Арифметические знаки и ‘названия у разных народов . . 26

Круглые числа 28

//. Потомок древнего абака

Чеховская головоломка 30

Счеты. 34

Умножение на счетах. 36

Деление на счетах. 38

Отголоски старины 39

III. Немного истории

«Трудное дело — деление» 41

Хорошо ли мы множим? 48

«Русский» способ умножения. 49

Из Страны пирамид 51

IV. Недесятичные системы счисления Загадочная автобиография. 56

Простейшая система счисления 60

Сто.

Необычайная арифметика. 61

Чет или нечет? 66

Поучительные задачи. 67

Дроби без знаменателя. 68

V. Галлере я числовых диковинок Арифметическая кунсткамера. 71

Число 12 73

Число 365 76

Три девятки 77

Число Шехеразады 78

Число 10 Ю1. 81

Число 10 001 82

Шесть единиц. 83

Числовые пирамиды . 85

Девять одинаковых цифр 89

Цифровая лестница. . 90

Магические кольца 91

Феноменальная семья. 96

VI. Фокусы без обмана Искусство индусского счетчика 100

Не открывая кошельков 101

Угадать число спичек 104

«Чтение мыслей» по спичкам 106

Идеальный разновес. 109

Предсказать сумму ненаписанных чисел. 113

Мнимая неожиданность. 116

Мгновенное деление. 118

Любимая цифра . . . . 119

Угадать дату рождения. 120

Одно из «утешных .действий» Магницкого 121

Отгадывание чисел. 123

VII. Быстрый счет Действительные и мнимые феномены. 125

Запоминание чисел. 126

«Сколько мне дней?» 129

«Сколько мне секунд?». 130

Приемы ускоренного умножении. 131

Для обиходных расчетов. 133

VIII. Математические загадки пирамиды Хеопса

Приближенные числа 143

Округление чисел 146

Цифры значащие и незначащие 147

Сложение и вычитание Приближенных чисел 148

Умножение, деление и возвышение в степень приближен

ных чисел 148

Применение на практике. 149

Сбережение счетного труда 151

IX. Числовые великаны

Как велик миллион? 152

Миллион на шестеренках 155

Миллион секунд 156

В миллион раз толще волоса 157

Упражнения с миллионом 158

Числовые исполины советской современности 160

Названия числовых великанов. 161

Миллиард 163

Биллион и триллион 164

Квадрильон 165

Пожиратели числовых исполинов. 169

Исполины времени 172

X. Числовые лилипуты

От великанов к карликам 173

Лилипуты времени 174

Лилипуты пространства. 176

Оверхисполин и сверхлилипут 178

XI. Арифметические путешествия

Ваше кругосветное путешествие. 185

Ваше восхождение на Монблан. 187

Незаметное путешествие на дно оксана . 189

Трактор кругом света 190

Неутомимое колесико 191

Путешествующие, стоя на месте 192

Что читать дальше . 195

ПРЕДИСЛОВИЕ

На русском языке имеется уже ряд оригинальных и переводных сборников преследующих в общем ту же цель, что и настоящая книга: оживить школьную арифметику введением в нее интересных задач, занимательных упражнений, любопытных теоретических и практических сведений. Знакомым с этой литературой хорошо известно, что большинство подобных книг черпает материал из одного и того же ограниченного фонда, накопленного столетиями; отсюда — близкое сходство этих сочинений, разрабатывающих, с различной детальностью, почти одни и те же темы. Но традиционный инвентарь математических развлечений достаточно уже исчерпан в нашей литературе. Новые книги этого рода должны привлекать новые сюжеты.

«Занимательная арифметика» представляет в большей своей части попытку предложить ряд новы х, ранее не разрабатывавшихся сюжетов арифметических развлечений. Подыскание новых тем в столь многосторонне обследованной области — дело нелегкое: составитель не может здесь пользоваться коллективным трудом длинного ряда известных и безызвестных собирателей, а предоставлен лишь собственным силам. Поэтому к «Занимательной арифметике», как к первому опыту обновления

¹ Среди них известный сборник Е. И. Игнатьева В царстве смекалки» (из трех его книг 2-я и 3-я составлены при моем участим), почти исчерпывает весь классический материал арифметических развлечений.

традиционного материала подобных сборников, не должна прилагаться слишком строгая мерка.

Заботясь о том, чтобы сборник читался легко, не требуя чрезмерного напряжения, составитель избегал запутанных вопросов и включал преимущественно такой материал, который вполне посилен для большинства читателей.

Хотя книга имеет в виду читателей, знакомых лишь с элементами арифметики, в ней найдутся страницы, небезынтересные, быть может, и для более сведущих.

Убедительно прошу всех читателей сообщать автору о замеченных ими недостатках книги *. За все ранее сделанные указания автор выражает корреспондентам глубокую признательность.

Я. Перельман.

¹ Адрес для корреспонденции: Ленинград 1-36, Плуталова уд. 2, кв. 12, Якову Исидоровичу Перельману.

Глава первая

СТАРОЕ И НОВОЕ О ЦИФРАХ И НУМЕРАЦИИ

ТАИНСТВЕННЫЕ ЗНАКИ

В марте 1917 г. жители Ленинграда (тогда — Петрограда) были не мало озадачены и даже встревожены таинственными знаками, появившимися, неизвестно как, у дверей многих квартир. Молва приписывала этим знакам разнообразные значения. Те, которые мне пришлось видеть, имели форму черточек, чередующихся с крестами.

Пошли зловещие слухи о грабительских шайках, помечающих квартиры будущих жертв. «Комиссар временного правительства по г. Петрограду», успокаивая население, утверждал, что «таинственные знаки, которые чьей-то невидимой рукой делаются на дверях мирных обывателей в виде крестов, букв, фигур, как выяснилось по произведенному дознанию, делаются провокаторами и германскими шпионами»; он приглашал жителей эти знаки стирать и уничтожать, «а в случае обнаружения лиц, занимающихся этой работой, задерживать и направлять по назначению».

Таинственные черточки и зловещие кресты появились также у дверей моей квартиры и квартир моих соседей. Некоторый опыт в распутывании замысловатых задач помог мне, однако, разгадать нехитрый и совсем не страшный секрет этой тайнописи. Своими соображениями я поделился с согражданами, поместив в газете следующую заметку:

Таинственные знака

«В связи с таинственными знаками, появившимися на стенах многих петроградских домов, небесполезно разъяснить смысл одной категории подобных знаков, которые, несмотря на зловещее начертание, имеют самое невинное значение. Я говорю о знаках такого типа*

+ II ++IIII +++ 1Н

Подобные знаки замечены во многих домах на черных лестницах у дверей квартир. Обычно знаки этого

Рис. 1. Таинственные знаки появились у дверей многих квартир

типа имеются у всех входных дверей данного дома, причем в пределах одного дома двух одинаковых знаков не наблюдается. Их мрачное начертание, естественно, внушает тревогу жильцам. Между тем, смысл их легко раскрывается, если сопоставить их с номерами соответствующих квартир. Так, например, приведенные выше знаки найдены мною у дверей квартир № 12, №25 и №33:

12

25

33

Нетрудно догадаться, что кресты означают десятки, а палочки — единицы; так оказалось во всех без исключения случаях, которые мне приходилось

наблюдать. Своеобразная нумерация эта, очевидно, принадлежит дворникам-китайцам \ не понимавшим наших цифр. Появились эти знаки, конечно, давно, но только в дни Февральской революции обратили на себя внимание граждан» ².

Таинственные знаки такого же очертания, но только не с прямыми, ас косыми крестами, обнаружены были и в таких домах, где дворниками служили пришедшие из деревень русские крестьяне. Здесь уже не трудно было выяснить истинных авторов «тайнописи», вовсе не подозревавших, что их безыскусственные обозначения номеров квартир только теперь были замечены и вызвали такой переполох.

СТАРИННАЯ НАРОДНАЯ НУМЕРАЦИЯ

Откуда взяли петроградские дворники этот простой способ обозначения чисел: кресты — десятки, палочки — единицы? Конечно, не придумали этих знаков в городе, а привезли их из родных деревень. «Нумерация» эта давно уже в широком употреблении и понятна была каждому, даже неграмотному крестьянину. Восходит она, без сомнения, к глубокой древности и употребительна не только у нас. Не говоря уже о родстве с китайскими обозначениями, бросается в глаза и сходство этой упрощенной нумерации с римской: и в римских цифрах палочки означают единицы, косые кресты — десятки.

Любопытно, что эта народная нумерация была некогда у нас даже узаконена: по такой именно системе, только более развитой, должны были вестись сборщиками податей записи в податной тетради. «Сборщик,— читаем мы в старом «Своде законов», — принимая от кого-либо из домохозяев вносимые к нему

¹ Их было много тогда в Петрограде. Позднее я узнал, что китайский Иероглиф для 10 имеет как раз указанную форму креста (китайцы не употребляют наших «арабских» цифр).

* Читателю наших дней покажется, вероятно, очень странным, что знаки эти оставались до дней Февральской революции неЗа- меченными. Напомню, однако, что большинство живших в квартирах с двумя входами пользовались обычно только парадной лестницей и впервые вышли на черную в дни революции, когда парадные двери были закрыты.