Задачи и теоремы по геометрии – планиметрия (Скопец, Жаров) 1962 год - старые учебники

ПРЕДИСЛОВИЕ

Решение задач составляет существенную сторону процесса обучения математике: уровень математической подготовки во многом определяется глубиной навыков в решении задач.

Это обстоятельство побуждает с особым вниманием отнестись к организации в стенах педагогического института тщательно продуманных занятий, имеющих своей целью подготовить будущего педагога не только теоретически в области геометрии, но и научить его свободно применять приобретенные знания к решению нестандартных задач средней и повышенной трудности.

Предлагаемый сборник геометрических задач по планиметрии предназначен главным образом для студентов математической специальности педагогических институтов и преподавателей, ведущих занятия по специальному курсу элементарной геометрии, а также для учителей средней школы. Задачник может быть использован на занятиях и по другим дисциплинам геометрического цикла (аналитическая геометрия, проективная геометрия, основания геометрии).

Учитель средней школы найдет в задачнике материал для совершенствования своих знаний, для внеклассной работы с учащимися (занятия кружков, проведение математических олимпиад, индивидуальная работа с наиболее способными учениками и т. п.) и для классных занятий, посвященных повторению курса планиметрии.

Отличительной чертой сборника является классификация задач на аксиоматической основе, что соответствует современным взглядам на элементарную геометрию и требованиям вузовского преподавания. Характерным является и то, что в нем собраны лишь задачи на доказательство. Задачи на построение в данном сборнике не приводятся ввиду того, что им посвящены специальные руководства, широко представленные в учебной литературе.

Задачи сборника разбиты по характеру их содержания на четыре главы: глава I — «Абсолютная геометрия»; глава II — «Параллельность. Параллельность и равенство»; глава III — «Параллельность и непрерывность. Подобие»; глава IV — «Площади». Принятая классификация заданного материала соответствует школьному построению курса геометрии.

Существенным является выделение задач, относящихся к абсолютной геометрии (глава I), а также задач аффинного характера (глава II, § 5; глава III, § 11; глава IV, § 17).

Особое внимание уделено подбору задач, решаемых методом геометрических преобразований. Сборник содержит также задачи на максимум и минимум и на геометрические неравенства. В некоторых задачах введены ориентированные отрезки, треугольники и окружности для того, чтобы придать им более общий характер.

Задачи повышенной трудности помещены в конце каждой главы в параграфах «Смешанные задачи». К их решению целесообразно приступить после того, как решен ряд предыдущих задач соответствующей главы.

В задачнике не нашли отражения вопросы, связанные с элементарной теорией конических сечений, так как эта теория тесно связана со стереометрией. Отсутствие раздела, относящегося к теории кругов, вызвано тем, что задачи на эту тему и соответствующий теоретический материал имеются в известных курсах Адамара Ж., Перепелкина Д. И. и других пособиях.

Необходимо отметить, что в процессе решения каждой задачи предполагается использование тех средств, которые вытекают из названия соответствующей главы или параграфа, где помещена эта задача. Однако сделанное указание не исключает поисков других решений. Например, задача № 28 (глава I «Абсолютная геометрия») решается весьма просто в рамках евклидовой геометрии, между тем ее решение в рамках абсолютной геометрии может вызывать значительные затруднения. Задачу № 230 (§11 «Аффинные задачи») необходимо решить как задачу аффинной геометрии. Общеизвестное ее решение метрическими средствами в данном случае непригодно.

Задачи на доказательство не нуждаются в ответах, так как ответ содержится в самом условии задачи. Что касается указаний к их решению, то ими снабжены все задачи. Тексту задач предпослано небольшое введение, в котором приводится перечень известных формул и теорем элементарной геометрии (они могут быть использованы как дополнительный заданный материал), а также единая система обозначений, которой мы придерживаемся в тексте задачника.

Идея создания данного сборника появилась у авторов в результате работы со студентами математической специальности Ярославского пединститута в семинарах по специальному курсу элементарной математики, а также в семинаре по решению геометрических задач повышенной трудности.

Авторы глубоко благодарны А. М. Лопшицу, И. М. Яглому и В. М. Майорову за их ценные советы по улучшению сборника, а также Э. Г. Готману и О. А. Котию, использующим материалы задачника на занятиях со студентами пединститута и учащимися средних школ, за конкретные указания, которые содействовали улучшению задачника.