Прямые и плоскости и многогранные углы 24 192

Куб 25 196

Параллелепипед 26 198

Правильный тетраэдр 26 198

Произвольный тетраэдр 26 199

Правильный октаэдр 27 203

Правильные додекаэдр и икосаэдр 27 204

Параллелоэдр 28 206

Цилиндр и конус 29 208

Шар 29 209

Задачи на растяжения и сдвиги в пространстве 31 217

Задачи, в которых соображения стереометрии применяются для решения вопросов планиметрии 32 218

Задачи на вычисления 33 221

Перпендикуляры и наклонные 33 221

Параллельные прямые и плоскости и перпендикуляры, опущенные на плоскости 33 222

Стран Стран, условий, решений

Трехгранные углы 34 227

Куб 34 228

Правильный тетраэдр 35 236

Призматоиды 36 239

Правильные многогранники 36 242

Цилиндр 37 248

Конус 38 251

Шар 38 253

Тригонометрия

Формулы 39 —

Основные формулы 39 —

Формулы приведения к острому углу 1-го квадранта и к дополнительному углу 39 —

Формулы сложения и вычитания дуг 39 —

Формулы умножения дуг 40 —

Формулы деления дуг 40 —

Формулы произведений и сумм тригонометрических функций 40 —

Значение основных тригонометрических функций для некоторых дуг 41 —

Формулы прямоугольного треугольника 41 —

Формулы косоугольного треугольника 41

Формулы Мольвейде 42 —

Радиусы R и г кругов описанного и вписанного 42 —

Задачи 43 257

Основные тригонометрические функции 43 257

Приведение к функциям острых углов 44 259

Суммы и разности углов 45 263

Половинные углы 45 267

Суммы и разности тригонометрических функций 46 271

Приведение к логарифмическому виду 46 271

Логарифмические вычисления 47 273

Логарифмические вычисления для углов близких к 0° 48 277-

Решения прямоугольных треугольников 48 278

Решение косоугольных треугольников 49 281

Радиусы вписанного и описанного кругов 54 315

Тригонометрические уравнения 55 320

Задачи смешанного типа 55 323

Функции циклометрические 57 326

Более сложные задачи на решение треугольников 57 328

Задачи на теорему Муавра 58 330

Решение кубических уравнений тригонометрическими функциями 58 332

Приложение тригонометрии к стереометрии

Обозначения 63 —

Задачи 63 334

Планиметрия

Отрезки и углы

1 На прямой даны два отрезка а, b и общая часть их с Определить отрезок, покрываемый обоими отрезками вместе

2 На прямой даны два отрезка ОА = а, ОВ = Ь Определить расстояние АВ и расстояние между точкой О и серединой М отрезка АВ

3 Углы MON= i, NOP=$ приложены друг к другу Определить угол между их биссектрисами Применить результат к случаю, когда эти углы смежные

4 Углы MON=a, NOP = $, POQ — y приложены друг к другу Определить угол между биссектрисами углов MON, POQ Применить результат к случаю, когда углы MON, POQ вертикальные

Соотношения между сторонами и углами треугольников

5 Можно ли разрезать разносторонний треугольник на два равных треугольника?

6 Сколькими способами можно разрезать равносторонний треугольник на два равных треугольника?

7 Точка М лежит внутри треугольника КВС Который из углов ВАС, ВМС больше?

8 В треугольнике АВС проведена медиана АМ Если АВ АС, то который из углов АМВ, АМС больше, и который из углов ВАМ, САМ больше?

9 В треугольнике АВС проведена биссектриса AD Если АВ АС, то который из углов ADB, ADC больше и который из отрезков BD, CD больше?

10 В треугольнике АВС проведена высота АН Как расположена точка Н по отношению к точкам В, С, когда углы АВС, АСВ оба острые, когда один из них тупой и когда один из них прямой?

И В треугольнике АВС проведены медиана АМ, биссектриса AD и высота АН Доказать, что точка D лежит между точками М и Н, если стороны АВ, АС не равны

Сравнительная длина об‘емлемых и об‘емлющих

12 По известной теореме сумма боковых сторон треугольника больше основания Доказать, что она превышает основание менее, чем на удвоенный отрезок, соединяющий вершину с какой угодно точкой основания

13 Если выпуклый многоугольник заключен внутри какого- нибудь другого многоугольника, то по известной теореме периметр наружного многоугольника больше периметра внутреннего Доказать, что наружный периметр превышает внутренний менее, чем на удвоенную сумму отрезков, соединяющих вершины наружного многоугольника с какими-нибудь последовательно расположенными точками контура внутреннего

14 Доказать, что сумма расстояний всякой точки от вершины многоугольника больше полупериметра его

15 Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключается, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны

16 Зная стороны треугольника, найти границы, между которыми заключается сумма его медиан

17 Найти точку, сумма расстояний которой от вершин данного четырехугольника наименьшая

Перпендикуляры и наклонные

18 Доказать, что отрезок, заключенный между вершиной и противолежащей стороной треугольника, меньше наибольшей из остальных сторон

19 Доказать, что отрезок, заключенный между двумя сторонами треугольника, меньше наибольшей из его сторон

20 Доказать, что отрезок, заключенный весь внутри треугольника, меньше наибольшей из его сторон

21 В прямоугольном или тупоугольном треугольнике один из острых углов разделен на несколько равных частей Доказать, что делящие прямые разделят противоположную сторону на части, возрастающие при удалении от вершины прямого или тупого угла

22 В прямоугольном или тупоугольном треугольнике одна из сторон прямого или тупого угла разделена на несколько равных частей Доказать, что прямые, соединяющие точки деления с вершиной противолежащего угла, разделят этот угол на части, убывающие при удалении от другой стороны тупого или прямого угла

Параллельные линии

23 Доказать, что прямая, проведенная через вершину равнобедренного треугольника параллельно основанию, делит внешний угол при вершине пополам

24 Через точку пересечения биссектрис внутренних углов при основании треугольника проведена прямая параллельно основанию Доказать, что часть этой прямой, заключенная между боковыми сторонами, равна сумме отрезков боковых сторон, заключенных между этой прямой и основанием

25 Как изменится предыдущая теорема, если одну из биссектрис внутренних углов или обе заменить биссектрисами внешних углов?

Сумма углов треугольника

26 Определить углы равностороннего треугольника

27 Определить углы прямоугольного треугольника, гипотенуза которого вдвое больше одного из катетов

28 По углу при вершине треугольника определить острый угол между биссектрисами внутренних углов при основании, острый угол между биссектрисами внешних углов при основании и острый угол между биссектрисой внутреннего угла при одном из концов основания и биссектрисой внешнего угла при другом конце

29 В треугольнике АВС проведена биссектриса угла при вершине А до пересечения с основанием ВС в точке D, на большей из боковых сторон АВ отложен отрезок АЕ, равный меньшей боковой стороне АС, и точки D, Е соединены По данным углам В, С треугольника определить угол BDE

30 В треугольнике АВС проведена биссектриса внешнего угла при вершине А до пересечения с продолженным основанием ВС в точке D, на продолжении большей из боковых сторон АВ отложен отрезок АЕ, равный меньшей боковой стороне АС, и точки D, Е соединены По данным углам В, С треугольника определить угол BDE

31 По углам при основании треугольника определить угол между высотой и внутренней биссектрисой

32 По углам прямоугольного треугольника определить угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла

33 Доказать, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит, пополам угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла

34 По углам четырехугольника определить углы между биссектрисами двух соседних углов, между биссектрисами двух противоположных углов и между биссектрисами двух углов, образуемых парами противоположных сторон, продолженных до пересечения

Параллелограммы и трапеции

35 Доказать, что в шестиугольнике, противоположные стороны которого равны и параллельны, три диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке

36 Доказать, что во всяком четырехугольнике середины сторон суть вершины некоторого параллелограмма

37 Доказать, что в четырехугольнике с непараллельными противоположными сторонами середины диагоналей и середины двух противоположных сторон суть вершины некоторого параллелограмма

38 Доказать, что в четырехугольнике с непараллельными противоположными сторонами три прямые, соединяющие середины противоположных сторон и середины диагоналей, пересекаются в одной точке

39 Доказать, что в трапеции середины диагоналей и середины боковых сторон лежат на одной прямой

40 По данным основаниям трапеции определить отрезок, соединяющий середины ее диагоналей

41 По данным расстояниям концов отрезка от прямой определить расстояние его середины от той же прямой

42 По данным расстояниям двух противоположных вершин параллелограмма от прямой, проходящей через третью вершину, определить расстояние четвертой вершины от той же прямой

43 Доказать, что сумма расстояний всякой точки основания равнобедренного треугольника от его боковых сторон равна высоте, проведенной из конца основания Какой вид принимает эта теорема для точек на продолжениях основания?

44 Доказать, что сумма расстояний всякой точки внутри равностороннего треугольника от его стороны равна его высоте Как изменится эта теорема для точек вне треугольника?

Круг-

45 Какому условию должен удовлетворять параллелограмм, чтобы около него можно было описать круг?

46 Какова должна быть трапеция, чтобы около нее можно было описать круг?

47 В какой параллелограмм можно вписать круг?

48 Которая из хорд, проходящих через точку внутри круга, наименьшая?

49 Которая из секущих, проходящих через точку вне круга, имеет наибольшую внутреннюю часть?

50 Найти наименьшее и наибольшее расстояние точки от окружности

51 Найти наименьшее и наибольшее расстояние двух окружностей

52 Найти наименьшее и наибольшее расстояние прямой и окружности

53 Каково относительное положение двух кругов радиусов Д' и 37?, когда расстояние между их центрами равно ЗЛ , Д’, 57?, 4/? и 27??

54 Сколько кругов одинакового радиуса можно расположить вокруг одного круга того Же радиуса так, чтобы каждый из них касался этого круга и двух соседних?

55 Расположить на плоскости бесконечное множество равных кругов так, чтобы каждый касался шести соседних

56 По углам между диагоналями и между противоположными сторонами вписанного четырехугольника определить углы этого четырехугольника

57 По углам при основании вписанного треугольника определить угол между касательной к кругу в его вершине и основанием

58 По углам вписанного треугольника определить углы треугольника, ограниченного касательными к кругу в его вершинах

59 Доказать, что хорды двух пересекающихся кругов, соединяющие концы двух секущих, проходящих через точки пересечения, параллельны между собой Как изменится эта теорема, когда концы секущих на одном из кругов совпадут?

60 Доказать, что хорды двух касательных кругов, соеди няющие концы двух секущих, проходящих через точку касания, параллельны между собой Как изменится эта теорема, когда секущие совпадут?

61 Доказать, что отрезки общей секущей двух внутренне касательных кругов, заключенные между обеими окружностями и не налегающие друг на друга или, наоборот, налегающие друг на друга, видны из точки касания под равными углами Как изменится эта теорема, когда секущая обратится в хорду наружного круга, касательную к внутреннему?

62 Доказать, что отрезки общей секущей двух внешне касательных кругов, заключенные между обеими окружностями, один из которых составляет часть другого, видны из точки касания под углами, в сумме составляющими два прямых Как изменится эта теорема, когда секущая обратится в общую касательную обоих кругов?

63 Доказать, что прямая, параллельная касательной в вершине вписанного треугольника и пересекающая боковые стороны, отсекает от него вписуемый четырехугольник

64 Противоположные стороны четырехугольника продолжены до пересечения, и около четырех образовавшихся треугольников описаны круги Доказать, что все они пересекаются в одной точке

65 Стороны пятиугольника продолжены до образования пятиугольной звезды, и около пяти треугольных лучей описаны круги Доказать, что пять наружных точек пересечения соседних кругов лежат на одной окружности

66 Равносторонний треугольник вписан в круг Доказать, что расстояние всякой точки дуги, стягиваемой какой-нибудь из его сторон, от противолежащей вершины равно сумме расстояний той же точки от остальных вершин

Замечательные точки и линии в треугольнике

67 Как известно, перпендикуляры в серединах сторон треугольника сходятся в точке, равноудаленной от вершин,— в центре описанного круга К которой из сторон эта точка ближе всего?

68 При каких условиях центр описанного круга лежит внутри, вне и на границе треугольника?

69 Найти части плоскости, в которых лежат вершины остроугольных и тупоугольных треугольников, опирающихся на заданное основание

70 Доказать, что высота треугольника и радиус описанного круга, проведенный к вершине, образуют равные углы с боковыми сторонами

71 Треугольник разбит на два других треугольника прямою, проведенной из вершины Доказать, что центры кругов, описанных около всех трех треугольников, лежат на одной окружности с вершиной

72 Известно, что биссектрисы внутренних углов треугольника сходятся в точке, равноудаленной от сторон треугольника,—в центре вписанного круга К которой из вершин эта точка ближе всего?

73 Доказать, что биссектриса внутреннего угла при всякой вершине треугольника сходится с биссектрисами внешних углов при двух других вершинах в точке, равноудаленной от стороны,, противолежащей этому внутреннему углу, и от продолжений двух других сторон (центр вневписанного круга)

74 Доказать, что прямые, проведенные через вершины треугольника параллельно противолежащим сторонам, ограничивают треугольник, для которого высоты данного треугольника оказываются перпендикулярами в серединах сторон Вывести отсюда, что высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентр)

75 Доказать, что прямые, соединяющие основания высот треугольника, ограничивают треугольник, для которого высоты данного треугольника оказываются биссектрисами Вывести отсюда теорему о пересечении высот

76 К которой из вершин ортоцентр ближе всего?

77 К которой из сторон ортоцентр ближе всего?

78 Которая из высот наименьшая?

79 Доказать, что из четырех точек, одна из которых есть ортоцентр треугольника, образуемого тремя остальными, каждую можно рассматривать как ортоцентр треугольника, образуемого тремя остальными

80 Доказать, что из шести биссектрис треугольника каждые три, сходящиеся в одной точке, суть высоты треугольника, ограниченного тремя остальными

81 Доказать, что каждая медиана треугольника отсекает от каждой другой одну треть, считая от основания Вывести отсюда, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести)

82 К которой из вершин и к которой из сторон центр тяжести ближе всего?

83 Которая из медиан наименьшая?

84 Доказать, что прямые, соединяющие вершину параллелограмма с серединами сторон, сходящихся в противоположной вершине, рассекают диагональ, соединяющую две другие вершины, на три равные части

85 Доказать, что расстояние центра описанного круга от стороны треугольника вдвое меньше расстояния ортоцентра от противолежащей вершины

86 Доказать, что центр описанного круга, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой (прямая Эйлера)

87 Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на стороны вписанного треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симсона)

88 Доказать, что окружность с центром в середине отрезка, соединяющего центр описанного круга и ортоцентр, и с радиусом, равным половине радиуса описанного круга, проходит через основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами

Задачи на построение

Пояснение При решении задач на построение чаще всего применяется метод геометрических мест Возьмем простейший случай, когда задача заключается в построении некоторой точки, удовлетворяющей данным условиям Если этим условиям удовлетворяет только одна или несколько точек, то, отбросив одно из условий, мы обычно получаем уже целую линию—геометрическое место точек, удовлетворяющих остальным условиям Если это геометрическое место есть окружность или прямая, которую мы можем построить на основании данных условий, то дальнейшее решение облегчается, так как мы можем искать требуемые точки не среди всех точек плоскости, а только среди точек найденного геометрического места Если нам удастся, отбросив другое условие, построить другое геометрическое место, то искомые точки найдутся как общие точки обоих геометрических мест Может случиться, что нужно построить не точку, а какую-нибудь другую фигуру, но очень часто нетрудно свести задачу к построению точки Например, для построения прямой, одна точка которой известна, достаточно найти еще одну точку для построения круга данного радиуса достаточно найти его центр, и т п Но допустим, что

геометрические места, получаемые поочередным отбрасыванием условий задачи, не удается построить, или они не могу г быть построены, потому что это не окружности и не прямые Отсюда еще не следует, что мы должны отказаться от применения метода геометрических мест Нужно поискать такие вспомогательные точки, с помощью которых можно наверное построить искомую фигуру, и которые можно рассчитывать построить по методу геометрических мест Все это, конечно, относится к тому случаю, когда условия задачи не подсказывают применения другого метода

Полезно проверить, что и простейшие задачи, как деление отрезка пополам, опускание перпендикуляра, построение треугольника по его элементам и т д решаются по существу с помощью метода геометрических мест

Иногда нужно найти не точку, а прямую, удовлетворяющую некоторым условиям Отбросив одно из условий, мы часто получаем такую совокупность бесчисленного множества прямых, из которой уже нетрудно выбрать требуемую, например, совокупность прямых, проходящих через данную точку, или касательных к данному кругу, и т п Этот метод есть простейшее обобщение метода геометрических мест

Часто удается притти к решению задачи с помощью метода преобразования, фигур, и даже во многих случаях успех этого метода можно предвидеть с первого взгляда Этот метод состоит в замене данной или искомой фигуры, или какой-нибудь части их, новой фигурой, связанной с первоначальной определенным построением и позволяющей решить задачу или приблизиться к ее решению Мы рассмотрим пока только такие преобразования, при которых новая фигура равна старой и отличается от нее только положением Такие преобразования называются перемещениями Сюда относятся:

а) параллельный перенос, при котором все точки фигуры перемещаются на равные параллельные и одинаково направленные отрезки все прямые фигуры остаются при этом параллельными сами себе

Ь) поворот, при котором некоторая точка остается неподвижной, а все полупрямые, исходящие из нее, поворачиваются вокруг нее на данный угол в данном направлении

с) симметрия относительно точки, или поворот на сто восемьдесят градусов

d) симметрия относительно прямой, при которой эта прямая остается неподвижной, а вся фигура поворачивается вокруг нее, как вокруг оси, и снова падает на плоскость обратной стороной

Первые три перемещения можно осуществить непрерывным движением, не выходя из плоскости При непрерывном параллельном перемещении, точки фигуры описывают параллельные прямые, а при непрерывном вращении—концентрические круги Мы подучаем как бы геометрическое место целой фигуры

Симметрии можно просто определить, не прибегая к движению:

с) отрезки, соединяющие две симметричные точки с неподвижным центром симметрии, равны и направлены в разные стороны от центра

d) перпендикуляры, опущенные из двух симметричных точек на неподвижную ось симметрии, имеют общее основание, равны и направлены в разные стороны от оси

Отметим, что указанными преобразованиями по существу исчерпываются все возможные перемещения, так как всякое перемещение или наложение сводится к параллельному переносу, повороту и, если нужно, симметрии относительно прямой

В заключение упомянем еще о методе обратности Он заключается в том, что искомую фигуру строят в произвольном положении, пристраивают к ней данную фигуру с соблюдением указанных в условии взаимоотношений между обеими и, пользуясь новыми соотношениями, полученными в результате построения, строят искомую фигуру уже в надлежащем положении по отношению к данной

Если связь между данными и искомыми неясна с самого начала, то следует попытаться установить между ними несколько посредствующих звеньев Поскольку эта связь нам неясна, мы не можем, конечно, с уверенностью вставлять эти звенья и вынуждены рассуждать до известной степени ощупью, но при известном терпении и внимании удается установить требуемую связь Такое обдумывание задачи называется анализом

После построения нужно прежде всего проверить, не было ли допущено какой нибудь неполноты, последствием которой могло бы оказаться получение лишь части решений Это бывает, например, когда вычерчиваются только отрезки геометрических мест, отчего пропадают некоторые точки пересечения/ Затем нужно подсчитать, сколько решений получится при тех или иных данных Это называется исследованием решения

Хотя построению предшествует обсуждение задачи, тем не менее полезно в некоторых случаях проверить, действительно ли построенная фигура удовлетворяет условиям Источником ошибки мог послужить неправильный предварительный чертеж, которым пользовались при анализе, поспешность самого анализа, и т п Последующая проверка правильности построения называется доказательством

Рекомендуем читателю решать задачи подробно и фактически применять циркуль и линейку мы в своих решениях часто ограничиваемся краткими указаниями и, вообще, считаем задачу решенной, если она сведена к основным построениям или решенным ранее задачам построения, излагаемые в курсах элементарной геометрии, мы считаем известными