Задачи и вопросы по стереометрии - для устного решения (Гончаренко) 1964 год - старые учебники

• 7 Поверхность пирамиды 54
• 8. Объем пирамиды 56
• 9 Правильные многогранники 60

Тела вращения

Цилиндр

• 10. Цилиндр и его свойства. 63
• 11. Поверхность цилиндра 68
• 12. Объем цилиндра 70

Конус

• 13. Конус и его свойства. 73
• 14. Поверхность конуса. 78
• 15. Объем конуса 30

Шар и части шара

• 16. Определения, основные элементы и свойства шара . 82
• 17. Поверхность шара и его частей * 89
• 18. Объем шара и его частей. 91

Литература 95

ПРЕДИСЛОВИЕ

Сборнику предпослано введение, в котором изложен вопрос о решении стереометрических задач и приводятся методические указания по подбору и использованию устных упражнений в различных звеньях учебного процесса.

Весь материал пособия расположен в соответствии с основными темами программы школьного курса стереометрии и распределен по 18 параграфам и 5 главам. В большинстве параграфов упражнения разбиты на отдельные под темы, объединенные общим содержанием. Такое расположение материала позволяет учителю быстро ориентироваться в сборнике и облегчает подбор соответствующих упражнений по той или иной теме урока.

Количество устных упражнений составлено из расчета использования на каждом уроке 6-9 задач и вопросов, а также из расчета дать учителю возможность выбирать упражнения к уроку по своему усмотрению и в зависимости от подготовленности учащихся класса.

Указанное количество упражнений не является очень большим, как это до сих пор еще иногда считается. Простые подсчеты показывают, а практика работы учителей подтверждает, что для того, чтобы активизировать мыслительную работу учащихся в течение всего урока, учитель использует в среднем 9-14 упражнений. Из них: 2-3 он предлагает для устного решения всему классу, 3-4 упражнения дает в качестве дополнительных вопросов при опросе учащихся, 2-4 контрольных упражнения для активной формы проверки выполнения домашнего задания и 2-3 для закрепления нового материала. Это общее число упражнений не меняется и тогда, когда урок подчинен какой-либо одной цели: объяснению нового материала, решению задач, за-креплению или повторению.

Таким образом, учитель за год имеет возможность предложить учащимся 500-800 устных задач и вопросов, способствуя тем самым более сознательному усвоению учащимися курса стереометрии. Часть материала для проведения устной работы на уроке учитель находит в сборниках устных упражнений, часть же вынужден составлять сам.

Новые формы в преподавании вынуждают учителя использовать в ходе урока большое количество устных упражнений. Об этом говорит, например, приказ министра просвещения РСФСР, № 57, от 21 февраля 1962 г. Однако подготовка учителя к проведению урока в эффективной форме сопряжена в настоящее время с большими трудностями. Дело в том, что существующие пособия не могут в достаточной степени удовлетворить потребности учителя при систематическом использовании им устных упражнений на различных этапах урока, так как в них приводится незначительное количество упражнений. Исключение составляет лишь "Сборник задач и вопросов по геометрии" Е. С. Березанской и др., Учпедгиз, 1959, в котором представлено 195 упражнений по разделу "Многогранники", 97 - по разделу "Тела вращения" и около 50 - по "Пропедевтическому курсу стереометрии".

Предлагаемые задачи и вопросы дают учителю достаточный материал не только для устного решения задач по теме урока, но и облегчают ему выбор дополнительных вопросов для более глубокой проверки знаний учащихся при опросе, способствуют их подготовке к сознательному восприятию нового материала, позволяют проводить его закрепление, а также систематическое повторение, включая и материал геометрии VI-IX классов. Часть упражнений может быть использована для составления устных контрольных работ по стереометрии, а наиболее трудные - при проведении математических викторин и вечеров.

Задачи с тремя и более числовыми данными необходимо предлагать учащимся с одновременной записью этих данных на доске, в противном случае все внимание учащихся будет сосредоточено на запоминании этих данных, но не на самом решении задачи. Иногда можно допускать и запись промежуточных результатов, чтобы разгрузить память учащихся. Задачи же повышенной трудности (отмечены двумя звездочками), требующие для своего решения хорошо развитого пространственного представления, следует решать по соответствующим моделям или готовым чертежам. Более подробные методические указания по использованию упражнений на уроках изложены во "Введении" и в первой части пособия.

Для удобства работы (со сборником) ответы и указания к задачам и вопросам даны не в приложении, а после каждого упражнения.

Преобладающая часть задач и вопросов сборника составлена автором самостоятельно за время его работы в школе и в вузе. При составлении упражнений были использованы различные учебные пособия, а также обширная научно-тех-ническая и справочная литература. В основу раздела "Многогранники" настоящего пособия положена работа автора "Устные упражнения по стереометрии", опубликованная на украинском языке в "Ученых записках Черниговского педагогического института" в 1959 г., которая подверглась значительной переработке и дополнению. Так как большая часть задач и вопросов данной работы не встречается в аналогичных сборниках для устных занятий, вышедших ранее, предлагаемое пособие является существенным дополнением к ним.

ВВЕДЕНИЕ

Закон "Об укреплении связи школы с жизнью" требует от учителей пересмотра методов обучения с тем, чтобы добиваться от учащихся более сознательного усвоения изучаемого предмета и приобретения прочных навыков по применению полученных знаний на практике.

В решении этих вопросов важную роль может сыграть широкое и систематическое использование устных задач и вопросов во всех звеньях учебного процесса. Это подчеркнуто и в приказе министра просвещения РСФСР (№ 27 от 21/П 1962 г.) "О состоянии и мерах улучшения преподавания математики в школах РСФСР", в котором говорится: "4. На всех уроках в соответствии с возрастом учащихся прак-тиковать вопросы, задания и упражнения, способствующие математическому развитию учащихся. 5. Широко и систематически применять устные вычисления и преобразования, особенно для закрепления вновь изучаемого материала. 9. Упражнения учащихся в решении задач проводить на каждом уроке, добиваясь большого разнообразия их по содержанию и способам решения. 10. Систематические упражнения учащихся в ответах на вопросы, решении задач и примеров использовать как основной метод постоянного повторения и закрепления по всему курсу математики".

Роль устных задач в проведении урока по стереометрии несравненно выше, чем обычно считается. Они способствуют не только выработке пространственных представлений и повышению вычислительной техники учащихся, но и сознательному усвоению ими определений, новых понятий и теорем. С помощью разнообразных устных вопросов можно показать связь между математическими понятиями и объектами окружающей нас действительности, научить учащихся видеть математику в производстве, применять теоретические знания на практике и решать другие задачи обучения математике.

Для более успешного достижения всех этих целей вопросы и задачи для устного решения следует применять не только в той части урока, которая специально отводится для устной работы, но и на других этапах урока.

Под устными упражнениями мы будем понимать как задачи для устного решения, так и другого рода вопросы, предлагаемые учителем на различных этапах урока отдельному ученику или всему классу, если ответы на них не сопровождаются записью.

Еще совсем недавно в нашей методической литературе по геометрии основное внимание уделялось проведению на уроке занятий по устному решению задач и совершенно недостаточное внимание обращалось на использование устных упражнений при проверке домашнего задания, опросе, закреплении, решении задач и повторении. В настоящее время виды устной работы на уроке и ее цели значительно расширились, но это в большей степени относится к урокам планиметрии, чем к урокам стереометрии.

Анализ уроков по стереометрии показывает, что учитель в процессе урока, кроме задач для устного решения, предлагает учащимся также и самые разнообразные вопросы. Подбор и качество этих вопросов существенно определяют общий ход урока, активность учащихся и процесс усвоения знаний. Однако эти вопросы нередко носят формальный характер и не подчинены общей теме урока и тем задачам, ко-торые должны решаться в ходе основных звеньев учебного процесса на уроке.

Следовательно, чтобы активизировать класс на протяжении всего хода урока и повысить качество обучения, необходимо говорить о подборе устных упражнений для каждого этапа урока. Система устных упражнений на уроке должна соответствовать общей его цели, а составные ее части должны подготавливать, углублять или закреплять ту часть урока, которой они подчинены. Часть упражнений учитель заимствует в соответствующих пособиях, часть же должен составлять сам, в особенности для проверки домашнего задания и объяснения нового материала. И оттого, как составлены, подобраны и использованы эти упражнения, во многом зависит эффективность хода урока.

Прежде чем рассмотреть вопрос о подборе и применении устных упражнений на различных этапах урока, остановимся на вопросе решения стереометрических задач.

1. О решении стереометрических задач

1. В вопросе о решении стереометрических задач следует обратить внимание учителя на одно очень существенное обстоятельство, которое не всегда четко доводится до сознания учащихся. Дело в том, что решение значительной части стереометрических задач значительно облегчается, если учащиеся приобретут навыки сводить решение стереометрической задачи к решению задачи планиметрической. Большинство стереометрических задач либо сразу расчленяется на ряд планиметрических задач, либо путем соответствующих преобразований может быть сведено к ним. Так, например, даже решение следующей простой задачи "Пло-щадь сечения, проведенного через диагонали противоположных боковых граней куба, равна 16|/ 2 см. Определить ребро куба" сводится к решению двух планиметрических задач: задачи на теорему Пифагора и задачи на нахождение сторон прямоугольника по его площади. В итоге определение ребра куба свелось к определению меньшей стороны прямоугольника по его площади и определенной зависимости между сторонами.

Решение же задачи "Можно ли вписать цилиндр в прямую четырехугольную призму, площади боковых граней которой относятся, как 3:5:7: 9?", если перейти от комбинации этих тел к их проекции на горизонтальную плоскость, эквивалентно решению следующей планиметрической задачи: "Можно ли окружность вписать в четырехугольник, стороны которого относятся, как 3 : 5 : 7 : 9?"

И, наконец, решение задачи "Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 1 дм, 2 дм, 2 дм, описана сфера. Вычислить поверхность сферы", если рассмотреть вместо комбинации этих тел одно из их осевых сечений, сводится к планиметрической задаче на нахождение радиуса окружности, описанной около прямоугольника. Следовательно, приучая учащихся разлагать данную стереометрическую задачу на ряд планиметрических или сводя ее к эквивалентной ей планиметрической задаче, учитель не только сможет облегчить учащимся процесс приобретения навыков по решению стереометрических задач, но и сможет оказать им в каждом случае конкретную помощь. При такой постановке вопроса ему сразу будет видно, в чем затруднения учащихся: в недочетах знаний по стереометрии или в неумении решать основные задачи по планиметрии. Иногда, особенно вначале, даже полезно ставить перед учащимися вопрос: "К каким планиметрическим задачам сводится решение данной задачи?"

Естественно, что для того, чтобы не возникли трудности при решении сложных стереометрических задач, обусловленные причинами, вытекающими из решения составляющих их планиметрических задач, целесообразно до решения таковых повторить с учащимися не только соответствующие темы по планиметрии, но и способы решения основных планиметрических задач по каждой теме.

2. Общеизвестно, что сознательному и глубокому усвоению учащимися курса стереометрии в значительной степени способствует большое число решенных задач. Однако количество письменно решенных задач в классе из-за ограниченности числа уроков не может быть сколько-нибудь существенно увеличено. К тому же письменное решение стереометрических задач имеет свои отрицательные стороны. Выполнение чертежа, запись условия и вычисления часто затемняют то новое свойство геометрической фигуры, которое характерно для данной задачи и выделяет ее из ранее решенных задач по этой теме. Этого вполне можно избежать, предлагая уче-никам в необходимых случаях задачу для устного решения вместо письменного. Следует также отметить и то, что на данное геометрическое тело не всегда представляется возможным решить письменно даже основные задачи, которые возможно составить благодаря комбинации его элементов, не говоря уже о других задачах. Поэтому, решая ряд наиболее характерных задач по данной теме письменно в классе или дома, некоторую часть задач можно с успехом выполнить устно, что позволит увеличить общее число задач, решаемых учениками в течение года.

Устные решения задач отнюдь не заменяют письменных решений. Первые могут быть как самостоятельными, так и являться частью задачи, решаемой письменно, выполняя самую различную цель: от подготовки и углубления изучаемого материала до его закрепления или обобщения. Разумно сочетая письменное решение основных задач по данной теме с устным решением задач, в которых раскрываются более частные свойства геометрических фигур, можно добиться большего эффекта при изложении и усвоении изучаемого материала.