедрении этой системы мер в практику большую роль сыграли русские ученые.

11 . Комбинации и расположения

Одно и то же задание можно выполнять разными способами. Раздел математики, называемый комбинаторикой, позволяет найти число способов выполнить задание.

С комбинаторикой связаны и задачи о вычерчивании фигур одним росчерком пера, магические квадраты, изучение лабиринтов. Простейшие комбинаторные задачи доступны пониманию школьников V—VI классов.

12. Машины-математики

Много веков мечтали люди создать машины, которые бы сами выполняли порученные им работы — ткали и пряли, ковали и вытачивали. Чтобы создать такие автоматы, понадобились машины, умеющие выполнять арифметические операции, понимать и перерабатывать различные сведения. Сейчас машины-математики применяются во всех областях человеческой деятельности.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Дорогие читатели!

Каждый день на уроках математики вы узнаете о свойствах чисел и фигур, решаете задачи, а вернувшись домой, повторяете изученный материал и делаете домашнее задание. Большим помощником у вас является учебник. О многом можно узнать из учебника: как складывать десятичные и обыкновенные дроби, как решать уравнения, как строить графики и т. д. #о про го, кем и когда были придуманы дроби, где впервые стали решать задачи с помощью уравнений, когда возникли отрицательные числа,— про все эго в учебнике сказано очень мало. Не говорится в учебнике и о том, как применяют математику в различных играх, как ее используют для тайнописи, какими удивительными свойствами обладают некоторые числа.

Обо всем этом и о многом другом вы узнаете, прочтя эту книгу. Она начинается с рассказа, как люди научились считать. Для этого вам придется побывать и на стойбищах первобытных людей, и на островах Океании, заглянуть в Древние Египет и Вавилон, о которых вам приходилось слышать на уроках истории. Узнаете вы и о Кирике Новгородце, написавшем первую книгу про математику в Древней Руси, а о Леонтии Магницком, «Арифметику» которого чуть ли не наизусть знал великий русский ученый Михаил Васильевич Ломоносов. А потом снова вернемся в Древний Вавилон и узнаем, как тогда взвешивали товары и измеряли длины. Будет рассказано и о том, какими мерами пользовались в Древней Руси, как и когда возникли те единицы измерения, которыми мы пользуемся сейчас. А в конце книги речь пойдет о том, как были построены машины, позволяющие делать миллионы арифметических операций в секунду, где ах яра-меняют и какое будущее их ожидает. Узнаете вы и о том, как и где возникла геометрия и почему так называется эта наука.

К каждой главе даны задачи. Они труднее тех задач, которые решают на уроках. И чтобы справиться с ними, надо проявить смекалку — обычных методов тут может и не хватить. А кроме смекалки, нужны настойчивость и целеустремленность — без этих качеств трудно заниматься любым делом, не только математикой.

Н. Я. Виленкин

В одной из белых клеток я поставил звездочку. Разместите в белых клетках еще 7 звездочек так, чтобы никакие 2 звездочки (из восьми) не находились на одной горизонтали, или вертикали, или какой-либо диагонали.

9. В квадрате, разделенном на 16 равных квадратов, расставьте по 4 раза каждую из четырех букв а, Ь, с и d таким образом, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и в каждой из двух диагоналей большого квадрата не было одинаковых букв.

10. Пригородная железная дорога разделена (по стоимости билетов) на 12 зон. Сколько видов билетов (различной стоимости) надо заготовить для этой железной дороги?

11. Продаются чайные чашки по 75 к., 70 к., 60 к., 50 к., 40 к. и блюдца по 58 к., 42 к., 32 к. Сколько различных приборов из одной чашки и одного блюдца можно составить? Какой набор будет самым дешевым и какой — самым дорогим? Могут ли оказаться два различных набора с одинаковой ценой?

12. В розыгрыше первенства по футболу участвуют 17 команд. Каждая команда с каждой из остальных должна сыграть два раза: один раз на своем поле, а другой — на чужом. Сколько матчей будет проведено в турнире?

13. Как из пяти обрывков цепи, в каждом из которых три кольца, сделать целую цепь, не употребляя дополнительных колец? Постарайтесь сделать это, произведя только шесть операций (расклейка кольца — операция, склейка кольца — операция).

14. Расставьте вдоль стен четырехугольной комнаты 10 стульев так, чтобы у каждой стены было поровну стульев.

15. Молоко находится в двух бидонах, причем в первом вдвое больше, чем во втором. Когда из каждого бидона отлили по 20 литров, то в первом осталось втрое больше, чем во втором. Сколько первоначально было молока в каждом бидоне?

В течение тысячелетий создавали народы легенды и мифы, отражая в них свои мечты и чаяния. Не умея летать как птицы или бежать быстрее лани, люди придумывали сказки о ковре-самолете или сапогах-скороходах. Страдая от голода, они мечтали о скатерти-самобранке. Но больше всего хотелось им облегчить свой тяжелый труд. Так возникали сказки о Емеле и его чудо-печке, Золушке и многие другие.

В древнейшей из дошедших до нас греческих поэм «Илиаде» Гомер описывает, как хромой бог огня и кузнечного дела Гефест делает целых двадцать треножников на колесах. Они должны сами отвозить его на Олимп и возвращать обратно. А передвигаться по своей мастерской ему помогали сделанные из золота прислужницы:

«... Прислужницы под руки взявши владыку,

Шли золотые, живым подобные девам прекрасным, Кои исполнены разумом, силу имеют и голос И которых бессмертные знанию дел научили».

А через два тысячелетия люди со страхом рассказывали, что ученый Альберт Великий, живший в XIII веке нашей эры, построил железного слугу, выполнявшего всю домашнюю работу. Они добавляли при этом, что слугу разбил пришедший к Альберту в гости ученик Фома Аквинский, принявший его за дьявольское создание. И еще через несколько столетий в предместьях Праги из уст в уста передавалась легенда о глиняном великане Големе. Он двигался и выполнял приказания, как только ему в рот вкладывали бумагу с заклинаниями. Великий немецкий поэт Вольфанг Гете написал стихотворение об ученике чародея, колдовством заставившем метлу носить воду в дом, да забывшем слова, которыми можно было ее остановить. А английская писательница Мери Шелли выпустила в свет роман о железном чудовище Франкенштейне, которое уничтожило своего создателя.

Но пока поэты писали стихи, а писатели — романы, ученые делали первые шаги по созданию автоматов. Еще в древности были изобретены автоматы, отпускавшие в храмах «святую» воду, когда в них опускали монетку. Другие автоматы открывали двери при приближении жреца и творили другие «чудеса», заставлявшие народ трепетать перед всемогуществом богов. Греческие мастера построили довольно сложные механические игрушки, в том числе механический театр, в котором разыгрывались целые представления.

Казалось, еще шаг — и древний мир вступит в эру промышленного применения самодвижущихся машин. Но этого не могло случиться. Ведь в те времена самая тяжелая работа выполнялась рабами. Поэтому у ученых не было даже желания строить машины, облегчавшие рабский труд.

Лишь в XVIII веке нашей эры начинают появляться машины, заменяющие ручной труд. С их помощью стали прясть шерсть и выделывать из нее ткани, обрабатывать дерево и металл. То, что веками делали человеческие руки, теперь выполняли железные машины, приводимые в движение сначала паром, а потом — электричеством. Но большинство из них умело делать лишь одну операцию. А чтобы вытачивать сложные детали на токарном станке, приходилось вмешиваться человеку.

Впрочем, в XIX веке француз Жаккард построил машину, умевшую делать шелковые ткани со сложным узором. Ею управлял не человек, а маленькая пластинка с пробитыми в ней отверстиями. Различные расположения отверстий указывали частям ткацкого станка, в каком порядке вплетать нити разных цветов. И если надо было заменить один узор другим, достаточно было взять другую пластинку.

Но все эти машины заменяли лишь руки человека. Ни читать, ни считать, ни играть в шахматы и другие игры они не умели. А ученые уже давно задумывались над тем, как и эту работу переложить на плечи механических устройств. Первый удачный шаг в создании «мыслящих машин» сделал в XVII веке французский философ и математик Блез Паскаль. Его отец был сборщиком налогов и должен был делать сложные вычисления. Для облегчения этой работы Паскаль придумал машину, которая выполняла сложение и вычитание многозначных чисел. В ней с помощью зубчатых колес осуществлялась передача чисел из одного разряда в другой. Позднее выяснилось, что подобные машины задумывали и другие ученые, но они не довели дело до конца.

Однако ни машина Паскаля, ни счетные механизмы, построенные потом другими учеными и изобретателями, не получили широкого распространения. Слишком неточны они были, так как слаба была техническая база того времени. Понадобились столетия, чтобы научиться нарезать зубчатые колеса нужного профиля, заменить введение чисел с помощью поворота штифтов нажатием клавиш. Лишь в восьмидесятых годах XIX века начинается широкое производство машин для сложения и вычитания чисел — суммирующих машин.

Но эти машины не могли удовлетворить нужды расчетчиков: ведь им приходилось не только складывать и вычитать числа, на также умножать и делить. Конечно, умножение сводится к последовательному сложению, но нужна была машина, которая могла бы быстро выполнять и эту операцию. Первую такую машину — арифмометр — создал в 1673 году немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Однако лишь после того, как живший в России инженер Однер придумал в конце XIX века зубчатое колесо с изменяющимся в ходе работы числом зубцов, удалось построить удачную модель арифмометра. Такая модель под названием «Феликс» выпускалась в Советском Союзе вплоть до конца пятидесятых годов нашего века. Многие важные расчеты во время войны делали еще на этих арифмометрах.

С трудом приходилось крутить ручку арифмометра. Поэтому были изобретены машины, в которых зубчатые колеса арифмометра крутил электромоторчик. Но принцип работы оставался прежним. Хотя эти машины работали и быстрее обычных арифмометров, их скорость также перестала удовлетворять вычислителей. Все сложнее и сложнее становились задачи, встававшие перед математиками, все более громоздкими становились необходимые для срочных работ вычисления. Без сложных вычислений нельзя было ни овладеть атомной энергией, ни выйти в космические просторы. Без таких расчетов нельзя уже было построить гидроэлектростанции или сконструировать новый тип самолета. Поэтому во многих странах ученые и инженеры стали задумываться над тем, как ускорить расчеты.

При работе на «Феликсе» после того, как заканчивалось одно вычисление, надо было вручную вводить числа для новых подсчетов. А полученный ранее результат необходимо было записать, так как хранить их в машине было негде (лишь некоторые машины могли «запомнить» одно число). Чтобы ускорить расчеты, надо было возложить все эти обязанности на саму машину, улучшить ее память.

Идеи о том, как решить эту проблему, возникли еще в середине XIX века. Английский математик Чарльз Беббидж пытался построить такую машину для сложных математических расчетов, чтобы она, выполнив одно действие, сама принималась бы за следующее. Беббидж придумал много оригинальных устройств, но сделать работающую машину ему не удалось, так как уровень техники был тогда еще низок. Впрочем, он построил машину, которая с успехом сражалась с людьми в игре «Ним», но это было не то, чего ему хотелось.

Управление вычислениями в машине Беббиджа выполнялось с помощью картонных карточек, в которых были пробиты отверстия (такие карточки теперь называют перфокартами). Различные комбинации отверстий (а количество таких комбинаций поистине неисчерпаемо) давали указания, какие движения отдельные части машин должны делать на следующем шагу. Беббидж составлял программы вычислений. В этой работе ему помогала леди Ада Лавлейс — дочь английского поэта Байрона.

Труды Беббиджа не пропали. Когда через много лет стали строить быстродействующие вычислительные машины, многое в них оказалось сделано по его идеям.

Лишь в сороковых годах нашего века удалось построить первую машину, выполнявшую сложные расчеты без вмешательства человека. Как и в обычных арифмометрах, числа в этой машине изображались различными положениями десятизубых колес. Управление же работой машины совершало электричество. Такая машина могла заменить двадцать человек, работающих с ручными счетными машинами. Она умножала два двадцати трех значных числа за 6 секунд, делила их за 15 секунд, а складывала и вычитала всего за треть секунды. Еще быстрее работала построенная позднее машина, в которой зубчатые колеса были заменены специальными электромеханическими устройствами — реле. В ней умножение выполнялось уже за четверть секунды.

И все же этого было недостаточно. Чтобы еще скорее считали машины, нужно было полностью отказаться от механических частей: слишком медленно они включали и выключали электричество. Новый этап был связан со словом «электроника». Отцы и матери читателей этой книги помнят, вероятно, ламповые радиоприемники. Основными рабочими частями этих радиоприемников были электронные лампы. С их помощью сделали особое устройство — триггер. Время переключения триггера в миллион раз меньше, чем время переключения механического переключателя. Поэтому электронные лампы и стали основой первых электронных вычислительных машин. В первой из таких машин было 18 ООО электронных ламп, а электроэнергии она потребовала столько, что ее хватило бы на небольшой завод. Но зато теперь умножение совершалось всего за 0,003 секунды, а сложение — за 0,0002 секунды. Так началась эпоха электронных вычислительных машин, или, как их короче называют, ЭВМ. В нашей стране первая ЭВМ была построена в 1951 году под руководством Сергея Александровича Лебедева. Сейчас в Советском Союзе выпускаются ЭВМ различных видов, в том числе делающие миллиарды операций в секунду.

Когда были созданы первые ЭВМ, многие ученые думали, что они за короткое время перерешают все задачи. Говорили даже, что таких машин понадобится всего несколько десятков, а то и того меньше. Но, как это часто бывает, практика посрамила скороспелые суждения. Понадобились машины, которые считали бы куда быстрее, чем первые ЭВМ, и этих машин

оказалось нужно не десятки и не сотни, а миллионы. Если первые ЭВМ делали в секунду 5 тысяч умножений и делений, то самые быстродействующие современные машины делают уже несколько миллиардов таких операций в секунду! Все человечество вместе не угонится за одной такой машиной. В огромных размерах выросло и количество чисел, которые может запомнить машина. Теперь в нее можно ввести содержание целой библиотеки. И как снежный ком стало расти число областей, в которых можно применять ЭВМ.

Оказалось, что ЭВМ можно использовать не только для вычислений. Более 150 лет тому назад придумали, как записывать буквы с помощью точек и тире. Такую запись использовали при телеграфировании и радиопередачах. Во скольких фильмах о разведчиках мы видели радиста, передающего морзянкой сообщение в Центр! А морзянка (или, более уважительно, азбука Морзе) — это и есть запись букв точками и тире.

Но вместо точки можно поставить цифру 0, вместо тире — цифру 1, и слово окажется записанным с помощью двух цифр. Все многообразие человеческих знаний, все богатство мировой литературы и науки можно записать последовательностями нулей и единиц. Конечно, любая такая последовательность является числом в двоичной системе. Например, 101 — это пять, а 1001 — это девять. Но можно читать их и как буквы. Оставалось научить машину «понимать» смысл слов, составленных из этих букв.

Если сказать человеку, понимающему русский язык, «Стой!», он остановится. Его мозг получил указание, что надо делать, и отдал соответствующие приказания мышцам, с помощью которых осуществляются движения ног. Понять смысл слова «Стой!» машина, конечно, не может. Но можно так запрограммировать указание, что, получив его в виде нескольких нулей и единиц, машина выработает приказ об остановке и пошлет его (в таком же виде) управляющему устройству. Иными словами, даже не понимая смысла полученного сообщения, она может переработать его и выдать соответствующий приказ.

В науке обычно говорят не «сообщение», а «информация». Действия, которые совершает ЭВМ, получив сообщение и выработав на этой основе приказ, называют «переработка информации». Таким образом, ЭВМ оказалась способной не только выполнять сложнейшие вычисления, но и перерабатывать информацию. Разумеется, выполнение арифметических действий тоже является переработкой информации. Машина получает, например, числа 25 и 98 и указание, что эти числа надо сложить. Переработав эту информацию, она выдает ответ 123.

Однако переработка арифметической информации оказалась далеко не самым важным и не самым интересным делом для машин. Они способны выполнять гораздо более сложные задания. При составлении плана работы завода в первую очередь необходимо знать, какую продукцию должен будет выпускать завод, какой на эту продукцию спрос, какое нужно для производства сырье и сколько его пойдет на изготовление одного изделия, сколько рабочих должно быть занято на этом производстве и многое другое. Получить эту информацию помогут человеку ЭВМ. «Запомнив» все необходимые данные, обработав их по определенной программе, ЭВМ выдает необходимые для составления плана указания.

Справляются ЭВМ и с такой работой, как продажа железнодорожных билетов. Ведь кассир должен помнить, на какие поезда и какие билеты уже проданы, какие билеты надо забронировать, знать цену билетов до любого города и т. д. Запомнить все это человеку невозможно; поэтому приходится все время заглядывать в справочники, разные таблицы, а это замедляет работу. В результате возникают длинные очереди, а поезда уходят со свободными местами. И здесь на помощь пришла ЭВМ. В ее колоссальной памяти благополучно разместились все необходимые сведения не только по одному направлению, но и по всем дорогам. И на запрос кассира она тут же отвечает, есть ли нужные места в том или ином поезде, а если надо, может предложить путь с пересадками.

ЭВМ научились выполнять и то, что всегда было делом только людей. Например, они играют в шахматы, шашки и домино.

Сейчас сравнительно небольшая ЭВМ играет в силу хорошего перворазрядника, а в сеансах одновременной игры обыгрывает даже гроссмейстеров. А большая машина играет уже в силу кандидата в мастера. Конечно, можно сказать, что есть люди, которые играют лучше машины. Но ведь есть и множество людей, играющих куда хуже, чем она!

Одной из трудных работ для человека всегда было редактирование написанного текста. С этим хорошо знакомы школьники, пишущие изложение или сочинение. Казалось бы, все хорошо, но вдруг в одном месте замечена грамматическая

ошибка, в другом — неудачный стилистический оборот, а в третьем — неправильная мысль или цитата. Конечно, все это можно исправить, но ведь какая же будет грязь! Наверняка учитель снизит за нее отметку. Такие же трудности возникают и у автора и редактора книги.

ЭВМ облегчила труд авторов книг, журналистов и редакторов. Текст можно отпечатать на пишущей машинке, подсоединенной к ЭВМ, а потом затребовать его на экран ЭВМ (его называют дисплеем). Если надо что-то исправить, достаточно ввести соответствующие команды, а машина сама все сделает и покажет результат на дисплее. При этом не приходится тратить деньги ни на набор, ни на исправление ошибок. С помощью машины можно выбрать самый подходящий для книги шрифт, красиво расположить текст и иллюстрации.

Обучили машину и делать переводы с одного языка на другой. Сейчас машины научились исследовать данные о больных и на основании этих данных определять, чем они больны. Конечно, выдающийся медик пока что делает это лучше, чем ЭВМ. Но как важна возможность для любого врача, работающего вдали от больших городов, быстро получить хороший совет!

Трудно найти область деятельности, в которой не применялась бы ЭВМ. Они помогают физику проводить опыты, химику подбирать наилучшие условия для производства тех или иных веществ, авиаконструктору проектировать новые виды самолетов, оператору атомной электростанции следить за правильным ходом работы. ЭВМ следят за полетом космических аппаратов, давая им указания, как лучше осуществить стыковку или совершить посадку; они наблюдают за работой автоматизированных цехов и выполняют еще много различных дел.

Нашли свое место ЭВМ и на производстве. Они ведут учет находящихся на заводе материалов; сообщают, когда тех или иных запасов становится мало; составляют расписание операций, позволяющее быстрее всего выполнить задание; подсчитывают расходы и т. д. Надели ЭВМ и рабочую спецовку. Появились роботы, которые по заданной программе обрабатывают детали, убирают изготовленную деталь на место и берутся за следующую. Стало возможно оставить на ночь робота в цеху с запасом заготовок, а утром направить на склад изготовленные им детали.

ЭВМ пришли на помощь и конструкторам новых машин. По заданной программе они показывают на экране разные варианты машин, выясняют, как они будут работать, производят необходимые расчеты. Человек же составляет эти программы и выбирает из всех вариантов наилучший.

Очень важным участком работы ЭВМ стало математическое моделирование. Перед тем как запустить корабль с космонавтами на борту, надо заранее знать, благополучной ли будет посадка. С помощью опыта это установить просто невозможно. Вот в этих и подобных случаях опыты заменяют расчетами. Разумеется, приходится очень точно учитывать все, что влияет на посадку. Условия записываются с помощью математических формул. Получается модель, но сделанная не из железа или пластмассы, как модель самолета, а из математических формул. ЭВМ исследует эти формулы и на их основании дает ответ, как будет протекать посадка космического корабля, работа электростанции и т. д.

Но математические модели можно делать не только для полета космического корабля или работы электростанции. Сложные математические модели строят ученые, изучающие живую природу. С их помощью они узнают, какое влияние окажет охота на тех или иных животных, как повлияет вылов того или иного вида рыб на живой мир океана и многое иное. ЭВМ применяют для разгадки древних языков, для «сочинения» музыки и даже делали попытку научить их слагать стихи. Но если поэтов из ЭВМ пока не получилось, то исследовать поэзию они могут. Например, с помощью ЭВМ установили, что «Илиаду» и «Одиссею» действительно написал один автор.

Рассказать, как работает ЭВМ, было бы сложно, потому что для этого нужны знания, которые вы получите лишь в старших классах. Но мы попытаемся дать представление о главном — как машины выполняют те или иные операции по заданной программе, то есть в соответствии с определенными правилами.

В первую очередь надо сказать, что машины могут понять далеко не всякую информацию.

Например, если мы предложим машине из двух картин выбрать лучше нарисованную, она ничем не сможет нам помочь, поскольку слова «лучше нарисованная картина» точного смысла не имеют. Одни больше любят картины Репина, другие — Рембрандта, а третьим больше всего нравятся творения Рафаэля. Не сможет машина и выбрать из класса ученика, лучше всех занимающегося математикой. Ведь одному ученику больше нравится делать расчеты, другому — преобразовывать геометрические фигуры, третьему — решать трудные головоломки. Все это входит в занятия математикой, и машине трудно разобраться в таких тонкостях. А вот проверить контрольную работу и выставить на основании этого отметки машина сможет. Она заметит все ошибки в вычислениях, все неправильные рассуждения и т. д. Надо только правильно для нее составить программу.

Необходима программа и для того, чтобы машина сделала вычисления. Пусть, например, требуется найти наибольший общий делитель двух чисел а и Ь. Мы уже знаем, что для этого есть два пути — разложение на простые множители и последовательное вычитание (см. с. 96). Научить машину разлагать числа на простые множители довольно трудно: для этого надо, чтобы она либо содержала в своей памяти большую таблицу простых чисел, либо умела просеивать числа через решето Эратосфена (см. с. 94). Поэтому выберем способ вычитания.

Мы помним, что для этого надо все время из большего числа вычитать меньшее до тех пор, пока оба числа не сравняются. Полученные равные числа и дают искомый общий делитель. Ну что же, теперь ясно, какие указания должна содержать наша программа. На каждом шагу надо смотреть, не сравнялись ли вычитаемое и разность. Как только они сравняются, дадим команду печатать ответ. А если эти два числа различны, надо продолжать вычитания. Команды программы таковы:

1. Записать число а в ячейку с номером 1, а число b в ячейку с номером 2.

2. Сравнить числа в ячейках 1 и 2 и если они равны, напечатать число из ячейки 1, после чего перейти к команде 5.

3. Если числа неравны, то вычесть из большего числа меньшее, после чего записать разность в ячейку, где было большее число (прежняя запись в ячейке стирается).

4. Выполнить команду 2.

5. Остановиться.

Обратите внимание на команду 4. Она все время возвращает нас к команде 2 и тем самым обеспечивает, что вычитания не прекратятся, пока разность и вычитаемое не сравняются. При этом команда 2 содержит развилку: машина будет действовать одним образом, если вычитаемое и разность уже сравнялись, и иным образом, если это равенство еще не наступило. Здесь заложены две главные идеи составления программ — систематическое повторение одной и той же операции (цикл) и условный переход, то есть выполнение той или иной команды в зависимости от того или иного условия.

Разумеется, для машин команды пишут не так, как их писали мы. Ведь мы пользовались обычным русским языком. Для машин разработаны специальные языки, которые они понимают и выполняют написанные на этих языках программы. Может случиться, что в каком-нибудь из языков есть команда «найти общий наибольший делитель чисел а и b». Тогда не надо составлять длинной программы, а достаточно просто отдать эту команду. Чем больше возможностей в языке, тем короче получаются программы.

В современных машинах есть и команды выполнения тех или иных рисунков. На заставке к пункту показан рисунок, сделанный машиной. Машина может по заданной программе и нескольким намеченным человеком линиям сделать развернутый чертеж, а потом дать команду станку изготовить по этому чертежу деталь. Разумеется, чтобы использовать все эти возможности, надо быть знакомым с основами программирования.

Первые ЭВМ были построены всего 40 лет назад. Но за этот короткий срок сменилось уже четыре поколения таких машин.

Мы уже говорили, что электроэнергии, которую потребляла первая ЭВМ, вполне хватило бы на небольшой завод. А ведь она делала только 5 тысяч операций в секунду. Сколько энергии понадобилось бы современной ЭВМ, делающей миллиарды операций в секунду, и какие она имела бы размеры, если бы ничего не менялось в устройстве таких машин! Понадобилась бы целая гидроэлектростанция только на одну машину.

Но конечно, дело пошло совсем иначе. Сейчас вся радиотехника перешла на транзисторы — маленькие приборы, полностью заменяющие радиолампы. Эти приборы потребляют ничтожную долю энергии, нужной для радиоламп. В 1956 году уже была построена первая ЭВМ на транзисторах. Такие ЭВМ были куда надежнее, чем их ламповые предки, работали куда быстрее, потребляли меньше энергии. Вскоре быстродействие достигло миллионов операций в секунду.

И все же размеры ЭВМ оставались слишком большими. Был уже космический век, а даже транзисторную ЭВМ еще нельзя было поставить на борт межпланетного корабля. Чтобы сделать бортовую ЭВМ, нужно было во много раз уменьшить размеры входящих в нее элементов. Но соединять слишком маленькие элементы дело очень трудное: к каждому транзистору надо припаять три вывода. А те из вас, кто увлекается радиотехникой, знают, что, кроме транзисторов, есть еще много других элементов — сопротивлений, конденсаторов и т. д. Но ученые сумели создать маленькие кристаллики (интегральные схемы), выполняющие работу, для которой раньше требовались десятки и сотни радиоламп, конденсаторов и т. д.

Сейчас основным материалом для изготовления ЭВМ является кремний. Из него делают тончайшие пленки, напыляют на них особые вещества, превращающие пленку в сложную электронную схему, соединяют эти пленки в один большой

кристалл и получают то, что называют большой интегральной схемой. Каждый кубический миллиметр такой схемы содержит миллионы транзисторов и других электронных элементов.

С помощью такого кристалла можно управлять и работой машины, и движением ракеты, и многими другими вещами. Управляющие работой различных устройств кристаллы называют микропроцессорами.

В микрокалькуляторах находится один кристалл кремния, с помощью которого выполняются все вычисления. Сейчас есть карманные микрокалькуляторы, которые выполняют вычисления по заданной программе, а еще недавно на это были способны только ЭВМ, занимавшие несколько шкафов.

Каждый год приносит новые успехи в уменьшении размеров электронных приборов. Вместе с ними уменьшаются размеры ЭВМ. И теперь уже существуют ЭВМ размером с небольшую пишущую машинку, которые работают гораздо быстрее, чем первые ламповые ЭВМ. Недалеко то время, когда во многих домах рядом с телевизором и магнитофоном будут стоять домашние ЭВМ. Работа им найдется. Будут построены библиотеки, с которыми можно соединить такую ЭВМ. Вместо того чтобы менять каждый день книги, можно будет нажать кнопку, тем самым передать в библиотеку заказ и читать книгу на дисплее. ЭВМ будет хранить все нужные сведения, заменяя записную книжку, дневник и картотеку. С помощью ЭВМ можно будет вести долгие и интересные игры. ЭВМ окажется также хорошим тренажером и для тех, кто учится водить машину или шить на швейной машинке.

Большую роль будет играть ЭВМ в школе. Если сейчас учитель не может проследить за занятиями каждого ученика в классе, то ЭВМ успешно справится-ч: этим. По особой программе она сумеет после уроков повторить с учеником не понятый им вопрос, помочь в решении трудной задачи, проверить знания. На дисплее можно будет показать сложный опыт, если для него не будет условий в школьном кабинете. К ЭВМ сможет обратиться школьник, забывший, например, в каком году была Куликовская битва или каково расстояние от Земли до Луны.

Но чтобы общаться с ЭВМ, нужно много знать. В старших классах вы будете изучать курс «Основы информатики и вычислительной техники», где познакомитесь с основами программирования на ЭВМ. Желаем вам успехов в овладении этим искусством, которое академик Андрей Петрович Ершов назвал второй грамотностью.

1. Два путешественника подошли к реке и хотят через нее переправиться, но нет ни моста, ни брода. Увидели путешественники, что по реке в лодке катаются два мальчика, но лодка такая маленькая, что в ней помещается или один взрослый, или два мальчика. Как переправиться через реку в этой лодке?

2. Небольшой воинский отряд подошел к реке, через которую необходимо было переправиться. Моста нет, а река глубокая. По реке катаются на лодке два мальчика. Лодка маленькая, в ней может поместиться только или один взрослый, или два мальчика. Как на этой лодке переправиться на другой берег отряду?

3. Одному человеку нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. В лодке может поместиться только человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека никто никого не ест. Как человек перевез свой груз?

4. Известно, что А. Н. Петров, Б. М. Петров, Г. К. Петров, К. М. Петров, К. Т. Петров, М. М. Петров, М. Н. Петров, Н. М. Петров, Н. К. Петров, Н. Т. Петров, Т. М. Петров являются представителями одного рода. Составьте схему родства Петровых, если известно, что у каждого отца было по два сына, внуков у основателя рода четыре, а у его сыновей — по два.

5. Поблизости один от другого расположены два населенных пункта А и В. Все жители А говорят только правду, а жители В все лгут. Жители А и В посещают друг друга. Ты находишься в каком-то из этих пунктов. Какой вопрос (только один) ты можешь задать первому встретившемуся тебе в этом пункте человеку, чтобы по ответу на этот вопрос ты мог установить, А это или В?

6. Определите, по какому закону написаны пары строк, и продолжите их: (...)

7. Угадайте закон, по которому составлена каждая таблица, и запишите в пустые клетки недостающие числа:

2 4 7 6 5

3 2 1 3 4

5 6 8 7 5

2 3 1 4 2

7 4 2 3 6

9 7 3 5 6

8. Пять человек живут в одном городе. Их имена: Леонид, Владимир, Николай, Олег и Петр. Их фамилии: Степанов, Борисов, Козин, Дроздов и Истомин. Борисов знаком только с двумя, а с Козиным знаком только один человек. Петр знаком со всеми, кроме одного, а Леонид знает только одного из всех. Николай и Истомин знают друг друга с детства. Владимир, Николай и Олег знакомы между собой. Дроздов и Владимир незнакомы. Олег, Николай и Борисов часто вместе ходят в кино. Назовите имена и фамилии каждого.

ПОСЛЕСЛОВИЕ

Вот и закончилось наше путешествие в мире математики. Многое вы узнали — как зародилась эта наука и как она развивалась, какие трудности встречались на ее пути и как ученые прилагали ее к практике. Но все это только начало знакомства с математикой. Ведь арифметика и начальная геометрия составляют лишь самые первые этажи величественного здания математической науки. В дальнейшем вам предстоит познакомиться с алгеброй, изучить сложные геометрические теоремы, а потом узнать, что такое производная и интеграл. Все это люди придумали не из праздного любопытства. С помощью математики они познают окружающий их мир., получают возможность строить все более сложные машины, разрабатывать планы развития народного хозяйства.

Некоторые из вас выберут математику делом своей жизни. Им придется решать задачи, которые никто еще не решал, открывать новые пути в науке, искать новые области ее приложения. Для этого им понадобится трудолюбие, настойчивость, упорство в достижении поставленных целей. «Бороться и искать, найти и не сдаваться» — эти слова вдохновляют не только полярных исследователей, но и ученых, идеи которых рождаются за письменным столом. Без открытий математиков не взлетали бы ракеты, не работали бы атомные электростанции, не возник бы окружающий нас мир техники.

Всему миру известны такие замечательные русские ученые, как Сергей Павлович Королев и.Игорь Васильевич Курчатов. Первый из них при жизни именовался в газетах Главным конструктором космических кораблей, а второй был творцом советской атомной техники. Но рядом с ними был всегда третий ученый, которого в те годы называли Главным теоретиком, — Мстислав Всеволодович Келдыш. Долгие годы занимал он пост Президента Академии наук СССР. И в то же время он руководил всем развитием нужной для этих работ математики, обеспечивал выполнение всех расчетов, необходимых и для успешного полета космического корабля, и для безаварийной работы атомной электростанции.

Но путь к вершинам математики начинается в школе. Только хорошо усвоив школьный курс математики, научившись решать самые сложные школьные задачи, можно рассчитывать на успехи в математическом творчестве. Самая длинная дорога начинается с первого шага! Так делайте же эти шаги — ив путь, далекий и сияющий путь математического творчества!

Наверное, прочтя эту книгу, вы захотите больше узнать о математике. Конечно, многое расскажут вам учебники следующих классов, но кроме них полезно прочитать книги:

Депман И. Я. Мир чисел. — 4-е изд. — Д.: Детская литература, 1982.

Депман И. Я Рассказы о решении задач. — 2-е изд. — Д.: Детская литература, 1964.

Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. — 4-е изд. — М.: Наука, 1984.

Кордемский Б. А. Математическая смекалка. — 8-е изд. — М.: Наука, 1965.

Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел. — М.: Просвещение, 1986.

Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. — 5-е изд. — М.: Наука, 1986.

Перельман Я. И. Живая математика. Математические рассказы и головоломки. — 11-е изд. — М.: Наука, 1978.

Романовский Б. В. С метром по векам. — Д.: Детская литература, 1985.