ЗАДАЧИ
XXXIX олимпиада
1.1. В соревнованиях по гимнастике Нина, Зина, Валя и Галя заняли четыре первых места. Известно, что Зина выступила хуже Нины, Галя заняла место сразу за Ниной, а Валя выступила ни хуже, ни лучше остальных. Какое место заняла каждая девочка?
(4—5 кл.)
2.1. Среди 46 натуральных чисел имеется 35 чисел, делящихся на три, и 12 чисел, делящихся на семь. Доказать, что среди данных чисел найдется число, делящееся на 21.
(4—5 кл.)
3.1. Вдоль желоба расположены в ряд 100 разноцветных шаров с периодическим повторением цветов в следующем порядке: красный, желтый, зеленый, синий, фиолетовый. Какого цвета шар находится на 78-м месте?
(4—5 кл.)
4.1. Пластинку массой 11 г разрезать на три части так, чтобы, используя эти части в качестве гирь, можно было отвесить на ча-шечных весах любое целое число граммов от 1 г до И г.
(4—5 кл.)
5.1. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Доказать, что найдется класс, в котором не менее 34 учащихся.
(4—5 кл.)
6.1. Ученику дали полоску бумаги, состоящую из десяти клеток, расположенных в ряд. В первой клетке написано было число 9, а в предпоследней — число 5. Можно ли заполнить остальные восемь клеток числами так, чтобы сумма любых трех соседних чисел была бы равна 14?
(4—5 кл.)
7.1. Квадрат разделили на 9 равных квадратов и в центральном квадрате написали цифру 0. Можно ли в оставшихся восьми квадратах написать цифры от 1 до 8 так, чтобы во всех трех строках и трех столбцах квадрата сумма цифр была одинакова?
(4—6 кл.)
3
8.1. Квадрат размером 5x5 требуется разрезать на четыре части так, чтобы из них можно было сложить два квадрата: один размером 4x4, а другой размером 3x3.
(4—7 кл.)
9.1. Если Петя будет выполнять некоторую работу так, что в каждый следующий день он будет делать в два раза больше, чем во все предыдущие дни, то на всю работу у него уйдет 12 дней. За сколько дней эту работу выполнят Петя и Коля, если Коля будет работать точно так же, как и Петя?
(4—8 кл.)
10.1. К числу 52 приписать справа и слева по одной цифре так, чтобы получилось число, делящееся на 45.
(5—6 кл.)
11.1. Какое число при делении на 23 дает в остатке в семь раз больше, чем в частном?
(5—6 кл.)
12.1. Найти наименьшее натуральное число, состоящее из оди-наковых цифр и делящееся на 18.
(5—6 кл.)
13.1. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов, содержащих все же 12% воды. Сколько процентов воды содержится в свежих грибах?
(5—7 кл.)
14.1. Пешеход прошел некоторый путь за 2,5 часа, причем за любой промежуток времени, продолжительностью в один час, он проходил 5 км. Можно ли утверждать, что весь путь пешеход прошел со средней скоростью 5 км в час?
(5—8 кл.)
15.1. При делении числа М на 54 в частном получилось число q и в остатке 37. Сколько получится в частном и в остатке при делении числа М на 18?
(6—7 кл.)
16.1. Вычислить: 2!5 —214 —213—... —21—1.
(6—7 кл.)
17.1. Доказать, что при любом а имеет место неравенство:
(За —6) (2а2 —а3) 0.
(6—7 кл.)
18.1. На какое наименьшее натуральное число нужно умножить 720, чтобы получился куб натурального числа?
(6—7 кл.)
19.1. В прямоугольнике ABCD на сторонах ВС и CD взяты произвольные точки К и М. Доказать, что площадь треугольника АКМ меньше площади треугольника АВС.
(6—7 кл.)
20.1. Мальчик написал некоторое число. На втором месте он написал число 7, на третьем — разность между вторым и первым числом, на четвертом — разность между третьим и вторым числом и т. д. Какое число получится на 200-м месте?
(6—8 к л.)
4
at J at у
=1, Vt2 = l, = 1-
2 2
Выразив t2 из второго уравнения и подставив в третье, получим: l=2v2:a. Теперь первое уравнение примет вид:
(3 / 1 Ог;2 и
= , т. е. a2t\ +2rw?i — 4с,2 = 0. 2 а
—av+ У a?v2+4a2v2 v , .
откуда Л = = (J/ 5—1) .
а2 а
41.3. Задача допускает бесконечно много решений. Одно из них показано на рисунке 30. Требованиям задачи удовлетворяют пяти-угольники ABCDEi и ABCDE2 (вершины Е{ и Е2 симметричны от-носительно прямой AD). Пользуясь указанными размерами, легко подсчитать, что площадь пятиугольника ABCDEX равна 24, а площадь пятиугольника ABCDE2 равна 12.
Рис. 30
42.3. При решении задачи используется тот факт, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Возьмем произвольную точку О и опишем из нее как из центра окружность произвольного радиуса. На полученной ок-ружности возьмем произвольную точку А и раствором циркуля, равным радиусу окружности, построим точку В, симметричную точке А относительно центра окружности. Таким образом, точки А, О, В лежат на одной прямой, так как они принадлежат большей диагонали правильного шестиугольника, вписанного в окружность.
43.3. Обозначим центр окружности через О и положим АМ = х, СМ = у. Повернем треугольник АМВ вокруг точки О на угол 90° так, чтобы точка А перешла в точку С (рис. 31). Так как угол АМВ прямой, то точка М перейдет в некоторую точку Е данной окружности такую, что СЕ\\МВ (после поворота на угол 90° отрезок АМ, перпендикулярный МВ, перейдет в отрезок СЕ, параллельный МВ). Следовательно, трапеция МВЕС равнобокая, т. е. /.МВЕ = ZBMC. Но угол ВМС вписанный. Он опирается на дугу ВС, содержащую 90°, т. е. Z.BMC= ЛМВЕ = 45°.
43
Из точек С и Е на прямую МВ опустим перпендикуляры СК и ЕР. Теперь легко находим, что МВ=МК+КР+РВ—у: у4 24- + х+у. V 2 = 1/)/ 24-х. Аналогично, повернув треугольник CMD вокруг точки О так, чтобы точка С перешла в точку А, найдем, что MD = x У24-//. Окончательно имеем: MB-\-MD = y ]/ 2+х + х}/ 24- + у= (х+у) (1 4- V2) = а(14- /2‘).
44.3. Имеем: 10101 ... 101 = 1 4- Ю2 + 104+ ... 102* =
10вА -100—1 = (10fe+1-l)(10’+14-l)
99 99
Полученное число есть число целое, так как оно является суммой членов целочисленной геометрической прогрессии. Очевидно, что при £ 2 каждая из скобок числителя будет больше 99. Поэтому после сокращения с числом 99 оставшиеся в обеих скобках числа будут больше единицы. А это значит, что данное число есть составное.
45.3. В левой части уравнения имеем возрастающую функцию. Следовательно, каждое свое значение она принимает только один 5
раз. Легко видеть, что значение она принимает при х= — 1.
6
Это и будет единственное решение данного уравнения.
46.3. Предположим, что существуют такие простые р и q, для которых выполняется равенство р2 — q2 = 4048. Очевидно, что q^2 и q=^3, так как в этом случае мы бы имели соответственно р2=4052 и р2 = 4057, что невозможно, поскольку квадрат целого числа не может оканчиваться ни на 2, ни на 7. Следовательно, p q 3. Всякое простое число р 3 имеет вид: р=3 4-1 или р = Зб4-2. Тогда р2 = 9 24-6/г-|-1 = 3(3 24-2£) 4-1 или р2 = 9 24- 4-12£4-4 = 3(3 24-44-1) 4-1. Таким образом, р2 при делении на 3 дает в остатке 1. Аналогичное заключение справедливо и для q2.
44
Но тогда разность р2 — q2 должна делиться на 3. Однако число 4048 на 3 не делится.
47.3. Положим х— 2+ у7 3. Возведя в куб, получим:
х3 = 2+3^'4-^3+3^1’ 1^94-3=5+3 у ‘б(у 2+ з'з).
Таким образом, х3 = 5+3 у 6«х, т. е. (х3 —5)3= 162х3 или оконча-тельно: х9—15х6 — 87х3—125 = 0.
48.3. Пусть а2, ... , ап —данные натуральные числа. Рас
смотрим п чисел:
«1,
fli + a2,
flit + ^2 + ^3,
О] + ^24“ ... + Пп.
Если какое-нибудь из этих чисел делится на п, то утверждение задачи справедливо. В противном случае при делении на п эти числа дают остатки, среди которых будет не более n—1 различных. А так как всех чисел п, то по крайней мере два остатка совпадут. Тогда разность чисел с совпадающими остатками делится на п. Но эта разность в любом случае есть либо одно из данных чисел, либо сумма нескольких рядом стоящих чисел.
49.3. Пусть ZAZAi. На луче В А возьмем точку D так, чтобы Z.ACD= Z.A{B\C\ (рис. 32). Тогда треугольники ACD и AiBjCi подобны, так как Z.CAD= 180°— Z.BAC= Z.B{AXC\ и Z.ACD = = ZA1B1C1 (по построению). Из подобия указанных треугольников имеем: = = = k, т. е.
BtCi А1С i
CD = k‘BlCl,AC=k‘AlBi, AD = k-AlCl.
Воспользуемся тем, что площадь треугольника BCD равна сумме площадей треугольников АВС и ACD. Тогда
—! BC-CD-sin ZBCD=-±—-AB-ACsin ZBAC+ —AC-
222
• AD sin sCCAD.
Отсюда, приняв во внимание, что Z.BCD= Z.BCA + Z.ACD = = Z.BCA + ^.АВС— Z.CAD, т. е. sin ZBCDsin Z_BAC=sinZ_CAD, получим: ВС-CD=AB• АС+АС-AD.
Подставив в последнее равенство вместо CD, AC, AD полученные выше соответственно равные им выражения k • В\С\, k • Л]ВЬ k‘A}C\, окончательно будем иметь: ВС-BiCi=AB • A\Bi+AC•Л1С1.
50.3. Опишем около цилиндра куб со стороною 2 и разрежем его на 8 меньших кубов со стороною 1. Тогда хотя бы в одном из меньших кубов окажется не менее двух точек. Расстояние между ними не превосходит диагонали куба, т. е. К 3.
