Алгебра для 7 класса средней школы (Теляковский, Макарычев, Миндюк, Муравин, Нешков, Суворова) 1985  год - старые учебники

• 7. Применение свойств квадратных корней.

16. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня 74

17. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. 78

Дополнительные упражнения к главе II 83

111

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

• 8. Квадратное уравнение и его корни.

18. Определение квадратного уравнения. 90

19. Неполные квадратные уравнения 92

20. Решение квадратных уравнений выделением квадрата дву члена 95

• 9. Формула корней квадратного уравнения.

21. Решение квадратных уравнений по формуле. 98

22. Решение задач с помощью квадратных уравнений. 104

23. Теорема Виета. 106

• 10. Дробные рациональные уравнения.

24. Решение дробных рациональных уравнений. 110

25. Решение задач с помощью рациональных уравнений 114

Дополнительные упражнения к главе III 118

НЕРАВЕНСТВА

• 11. Числовые неравенства и их свойства.

26. Числовые неравенства. 127

27. Свойства числовых неравенств 130

28. Сложение и умножение числовых неравенств 134

• 12. Неравенства с одной переменной и их системы.

29. Неравенства с одной переменной. Числовые промежутки. 137

30. Решение неравенств с одной переменной 141

31. Решение систем неравенств с одной переменной 148

• 13. Применение неравенств для изучения свойств функций.

32. Промежутки, в которых функция сохраняет знак 154

33. Возрастание и убывание функций 159

k

34. Функция У~~ » ее график и свойства 164

Дополнительные упражнения к главе IV 171

ГЛАВА

СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

• 14. Степень с целым показателем и ее свойства.

35. Определение степени с целым отрицательным показателем. 179

36. Свойства степени с целым показателем 182

• 15. Стандартный вид числа.

37. Представление числа в стандартном виде 186

38. Запись приближенных значений. 189

39. Относительная погрешность. 192

Дополнительные упражнения к главе V 195

Задачи повышенной трудности. 199

Сведения из курса алгебры VI класса. 205

Предметный указатель. 211

Ответы 212

ГЛАВА

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

• 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ СВОЙСТВА

1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Используя знаки действий и скобки, можно из чисел и переменных составлять выражения. Выражения, составленные с помощью действий сложения, вычитания и умножения, называют целыми выражениями. При этом произведение одинаковых множителей может быть записано в виде степени. К целым выражениям относят и выражения, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на число, отличное от нуля.

Многочлены и, в частности, одночлены являются целыми выражениями. Примерами целых выражений служат также выражения:

(Зх — у) (х² — ху — 4г/²), Ь⁴ —(Ь + с) (Ь² —9с), За— 8р³:5.

Выражения

^4fl—оТТГ» 2 ^Хо^+у, 2» ^П+“Г ^— 5(п — 1), 2p:q 2а + 1 х² —Зжу + у² п

составлены из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления. При этом в каждом из них используется деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

В курсе алгебры VI класса было показано, что сумму, разность и произведение многочленов всегда можно представить в виде многочлена. Поэтому если целое выражение составлено из многочленов (среди которых могут быть и одночлены) с помощью действий сложения, вычитания и умножения, то его можно преобразовать в многочлен. В виде многочлена можно представить и всякое целое выражение, которое содержит деление на число, отличное от нуля. Это следует из того, что деление на число, не равное нулю, можно заменить умножением на число, обратное делителю. Таким образом, всякое целое выражение можно представить в виде многочлена. Например:

(2а — 1) (2а +1) — (За^{1 2} + а — 1) = (4а² — 1) — (За² + а — 1) = = 4а² — 1 — За²—а 4-1 = а² — а;

+ 1,6х=-|-х+4 + 1,6х = 0,4х + 1,6х+4 = 2х 4- 4

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения выполняют действия (сложение, вычитание, умножение, а также деление на число, отличное от нуля), которые всегда возможны.

Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение 10 4-4 не имеет смысла при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет смысл. Выражение х4~_у имеет смысл при тех значениях х и у, когда х=£у.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

а² х² — 1

а —3’ 8 ’

1. Какие из выражений 2х²у, 4а² — Ъ (а — ЗЬ), 9х 1- являются целыми, какие — дробными?

Л

2. Из рациональных выражений 8х² — Зху,

(* + */) (х —у)4-у|, 4 с²- 4с, 1, 4 ^{выпишите те}> которые

являются:

а) целыми выражениями;

б) дробными выражениями.

588. Найдите значения переменной у, при которых:

а) сумма дробей 6 и 4 -равна их произведению;

У+ У

б) сумма дробей и равна их произведению;

\ ~ «. J/+12 у

в) разность дробей и равна их произведению.

589. Два автобуса отправились одновременно из города в пионерский лагерь, расстояние до которого 72 км. Скорость первого автобуса на 4 км/ч больше скорости второго, и поэтому он прибыл в пионерский лагерь на 15 мин раньше. Найдите скорость каждого автобуса.

590. Мотоциклист предполагал проехать расстояние 90 км за определенное время. Проехав 54 км, сн был вынужден остановиться на 5 мин. Продолжая движение, он увеличил скорость на 6 км/ч и прибыл к месту назначения в намеченное время. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.

591. Поезд должен был по расписанию пройти перегон, равный 420 км, за определенное время. Пройдя -у- всего расстояния, он был задержан в пути на 15 мин. Затем машинист увеличил скорость на 10 км/ч, и перегон был пройден без опоздания. Сколько времени затратил поезд на прохождение перегона?

592. Мотоциклист проехал расстояние MN, равное 180 км, с некоторой средней скоростью. Возвращаясь обратно, он — расстояния от N до М ехал с той же скоростью, а затем увеличил скорость на 5 км/ч и возвратился в М, затратив на обратный путь на 8 мин меньше, чем на путь из М в N. Сколько времени затратил мотоциклист на весь путь в оба конца?

593. Поезд вышел со станции А по направлению к станции В. Пройдя 450 км, что составляло 75% всего пути, он был задержан на полчаса. Поэтому, чтобы прибыть на станцию В без опоздания, машинист увеличил скорость на 15 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

594. Поезд должен был по расписанию пройти перегон в 450 км за определенное время. Однако, когда было пройдено 40% этого пути, он был задержан на 18 мин, и, чтобы прибыть на станцию назначения по расписанию, машинист увеличил

скорость на 10 км/ч. С какой скоростью поезд проходит перегон по расписанию?

595. Катер, скорость которого в стоячей воде 15 км/ч, отправился от речного причала вниз по течению реки и, пройдя 36 км, догнал плот, отправленный от того же причала за 10 ч до отправления катера. Найдите скорость течения реки.

596. Турист, проплыв по течению реки на плоту 12 км, возвратился обратно на лодке, скорость которой в стоячей воде 5 км/ч. Найдите скорость течения реки, если известно, что на все путешествие турист затратил 10 ч.

597. Моторная лодка прошла 39 км по течению реки и 28 км против течения за то же время, за которое она могла в стоячей воде пройти 7 0 км. Какую скорость имеет моторная лодка в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч?

598. Турист проплыл на байдарке 25 км по озеру и 9 км против течения реки за столько же времени, сколько ему потребовалось для того, чтобы проплыть по течению реки 56 км. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость байдарки в стоячей воде.

599. Рыболов отправился на лодке от пункта N вверх по реке. Проплыв 6 км, он бросил весла, и через 4 ч 30 мин после отправления из N течение снова отнесло его к пункту N. Зная, что скорость лодки в стоячей воде 90 м/мин, найдите скорость течения реки.

600. От пристани А по направлению к пристани В, отстоящей от А на 40 км, отправили плот. Через 3 ч 20 мин после отправления плота навстречу ему от пристани В против течения реки вышла моторная лодка, которая встретила плот в 16 км от А. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость моторной лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.

601. Расстояние между городами А и В 260 км. Через 2 ч после выхода автобуса из А в В он был задержан на 30 мин, поэтому, чтобы прийти в В по расписанию, он должен был увеличить скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость автобуса.

602. Велосипедист проехал 40 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он 2 ч ехал с той же скоростью, а затем сделал остановку на 20 мин. Начав движение снова, он увеличил скорость на 4 км/ч, и потому затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь от города до турба- 124

зы. Сколько времени затратил велосипедист на путь из города до турбазы?

603. Автобус проехал расстояние между пунктами А и В, равное 400 км, с некоторой средней скоростью. Возвращаясь обратно, он 2 ч ехал с той же скоростью, а затем увеличил скорость на 10 км/ч и возвратился в пункт А, затратив на обратный путь на 40 мин меньше, чем на путь из А в В. Сколько времени затратил автобус на обратный путь?

604. Расстояние между пунктами А и В велосипедист проехал за 3 ч. Возвращаясь обратно, он первые 24 км ехал с той же скоростью, а затем увеличил скорость на 2 км/ч и прибыл в пункт А, затратив на обратный путь на 10 мин меньше, чем на путь из А в В. Найдите расстояние между пунктами А и В.

605. Автобус проходит расстояние между городами М и N по расписанию за 5 ч. Однажды, выйдя из М в N, автобус был задержан на 10 мин в 56 км от М, и, чтобы прибыть в город N по расписанию, он должен был оставшуюся большую часть пути проходить со скоростью, превышающей первоначальную на 2 км/ч. Найдите скорость автобуса по расписанию.

606. Расстояние от пристани М до пристани N по течению реки катер проходит за 6 ч. Однажды, не дойдя 40 км до пристани N, катер повернул назад и возвратился к пристани Му затратив на весь путь 9 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

607. Мотоциклист проехал расстояние от пункта М до пункта N за 5 ч. Выехав в обратный путь, он первые 36 км ехал с той же скоростью, а оставшуюся часть пути проехал, увеличив скорость на 3 км/ч. С какой скоростью ехал мотоциклист первоначально, если на обратный путь он затратил на 15 мин меньше, чем на путь из М в N?

608. Длина окружности колеса грузовика больше, чем длина окружности колеса велосипеда, на 75 см. На расстоянии 440 м колесо велосипеда делает на 60 оборотов больше, чем колесо грузовика. Найдите длины окружностей колес велосипеда и грузовика.

609. Из двух вращающихся валов тот, который, имеет меньший диаметр, делает в минуту на 400 оборотов больше другого вала и совершает один оборот на 0,2 с быстрее. Сколько оборотов делает каждый вал за минуту?

610. Один завод должен был изготовить 720 станков, а другой завод за тот же срок — 660 станков. Первый завод, изготовляя в день на 10 станков больше, чем второй, выполнил заказ за 2 дня до срока, а второй завод, изготовив 22 станка сверх плана, закончил работу за 1 день до срока. Сколько станков изготовлял ежедневно каждый завод?

611. Две соревнующиеся бригады рабочих должны были изготовить к некоторому сроку по 240 деталей. Первая бригада, изготовляя в день на 8 деталей больше, чем вторая, выполнила задание за 3 дня до срока, опередив вторую бригаду на 1 день. Каков был срок выполнения работы?

612. Одна тракторная бригада должна была вспахать 240 га, а другая на 35% больше, чем первая. Первая бригада, вспахивая ежедневно на 3 га меньше второй, закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая бригада. Сколько гектаров вспахивала каждая бригада ежедневно?

613. С одного участка собрали 2880 ц пшеницы, с другого, площадь которого была на 12 га меньше,— 2160 ц. Найдите площадь каждого участка, если известно, что на первом участке собирали пшеницы с каждого гектара на 4 ц больше, чем на втором.

614. Уборку урожая с участка начал один комбайн. Через 2 ч к нему присоединился второй комбайн, и после 8 ч совместной работы они убрали 80% урожая. За сколько часов мог бы убрать урожай с участка каждый комбайн, если известно, что первому на это понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?

615. Цех завода получил заказ изготовить к определенному сроку партию деталей. Если выполнение заказа поручить первой бригаде, то она закончит работу на 3 дня позже срока. Вторая бригада, работая одна, могла бы выполнить заказ на 8 дней позже срока. Над выполнением заказа работали совместно обе бригады и закончили работу за день до срока. Сколько дней понадобилось бы каждой бригаде, чтобы одной выполнить заказ?

616. Два трактора могут вспахать зябь на 18 ч быстрее, чем один первый трактор, и на 32 ч быстрее, чем один второй трактор. За сколько часов может вспахать зябь каждый трактор, работая один?