Геометрия - пробный учебник для 9-10 классов средней школы (Александров, Вернер, Рыжик) 1983 год - старые учебники

Задачи к § 8 47

• 9. Параллельные плоскости 50

Задачи к § 9 53

• 10. Прямая, параллельная плоскости 55

Задачи к § 10 57

• И. Перпендикулярность плоскостей. 59

Задачи к § 11 63

Глава III. Проекции и расстояние

• 12. Проектирование 68

Задачи к § 12.71

• 13. Расстояние между фигурами.. 73

Задачи к § 13 81

• 14. Пространственная теорема Пифагора 86

Задачи к § 14 91

Глава IV. Пространственные фигуры и тела § 15. Сфера и шар..93

Задачи к § 15. 98

• 16. Опорная плоскость 102

Задачи к § 16 106

• 17. Выпуклые фигуры 107

Задачи к § 17109

• 18. Цилиндры

Задачи к § 18 ИЗ

• 19. Конусы. Усеченные конусы 114

Задачи к § 19 122

• 20. Тела 124

Глава V. Многогранники

• 21. Многогранник и его элементы 133

Задачи к § 21 136

• 22. Пирамида 138

Задачи к § 22 141

• 23. Призма 144

Задачи к § 23. 146

• 24. Выпуклые многогранники 149
• 25. Теорема Эйлера 151
• 26. Правильные многогранники 154

Задачи к § 26 •. 157

Глава VI. Координаты и векторы

• 27. Прямоугольные координаты

Задачи к § 27

• 28. Метод координат .

Задачи к § 28 .

• 29. Направленные отрезки. Направление
• 30. Векторы

Задачи к § 30

• 31. Сложение векторов

Задачи к § 31 .

• 32. Разложение вектора на составляющие

Задачи к § 32

• 33. Умножение вектора на число .

Задачи к § 33

Глава VII. Углы. Скалярное произведение

• 34. Углы между векторами и прямыми

Задачи к § 34

• 35. Скалярное произведение векторов

Задачи к § 35

• 36. Угол между прямой и плоскостью

Задачи к § 36

• 37. Двугранный угол. Угол между плоскостями, Задачи к § 37

Глава VIII. Перемещения

• 38. Понятие о перемещении и подобии.
• 39. Свойства, сохраняющиеся при перемещениях Задачи к § 39
• 40. Параллельный перенос ,

Задачи к § 40

• 41. Центральная симметрия

Задачи к § 41

• 42. Отражение в плоскости (зеркальная симметрия)

Задачи к § 42 ».

• 43. Поворот вокруг прямой.

Задачи к § 43

• 44. Симметрия ..

Глава IX. Длина, площадь, объем

• 45. Определение площади и объема .
• 46. Объем прямого цилиндра.

Задачи к § 46

• 47. Представление объема интегралом
• 48. Объемы некоторых тел.

Задачи к § 48

• 49. Длина кривой линии
• 50. Площадь поверхности .

Задачи к § 50 .

Глава X. Исторический очерк

• 51. От начала до Лобачевского .
• 52. Современная геометрия

Задачи по всему курсу

Ответы к задачам

Предметный указатель

ГЕОМЕТРИЯ

Основы внутренней геометрии поверхностей были созданы великим немецким математиком Карлом Гауссом (1777—1855) в работе 1826 г., но несколько иначе, чем здесь изложено. Такой более общий подход и более общая теория были развиты советскими геометрами 30—40 лет назад.

Гаусс

52.3. Возможная геометрия реального пространства

Внутреннюю геометрию поверхности можно понимать как такую, которую развивали бы люди, живущие в самой этой поверхности.

В самом деле, представим себе какую-нибудь поверхность и живущие в ней существа, не имеющие никакого понятия об окружающем пространстве. Допустим, что хотя они вовсе двумерные, раз живут в поверхности, но все же имеют руки, чтобы действовать, и мозги, чтобы соображать. Они могли бы измерять на поверхности расстояния шагами или протянутыми нитями (рис. 396), проводить кратчайшие линии и делать другие построения и измерения. В общем, они создали бы свою геометрию, отражающую свойства поверхности, в которой они живут. Это и была бы внутренняя геометрия данной поверхности. Вместе с тем это была бы геометрия того «пространства», в котором они живут, потому что вне ее для них ничего нет.

Это только образное описание того факта, что внутренняя геометрия поверхности полностью определяется измерением длин на самой поверхности. Поверхности имеют разную внутреннюю геометрию, и можно представить себе наших двумерных людей на одной или на другой поверхности —' в одном или другом «пространстве». Можно вообразить, что поверхность, где они живут, деформируется, так что геометрия ее изменяется со временем. Однако в этом картинном описании или в сказке о поверхностных людях есть глубокий смысл.

Мы живем в своем трехмерном пространстве, измеряем в нем длины, находим геометрические соотношения, делаем построения. Все это — на самом деле, в нашей материальной деятельности. В ней люди обнаружили общие закономерности, выраженные потом в отвлеченной идеализированной форме в евклидовой геометрии. Но почему мы должны быть убеждены, что она абсолютно точно соответствует действительности? Ведь ниоткуда, кроме как из наших привычек и нашего воображения, не следует, что никакие отношения, отличные от евклидовых, не возможны. Например, почему теорема Пифагора не могла бы выполняться только приближенно или длина окружности была бы не в точности пропорциональна радиусу? Откуда знать? И если в пределах обычного земного опыта эти отличия ничтожны, то почему бы они не могли обнаружиться в звездных или атомных масштабах?

Таких вопросов не задавал никто, они могли казаться нелепыми и невозможными, пока их не задали себе в начале прошлого века независимо друг от друга два великих математика— Гаусс, о котором мы уже говорили, и Лобачевский. Попытки обнаружить отклонения от евклидовой геометрии не дали тогда никакого результата. Но сто лет спустя их догадки оправдались: теперь можно считать точно установленным, что в космических масштабах геометрия реального пространства несколько отлична от евклидовой.

Идеи Гаусса и Лобачевского были связаны, однако, с совсем другим вопросом внутри евклидовой геометрии. О нем мы теперь и расскажем.

52.4. Геометрия Лобачевского

Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельных. От других аксиом она отличалась своей сложностью: в принятой теперь формулировке она говорит о всей бесконечной прямой, не пересекающей данную, а в формулировке самого Евклида была гораздо сложнее остальных. Немудрено поэтому, что сразу же возникли попытки вывести ее из остальных предпосылок геометрии. Этим занимались на протяжении более 2000 лет многие математики, но все напрасно. Многим казалось, что они достигли цели, но потом выяснялось, что они лишь заменяли аксиому Евклида другой равносильной аксиомой.

Пытались доказать аксиому параллельных от противного: прийти к противоречию, предполагая противоположное ей утверждение. Но противоречия не получалось.

Наконец в начале XIX в. одновременно у нескольких математиков возникла мысль, что противоречия и не может получиться, что мыслима геометрия, в которой выполняется аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.

Первым выступил с этой идеей Н. И. Лобачевский (1792—1856), в 1826 г. он сделал об этом доклад в Казанском университете (где он учился и работал всю жизнь). В 1829-—1830 гг. вышла его первая обширная работа, посвященная новой геометрии. В 1832 г. была опубликована работа венгерского математика Яноша Бойаи (1802— 1860) с теми же, в общем, результатами. Гаусс, придя одновременно к тем же выводам, не решился их опубликовать, опасаясь, как он сам объяснял, быть непонятым и подвергнуться нападкам, Опасения

были справедливыми. Лобачевский и Бойаи остались непонятыми почти всеми математиками того времени; Лобачевский подвергался насмешкам, и некоторые считали его чуть ли не сумасшедшим. Однако он имел силу убеждения и мужество развивать новую геометрию и публиковать все более развернутые ее изложения. В последние годы, уже ослепший, он продиктовал еще одну книгу по новой геометрии. Когда же после его смерти она была, наконец, понята, ее во всем мире стали называть геометрией Лобачевского, а один английский математик сравнил Лобачевского с Коперником; и справедливо, потому что Лобачевский произвел в геометрии величайший переворот. До него веками без тени сомнения было принято всеми, что есть и мыслима только одна геометрия -— та, основы которой изложены у Евклида. А Лобачевский опрокинул это всеобщее убеждение: наряду с евклидовой геометрией он построил другую •— неевклидову.

Не такая уж редкая судьба гения: непонимание при жизни, а потом всемирное признание и слава.

Но нельзя очень порицать современников. Можете ли вы представить себе, чтобы через одну точку проходили две прямые, параллельные данной? Посмотрите на рисунок 397: ну, конечно, прямые а, b пересекут прямую с. Значит, геометрия Лобачевского — чепуха, быть такой не может. Однако это заключение слишком поспешно. Сам Лобачевский исходил из убеждения, что, как уже было сказано в п. 52.3, реальные пространственные отношения могли бы несколько отличаться от того, что дает евклидова геометрия. Но у Лобачевского это была только гипотеза; возможный реальный смысл его «воображаемой» геометрии оставался не b

ясным, и оставалось, строго говоря, не доказанным, что в ней нет никакого логического противоречия. (Пусть оно не обнаружено, а может быть, еще обнаружится.)_____________________________

Риман

Существуют поверхности, на которых выполняется геометрия Лобачевского, точнее, геометрия в области на плоскости Лобачевского. Гаусс по своим исследованиям внутренней геометрии мог бы это заметить, но ни он, ни кто другой до итальянского геометра Эудженио Бельтрами (1835—1900) этого не замечали. Вскоре после этого были найдены другие простые модели геометрии Лобачевского на плоскости и в пространстве. Выяснилось, что ничего невообразимого и невозможного в ней нет; нужно только правильно ее понять. Тогда же она была включена в более общую теорию, созданную немецким математиком Бернхардом Риманом (1826—1866).

52.5. Многомерное пространство

Идея пространства с числом измерений больше трех зародилась еще до XIX в., но основы геометрии таких пространств были созданы к середине XIX в.

В прямоугольных координатах в обычном пространстве точка задается тремя координатами. Представим себе точки, задаваемые каждая п координатами (х_ъ х₂, ., х_п). Между ними можно определить расстояние буквально так же, как в обычном пространстве:

1ХГ1 = /(х, - у,)² + (х, - у₂)² ++ (х„ - у„)².

Так получается «n-мерное евклидово пространство». Его геометрия аналогична обычной стереометрии — геометрии трехмерного евклидова пространства. Можно определять расстояния иначе, и тогда будут получаться другие n-мерные пространства.

52.6. Топология

Еще один путь, по которому шло обобщение геометрии, пролегал через разделение разных свойств фигур. Самое основное из них — прикосновение. На это указал еще Лобачевский, когда писал, что прикосновение составляет основное свойство тел и дает им название геометрических, когда удерживает это свойство, отвлекает от всех остальных. (Например, разные части целой фигуры прикасаются друг к другу, фигура прикасается к своим граничным точкам.) Со свойствами фигур, основанными только на прикосновениях их частей, мы встречались в теореме Эйлера и в связи с правильными многогранниками. Там речь шла о сетях, образуемых отрезками, хотя бы кривыми. Форма отрезков и ограниченных ими областей не играла там никакой роли. Важно было только прикосновение: поскольку отрезков сходится в вершинах сети и поскольку отрезков «прикасается» к областям, «прошивая» их. Мы можем деформировать сеть любым способом, лишь бы эти свойства сохранялись.

Свойства фигур, основанные на прикосновении, ■— это такие их свойства, которые сохраняются при любых обратимых и непрерывных (в обе стороны) отображениях, т. е. при отображениях, происходящих без склеиваний и разрывов.

Со временем эти свойства фигур стали предметом специальных исследований и учение о них выделилось в особую область геометрии, названную топологией, а сами указанные свойства получили название топологических. В начале нашего века возникло общее понятие топологического пространства как такого, где определено только прикосновение фигур (или для любой фигуры ■— ее «точки прикосновения»; прикосновение фигур определяется тем, что одна содержит точки прикосновения другой).

Топология приобрела большое значение и рассматривается как особая область математики, выделенная из геометрии. Значение ее основано на том, что она изучает самые коренные свойства пространства и других математических объектов, — свойства непрерывности.

Геометрия возникла из задач измерения, а изучение геометрических величин, их соотношений составляет главный предмет элементарной геометрии. Но в топологии измерение не играет в принципе никакой роли; топология является не количественной, а качественной частью математики.

52.7. Другие геометрии

Еще раньше, чем топология, в геометрии определились другие ее части, тоже основанные на особых свойствах фигур.

Например, при параллельном проектировании с одной плоскости на другую длины, вообще говоря, изменяются, но параллельные прямые переходят в параллельные, отношения параллельных отрезков сохраняются, а вместе с ними сохраняются все зависящие от них свойства фигур. Учение об этих свойствах выделяется в особую область, называемую аффинной геометрией.

При центральном проектировании (проектировании из точки) параллельность не сохраняется, но прямые переходят в прямые и сохраняются связанные с этим свойства фигур. Такие свойства называют проективными. Учение о них образует проективную геометрию. Она имеет значение в связи с изображением фигур в перспективе.

До этого речь шла о параллельном или центральном проектировании с плоскости на плоскость и соответственно об аффинной и проективной геометрии плоскости. Но можно их обобщить на пространство, и притом любого числа измерений. Именно к аффинной геометрии относятся те свойства фигур, которые сохраняются при преобразованиях, переводящих прямые в прямые и параллельные в параллельные, а к проективной геометрии относятся свойства, сохраняющиеся при преобразованиях, переводящих прямые в прямые без условия сохранения параллельности. (Книга «О проективных свойствах фигур» французского геометра Жана Понселе (1788—1867) вышла в 1822 г.) Соответственно определяют пространства аффинное и проективное.

52.8. Основания геометрии

Если какое-либо пространство определяется аксиомами или, как говорят, системой аксиом, то обязательно встает вопрос: возможно ли такое пространство, нет ли в принятых аксиомах противоречия?

В отношении пространства элементарной геометрии вопрос не вставал, потому что оно представлялось уже данным и дело шло о его изучении. Но когда Лобачевский заменил аксиому параллельных на противоположную, вопрос возник со всей остротой: а нет ли тут противоречия, возможна ли, в самом деле, неевклидова геометрия? Вопрос был решен положительно предъявлением соответствующей модели; первую дали поверхности, внутренняя геометрия которых совпадает с геометрией Лобачевского (в области на его плоскости).

Таким образом, первое, обязательное условие для любой системы аксиом — это ее непротиворечивость. Она доказывается предъявлением модели, в которой реализуются данные аксиомы.

Второе условие состоит в том, чтобы аксиомы действительно давали основание, соответствующее теории, т. е. чтобы все свойства того пространства или тех пространств, которые рассматриваются в теории, вытекали из аксиом, а не примысливались, помимо аксиом.

Конечно, нельзя абсолютно все выразить явно в аксиомах, но то, что подразумевается, должно быть по крайней мере общепризнанным, чтобы уже не требовать определения в аксиомах. Например, мы говорим: через две точки проходит прямая, подразумевая, что смысл слова «две» общепризнан. Вообще обычно подразумевают понятие действительного числа известным. Конечно, необходимо стремиться к тому, чтобы подразумевать как можно меньше и чтобы подразумеваемое можно было действительно считать не требующим определения, как общепризнанное и общепонятное.

У Евклида и всех геометров до конца прошлого века многое подразумевалось как само собой понятное, например свойства расположения точек на прямой и плоскости, что точка разбивает прямую на два луча, что из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими, что прямая разбивает плоскость. Не возникало мысли выразить это явно в аксиомах, это стали делать лишь к концу XIX в., и в 1899 г. немецкий математик Давид Гильберт (1862— 1943) дал полную с современной точки зрения систему аксиом евклидовой геометрии.

У него уже ничего не подразумевается кроме основных логических понятий. Его «Основания геометрии» начинаются словами: «Мы мыслим три вида вещей, которые называем точками, прямыми, плоскостями». Тут ничего не подразумевается, кроме самого общего понятия «вещь», как то, что обозначается в языке именем существительным». Дальше называются основные отношения

Г ильберт

как «точка лежит на прямой», и др., и опять ничего не подразумевается, кроме общего понятия отношения. Свойства отношений явно формулируются в аксиомах, и наглядный их смысл совершенно не подразумевается.

Система аксиом Гильберта была потом еще усовершенствована и были даны также другие системы аксиом в том же строгом духе.

Когда предмет аксиом не подразумевается и речь идет о «некоторых вещах», «некоторых отношениях», то встает вопрос о непротиворечивости. Он решается указанием модели на основе вещественных чисел (точка плоскости — это пара чисел (х, у), прямая — это уравнение ах + by + с = 0 с точностью до общего множителя и т. д.).

Второй вопрос касается так называемой полноты системы аксиом: вполне ли она определяет одно пространство, так что к ней уже ничего нельзя добавить — никаких новых аксиом.

Третий вопрос— о независимости аксиом: нет ли среди них лишних, которые можно было бы вывести из других. Это требование у Гильберта сначала еще не было полностью выполнено; его систему довели до совершенства позже.

Теперь имеется непротиворечивая полная система независимых аксиом элементарной геометрии, в которой подразумеваются только основные логические понятия (и даже это обходят посредством символической записи, где уже ничего понимать не надо, как только различать разные и отождествлять одинаковые знаки и действовать с ними по определенным правилам).

Однако при всех этих уточнениях и, можно сказать, ухищрениях что-то все же подразумевается и потому вопросы о дальнейшем уточнении системы аксиом не могут быть полностью сняты. Также не решается до конца и вопрос непротиворечивости, потому что его решение опирается на какие-то предпосылки, которые сами требуют доказательства непротиворечивости, и т. д. Если Гильберт доказывал непротиворечивость своих аксиом числовой моделью, то сама теория вещественных чисел нуждается в доказательстве непротиворечивости. Словом, нет ни в какой науке, ни в самой строгой математике окончательной непротиворечивости, окончательной абсолютной истины. Математика, как все человеческое познание, движется не только в ширь новых открытий и результатов, не только в высь новых теорий, но и в глубину оснований, и за одной достигнутой их глубиной лежит еще другая. Самодовольные, близорукие ученые могут думать, что вот они достигли полной строгости, но приходят другие, более глубоко мыслящие, и задают новые вопросы, и ищут новые решения. •Во всякой утвержденной истине есть момент заблуждения, поскольку юна не является совершенно окончательной и потому не может утверждаться без малейшей доли сомнения. Любимым девизом Маркса (было: «Все подвергай сомнению!» Затем, чтобы двигаться вперед ко все более совершенному знанию и пониманию.

В современной геометрии та или иная система аксиом определяет сплошь и рядом не одно единственное пространство, а класс — некоторый вид пространств, как, например, метрические пространства. Тут полноты системы аксиом заведомо нет, к ней можно добавлять

новые аксиомы, выделяя другие классы пространств, как из всех метрических пространств можно выделить, например, евклидовы, а из них именно трехмерное евклидово пространство элементарной геометрии.

52.9. Геометрия и действительность

Отношение геометрии, как и всей математики, к опыту, к данной в нем реальной действительности сложно.

Геометрия возникла из практики как практическая опытная наука о пространственных формах и отношениях реальных тел. Она явилась, можно сказать, первой главой физики, за которой следовала как вторая глава механика — наука о движении тел: если геометрия трактует взаимное расположение тел, то механика—его изменение.

Однако геометрия постепенно отделилась от опыта, ее предмет составили уже не реальные, а идеальные фигуры. Обращение к опыту, даже к чертежу было исключено из ее аргументов; доказательство теоремы дается путем одного рассуждения. Это понятно: с идеальными фигурами нельзя ставить опыты, их нельзя ни сделать, ни нарисовать, их, в их идеальности, можно только мыслить.

Это отделение геометрии от действительности особенно четко проявилось, когда греки открыли несоизмеримые отрезки.

Содержание теоремы Пифагора было известно задолго до Пифагора как опытный факт, как закон реальной геометрии, подобно любому закону физики. По этому закону отношение диагонали квадрата к его стороне равно К2. Диагональ и сторона несоизмеримы: нет отрезка, укладывающегося в них по целому числу раз.

Но это последнее утверждение не имеет смысла, проверяемого на опыте, потому что абсолютно точное измерение невозможно. Оно вообще не имеет реального смысла, так как никакие реальные предметы не имеют абсолютно точных размеров, никакая реальная длина не может быть абсолютно точно фиксирована, поскольку тела состоят из частиц, не имеющих вполне определенных размеров.

Таким образом, исходя из твердо установленного опытного факта, геометрия делает вывод, не имеющий реального смысла. Физики отбросили бы такой вывод как ненужный и бессмысленный, а математики удержали его, и мало того, они построили теорию отношений несоизмеримых величин, потом истолковали эти отношения как новый вид чисел — как иррациональные числа, потом на этой почве развили математический анализ и т. д.

Что тут происходило? Во-первых, выводу из опыта был придан абсолютно точный смысл. Во-вторых, из него был сделан логический вывод, и затем на этом выводе шло восхождение к новым отвлеченным понятиям.

Такова особенность и сущность математики вообще. Всякой науке свойственна абстракция, но во всех других науках их абстракции сверяются с опытом, им не придается самостоятельного значения. В математике же они принимаются в их идеальном существовании.

Евклидова геометрия сложилась, таким образом, как наука об идеальных фигурах, и вместе с тем казалось, она абсолютно точно,

соответствует свойствам реального пространства — реальным пространственным отношениям. Однако это убеждение было подвергнуто сомнению Лобачевским и Гауссом и опровергнуто современной физикой — ее выводами из общей теории относительности Эйнштейна. Евклидова геометрия, возникнув из опыта и отделившись от него в своей идеальной точности, пришла с ним хотя бы в некоторое несоответствие. Но это ничуть не затрагивает ее как часть чистой математики, потому что в этом смысле она представляет собой систему логических выводов из аксиом независимо от их возможного отношения к действительности.

Произошло раздвоение единой геометрии на чисто математическую геометрию с ее единственным условием логической точности и на геометрию как физическую теорию, как учение о свойствах реального пространства, сверяемое с опытом, что присуще всякой физической теории. Эту геометрию реального пространства в космических масштабах трактует космология, основанная на общей теории относительности и известных данных о строении Вселенной.

Во всем этом есть как бы противоречие: идеально точная евклидова геометрия оказалась не точной. Возникнув как опытная наука, она превратилась, можно сказать, в собственную противоположность — в науку, которая сама по себе не заботится о соответствии с опытом. Такие реальные противоречия, такие переходы в противоположность, такое раздвоение единого — единой геометрии охватываются общим понятием диалектики.

В. И. Ленин писал: «Раздвоение единого и познание противоречивых частей егоесть сутьдиалектики

Правильность этой стороны содержания диалектики должна быть проверена историей науки». (Поли. собр. соч., т. 29, с. 316).

Так, в истории науки единая геометрия раздвоилась на противоречивые части, разошедшиеся в чистую математику и в физику.

Сочетание двух взаимно противоположных сторон геометрии проходило через весь наш курс с самого его начала. Мы постоянно ссылались на него и вместе с тем старались вести строго логические выводы из аксиом без ссылок на опыт, чертежи и пр.

Всякая теория чистой математики, взятая именно в этом ее качестве чисто математической теории, является системой логических выводов, и ее собственная математическая истинность состоит только в ее непротиворечивости. Но вместе с тем она имеет смысл и значение только в меру того, насколько она так или иначе, прямо или косвенно через другие теории, служит познанию действительности и овладению ею в практике.

Математические теории можно уподобить станкам, значение которых состоит в том, чтобы делать нужные людям вещи, сами же по себе они не нужны. Но как станку нужна точная и прочная структура, так и чистой математике нужна логическая строгость ■— прочность ее структуры. В станке непосредственно работает один резец, но без станка в целом он не будет хорошо работать. Так и в математике: непосредственно применяться в практике, могут отдельные ее части и выводы, но, чтобы обеспечить точность этих применений, нужны целостные математические теории, вся логическая структура математики в целом. Сказанное определяет отношение к действительности «геометрий» разных пространств: они служат теоретическим средством для других наук.

Представим себе, например, какую-нибудь физическую систему, будь то машина, газ в данном сосуде, атом кислорода или даже отдельная частица ■— электрон. Система может находиться в разных состояниях. Множество всех ее возможных состояний образует то, что в физике называют фазовым пространством системы. Оно характеризует свойства системы. Для его теоретического описания, для выводов, его касающихся, полезной и важной оказывается подходящая «геометрия» из арсенала отвлеченных геометрий разных пространств. (Пространство состояний квантовой системы даже бесконечномерно.)

В частности, общее понятие метрического пространства оказывается полезным, когда определяют «расстояние» между «вещами» или явлениями одного и того же рода как меру того, насколько одно отлично от другого. Например, определяют расстояние между двумя цветами (ощущениями цвета), характеризующими степень их различия. Множество всех цветов (цветовых ощущений) оказывается, таким образом, некоторым метрическим пространством. Это пространство на самом деле рассматривают в науке — в цветоведении; оно характеризует цветное зрение человека. Кстати, оно трехмерно, так как каждое ощущение цвета •— цвет можно получить как комбинацию трех основных ощущений -— цветов: красного, зеленого и синего. Это записывают в виде Ц = хК + уЗ zC, где х, у, z — интенсивности красного, зеленого и синего в каких-либо единицах.

Но самый яркий пример применения отвлеченной геометрии ■— это общая теория относительности, математическим аппаратом которой послужила общая теория пространств, начала которой были заложены немецким математиком Риманом за 60 с лишним лет до создания общей теории относительности. Вырастая на почве математических абстракций, теория вернулась к исходной геометрической действительности как орудие ее более глубокого познания.

Вся история геометрии доказывает справедливость общих положений, высказанных В. И. Лениным о пути познания и его сложности:

«Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит ■— если оно правильное .■—о tn истины, а подходит к нейвсе научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, п о л н е е. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике—таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности.» (Поли. собр. соч., т. 29, с. 152—153.)

«Познание есть отражение человеком природы. Но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования, образования понятий, законов etc., каковые понятия, законы etc.и охватывают условно, приблизительно универсальную закономерность вечно движущейся и развивающейся природы.» (Поли. собр. соч., т. 29, с. 163—164.)

Движение познания бесконечно.

ЗАДАЧИ ПО ВСЕМУ КУРСУ

1. На плоскости а лежит равносторонний треугольник AiB-iCi. Он является ортогональной проекцией треугольника АВС. Какого вида (в зависимости от сторон и углов) может быть треугольник АВС?

2. а) а || Ь, а || 0, а _1_ а, а _1_ 0, b J_ а, b _1_ 0;

б) а || а, а || 0, b || а, b || 0, а 0, а _1_ Ъ.

Возьмите любые три из этих утверждений и установите, какие из оставшихся будут из них следовать.

3. Ребро правильного тетраэдра равно 1. Плоскость движется параллельно самой себе и пересекает тетраэдр. Докажите, что периметр сечения меньше 3. Докажите, что периметр любого четырехугольного сечения больше 2.

4. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD точка /< — середина ребра AD, точка L — середина ребра CD. Через (KL) проводится сечение, параллельное (АС). Известны все ребра пирамиды. Найдите граничные значения площади такого сечения.

5. В правильной треугольной призме проводятся сечения, перпендикулярные диагонали одной из ее граней. Когда площадь такого сечения достигает наибольшего значения?

6. Ребра прямоугольного параллелепипеда известны. Найдите расстояние от его вершины до плоскости, проходящей через три соседние с ней вершины.

7. Где находится точка, равноудаленная от всех ребер: а) правильной n-угольной призмы; б) правильной n-угольной пирамиды; в) правильного многогранника?

8. В кубе ABCDAJliCiD! с ребром 1 проведено сечение через вершину D, параллельное (ЛС). Вычислите граничные значения его площади.

9. Через диагональ основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость. Вычислите наибольшее значение площади этого сечения, если: а) высота призмы равна 2, а длина диагонали основания равна 6; б) высота призмы равна 4, а длина диагонали основания равна 18.

10. Три цилиндра расположены так, что каждые два имеют единственную общую точку. Их оси попарно перпендикулярны. Радиус каждого цилиндра равен R.

Найдите радиус шара, который уместится в зазоре, образованном цилиндрами.

11. На боковой поверхности цилиндра (конуса) лежат вершины прямоугольника. Как расположена его плоскость по отношению к плоскости основания?

12. Основание конуса радиуса 1 и высотой 2 лежит на плоскости а. На расстоянии 1 от конуса в этой плоскости укреплен вертикально штатив, на котором на расстоянии 4 от плоскости находится точечный источник света. Вычислите площадь тени, отбрасываемой конусом на плоскость. Можно ли увеличить или уменьшить площадь тени до нужных вам размеров, перемещая штатив по плоскости и источник света на нем?

13. Дан правильный тетраэдр. Внутри него взят отрезок. Докажите, что из любой вершины он виден под углом, не большим 60°.

14. В тетраэдре есть ребра длины 1 и есть ребра длины d. В каких границах лежит d в каждом из возможных случаев?

15. Две высоты тетраэдра пересекаются. Докажите, что другие две тоже пересекаются.

16. Докажите, что площадь каждой грани тетраэдра меньше суммы площадей остальных его граней.

17. Через каждое боковое ребро треугольной пирамиды проводится плоскость, перпендикулярная противоположной грани. Докажите, что эти плоскости имеют общую прямую. Какое положение занимает эта прямая в правильной треугольной пирамиде?

18. В четырехугольной пирамиде все плоские углы при вершине равны. Докажите, что плоскости, проходящие через ее противоположные боковые ребра, перпендикулярны.

19. В параллелепипеде ABCDA^^C^Pi проведены сечения Л_ХВС1 и CD^Bx. Докажите, что эти сечения лежат в параллельных плоскостях. В каком отношении они делят диагональ ЛС_Х? Через какие точки в этих сечениях проходит диагональ ЛС_Х?

20. Параллелепипед имеет одно из следующих свойств: а) в его основании лежит ромб; б) все его ребра равны; в) все его диагонали равны; г) все его грани равновелики; д) все его грани — равные параллелограммы; е) в него можно вписать шар; ж) около него можно описать шар; з) у него ровно одна плоскость симметрии. Возьмите какое-либо из этих свойств и попробуйте вывести его из каких-либо остальных.

21. Определите вид параллелепипеда: а) все диагонали которого равны; б) все грани которого равны; в) все перпендикулярные сечения которого — равные между собой квадраты; г) около которого можно описать шар; д) в который можно вписать шар; е) через каждое ребро можно провести сечение, являющееся квадратом.

22. В прямоугольном параллелепипеде длина диагонали равна 1. Через нее проводятся всевозможные сечения. Вычислите граничные значения площади и периметра такого сечения.

23. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его ребрами углы <р_ь <р₂, <р₃. Докажите, что их сумма меньше, чем л.

24. Из произвольной точки сферы проведены три попарно перпендикулярные ее хорды, длины которых 1, 2, 3. Вычислите радиус сферы.

25. Куб с ребром 1 стоит на плоскости а. На расстоянии 2 от а

и на расстоянии 4 от центра куба находится источник света. При каком их взаимном положении тень от куба на а будет наибольшей?

26. Куб освещается параллельным пучком света. При каком его положении относительно плоскости, перпендикулярной пучку света, тень от куба будет наибольшей?

27. Является ли тетраэдр правильным, если у него: а) угол между ребром и гранью, в которую оно упирается, один и тот же; б) все двугранные углы равны; в) все высоты равны; г) совпадают центры вписанного и описанного шаров; д) существует шар, касающийся всех его ребер; е) вписанный в него шар касается всех его граней в точках пересечения их высот (серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан)?

(а \^а — j .

29. Пусть e_lt е₂, е_я — единичные векторы на осях координат. Пусть также а = + У1в₂ + z^, b = х_ге_г + у₂е₄ + z₂e₃. Чему

равны: а) |а|; б) а • Ь\ в) (а, Г)? При каком условии alb, а || 6?

30. Пусть Ль Л₂, А„ — произвольные точки пространства. Докажите, что существует такая точка О, что сумма всех векторов OA_lf ► - —

ОЛ₂, ., ОА„ равна 0. Докажите, что она единственна. (Такая точка О называется центроидом системы точек Л_ь Л₂, ., Л_я .)

31. Пусть есть две системы точек: Л_ь Л₂, ., A_k и В₂, В,. Их центроиды — Т\ и Т₂ соответственно. Центроид всех данных точек обозначим Т. Докажите, что Т лежит на отрезке TiTj. В каком отношении точка Т делит этот отрезок?

32. Пусть дан тетраэдр. Докажите, что общую точку имеют отрезки: а) соединяющие середины его противоположных ребер; б) соединяющие вершины тетраэдра с центроидами противоположных граней. В каком отношении эта общая точка делит каждый из отрезков?

33. Докажите, что центроид любого многогранника можно найти, зная центроиды его ребер или граней.

34. Постройте тетраэдр, зная середины его ребер.

35. Даны четыре единичных вектора, причем углы между каждыми двумя равны. Вычислите: а) их сумму; б) угол между ними.

36. Дан многогранник, у которого п граней и в который можно вписать шар. Докажите, что сумма косинусов его двугранных углов не превосходит

37. Дана треугольная пирамида. Известны плоские углы при ее вершине. Найдите двугранные углы при ее боковых ребрах.

38. Дана треугольная пирамида. Рассмотрим отношение синуса плоского угла при ее вершине к синусу противолежащего двугранного угла. Докажите, что для всех плоских углов при вершине оно одно и то же.

39. Дан двугранный угол величиной <р. Вершина конуса находится на его ребре, плоскости его граней являются опорными для конуса.

Угол в осевом сечении конуса равен ф_х. Найдите угол между образующими конуса, лежащими в гранях двугранного угла.

40. Каким перемещением является композиция: а) двух центральных симметрий; б) двух отражений в плоскости; в) двух поворотов с разными осями; г) двух зеркальных поворотов с одной плоскостью симметрии; д) отражения в плоскости и центральной симметрии относительно точки, лежащей в этой плоскости; е) трех отражений в трех попарно перпендикулярных плоскостях; ж) трех осевых симметрий, если оси симметрии попарно перпендикулярны?

41. При некотором реальном движении фигуры F одна ее точка осталась неподвижной. Докажите, что это движение — поворот.

42. Две сферы радиусами 7?_х и R₂ пересекаются. Найдите объем тела, заключенного между ними.

43. Разверткой пирамиды является правильный пятиугольник со стороной d. Найдите объем пирамиды.

44. Правильный тетраэдр повернули вокруг оси симметрии на угол <р (ф 90°). Объем тетраэдра равен V. Чему равен объем общей части исходного и полученного тетраэдров?

45. Дан куб ABCDAiBiCiDi с ребром 1. Проведено сечение через вершину А и центры граней AjBiCiD! и В^С^СВ. Чему равна площадь сечения? В каком отношении она делит его объем?

46. На диагоналях АВ_Ъ AC, AD_t граней параллелепипеда ABCDA_lB_lC₁D₁ построен новый параллелепипед. Найдите отношение объемов данного и полученного параллелепипедов.

47. Куб с ребром 1 поворачивают: а) вокруг прямой, соединяющей середины двух его параллельных ребер, не лежащих в одной грани, на 90°; б) вокруг диагонали на острый угол ф. Вычислите объем общей части исходного и полученного кубов.

48. Куб вращается вокруг свой диагонали. Найдите объем тела вращения, если ребро куба равно 1.

49. Вычислите объем правильного: а) октаэдра; б) икосаэдра; в) додекаэдра, если их ребро равно 1.

50. В треугольной пирамиде два противоположных ребра равны 2, а остальные 4. Вычислите расстояние между центрами вписанного и описанного шаров этой пирамиды.

51. В четырехугольной пирамиде основанием является квадрат со стороной 3. Все ее боковые грани являются прямоугольными треугольниками. Наименьшее боковое ребро равно 4. Вычислите радиусы вписанного и описанного шаров у этой пирамиды.

52. В основании четырехугольной пирамиды квадрат со стороной 2. Вычислите радиусы вписанного и описанного ее шаров, если: а) ровно одна ее грань — равносторонний треугольник и ровно одна — прямоугольный треугольник; б) ровно одна ее грань — равносторонний треугольник и ровно две — прямоугольные треугольники; в) две ее грани — равносторонние треугольники.

53. В кубе расположено шесть пирамид. Вершина каждой из них находится в центре одной грани, а основание каждой совпадает с противоположной гранью. Какую часть от объема куба составляет объем пересечения этих пирамид?

54. Две четырехугольные пирамиды имеют общим основанием квадрат со стороной 1. Их вершины находятся с одной стороны от плоскости основания и удалены от него на расстояние 1. Вычислите объем общей части этих пирамид, если вершины проектируются: а) на две соседние вершины квадрата; б) на две противоположные вершины квадрата; в) на середины двух соседних сторон квадрата; г) на середины двух противоположных сторон квадрата.

55. Дана правильная четырехугольная пирамида. Четыре вершины куба лежат на ее основании, а еще четыре вершины куба лежат на боковых ребрах. Найдите отношение объема куба к объему пирамиды.

56. Шар касается всех ребер: а) куба; б) правильного тетраэдра. В каком отношении делится объем и площадь поверхности шара поверхностью данного многогранника?

57. Внутри конуса находится сфера. Может ли площадь ее поверхности быть равна: а) площади основания конуса; б) площади боковой поверхности конуса?

58. Проверьте, что для шара с объемом V и площадью поверхности S выполняется соотношение S⁸ : V² — 36л, а для остальных известных вам тел S³ : V² 36л.

59. Известны объемы вписанного и описанного шаров для: а) цилиндра; б) конуса; в) усеченного конуса; г) правильного тетраэдра; д) прямоугольного параллелепипеда; е) правильной треугольной призмы; ж) правильной n-угольной пирамиды. Можно ли по этим данным найти объем этих тел?

60. Дан правильный тетраэдр с ребром 1. Вычислите наибольший объем правильной треугольной призмы, три вершины которой находятся на основании пирамиды, а другие три — на ее боковых гранях.

61. В прямоугольном тетраэдре, у которого перпендикулярные ребра имеют длину 1, расположен куб наибольшего объема. При этом вершина куба совпадает с вершиной тетраэдра. Чему равен этот объем?

62. В основании пирамиды РАВС находится равносторонний треугольник со стороной 1. (РВ) _1_ (АВС), | РВ | = 1. Две вершины правильной треугольной призмы находятся на ребре РВ, две — на ребрах АВ и ВС, две — на ребрах РА и PC. Вычислите наибольший объем такой призмы. Вычислите граничные значения площади ее поверхности.

63. В данной правильной четырехугольной пирамиде находится прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. Какую часть его объем составляет от объема пирамиды? Каковы граничные значения площади его поверхности?

64. Основание куба лежит на плоскости а. Его ребро равно 1. Его хотят заключить в правильную четырехугольную пирамиду, основание которой также находится в плоскости а. Чему равен наименьший объем такой пирамиды?

65. Дан правильный тетраэдр с ребром 1. В нем находится правильная треугольная пирамида. Три ее вершины — на боковых ребрах тетраэдра, а одна — в центре основания. Вычислите граничные значения ее объема и площади поверхности.

66. Докажите, что из всех правильных треугольных пирамид,

описанных около данного шара, наименьший объем имеет правильный тетраэдр.

67. Дан шар радиуса /?. Найдите граничные значения объема описанных около него: а) правильной и n-угольной пирамиды; б) конуса; в) усеченного конуса.

68. Дан полушар. Какую часть от его объема составляет наибольший объем находящихся в нем: а) прямоугольного параллелепипеда; б) правильной треугольной призмы; в) правильной четырехугольной пирамиды; г) цилиндра; д) конуса?

69. Из конуса, у которого радиус основания равен высоте, хотят сделать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. Будет ли он кубом?

70. Из равностороннего конуса высотой Н делают цилиндр наибольшего объема. Чему равен этот объем?

71. Угол в осевом сечении конуса равен 2<р, радиус конуса равен R. Чему равна наибольшая поверхность цилиндра, расположенного в этом конусе?

72. Дан конус с образующей 1. Чему равен наибольший объем расположенных в нем: а) прямоугольного параллелепипеда; б) правильной треугольной призмы; в) правильной треугольной пирамиды; г) цилиндра; д) шара; е) конуса; ж) полушара?

73. Из усеченного конуса делают цилиндр наибольшего объема. Сколько процентов заготовки пойдет в отходы?

74. Дан шар. Чему равен наибольший объем расположенного в нем тела, являющегося объединением: а) цилиндра и конуса с общим основанием; б) двух конусов с общим основанием?

75. На основании цилиндра находится полушар, большой круг которого совпадает с основанием цилиндра. Из заготовки такого вида хотят сделать цилиндр наибольшего объема. Как это сделать?

76. Дан шар с объемом V. Можно ли его уместить в таких телах с объемом 2V: а) кубе; б) прямоугольном параллелепипеде; в) правильной треугольной призме; г) правильном тетраэдре; д) правильной четырехугольной пирамиде; е) цилиндре; ж) конусе; з) усеченном конусе?

В следующих задачах предлагается найти ряд величин, а именно: ребра многогранника, расстояния от его вершин до плоскостей его граней (в частности, его высоты), расстояния от ребер до параллельных им плоскостей граней (если таковые имеются), расстояния между плоскостями параллельных граней (если они имеются), расстояния между скрещивающимися прямыми, проходящими через ребра многогранника, углы между скрещивающимися ребрами, углы между ребрами и плоскостями граней, двугранные углы, радиусы вписанного и описанного шаров (если таковые существуют), объем и площадь поверхности. При этом не обязательно искать всевозможные расстояния и углы между указанными элементами, достаточно взять более интересные случаи расположения соответствующих элементов. Порядок нахождения этих величин вы можете выбирать сами, что во многом зависит от конкретного многогранника. Проведя такое исследование, вы можете затем рассмотреть некоторое переменное сечение

данного многогранника и постараться найти, в каких границах лежит площадь его сечения и периметр; при этом желательно выбрать более интересные сечения.

Для такого исследования предлагаются следующие многогранники:

1. Тетраэдр, в основании которого лежит равносторонний треугольник. Две его боковые грани перпендикулярны основанию. Известны сторона основания и угол наклона третьей его боковой грани к плоскости основания.

2. Тетраэдр, в основании которого лежит равносторонний треугольник. Одна его боковая грань перпендикулярна основанию, две другие образуют с плоскостью основания равные углы. Известны сторона основания и угол наклона к плоскости основания граней, не перпендикулярных ему.

3. Тетраэдр, в основании которого лежит равнобедренный треугольник. Все его боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Известны основание равнобедренного треугольника, угол при его вершине и угол наклона боковых граней к плоскости основания.

4. Тетраэдр, в основании которого лежит равносторонний треугольник. Его наибольшее боковое ребро образует с двумя ребрами основания, выходящими из той же вершины, равные углы. Известны сторона основания, длина наибольшего ребра и угол, который оно образует с этими ребрами основания.

5. Тетраэдр, у которого равны двугранные углы при двух противоположных ребрах. Другие четыре ребра равны между собой. Известны длины всех ребер тетраэдра и величины этих двугранных углов.

6. Четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат. Две ее соседние грани перпендикулярны основанию. Известны сторона основания и угол, который составляет с основанием его наибольшее боковое ребро.

7. Четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат. Одна ее боковая грань перпендикулярна основанию, а две соседние с ней образуют с плоскостью основания равные углы. Известны высота пирамиды и угол, который образуют между собой грани, равнонаклоненные к основанию.

8. Четырехугольная пирамида, в основании которой лежит прямоугольник. Два соседних ее ребра равнонаклонены к основанию и другие два также образуют с основанием равные углы. Известны стороны прямоугольника и углы боковых ребер с плоскостью основания и высота.

9. Четырехугольная пирамида, в основании которой лежит ромб. Ее боковые грани равнонаклонены к плоскости основания. Известна сторона основания, угол наклона боковых граней к плоскости основания и наименьший двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

10. Четырехугольная пирамида, в основании которой равнобедренная трапеция. Две ее противоположные боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Известны высота пирамиды, углы наклона к основанию других боковых граней и угол, который образуют между собой грани, перпендикулярные к основанию.

11. Прямая треугольная призма, в основании которой лежит равнобедренный треугольник. Известны боковая сторона этого треугольника, угол при вершине этого треугольника и угол, который образуют между собой два сечения этой призмы, каждое из которых проходит через вершину равнобедренного треугольника, лежащего в основании призмы, и противоположное ей ребро другого основания призмы.

12. Треугольная призма, в основании которой лежит равносторонний треугольник. Одно из боковых ребер призмы образует равные углы с соседними ребрами основания. Известны сторона основания, угол, который образует с плоскостью основания плоскость грани, противолежащей указанному ребру призмы, и площадь этой грани.

13. Четырехугольная призма, в основании которой лежит ромб. Ее боковые грани перпендикулярны основанию. Известны сторона основания, угол между соседними боковыми гранями и угол, который образует с основанием наибольшая диагональ призмы.

14. Четырехугольная призма, у которой основанием является прямоугольник. Две противоположные боковые ее грани — также прямоугольники, равные основанию. Известны стороны прямоугольника и угол, который образуют между собой две соседние прямоугольные грани.

15. Параллелепипед, у которого все грани — ромбы. Их острые углы сходятся в одной из вершин параллелепипеда. Известны площади его диагональных сечений и угол, который одно из них образует с плоскостью основания.