НОВЫЙ ЗАДАЧНИК ПО ГЕОМЕТРИИ (Перельман) 1925 год скачать Советский учебник

IV. Треугольник. 

      Стороны и периметр треугольника. — Три случая равенства треугольников. — Равенство прямоугольных треугольников. — Перпендикуляр из середины отрезка, как геометрическое место. — Бис сектриса угла, как геометрическое место. 

      Задачи 100 — 125 27 

      Темы практических работ 32 

      V. Углы при параллельных прямых. 

      Задачи №№ 126 — 138 33 

      Темы практических работ 34 

      VI. Углы треугольника. 

      Сумма углов треугольника — Прямоугольный треугольник с углом в 45°. — Прямоугольный треугольник с углом в 30°. 

      Задачи №№ 139-170 36 

      Темы практических работ .. 39 

      VII. Углы и диагонали многоугольника. 

      Задачи №№ 171 — 187 40 

      Темы практических работ. 41 

      VIII. Параллелограмм. 

      Свойства углов, сторон и диагоналей параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата. — Свойства прямой, проведенной через середину стороны треугольника параллельно другой стороне. — Пересечение непараллельных прямых рядом равноотстоящих параллельных. 

      Задачи №№ 188 — 235 42 

      Темы практических работ 50 

      IX. Прямые и углы в круге. 

      Разыскание центра. — Хорды. — Касательные. — Вписанные углы. — 

      Углы между хордами, между секущими, между касательными, между хордой и касательной. — Вписанные и описанные фигуры. — Взаимное расположение окружностей. — Сопряжение прямых н дуг дугами. 

      Задачи 236 — 302 51 

      Темы практических работ 59 

      X. Длина окружности и дуги. 

      Длина окружности и дуги (задачи 303 — 362) 6 

      Бесконечный ремень. Зубчатые колеса 67 

      Задачи 363 — 378 69 

      Токарный станок 73 

      Задачи №№ 379 — 385 75 

      Угловая величина (угол зрения) 76 

      Задачи ЛЕМ 386 — 418 79 

      Темы практических оабот 84 

      XI. Площадь прямоугольника. 

      Задачи №№ 419 — 14 6 8 

      Практические работы (447 — 449) 89 

      Темы практических работ — 

      XII. Площадь треугольника, параллелограмма и трапеции. 

      Задачи 450 — 467 91 

      Темы практических работ 96 

      XIII. Извлечение квадратного корня. 

      Способы извлечения 96 

      Задачи 468 — 481 99 

      XIV. Теорема Пифагора. Стороны правильных вписанных многоугольников. 

      Задачи №№ 482 — 552 101 

      Темы практических работ 110 

      XV. Площадь круга. 

      Задачи 553-606 111 

      Практические работы (607 — 611) 117 

      Темы практических работ 118 

      XVI. Подобие плоских фигур. 

      Подобие треугольников. — Отношение площадей подобных фигур. — Свойства перпендикуляра, опущенного из точки окружности на диаметр. 

      Задачи №№ 612 — 667 119 

      Темы практических работ 131 

      XVII. Вычисление поверхности и объема тел. 

      Извлечение кубичного корня 132 

      Прямой параллелепипед, прямая призма, пирамида (№№ 668 — 707). — 

      Цилицдр (№№ 708 — 756) 138 

      Конус №№ 757 — 764) 144 

      Шар (№№ 765 — 802) 146 

      Отношение площадей и объемов подобных тел (№№ 803 — 828) 150 

      Ответы 154 

      Таблица квадратных и кубичных корней из чисел от 1 до 1000 107 

      Предметный указатель 169  

ПРЕДИСЛОВИЕ. 

      Геометрические задачи редко возникают на практике в той отвлеченной форме, в какой они обычно предлагаются задачниками. В реальной жизни, в технике, в науке геометрическая сторона задачи большею частью заслоняется, затушевывается посторонними элементами, из которых ее необходимо выделить, прежде чем приступить к решению. Нередко уже одно такое обнажение геометрической основы реального задания почти равносильно его разрешению, нотому что приводит запутанный вопрос к ясной математической схеме. Но умение отыскивать в конкретной задаче ее геометрическую основу, переводить реальный вопрос на язык геометрии, требует особого навыка; и, конечно, он не может быть приобретен упражнением исключительно на готовых схемах, обычно предлагаемых задачниками. Отсюда та геометрическая беспомощность, которая наблюдается у большинства изучавших геометрию, когда они сталкиваются с геометрическими задачами в жизненной практике: они не знают, как применить в конкретном случае свои вполне достаточные геометрические познания, а зачастую даже и не подозревают, что подлежащий разрешению вопрос есть задача геометрическая. Между тем, едва ли можно оспаривать, что умение прилагать свои математические иознания на практике, за пределами тетради и классной доски, есть один из существенных элементов математического развития и должно воспитываться школой. Каков бы ни был выбор теоретического материала для школьного курса геометрии, как бы ни распределялся он по концентрам, каким бы методом нн доводился до сознания учащихся, — необходимо чтобы они умели прилагать приобретенные теоретические познания 

      к разрешению реальных задач. Это может быть достигнуто лишь систематическим упражнением в решении задач с реальным содержанием, приближающихся по своей форме к тем, какие возникают в действительной жизнн. Отсюда — необходимость пополнить существующие сборники геометрических задач подбором упражнений особого рода, преследующих указанную цель. 

      Такого рода реальные задачи и преобладают в настоящем сборнике. В этом задачнике, преимущественно во вторых двух третях его, составитель стремился собрать возможно больше примеров разнообразного применения геометрии в технике, естествознании, мироведении и обиходной жизни, преследуя попутно цель наглядно убедить в широкой и плодотворной приложимости даже весьма скромных геометрических познаний. О том, откуда почерпался материал для задач, можпо судить по имеющемуся в книге предметному указателю. Многие задачи по внешнему выражению совсем не походят на привычный тип геометрических упражнений. Такие, например, задачи, как 324-я: «Почему передняя ось телегн больше стирается, нежели задняя?» илн 828-я: Два полных самовара, большой и малый, одинаковой формы, нагреты одинаково. Какой остынет скорее?», — могут с первого взгляда показаться попавшими в геометрический задачник по недоразумению. Однако, это по существу задачи геометрические, только не переведенные на условный язык математических схем, а взятые непосредственно в той форме, в какой они возникают в реальной жизни. 

      Элементарные технические задачи сборника никаких специальных познаний от учащегося не требуют. Числовой материал их сообразован с соответствующими «Урочными положениями». От намеренного подбора чисел, облегчающего выкладки, составитель во многих случаях воздерживался, так как искусственный подбор противоречит основной цели сборника — подготовит.» к решению задач в реальных условиях. 

      В связи с такой тенденцией сборника, некоторые отделы в нем разработаны подробнее общепринятого масштаба. Это прежде всего относится к главе X — «Длина окружности»: здесь, помимо задач обычного типа, имеются особые параграфы и соответствующие упражнения, относящиеся к расчету ременной и зубчатой передачи и к работе токарного станка, как примеры технического применения геометрических знаний, — а также задачи на вычисление угла зрения или угловой величины предметов, в виду исключительно важного общеобразовательного значения этих понятий. Больше обычного уделено внимания отношению поверхностей и объемов подобных тел, — роду задач, весьма часто возникающих на практике н разрешаемых в обиходной жнзни неправильно. — Составитель, однако, вовсе не предлагает пользующимся книгой проделывать нодряд все ее упражнения. Едва ли найдется такой состав учащихся, которому были бы знакомы все отделы техники и общего знания, затрагиваемые в задачах сборника. Разнообразный подбор предлагается именно для того, чтобы преподаватель мог черпать из него упражнения, относящиеся к знакомым учащимся предметам, пропуская остальные *). 

      Имея в виду, что прохождение геометрии нередко опережает изучение алгебры, составитель стремился сделать настоящий задачник,, пригодным, между прочим, и для таких учащихся, которые либо вовсе не изучали еще алгебры, либо знакомы лишь с ее начальными основаниями. Однако, сборник на-ряду с этим пригоден, конечно, и для более сведущих учащихся. 

      Так как настоящий сборник имеет, между прочим, в виду учащихся, незнакомых с алгеброй, то для извлечения квадратного корня в пем указан «способ деления» (иначе называемый забвению. Кроме того, приложены таблицы квадратных (и кубических) корней для чисел от 1 до 1000 и объяснен способ пользования ими. 

      *) Подробнее о задачах с реальным содержанием при преподавании геометрии — см. книгу «Практические занятия по геометрии. Образцы, темы и материалы для упражнений». Госуд. Издательство. 

      «способом двух средних») — старинный Геронов прием, достаточно быстро ведущий к цели и незаслуженно преданный 

      Для ускорения выкладок рекомендуется при решении многих задач пользоваться приемами приближенных вычислений с числами, близкими к единице, по следующим формулам (в которых а — небольшая дробь): 

      Формулы эти обосновываются в «Задачнике» геометрически и, для прочного усвоения, иллюстрируются числовыми упражнениями.

      Кроме задач в собственном смысле слова, в сборник включены упражнения,имеющие характер практических работ (черчение графиков и т. п.). Такие упражнения выделены особо в конце отделов. Их дополняют «Темы практических работ — параграфы, содержащие краткий перечень тем, разработка которых предоставляется преподавателю в зависимости от условий и обстановки занятий. — Ради оживления интереса к занятиям, среди прочих упражнений рассеяно несколько десятков задач исторических — из истории математики, — литературных *), а также задач, любопытных по сюжету или неожиданных по результату.