Геометрия пробный учебник для 6 класса (Александров, Вернер, Рыжик) 1984 год - старые учебники

Задачи к § 4 52

• 5. Некоторые применения первых теорем о треугольниках 58

Задачи к § 5 . . _. . 64

• 6. Четырехугольники 67

Дополнение к § 6 73

Задачи к § 6 . . 76

Задачи к главе I 81

Глава II. Измерение величин 85

• 7. Операции с отрезками . —

Дополнение к § 7 89

Задачи к § 7 . 92

• 8. Измерение длины 93

Дополнение к § 8. 98

Задачи к § 8 . 101

• 9. Операции с углами 105

Дополнение к § 9. 110

Задачи к § 9 . 113

• 10. Измерение углов . 116

Дополнение к § 10 . 119

Задачи к § 10 . 122

• 11. Сумма углов треугольника . 124

Задачи к § 11 . 127

• 12. Многоугольные фигуры и многоугольники . 137

Задачи к § 12 . 143

• 13. Площадь 149

Дополнение к § 13 158

Задачи к § 13 . 159

Задачи к главе II 172

ГЛАВА I.

НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ

• 1. О ЧЕМ И ЗАЧЕМ ГЕОМЕТРИЯ

1.1. Геометрические фигуры

В геометрии изучают форму и размеры предметов, вовсе не принимая во внимание другие их свойства: массу, цвет, твердость и т. д. От всего этого отвлекаются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «фигура». Говорят еще «геометрическая фигура», потому что слово «фигура» употребляется и в других смыслах; например, ферзь в шахматах — фигура.

Укажем некоторые геометрические фигуры: отрезок, луч, прямая, угол, окружность, круг, треугольник, квадрат и др. (рис. 1).

Все это плоские фигуры — они укладываются на плоскости. Вам известны и пространственные фигуры: куб, прямоугольный параллелепипед, шар и др. (рис. 2).

Объединение фигур тоже фигура. Так, например, на рисунке 3 изображена фигура, которая получается объединением круга и квадрата (для различных случаев их взаимного расположения).

Общая часть двух фигур, или, как говорят, пересечение двух фигур, тоже фигура, как, например, на рисунке 4 фигура F. Часть фигуры тоже фигура.

Рис. I

Рис. 2

Рис. 6

В геометрии изучают любые фигуры, но мы будем заниматься только простыми фигурами.

Самая простая фигура — это точка.

В геометрии отвлекаются не только от свойств предметов, кроме формы и размеров, но частично и от самих размеров. Точки мыслятся как не имеющие никаких размеров, отрезки и любые линии — как не имеющие ни ширины, ни толщины, плоскость — как не имеющая толщины.

Можно сказать, что геометрия — это наука о фигурах, а фигура — это мысленный образ предмета, в котором сохраняются только форма и размеры, и только они принимаются во внимание. Так отрезок — это мысленный образ тончайшей натянутой нити.

1.2. Первая задача геометрии

Одна из первых задач геометрии состоит в сравнении фигур (на практике в сравнении форм и размеров предметов).

Принято говорить, что в геометрии две фигуры называются равными, если они совпадут при наложении друг на друга. Часто так и поступают на практике, сравнивая реальные предметы. Например, сравнить два прямоугольных листа бумаги или два стекла можно, просто наложив их друг на друга. Или другой пример: когда вы покупаете новую пару обуви, то контролер прикладывает друг к другу подошвами ботинки или туфли из этой пары, проверяя,

одинаковы ли они.

Но если каждый легко может сравнить два небольших стекла, приложив их друг к другу, то как, скажем, наложить друг на друга стекла для больших витрин? Одному человеку это не под силу. Оказывается, достаточно сравнить несколько размеров этих стекол. При этом можно обойтись без рулеток и мерных линеек, одной бечевкой. Но как с помощью бечевки сравнить два четырехугольных стекла, сколько размеров достаточно сравнить, чтобы убедиться, что стекла одинаковые? Геометрия отвечает на этот вопрос: для этого достаточно пяти сравнений — четырех сторон и одной диагонали (диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные углы, рис. 7). На практике так и поступают, сравнивая края и одну диагональ.

Задача геометрии как науки и состоит в том, чтобы обосновать этот способ, показать, что такое сравнение четырехугольных фигур совершенно точно. Это мы и докажем позже.

Если трудно наложить одно большое стекло на другое, то для стен домов или участков земли это вовсе невозможно. Поэтому их сравнение можно осуществить только сравнением некоторых размеров.

Одинаковые участки земли — это, говоря языком геометрии, равные фигуры. Но равны они, конечно, не в том смысле, что их можно на самом деле наложить

одна на другую. Фигуры равны, Рис. 7

если их мысленно можно наложить одну на другую так, чтобы они совпали, не изменяя при этом в них никаких размеров. Но даже мысленное наложение одного участка земли на другой требует слишком большого воображения. Поэтому в теории, как и на практике, сравнивают размеры фигур, расстояния между соответствующими точками в одной фигуре и в другой.

Таким образом, первая задача геометрии состоит в сравнении фигур путем сравнения в них отдельных размеров, т. е. в выяснении того, какие размеры достаточно знать, чтобы судить, равны фигуры или нет.

При сравнении размеров часто пользуются их измерением. Но само измерение тоже есть сравнение. Так, измеряя длину предмета, его сравнивают с тем предметом, который представляет единицу длины, например с метровой линейкой или с сантиметровым участком линейки, т. е. с образцом.

Словом, сравнение фигур включает также измерение геометрических величин, таких, как длина, величина угла, площадь. Оно основано на геометрии. Чтобы обосновать точные измерения, точное изготовление измерительных инструментов, начиная с простой линейки, нужна геометрия.

1.3. Самая первая задача геометрии. Построения

Мы только что сказали о сравнении предмета с образцом. Но чтобы иметь образец, надо его сделать. Поэтому можно сказать, что самая первая задача геометрии состоит в том, чтобы указать, как делать нужные по форме и размерам образцы предметов, какие размеры необходимо выдержать, чтобы получился такой предмет, какой нужно. Такую задачу решают, когда делают разметку на заготовке для изготовления какой-нибудь детали или разметку на материале для того, чтобы скроить одежду, и т. п.

В геометрии занимаются фигурами и говорят не о том, чтобы сделать фигуру, а о том, чтобы построить ее, говорят о геометрических построениях. Например, как построить равносторонний треугольник (т. е. такой треугольник, у которого все стороны равны), как построить квадрат, у которого стороны равны данному отрезку.

Итак, самая первая задача геометрии состоит в том, чтобы давать точно обоснованные правила для построения фигур с заданными свойствами.

Но часто, чтобы построить фигуру с нужными свойствами, до

статочно обеспечить, чтобы она обладала лишь некоторыми из них или даже какцми-то другими свойствами. Например, еще в Древнем Египте знали, что построить прямой угол можно, построив треугольник со сторонами 3, 4, 5 — «египетский треугольник». Почему один из углов этого треугольника прямой? Какие свойства фигуры надо обеспечить, чтобы оказались обеспеченными и другие ее свойства? Это типичные вопросы геометрии.

1.4. Другие задачи геометрии

Поставленный в конце предыдущего пункта вопрос представляет собой частный случай второй общей задачи геометрии: по одним свойствам фигур заключать о других их свойствах; в частности, при построении фигуры необходимо знать, какие свойства ее надо обеспечить, чтобы сами собой получались и другие нужные свойства. Можно ли, например, измерив только длины, судить об углах фигуры? Как, например, проверить, будет ли бетонная плита или верхняя крышка стола в точности прямоугольником? Как сделать такую проверку, не имея ни угольника, ни транспортира?

Плотник или столяр проверяет, будет ли крышка стола прямоугольником, сравнивая с помощью бечевки противоположные ее края, а также диагонали (рис. 8). Если противоположные края оказываются одинаковой длины и длины диагоналей тоже одинаковы, то крышка стола прямоугольная — все ее углы прямые. В самой геометрии речь идет не о плитах и крышках столов, а о фигурах, в данном случае о четырехугольниках. Если у четырехугольника противоположные стороны, как и диагонали, равны, то ой прямоугольник (рис. 9).

Это утверждение мы докажем позднее. Оно вовсе не очевидно и замечательно тем, что из сравнения отрезков получается вывод об углах.

Постройте треугольник, равновеликий данному, но не равный ему. е) Может ли треугольник с очень большими сторонами иметь очень маленькую площадь? Например, треугольник не умещается в квартире, а его площадь равна 1 мм², ж) В треугольниках АВС и АВ > Д1В_Х, ВС > BjC_lt СА > Следует ли отсюда, что |ДВС| >| Л₁В₁С₁|. з) Перед вами треугольная металлическая пластина. Как вы вычислите ее площадь? и) Известно, что р, q, г — три величины в треугольнике: площадь, длина одной из сторон и длина одной из высот. Кроме того, известно, что р • г — 2q. Можете ли вы узнать, какая из величин обозначена этими буквами? А если р, q, г не величины, а их численные значения? к) Нарисуйте круг, а в нем два радиуса с маленьким углом между собой. Придумайте способ для приближенного нахождения площади фигуры, ограниченной этими радиусами и дугой, которая лежит внутри маленького угла.

75. Площадь одного треугольника больше площади другого треугольника. Будет ли и периметр его больше?

76. Два треугольника имеют одинаковую высоту. Докажите, что их площади относятся как основания. Придумайте сами похожую задачу.

77. В треугольнике АВС провели медиану АА_г. а) Докажите, что площади полученных частей треугольника равны, б) Возьмите на медиане какую-нибудь точку и соедините ее с вершинами В и С. Укажите на рисунке треугольники, равные по площади.

78. Какой бы треугольник ни нарисовал Федя, Вася может, ничего не измеряя, нарисовать треугольник, равновеликий этому, но не равный ему. Как он это делает?

79. На стороне АС треугольника АВС взята точка К, а на отрезке ВК — точка L. Проведены отрезки LA и LC. Сравните площади образовавшихся треугольников, если: а) К — середина АС, \BL\ : \LK\ = 2:1; б) |АК| : |КС| = 2 : 1, L — середина ВК; в) | АК| : |КС| = 2:1, \BL\ : |LK| = 2:1.

80. На рисунке 230 найдите неизвестную площадь треугольника.

В

81. Докажите, что треугольник с двумя равными высотами равнобедренный.

82. Докажите, что равны соответственные высоты двух равных треугольников.

Рис. 230

83. ABCD — прямоугольник. X — переменная точка стороны ВС. Докажите, что площадь треугольника AXD постоянна.

84. Рассмотрим равнобедренные треугольники с данной боковой стороной. Докажите, что наибольшую площадь из всех таких треугольников имеет прямоугольный треугольник.

85. Рассмотрим равновеликие треугольники с одним и тем же основанием. Докажите, что наименьший периметр среди них имеет равнобедренный треугольник. Докажите далее, что из всех равновеликих равнобедренных треугольников наименьший периметр имеет равносторонний треугольник.

86. Нарисуйте равнобедренный треугольник АВС с основа- ванием АС. Возьмите точку X на основании. Из нее на боковые стороны проводятся перпендикуляры. Докажите, что их сумма не зависит от выбора точки X на стороне АС. Останется ли это верным, если точку X брать внутри равнобедренного треугольника? А если ее брать внутри равностороннего треугольника и проводить перпендикуляры на все его стороны?

87. Если в треугольнике АВС угол С и одна из прилежащих к нему сторон АС не изменяются, а другая ВС изменяется, то отношение h_b : а не изменяется. Докажите это.

88. В треугольнике провели среднюю линию, т. е. отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Какую часть площади данного треугольника составляет площадь полученного треугольника?

89. Две стороны треугольника имеют длины d_x и d_t. Каково наибольшее значение площади этого треугольника?

90. В треугольнике со сторонами a, b, с а > b > с. Расположите в порядке возрастания его высоты h_a, h_b, h_c.

91. Может ли в треугольнике одна высота: а) равняться сумме других высот; б) быть больше суммы других высот?

92. Сторона равностороннего треугольника увеличилась в два раза. Как изменилась его площадь?

93. На стороне АВ треугольника АВС взята середина — точка К, на стороне АС взята точка L, такая, что |AL| : |LC| = 2 : 1. Найдите отношение |/1KL| : \BKLC\. Обобщите задачу.

94. На стороне данного треугольника Федя нарисовал прямоугольник, равновеликий этому треугольнику. Но пришел Вася и, конечно, стер треугольник. Сможете ли вы его восстановить?

95. В прямоугольном треугольнике с углом 30° через середину гипотенузы провели прямую, ей перпендикулярную, а) Какую часть площади треугольника составляет площадь меньшей полученной части? б) Составьте и решите обратную задачу.

96. В треугольной пирамиде A BCD через середины ребер АВ, AC, AD провели отрезки. Какую часть от площади поверхности данной пирамиды составляет площадь поверхности образовавшейся пирамиды?

97. В треугольной пирамиде РАВС грани РАС и РАВ — прямоугольные треугольники (Z-A — прямой). АВ = АС. Докажите, что |РВС| > | АВС[.

98. В треугольной пирамиде РАВС все углы при вершине Р прямые и все боковые ребра равны. Докажите, что грань АВС самая большая по площади из всех ее граней.

Задачи к главе II

1. Нарисуйте выпуклый четырехугольник. Найдите в нем такую точку, для которой сумма расстояний до всех его вершин наименьшая. Сможете ли вы найти такую точку в невыпуклом четырехугольнике?

2. Нарисуйте выпуклый четырехугольник, а) Пусть вершины другого четырехугольника лежат внутри сторон первого. Докажите,что периметр первого четырехугольника больше периметра второго четырехугольника, б) Пусть вершины второго четырехугольника лежат внутри первого. Докажите, что периметр первого четырехугольника больше, чем периметр и этого четырехугольника.

в) Составьте и решите аналогичную задачу для других выпуклых многоугольников, г) Изменятся ли полученные результаты, если внутри будут находиться невыпуклые многоугольники? д) Изменятся ли полученные результаты, если будет дан невыпуклый многоугольник?

3. Перед вами металлический предмет в форме круга. Как вы найдете его центр?

4. Пусть АВС и KLC — два прямоугольных треугольника с прямым углом при вершине С. Катеты СК и CL одного являются продолжением катетов СВ и СА другого (соответственно), причем СК = СА, CL = СВ. В треугольнике АВС проведена высота из вершины С, а в треугольнике KLC проведена медиана из вершины С. Докажите, что эти отрезки лежат на одной прямой.

5. На сторонах квадрата во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Докажите, что их вершины, не лежащие на сторонах данного квадрата, являются вершинами нового квадрата. Изменится ли этот результат, если треугольники строить вовнутрь квадрата? Изменится ли результат, если вместо равносторонних треугольников строить равные равнобедренные треугольники с основанием на стороне квадрата?

6. Три равнобедренных треугольника РАВ, РВС, PCD имеют основаниями отрезки АВ, ВС, CD. Они расположены так, что прямая AD пересекает отрезки РВ и PC. Обозначим точки пересечения К и L. Докажите, что треугольник PKL равнобедренный.

7. Нарисуйте отрезок. Возьмите циркуль. Постройте только с его помощью отрезок, который в два раза больше данного. (Достаточно построить концы такого отрезка.)

8. Нарисуйте окружность и проведите в ней диаметр. Ответь

те, под каким углом виден этот диаметр из произвольной точки:

а) окружности; б) внутри круга; в) вне круга. (В любом случае

точка не берется на диаметре или его продолжении.)

9. Дан отрезок. Какую фигуру образуют все точки, из которых он виден под прямым углом?

10. Дан прямоугольник площадью S. Два прямоугольника,

S площадью — каждый, 2

наложили на данный прямоугольник так,

что каждый из них имеет с данным общую сторону. Какова площадь оставшейся части?

11. Через веошины квадрата перпендикулярно его диагоналям проведены прямые до их взаимного пересечения. Сравните площадь

полученного четырехугольника с площадью квадрата. Сможете ли вы решить аналогичную задачу, если будет дан не квадрат, а прямоугольник? А для произвольного выпуклого четырехугольника?

12. В прямоугольнике ABCD со сторонами и d₂ провели биссектрисы углов А и D. Они пересеклись в точке М, а сторону ВС пересекли в точках KuL. Чему равна площадь треугольника KLM?

13. В прямоугольнике провели биссектрисы всех его углов. Четыре точки их пересечения являются вершинами некоторого многоугольника. Можете ли вы найти его площадь, если известна площадь данного прямоугольника?

14. Прямая, перпендикулярная одной из сторон прямоугольника, делит пополам его площадь. Докажите, что она делит пополам и его периметр. Сформулируйте и проверьте обратное утверждение. Будет ли верно исходное утверждение, если прямая будет делить пополам площадь, не будучи перпендикулярной стороне прямоугольника? А обратное?

15. Нарисуйте треугольник. Постройте треугольник, равновеликий ему и при этом: а) равнобедренный; б) равносторонний.

16. Каждая из высот треугольника меньше 1. Может ли площадь треугольника быть больше 1? Больше 1000? Больше любого наперед заданного числа?

17. Нарисуйте треугольник АВС. На его сторонах ВА и ВС отметьте середины К и L. По стороне АС движется точка X (от А к С). Какие значения принимает площадь четырехугольника XKBL?

18. Внутри квадрата находится треугольник. Докажите, что его площадь не больше половины площади квадрата.

19. Пусть АВ — диаметр данного круга с центром О. Через середину К радиуса О А проведена хорда LM. Какую часть составляет площадь треугольника OLM от площади четырехугольника AMBL?

20. Внутри выпуклого многоугольника с равными сторонами каким-то образом движется точка. Из нее проводятся перпендикуляры на его стороны или их продолжения. Докажите, что сумма длин этих перпендикуляров не зависит от положения точки.

21. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Диагональ АС делит его площадь пополам.

1) Докажите, что: а) перпендикуляры, проведенные из точек В и D на эту диагональ, равны; б) диагональ BD делится диагональю АС пополам.

2) Сформулируйте и проверьте утверждение, обратное б).

22. Четырехугольный участок земли требуется разделить пополам. Сможете ли вы это сделать?

23. Пусть АВС — правильный треугольник площадью S. Каждая его сторона продолжается на равный отрезок: АВ — за вершину 5, ВС — за вершину С, СА — за вершину А. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются концы продолженных отрезков. Составьте и решите такую же задачу для квадратов. Попробуйте это сделать для других многоугольников.

24. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, точки К и L — середины его сторон: а) ВС и CD\ б) ВС и AD. Вычислите отношение \BKDL\ : \ABCD|.

25. В выпуклом четырехугольнике A BCD точка /С взята на стороне АВ, причем |Л/<| : |/<В| = 2 : 1, а точка L взята на стороне СО, причем \CL\ : \LD\ = 2 : 1. Вычислите \AKCL\ : \ABCD |.

26. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки К и L делят сторону А В на три равные части, точки М и N делят сторону CD на три равные части. Вычислите : |ЛBCD |.

27. В выпуклом четырехугольнике каждая сторона разделена на три равные части. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены отрезками так, что внутри данного четырехугольника образовался другой четырехугольник. Вычислите отношение площадей полученного и данного четырехугольников.

28. Стороны выпуклого четырехугольника разделены пополам. Середины его сторон являются вершинами другого четырехугольника. Докажите, что его площадь составляет половину площади данного четырехугольника. Пусть теперь на каждой стороне взяты точки, которые делят стороны в одном отношении (по обходу гра' ницы — в одном направлении). Докажите, что площадь полученного многоугольника не меньше половины площади данного четырехугольника.

29. Ясно, что куб можно разбить на прямоугольные параллелепипеды. А на сколько? Куб можно разбить и на кубы. Как? На сколько? Сможете ли вы разбить куб на пирамиды? Попробуйте сначала на четырехугольные, а потом на треугольные. Сможете ли вы разбить куб на три четырехугольные пирамиды?

30. В правильной четырехугольной пирамиде РА BCD все ребра равны d. Чему равна площадь треугольника РАС?

31. Почему линия сгиба листа бумаги — отрезок?