Задачи по математике для внеклассных занятий 9-10 классы (Сивашинский) 1968 год - старые учебники

ПРЕДИСЛОВИЕ

Книга предназначена, в первую очередь, для учителей, не имеющих достаточного опыта кружковой работы, поэтому в ней произведена дозировка материала для каждого занятия и приведены решения задач (без сомнения, руководители кружков могут найти решения задач, отличные от авторских).

Данное пособие не является тематическим сборником задач по математике, хотя, где это возможно, сохранена преемственность между материалом занятий под руководством учителя и домашними заданиями, а также между двумя последовательными занятиями.

Каждое занятие содержит задачи из различных разделов математики. При составлении задач для каждого занятия и домашнего задания автор стремился распределить материал так, чтобы основные идеи математики нашли тематическое отражение на протяжении длительного срока работы кружка, так как удлинение пе-риода восприятия и изучения материала приводит к более глубокому усвоению его. Эффективность работы кружков при таком распределении материала подтверждается длительной практикой. Кроме того, известно, что часто лучшие учащиеся имеют склонность к определенным разделам математики, не уделяя достаточного внимания другим. И это также побудило автора, в целях уст ранения такого явления, брать материал из различных разделов математики при составлении задач для каждого занятия, так как работа кружка не преследует преждевременной и совершенно нереальной цели—‘Специализации, а предназначена для поднятия математической культуры во всех звеньях элементарной математики.

Наконец, несколько слов об организационной работе математического кружка. . 1

Подразумевается, что занятия проводятся 2 раза в месяц по 4 часа в течение 9 месяцев в каждом учебном году (16 основных занятий и 3—4 внеочередных). Этот режим работы в особенности оправдывается условиями работы школ, расположенных вне городов. Систематическая методическая помощь этим школам может быть лучше организована при занятиях 2 раза в месяц, а не еженедельно.

Если же по условиям работы целесообразно проводить занятия еженедельно по 2 часа, то руководитель кружка может самостоятельно дозировать материал четырехчасового занятия на каждую неделю в отдельности.

Целесообразно несколько раз в году проводить внеочередные занятия для разбора задач, вызвавших наибольшие трудности у кружковцев. Опыт показал, что достаточно 3—4 таких занятий в году.

Учащиеся-кружковцы заранее должны быть осведомлены о плане проведения очередных и внеочередных занятий. Для экономии времени целесообразно в начале занятия вручать каждому участнику кружка письменный текст условий задач очередного занятия и домашнего задания. Техническая работа по изготовлению этих материалов может быть выполнена самими кружковцами.

На каждом занятии все кружковцы работают самостоятельно. Руководитель кружка дает лишь индивидуальные указания отдельным кружковцам, но отнюдь не решает за них задач, а также дает указания для решения наиболее трудных задач, предложенных для домашней работы.

Считаю своим приятным долгом выразить признательность титульному редактору В. Г. Болтянскому и рецензенту Т. К. Шаба- шову за полезные советы, способствовавшие улучшению качества книги.

И. X. Сивашинский

ЗАНЯТИЕ 1

1. Хотят поскорее поджарить три ломтика булки. На сковороде умещаются лишь два ломтика, причем на поджаривание одной стороны ломтика затрачивается одна минута. За какое наименьшее число минут можно поджарить с обеих сторон 3 ломтика?

2. Упростить выражение:

А= (|Л9+4К5 + V2 4- Кб) • V2 —/б).

3. При каких действительных х, у, г имеет место равенство 4х2 + 9у2 + 16г2 — 4х — бу — 8г + 3 = О?

4. Доказать, что если Ь(а + с) = 2ас, причем а #= b =£ с, . , а 2.1.1 Ь =# О, то — = .

b Ь — а b — с

5. Доказать, что п5 — п делится на 30 при любом целом п.

6. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса CD треугольника, где D — точка на боковой стороне АВ. Из точки D проведены прямые DF J_ DC и DE || АС, причем точка F принадлежит основанию треугольника или его продолжению, а Е лежит на ВС. Биссектриса угла В пересекает прямую DE в точке М. Доказать, что DM = —.

Задание 1

7. Двенадцать человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина несет

по 2 хлеба, женщина — по — хлеба, ребенок — по — хлеба. Сколь- 2 4

ко было мужчин, сколько женщин и сколько детей?

8. Упростить выражение:

9. Найти такую дробь, которая не изменится от прибавления к числителю 30, а к знаменателю 40.

10. Решить уравнение:

х4 — 5х3 + Юх2 — Юх + 4 = 0.

11. При каких действительных х и у имеет место равенство: х2 + 5у2 + 4ху + 2у + 1 =0.

12. Найти зависимость между a, b, с, если существуют такие числа х, у, г, что а == х + у, b = х2 + у2, с = х3 + у3.

13. Доказать, что если b = , х= , у = —— ,

а-\- с b 4- с * c-j- а

14. Доказать, что квадрат любого простого числа, большего 3, при делении на 24 дает остаток, равный единице.

15. Доказать, что если трехзначное число А = xyz, где х, у, г — цифры соответствующих разрядов, делится на 37, то и числа В = yzx С = гху тоже делятся на 37.

16. Доказать, что при любом целом положительном п велп-

ап — bn 1 4- /5 , 1 — /5

чина ап = —-, где а = ——— , b = — , есть число це-

]Л5 2 2

лое полож ительное.

17. Доказать, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма в пересечении образуют прямоугольник, диагонали которого равны разности неравных сторон параллелограмма.

18. Доказать, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит ближе к вершине наибольшего угла треугольника.

ЗАНЯТИЕ 2

19. Трава на всем лугу растет одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров поели бы ее за 24 дня, а 30 коров — за 60 дней. Сколько коров поели бы всю траву за 96 дней? (Задача Ньютона.)

20. Доказать, что сумма п3 + Зм2 + 5п + 3 при любом целом п делится на 3.

21. Решить уравнение:

4/2 х3— 22х2 + 17/2 х— 6 = 0.

22. Доказать, что если

а(у 4- z) = b(z 4-х) = с(х 4- у), где а, Ь, с — попарно разлпч- у — г г — х х—у

ные и отличные от нуля числа, то — =  =  — .

а (Ь — с) b (с — а) с (а — Ь)

23. Произведение числа 21 на некоторое четырехзначное число

—точный куб. Найти множитель

24. Если две окружности касаются, то любая секущая, проведенная через точку касания, отсекает от окружностей дуги, имеющие одинаковое измерение (градусное или радианное).

Задание 2

25. Косцы должны были скосить два луга. С утра они все вместе стали косить большой луг. По прошествии половины рабочего дня косцы разделились: половина косцов осталась на большом лугу и к концу дня докосила его. Другая половина перешла косить другой луг, вдвое меньше первого, но не успела к концу дня за-кончить косьбу. На другой день на этот луг вышел один косец и в течение дня докосил его. Сколько всего было косцов? (Задача Л. Толстого.)

26. Инженер ежедневно приезжает поездом на вокзал в 8 час. утра. Точно в 8 час. утра к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит инженера на завод. Однажды инженер приехал на вокзал в 7 час. утра и пошел навстречу автомобилю. Встретив машину, он сел в нее и приехал на завод на 20 минут раньше, чем обычно. Определить показание часов в момент встречи инженера с автомобилем.

27. Показать, что сумма кубов трех последовательных чисел кратна 9.

28. Доказать, что если в шестизначном числе первая и четвертая цифры равны, вторая и пятая равны, а также третья и шестая равны, то это число кратно 7; 11 и 13.

29. При каких действительных значениях х и у имеет место равенство:

х2 * — 2 У 2х-\- у — 2 Vy + 3 = 0?

30. Найти все корни уравнения:

. х4 — 12х2 + 16 V2 х— 12 - 0-

31. Найти значение выражения:

А2 —в

при

32. Доказать, что если г = — —, где а ¥= 0, =/= 0,

а b

а 4“ b Ф 0, а — b =# 0, то —! 1 ?— = ——р — .

z— a z— b а b

33. Доказать, что если при любых к и у справедливо равенство а (Ь — с) х2 -|- b (с — а) Ху 4- с (а — Ь)у2 — А(х — у)2, где А, а, с — числовые коэффициенты, отличные от нуля, то

2 L = _L__L

a b b с

34. Вместо звездочек поставить нужные «цифры в равенстве: ** — * = 1

35. В треугольнике АВС высота, опущенная из вершины Л, равна половине биссектрисы внешнего угла при той же вершине. Доказать, что Z_ В — С = — •

3

36. Доказать, что если между сторонами а, 6, с треугольника АВС имеет место зависимость л2 = b2 + Ьс, то углы А и В, противолежащие сторонам а и Ь, удовлетворяют равенству Z. А = 2 Z-B.

ЗАНЯТИЕ 3

37. Имеются 77 шариков одного и того же радиуса, один из них легче всех остальных. Найти его не более чем четырьмя взвешиваниями на чашечных весах (без гирь).

38. Колонна войск протяжением d км движется по шоссе маршем со скоростью v км/ч. Конный вестовой выезжает из конца колонны в ее начало, передает приказание и тотчас же отправляется обратно. На проезд туда и обратно вестовой тратит — ч. Определить

60

скорость вестового, если она была на всем пути одинакова. Скорость колонны во время движения вестового постоянна.

39. Найти действительные корни уравнения:

(1 + к 4- х2)2 = 5-^ (1 4- х2 + х4), \а | 2.

а — 1

40. Доказать, что выражение л3 4-Зи2— л— 3 делится на 48 при любом нечетном л.

41. Доказать, что если между каждыми двумя цифрами числа 1331 вставить по равному числу нулей, то получится точный куб.

42. Доказать, что если CCi — высота треугольника АВС, точка Н — ортоцентр, то имеет место равенство:

ССЛ • HCi = ACi • Cfi.

Задание 3

43. Среди 8 одинаковых шариков одного и того же радиуса имеется один, отличающийся от всех остальных по весу. Найти его не более чем тремя взвешиваниями на чашечных весах (без гирь).

44. Можно ли ходом коня попасть из левой нижней клетки шахматной доски в правую верхнюю клетку, побывав при этом на каждой клетке доски ровно один раз?

45. Доказать, что если а 4- с = 2Ь и 2bd = c(b 4- d), причем fe #= 0, /#= О, то - = -.

b d

46. Автомобиль прошел расстояние от Л до В со скоростью р, = 40км/ч и обратно со скоростью v2 = 30 км!ч. Какова средняя скорость рейса?

47. Решить уравнение:

48. Найти действительные корни уравнения: (я — 2,5)4 + (х— 1,5)4 = 1.

49. Доказать, что при любом целом неотрицательном п выражение

7 • 52л +12 • 6я делится на 19.

50. Доказать, что при любом целом неотрицательном п выражение вида

62л + 19л - 2Л+Х

делится на 17.

51. Сколькими нулями оканчивается число 49!?

52. Доказать, что не существует натуральных чисел, которые от перестановки начальной и конечной цифр (в обычной десятичной записи) увеличивались бы в 5 раз.

53. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключающих, и больше разности между этой полусуммой и половиной стороны, к которой проведена медиана.

54. Доказать, что если в произвольном четырехугольнике ABCD провести внутренние биссектрисы, то четыре точки пересечения биссектрис углов Л и С с биссектрисами углов В и D лежат на одной окружности.

ЗАНЯТИЕ 4

55. Утром в магазин привезли 6 бидонов молока, в которых было 15, 16, 18, 19, 20, 31л. До обеденного перерыва было полностью продано молоко из трех бидонов, а к закрытию магазина продали целиком молоко еще из двух бидонов. Оказалось, что утром молока было продано вдвое больше, чем после обеда. Установить, из каких бидонов было продано молоко до обеденного перерыва.

56. Переход из порта А в порт В длится ровно 12 суток. Каждый полдень изЛвВиизВвЛ отходит по пароходу. Сколько пароходов встретит в открытом море каждый из этих пароходов?

57. Найти все действительные решения уравнения:

х+1 + 4(у- 1) в 10

/7 - 1)»

58. Определить, при каких натуральных п дробь .

л3 — пг 2

п — 1

есть целое число.

59. Доказать, что при простом натуральном и 5 число п* — 1 делится на 24.

60. Из точек А и В в одну сторону от прямой АВ проведены два отрезка AAt = а и BBt = bt перпендикулярные к этой прямой. Доказать, что при постоянных а и b точка пересеченйя прямых ABi и А\В будет находиться на одном и том же расстоянии от прямой АВ независимо от положения точек Я и В.

Задание 4

61. Три сестры пришли на рынок с цыплятами. Одна принесла для продажи 10 цыплят, другая 16, третья 26. До полудня они продали часть своих цыплят по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все цыплята будут проданы, они понизили цену. В результате они продали цыплят с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 руб. По какой цене продавали они цыплят до и после полудня?

62. Некто 2V, который плохо играет в шахматы, заявил, что он берется играть в шахматы на двух досках одновременно против Ботвинника и Смыслова. Причем один из них должен играть белыми, а другой черными. При этом он заявляет, что в этой игре он или сведет вничью обе партии, или одну выиграет, а другую проиграет. Как он собирался играть?

63. Определить, за сколько дней может выполнить каждый из трех рабочих некоторую работу, если производительность третьего рабочего равна полусумме производительностей первого и второго. Известно, что если бы третий рабочий проработал а дней, то для окончания остальной работы первому потребовалось бы b дней, а второму с дней.

64. Доказать, что если

2у Ц- 2z — 2z 4- 2х — у  2х + 2у — г

а b с 9

то

г

2Ь -\-2.с — а 2с + 2а — b 2а 4-26 — о

65. Найти действительные корни уравнения:

]/а — х + УЬ — х = V а + & — 2х.

66. Найти все действительные решения уравнения:

67. Доказать, что уравнение

№ — 5х— 4j/x-f- 13 = 0

не имеет действительных корней.

68. Найти такое двузначное число Юх + у, для которого Юх + у = х2 4- у2 + ху.

69. Доказать, что 4п + 15/г — 1 делится на 9 при любом целом неотрицательном п.

70. Доказать, что трехчлен у = х2 + 5х + 16 ни при каком целом х не делится на 169.

71. Доказать, что в любом треугольнике АВС расстояние от центра описанного круга до стороны треугольника ВС вдвое меньше расстояния от точки пересечения высот до вершины А.

72. Доказать, что хотя бы одно из оснований перпендикуляров, опущенных из любой точки, взятой внутри выпуклого многоугольника, на его стороны, лежит на самой стороне многоугольника, а не на ее продолжении.

ЗАНЯТИЕ 5

73. Два пешехода одновременно отправились из пункта С в противоположных направлениях: первый — в пункт А, второй — в пункт В. Прибыв в соответствующие пункты, они немедленно повернули обратно и встретились на полпути между А и В. Если бы первый пешеход отправился в пункт В, а второй в пункт Л, то первый, дойдя до пункта В и немедленно повернув обратно, настиг бы второго в пункте Л. Найти расстояние от Л до С и отношение скоростей пешеходов, если известно, что расстояние от Л до В равно 2 км.

74. Из бака, наполненного спиртом, вылили часть спирта и долили водой; потом из бака вылили столько же литров смеси; тогда в баке осталось 49 л чистого спирта. Сколько литров спирта вылили в первый раз и сколько во второй раз, если вместимость бака 64 л?

75. Доказать, что если натуральные числа tn и п взаимно просты, то наибольший общий делитель чисел т 4- п и т2 + п2 равен 1 или 2.

76. -Решить уравнение:

(1 + х)2—1 —X2 = }У(1 —х)2.

77. Решить в целых положительных числах уравнение:

х2 — у2 = Ю5.

78. Площадь трапеции равна 1. Какую наименьшую величину может иметь большая диагональ этой трапеции?

Задание 5

79. Две моторные лодки, имеющие одинаковые скорости в стоячей воде, проходят по двум рекам одинаковое расстояние по тече-' нию и возвращаются обратно. В какой реке на это движение потребуется больше времени: в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением?

80. От пункта А до пункта В 15 км. Из А в В в 9 ч 30 мин отправился пешеход, идущий со скоростью 4 км/ч. На следующий день в 11 ч он отправился в обратный путь и шел со скоростью 5 км/ч. Каждый раз он проходил по мосту, находящемуся на этой дороге, в одно и то же время. Определить показание часов при прохождении пешеходом моста.

81. Имеется два чана, расположенных один над другим. В первый чан, расположенный выше, поступает вода через трубу А; из первого во второй вода может переливаться по трубе В; из второго чана вода выливается через трубу С. Известно, что через А (при закрытой трубе В) первый чан наполняется за 3 ч, а через трубу В (при закрытой трубе Л) он опорожняется за 5 ч. Если при пустых обоих чанах открыть все 3 трубы, то за 7 ч наполнится один из чанов. Если наполнить первый чан, а второй оставить пустым и после этого открыть трубы В и С (при закрытой трубе Л), то через 6 ч оба чана опорожнятся полностью. Какой из чанов больше и во сколько раз?

82. Дети делят орехи. Первый взял а орехов и n-ю часть остатка; второй — 2а орехов и n-ю часть нового остатка; третий — За орехов и n-ю часть нового остатка и т. д. Оказалось, что таким способом разделены все орехи поровну. Сколько было детей?

83. Доказать, что при любом целом п многочлены

п6 + 4п3 + Зи и и4 + Зп2 + 1

не имеют общих делителей, отличных от единицы.

84. Доказать, что если т2 + п2 делится на 3, то целые числа т и п также делятся на 3.

85. Решить уравнение:

l/r2^x = 1 — /лГЛ.

86. Решить уравнение:

Vк - 2 + /2х—5 + Vк + 2 +3 V2x^5 = 7/2?

87. Доказать, что уравнение 2х2— 5у2 = 7 не имеет решений в целых числах.

88. Решить в целых положительных числах уравнение:

2х2 — ху — у2 + 2х + 7у = 84.

89. В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ в 3 раза больше катета ВС. Катет АВ разделен на 3 равные части и точки деления D и Е соединены с вершиной С. Прямые AC, DC и ЕС образуют с катетом АВ углы а, р, у. Показать, что больший из этих трех углов равен сумме двух других.

90. Через середины Е и F сторон АВ и АС треугольника АВС проведены к ним перпендикуляры ЕР — ~ vi FM — (оба во внешнюю сторону треугольника). Доказать, что DP = DM, где D — середина стороны ВС.

ЗАНЯТИЕ 6

91. Стоимость эксплуатации катера, плывущего со скоростью v км/ч, составляет (90 4- 0,4 о2) руб. в час. С какой скоростью должен плыть катер, чтобы стоимость 1 км пути была наименьшей?

92. Доказать, что если числа х, у и "Kx-J-Vy рациональные, то числа /х и /у тоже рациональные.

93. Определить, при каких значениях а и b многочлен х3 4* ах2 + + 2х + b делится на х2 4- х + 1.

94. Решить уравнение:

№4-2 ]ЛЗх24-Зх 4- /3- 1=0.

95. Мастер дает сеанс одновременной игры в шахматы на нескольких досках. В конце первых двух часов он закончил р% партий выигрышем, а /партий проиграл. За следующие два часа юн выиграл у q% оставшихся противников, т партий проиграл и остальные п партий закончил вничью. На скольких досках шла игра?

96. Доказать, что сумма расстояний какой-нибудь точки, взятой внутри правильного треугольника, до сторон этого треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки.

Задание 6

97. Некто, решив все свои сбережения поделить поровну между своими сыновьями, составил такое завещание:

«Старший из моих сыновей должен получить 1000 руб. и — ос-

8

татка, следующий — 2000 руб. и — нового остатка, третий сын — 8

3000 руб. и — третьего остатка и т. д.». Определить число сыновей и

размер завещанного сбережения. (Задача Эйлера.)

98. Узнать, через сколько минут после того, как часы показывали ровно 9 ч, минутная стрелка догонит часовую?

99. Первый из п одинаковых цилиндрических сосудов налит доверху, спиртом, а остальные — до половины смесью спирта с

водой, причем концентрация спирта в каждом сосуде в k раз меньше, чем в предыдущем. Содержимым первого сосуда долили доверху второй, затем содержимым второго — третий и т. д. до последнего. Найти полученную концентрацию спирта в последнем, сосуде.

100. Показать, что для того, чтобы дробь

ах2 + Ьх + с ахх2 + bxx + q

имела значение, не зависящее от х, необходимо и достаточно выполнения условия:

а b с

О] Ь-^

101. Какая из дробей ближе к единице: правильная или обратная ей, неправильная?

102. Какие остатки могут давать при делении на 9 кубы целых чисел?

103. Решить уравнение:

—= 12, где к 1.

у X —1 у X —1

104. Решить уравнение:

Кх + З —4 Ух—1 + Кх 4- 8 — 6 |zx—1 = 1.

105. Решить систему уравнений:

( х2 + у2 — 2г2 = 2а2,

| х + у + 2г = 4(а24-1), [ г2 — ху = а2.

106. Решить систему уравнений:

х2Ц-ху + ]/х(х + у) + 4 =52.

107. Возможен ли треугольник, высоты которого ha = 5, hb=4, hc = 3?

108. В параллелограмме ABCD угол А равен 60 , ВЕ= , т/" 7~

СЕ=^-~, где Е — середина стороны AD. Найти стороны параллелограмма.

ЗАНЯТИЕ 7

109. На столе лежат книги, которые нужно упаковать. Если их связывать по 4, по 5 или по 6 в пачку, то каждый раз остается одна лишняя книга, а если связывать по 7 книг в пачку, то лишних книг не остается. Сколько книг могло быть на столе?

110. Морская экспедиция плыла на двух пароходах. Первый пароход вышел на сутки раньше второго, но пришел в порт назначения на сутки позже, так как вторую половину пути он шел медленнее, чем первую, на 10 км/ч. Второй пароход шел все время с той же скоростью, с которой первый шел первую половину пути. Сколько суток шел второй пароход вперед, если известно, что, увеличив скорость на 10 км/ч, он смог бы весь обратный путь проделать за 6 суток?

111. Найти наибольшее четное пятизначное число, первые три цифры которого образуют число, представляющее точный квадрат, а последние три цифры — точный куб.

112. Найти л, у, г, и, если

х : у : г : и = (ст + а2 + а + 1) : (а2 + л + 1) : (а + 1) : 1

a -f- 1

113. Рассматривается дробь, числитель которой есть натуральное число, а знаменатель меньше квадрата числителя на 1. Если к числителю и знаменателю прибавить по 2, то значение дроби будет больше, чем —; если же от числителя и знаменателя отнять по 3, 3

то дробь останется положительной, но меньше Найти эту дробь.

114. Доказать, что если из концов диаметра круга провести две пересекающиеся хорды, то сумма произведений каждой хорды на ее отрезок от конца диаметра до точки пересечения есть величина постоянная.

Задание 7

115. Некто на вопрос, каков номер его билета, ответил так: «Все цифры моего билета различны. Если все шесть двузначных чисел, которые можно составить из цифр номера, сложить, то половина полученной суммы составит как раз номер моего билета». Определить номер билета.

116. В одном из городов Узбекистана часть жителей говорит только по-русски, часть — только по-узбекски, часть говорит и по- русски, и по-узбекски. Известно, что 90% жителей говорят по-русски, а 80% говорят по-узбекски. Какой процент жителей этого города говорит на обоих языках*

117. Для испытания мотоциклов разных систем два мотоциклиста выехали одновременно из А в В и из В в Л. Каждый ехал с по-

стоянкой скоростью и, приехав в конечный пункт, тут же поворачивал обратно. Первый раз они встретились в р км от В, второй раз— в q км от А через t ч после первой встречи. Найти расстояние между Л и В и скорости обоих мотоциклов.

118. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер опустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.

119. Доказать, что четырехзначное число, у которого цифры тысяч и десятков одинаковы и цифры сотен и единиц тоже одинаковы, не может быть точным квадратом.

120. Доказать, что при любом четном п выражение 20л -р +24л — 3Л — 1 делится на 323.

121. Найти хр х2, х3, ..., хп_р хп

из системы

h

а2

аз

ХП~1 хп »

ап-1 ап

. 4“ • • • 4~ хп — с*

at =/= 0, а2 ф о, ... , ап =/= 0, at + а2 + ... + ап=£0.

122. Решить систему уравнений: к + у 4- z = 9, • - + - + -=1, X у Z ху + +уг=27.

123. Часы показывают в некоторый момент на 2 мин меньше, чем следует, хотя и идут вперед. Если бы они показывали на 3 мин меньше, чем следует, но уходили бы в сутки вперед на у мин больше, чем уходят, то верное время они показали бы на сутки раньше, чем покажут. На сколько минут в сутки спешат часы?

124. При перемножении чисел, из которых одно на 10 больше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив на 4 цифру десятков в произведении. При делении (для проверки ответа) полученного произведения на меньший из множителей он получил в частном 39, а в остатке 22. Найти сомножители.

125. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке А. Отрезок АВ является диаметром большей окружности. Хорда BD большей окружности касается меньшей окружности в точке С. Доказать, что АС является биссектрисой угла BAD.

126. Доказать, что если окружность, проведенная через вершину С и середины сторон АС и ВС треугольника АВС, проходит через центр тяжести треугольника, то 2с2 = а2 + Ь2, где а — ВС, Ь = АС, с = АВ.

ЗАНЯТИЕ 8

127. Четверо ребят — Алеша, Боря, Ваня, Гриша — соревновались в беге. После соревнований каждого из них спросили, какое место он занял. Алеша ответил: «Я не был ни первым, ни последним». Боря ответил: «Я не был последним». Ваня ответил: «Я был первым». Гриша ответил: «Я был последним». Три из этих ответов правильные, а один неверный. Кто сказал неправду? Кто был первым?

128. Два тела* двигаясь по окружности в одном и том же направлении, сходятся через каждые 56 мин. Если бы они двигались с теми же скоростями в противоположных направлениях, они встречались бы через каждые 8 мин. Если при движении в противоположных направлениях в некоторый момент времени расстояние по окружности между телами равно 40 м9 то через 24 сек оно будет 26 м. Сколько метров в минуту проходит каждое тело и какова длина окружности, если известно, что в течение упомянутых 24 сек тела не встретились?

129. Решить уравнение:

]/х2 — а2 = За — 2х.

130. Доказать, что при любом целом неотрицательном и многочлен (а + 6)4Л+2 + (а — 6)4Л+2 делится на а2 + Ь2.

131. Уравнение

2ху = х2 + 2у

рещить в натуральных числах.

132. Доказать, что если из произвольной точки Р, взятой внутри правильного треугольника ЛВС, опущены перпендикуляры Р£), РЕ и PF соответственно на стороны ВС, СЛ, Л В, то имеет место равенство:

PD + РЕ + PF = К з" BD + CE + AF~ 3 ’

Задание 8

133. Двое играют в такую игру: первый называет однозначное число (т. е. целое число от 1 до 9 включительно), второй прибавляет к нему еще какое-нибудь однозначное число и называет сумму, к этой сумме первый прибавляет еще какое-нибудь однозначное _ число и опять называет сумму и т. д. Выигрывает тот, кто первым назовет 66. Как нужно играть в такую игру, чтобы выиграть? Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?