Задачи всесоюзных математических олимпиад (Васильев, Егоров) 1988 год - старые учебники

Скачать Советский учебник

 Задачи всесоюзных математических олимпиад (Васильев, Егоров) 1988

Назначение: Содержит около 450 задач, предлагавшихся на заключительных турах математических олимпиад СССР, начиная с самых первых. Задачи размещены в хронологическом порядке и снабжены решениями. Многие из них являются своеобразными математическими исследованиями, позволяющими читателям ознакомиться с идеями и методами современной математики.

Для школьников старших классов, учителей и руководителей математических кружков.

© "Наука" Москва 1988

Авторство: Н.Б. Васильев, А.А. Егоров

Формат: DjVu, Размер файла: 4.19 MB

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие   3

Условия задач 21

Решения, указания ответы 104

Тематический путеводитель . 261

Задачи для тренировки 271

Список литературы   280

Список авторов задач 284

Список обозначений 286

 

 

 КАК ОТКРЫВАТЬ СКАЧАННЫЕ ФАЙЛЫ?

👇

СМОТРИТЕ ЗДЕСЬ

 

Скачать бесплатный учебник  СССР - Задачи всесоюзных математических олимпиад (Васильев, Егоров) 1988 года

СКАЧАТЬ DjVu

ОТКРЫТЬ: - отрывок из учебника...

 Увлечение математикой часто начинается с размышлений над какой-то особенно понравившейся задачей. Она может встретиться и на школьном уроке, и на занятии математического кружка, и в журнале или книжке. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады - от школьных и городских до международных.

В этой книге собрана полная коллекция задач заключительного тура математических олимпиад, проводимых по всей стране с начала 60-х годов. Задачи занумерованы подряд; по табличке, составленной для каждой олимпиады, можно восстановить наборы задач, предлагавшихся участникам в каждой из трех параллелей -в 8, 9 и 10 классах.

К задачам, предлагавшимся на олимпиадах 1961- 1979 гг., приведены решения, задачи последних олимпиад (1980-1987) снабжены краткими указаниями.

Задачи первых олимпиад 60-х годов (они назывались всероссийскими) в среднем попроще, но и здесь встречаются замысловатые головоломки, подобрать ключ, к которым нелегко. Самые трудные задачи помечены звездочкой.

Очень разнообразны задачи и по математическому содержанию.

Почти в каждом варианте олимпиадных заданий встречаются традиционные по формулировке задачи об окружностях и треугольниках, квадратных трехчленах и целых числах, уравнениях и неравенствах. Конечно, это не просто упражнения на проверку знаний и применение стандартных школьных приемов, а чаще всего теоремы, которые нужно доказать, задачи на отыскание множеств (геометрических мест), минимумов или максимумов, требующие некоторого исследования.

Значительно больше, однако, задач с далеко не стандартной формулировкой. Для поиска ответа и доказательства здесь нужны не столько школьные знания, сколько здравый смысл, изобретательность, умение логично рассуждать, перевести необычное условие на подходящий математический язык. Далеко не всегда решение такой задачи - цепочка из нескольких естественных шагов. Бывает, что, даже хорошо разобравшись в условии, долго не удается найти правильный путь рассуждений, руководящую идею, хотя готовое решение занимает всего несколько строк (что и отличает классическую олимпиадную задачу). Нужное соображение возникает иногда совершенно неожиданно, интуитивно, как некое "озарение". Эти моменты "открытия" и составляют радость математического творчества.

Конечно, идея, поначалу неожиданная, может затем встретиться еще и еще раз. (Скажем, красивая находка в задаче 7 - проследить, как меняется сумма всех чисел в таблице - в несколько ином преломлении оказывается полезной в задачах 151, 196, 271 и других.) И постепенно искусственное рассуждение начинает восприниматься уже как привычный, сознательно применяемый метод.

Проследить некоторые характерные приемы рас- суждений, полезные не только в олимпиадных, но и в серьезных математических задачах - одна из целей "тематического путеводителя", помещенного в конце книги. В нем содержатся также краткие сведения об отдельных понятиях, теоремах, методах, лишь мимолетно затрагиваемых в школьном курсе или сейчас вовсе в него не входящих, но по традиции считающихся известными на олимпиадах. Это, Прежде всего, метод математической индукции (П1), сведения о делимости целых чисел (П2), многочленов (П5), классическое неравенство между средними арифметическим и геометрическим (П8); номера П1, П2, ... означают ссылки на соответствующие темы путеводителя. На наш взгляд он будет полезен руководителям математических кружков и тем, кто предпочитает заниматься задачами какого- то определенного характера и хотел бы их разыскать. Разумеется, путеводитель дает лишь некоторую весьма приблизительную ориентацию в огромном разнообразии задач и идей, встречающихся в

их решении, - многие задачи могут быть отнесены одновременно к нескольким темам, другие настолько своеобразны, что при попытках более тонкой классификации для каждой пришлось бы завести отдельную "тему".

Ведь главная цель жюри каждой олимпиады - подобрать новые задачи, демонстрирующие школьникам свежие, еще не встречавшиеся им идеи, темы, постановки вопросов. Математики, члены жюри, придумывают такие задачи сами, узнают у своих коллег, черпают из малоизвестных книг или новых научных статей. (Нередко красивая лемма в научной работе опирается на элементарную идею, и из нее рождается олимпиадная задача - так возникли задачи 181, 219, 248, 267 и другие; а задача 148, специально придуманная для олимпиады, оказалась в точности совпадающей с леммой из научной статьи, относящейся к современной алгебре.)

Часто, даже если сюжет задачи носит шуточный, игровой характер или взят из реальной жизни, вопрос, предлагаемый для исследования - найти оптимальный алгоритм поведения, наилучшую возможную оценку, максимум или минимум, - типичен для математики.

Во многих задачах о неравенствах, размещениях точек и покрытиях специалист узнает леммы из анализа, в задачах о знакомствах, дорогах и турнирах - варианты или частные случаи теорем теории графов. Характерные постановки задач о многократно повторяющихся операциях возникают во многих областях математики, в частности в программировании, теории динамических систем.

Таким образом, олимпиадные задачи позволяют приоткрыть завесу над серьезной математикой - классической и современной. Отчасти они даже отражают последние математические моды, - они, как и мода на одежду, меняются с годами.

Конечно, подготавливая набор задач для каждой олимпиады, члены жюри учитывают не только привлекательность формулировок и научную значимость отдельных задач. Олимпиада - это соревнования, где несколько предложенных задач нужно решить за 4- 5 часов, и набор задач для каждого класса должен учитывать возможности и интересы участников: быть достаточно трудным, чтобы выявились победители,

б

и в то же время достаточно простым и разнообразным, чтобы удовольствие и пользу получило большинство участников - и "геометры", и "алгебраисты", и любители комбинаторно-логических за- да$. В выборе задач видны и вкусы коллектива (математиков, готовивших каждую олимпиаду, но также и многолетние традиции олимпиад, передающиеся от поколения к поколению.

* * *

Увлечение занимательными задачами имеет в нашей стране глубокие корни [61]: здесь можно вспомнить и учебники Ф. Магницкого и Л. Эйлера, и многочисленные сборники задач XIX века, и издававшийся с 1894 г. по 1917 г. в Одессе, а затем в Киеве журнал "Вестник опытной физики и элементарной математики", предлагавший трудные задачи "на конкурс" своим читателям - учителям, студентам, учащимся гимназий и реальных училищ.

Первые олимпиады школьников в СССР были проведены более полувека тому назад. В 1934-35 гг. городские математические соревнования юных математиков состоялись в Ленинграде, Москве и Тбилиси, несколько позже - в Киеве. В послевоенные годы традиции разнообразной работы со школьниками (кружки при университетах, лекции, олимпиады) охватывали уже десятки городов. В конце 50-х годов идея вовлечения в эту работу школьников всей страны носилась в воздухе; интерес к науке, прежде всего математике и физике, стимулировался первыми полетами в космос, началом бурного развития вычислительной техники.

Сейчас уже трудно наверняка определить, кто первым предложил собрать вместе школьников - победителей математических олимпиад из разных городов. По-видимому, это был Борис Николаевич Делоне, замечательный математик, энтузиазму которого обязаны своим появлением и первые олимпиады в Ленинграде. Осенью 1959 г. на одной из традиционных топологических конференций в Тбилиси в экскурсионном автобусе рядом с Б. Н. Делоне оказалось несколько молодых математиков из разных городов, в их числе - И. В. Гирсанов и Д. Б. Фукс из Москвы, А. С. Шварц, работавший тогда в Воро

неже. Речь зашла о математических олимпиадах в разных городах, об их победителях. И здесь же было решено для начала пригласить на заключительный тур Московской олимпиады старшеклассников хотя бы из нескольких городов и республик, где проводились олимпиады, написав письма знакомым математикам, а еще лучше - разослав официальные приглашения.

В Москве за осуществление этой идеи особенно активно взялся И. В. Гирсанов, в те годы - один из самых деятельных руководителей школьного математического кружка при МГУ. Ее реализация стала возможной благодаря поддержке ректора МГУ академика И. Г. Петровского и первого заместителя министра просвещения РСФСР профессора МГУ А. И. Маркушевича, впоследствии - вице-президента Академии педагогических наук. Здесь нельзя не отметить также И. С. Петракова, в те годы работавшего методистом Министерства просвещения РСФСР по математике, много сделавшего для организации системы олимпиад.

В становлении и развитии всероссийских и всесоюзных математических олимпиад особенно велика роль академика А. Н. Колмогорова. Андрей Николаевич был одним из руководителей первых московских олимпиад и школьного математического кружка при МГУ еще в 30-х годах. Авторитет А. Н. Колмогорова, одного из крупнейших ученых XX в., оказывал огромное влияние на перестройку математического образования, начатую в 60-х годах. Это и существенная модернизация программ и стиля учебников для массовой школы, и организация специальных физико-математических школ-интернатов при крупнейших университетах. Неоднократно высказывавшаяся А. Н. Колмогоровым идея о дифференциации образования в старших классах - о предоставлении всем школьникам возможности выбора наиболее интересующих их предметов для более глубокого изучения - еще ждет своего осуществления. Поддержав идею организации всероссийских олимпиад, А. Н. Колмогоров на долгие годы стал основным научным руководителем математической олимпиады. Позднее, когда был образован Центральный оргкомитет всесоюзной олимпиады по математике, физике и химии, А. Н. Колмогоров возглавил Методическую

комиссию по математике при оргкомитете (его заместителями были в 60-е и 70-е годы М. И. Башмаков и Н. Б. Васильев, в конце 70-х годов - также Н. X. Розов и А. Н. Земляков, в 80-е годы-В. В. Вавилов и Ю. В. Нестеренко; председателем комиссии с 1983 г. стал академик АН УССР профессор МГУ Б. В. Гнеденко).

А. Н. Колмогоров несколько раз приезжал на заключительный тур, исполнял обязанности председателя жюри. С ним обсуждались все принципиальные вопросы - состав жюри, формы проведения олимпиад и их научная программа, содержание задач, итоги олимпиад. Андрей Николаевич считал очень важным участие в работе жюри молодых математиков, в том числе студентов - победителей прошлых олимпиад; тщательную подготовку к лекциям и разбору решений задач со школьниками; поощрение (в частности, упоминание в публикациях об олимпиадах) учителей, чьи ученики показали хорошие результаты. Живо интересовался Андрей Николаевич, отнюдь не лишенный спортивной жилки, и результатами "своих" учеников - школьников из ФМШ при МГУ. Несомненно, самый факт, что олимпиаду возглавляет академик А. Н. Колмогоров, помогал привлечь к участию в олимпиаде многих талантливых людей.

Итак, весной 1960 г. на Московскую олимпиаду впервые приехали группы школьников из девяти союзных республик и нескольких областей Российской Федерации. А в следующем, 1961 г. одновременно со вторым туром Московской олимпиады была проведена Первая Всероссийская олимпиада по математике, на которую собрались команды по четыре человека из большинства областей и республик (от Украины пригласили четыре команды). Следующие олимпиады стали уже вполне самостоятельными, хотя до 1965 г. проводились также в Москве. Уже на самых первых олимпиадах в числе победителей, кроме признанных лидеров - москвичей и ленинградцев, были школьники из Казани, Киева, Еревана и других городов и республик.

Появилась возможность формировать представительную команду СССР на международные математические олимпиады (проводящиеся с 1959 г.). Как правило, советские школьники успешно выступают 8

на этих олимпиадах и в командном первенстве занимают одно из первых мест.

Первые всероссийские олимпиады привели к расширению географии олимпиадного движения в стране- во всех областях и республиках постепенно стали проводиться свои олимпиады, победители которых становились участниками заключительного тура. К участию в местных олимпиадах и в заключительном туре активно подключались математики из разных городов. Уже с 1960 г. установилось тесное сотрудничество между Московским и Ленинградским университетами. Это касалось не только олимпиад, но и других форм работы со школьниками.

Многие интересные начинания исходили из Сибири. В Новосибирском Академгородке в эти годы под руководством академиков М. А. Лаврентьева и С. Л. Соболева и члена-корреспондента АН СССР А. А. Ляпунова создавался центр притяжения юных математиков и физиков всей азиатской части страны: по результатам Всесибирской заочной олимпиады большую группу школьников приглашали в летнюю школу, а затем лучшие из них могли поступать в созданную при НГУ физико-математическую школу- интернат. По инициативе группы академиков в 1963 г. такие школы были созданы при Московском, Ленинградском, Новосибирском и Киевском университетах, позднее - и в других республиках; это также немало способствовало популярности олимпиад (вступительные экзамены в эти школы проводятся, как правило, на областных и республиканских олимпиадах).

Большую роль сыграло присоединение к олимпиадам физиков, особенно - активной группы комсомольцев из МФТИ (знаменитого на всю страну Физтеха), опиравшейся на поддержку ЦК ВЛКСМ. Возглавлял эту группу молодой преподаватель математики А. П. Савин (в нее входили, в частности, хорошо известные школьникам по журналу "Квант" физики, тогда еще студенты Л. Г. Асламазов, Ю. М. Брук, И. 111. Слободецкий).

Если уже предаваться воспоминаниям, нужно сказать, что объединению усилий МГУ и МФТИ предшествовали горячие дискуссии. Дело в том, что в МФТИ придумали свою систему физико-математических олимпиад: студентам, аспирантам и препода

вателям, разъезжавшимся на зимние каникулы, вручаются задачи и инструкции, как провести олимпиаду в родном городе, а все работы школьников они привозят в Москву на проверку (и, конечно, на Физтех!). В тех городах, где уже имелись свои многолетние олимпиадные традиции, "конкуренция" разных олимпиад казалась многим ненужной. Андрей Николаевич Колмогоров еще долго вспоминал, как "ленинградцы не позволили Савину" проводить у себя физико-математическую олимпиаду МФТИ по такой схеме. Было решено проводить олимпиады по математике и физике по единой многоступенчатой системе, при которой главная роль в областных, городских, районных и школьных олимпиадах отводилась местным ученым, преподавателям и студентам вузов, учителям. Для руководства олимпиадой был образован центральный оргкомитет. В него вошли представители Министерства просвещения, ЦК ВЛКСМ, общества "Знание". Председателем оргкомитета долгие годы был замечательный физик академик И. К. Кикоин, принимавший, несмотря на свою занятость, живейшее участие во всех олимпиадных и школьных Делах.

На первых олимпиадах в Москве заключительный тур по математике (в МГУ) и физике (в МФТИ) проводился почти одновременно, с таким расчетом, чтобы его участники могли попасть на олимпиаду по обоим предметам. По инициативе активистов из МФТИ победители олимпиады приглашались в молодежный лагерь ЦК ВЛКСМ "Орленок". Стали регулярно проводиться всесоюзные заочные олимпиады через газеты "Комсомольская правда", "Учительская газета" и местные молодежные газеты - их победи- дели приглашались на очные республиканские и областные олимпиады (см. (4, 12, 14, 16, 17]).

Большую помощь организаторам местных олимпиад оказывали рассылаемые из Москвы списки рекомендованных задач, а также ставшие традиционными поездки студентов, аспирантов и преподавателей ведущих вузов страны на олимпиады в качестве представителей центрального оргкомитета. 

 

 

★ ЕЩЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "МАТЕМАТИКА"

ВСЕ УЧЕБНИКИ ИЗ РАЗДЕЛА "МАТЕМАТИКА"

Полное или частичное копирование материалов сайта разрешается только при указании активной ссылки : Источник материала - "Советское Время"

Яндекс.Метрика