ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

При подготовке третьего издания учитывались требования курса «Алгебра и теория чисел».

По сравнению со вторым изданием осуществлены следующие дополнения: введены упражнения на темы «Решение неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными в целых числах» и «Конечные цепные дроби»; даны различные методы обоснования признаков делимости чисел; увеличено количество упражнений для самостоятельного решения.

В отличие от предыдущих изданий задачник разбит на две части. В первой части дан минимум упражнений, необходимый для подготовки студентов к выполнению контрольной работы и к зачету (этим упражнениям предшествуют примеры с подробными решениями). Вторая часть включает более сложные задачи, которые, возможно, заинтересуют студентов в процессе изучения курса.

Все дополнения и изменения, о которых шла речь выше, осуществлены вторым из авторов.

С. Горшенин.

ВВЕДЕНИЕ

Одним из арифметических приложений теории сравнений является нахождение остатка от деления данного числа k на число /; при выполнении упражнений такого характера в задачнике-практикуме в основном используется сравнение:

&s=z(mod Z), где z—наименьший неотрицательный вычет по модулю /, который и является искомым остатком.

В разделе «Арифметические приложения теории сравнений» рассматриваются упражнения, отвечающие содержанию этого раздела программы. Студент-заочник должен уяснить, что изучением этого раздела не исчерпывается круг арифметических приложений теории чисел (отчасти и теории сравнений). Этим же целям служат приложения различных рассматриваемых в теории чисел числовых функций, теоремы Эйлера о сравнениях, малой теории Ферма, системы сравнений с одним неизвестным и др.

По каждому разделу программы в задачнике указана соответствующая литература. В основу положены следующие курсы:

1. Ш. X. Михелович. Теория чисел, изд. 2, переработ. и доп. AL, «Высшая школа», 1967.

2. А. А. Бухштаб. Теория чисел, изд. 2, испр. М., «Просвещение», 1966.

Указание. Учесть, что все множество простых чисел представимо совокупностями арифметических прогрессий с общими членами Зп, Зл+1, Зп—1.

20. Доказать, что каждое натуральное число вида 4& + 3 имеет по крайней мере один простой делитель того же вида.

21. Зная, что существует бесконечное множество простых чисел вида Зп+1, доказать существование бесконечного множества простых чисел вида 66+1.

Указание. Положить п=2£ и n=2£ +1.