Задачи по физике для поступающих в ВУЗы (Бендриков, Буховцев, Керженцев, Мякишев) 1987 год - старые учебники

• 12. Тепловое расширение твердых тел и жидкостей 62 260
• 13. Количество теплоты. Коэффициент полезного действия 65 261
• 14. Законы идеального газа и уравнение состояния 71 265
• 15 Элементы молекулярной физики 84 277
• 16. Внутренняя энергия и работа расширения газов.

Теплоемкость 86 279

• 17. Насыщенные и ненасыщенные пары 90 283

III. Электричество и магнетизм 94 287

• 18 Закон Кулона 94 287
• 19 Электрическое поле 99 293

Напряженность электрического поля (99). Потенциал. Работа электрических сил (101). Электрическая емкость (Ю7).

• 20. Постоянный электрический ток 116 309

Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводни ков (116). Последовательное и параллельное соединения проводников. Добавочные сопротивления и шунты (118). Закон Ома для полной (замкнутой) цепи (124). Последовательное и параллельное соединения источников тока, Правила Кирхгофа (131).

• 21, Работа и мощность тока. Закон Джоуля—Ленца 137 323

Задачи Ответа и решения

• 22 Электролиз. Законы Фарадея. 146 330
• 23. Магнитное поле тока. Электромагнитная индукция 149 331
• 24 Переменный электрический ток. 156 335
• 25 Электромагнитные колебания и волны 161 339

IV. Оптика 164 341

• 26. Волновые и квантовые свойства света 164 341
• 27 . Отражение и преломление света на плоской гра нице 165 341
• 28 . Фотометрия 171 350
• 29. . Сферические зеркала. 174 353
• 30 . Тонкие линзы. 181 359
• 31. Оптические системы 194 372

Приложения. 381

I. Фундаментальные физические константы 381

II. Множители и приставки для образования деся тичных кратных и дольных единиц и их наиме нований 381

III. Единицы и размерности физических величин в СИ 382

IV. Перевод внесистемных единиц в СИ 395

V. Названия, символы и атомные массы химических элементов 397

ПРЕДИСЛОВИЕ к ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящий сборник предназначен в помощь поступаю щим в высшие учебные заведения при подготовке к экза менам по физике, а также слушателям подготовительных отделений и курсов. Он содержит задачи по всем вопросам программы вступительных экзаменов, кроме задач на , вол новые свойства света и задач по атомной физике, практичес ки не встречающихся в экзаменационных билетах. В книгу вошли преимущественно задачи, предлагавшиеся в тече ние ряда лет на вступительных экзаменах по физике на физическом, механико-математическом, химическом, гео логическом, биолого-почвенном и географическом факуль тетах Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, а также на факультете вычислительной математики и кибернетики и факультете почвоведения.

В сборнике представлены задачи разной трудности, что, с одной стороны, преследует методические цели, а с другой стороны, отражает различную степень сложности задач. В книгу включены также задачи, несколько выхо дящие за рамки действующей в настоящее время програм мы по физике для поступающих в вузы. Таковыми являют ся некоторые задачи § 11 «Колебания и волны», задачи на расчет электрических полей в диэлектриках, ряд задач § 23 «Магнитное поле тока. Электромагнитная индукция», все задачи § 24 «Переменный электрический ток» и некоторые задачи раздела «Оптика». В большинстве случаев эти задачи относятся к вопросам, которые так или иначе рассматриваются в школьных учебниках по физике. Авторы считают, что разбор указанных задач поможет читателю более свободно ориентироваться в основном материале программы вступительных экзаменов по физике.

В целях развития навыков и культуры решения физических задач многие из них снабжены подробными реше ниями. Все решения построены по единому, наиболее целесообразному плану: составление необходимых уравнений, решение их в общем виде, подстановка числовых

данных; при этом математика используется в полном объеме программы средней школы.

К каждой теме задачника даны краткие указания, ка сающиеся общей методики решения задач, и перечень ос новных формул, используемых при решении. В ряде мест приведены методы решения задач, которые, хотя и не вы ходят за рамки программы средней школы и могут быть легко освоены поступающими в вузы, в средней школе рассматриваются далеко не всегда. Усвоение подобных ме тодов значительно облегчает подготовку к вступительным экзаменам и помогает поступившим в вуз сравнительно легко перейти от школьных методов обучения к вузовским.

Сборник неоднократно перерабатывался, расширялся и последний раз пополнялся новыми задачами из числа предлагавшихся на разных факультетах Московского универ ситета при подготовке третьего издания (1976 г.). Тогда же в соответствии с пожеланиями подготовительных отделе ний и курсов, которые широко пользуются задачником, и в целях стимулирования самостоятельной работы учащихся для части задач были опущены решения и даны лишь от веты. Подробные решения приведены, как правило, для основных задач, на которые и должны ориентироваться читатели.

В настоящем, пятом, издании общий план книги, со держание и нумерация задач остались прежними. Однако формулировки и решения задач существенно переработаны с учетом требований ныне действующих программ по фи зике для поступающих в вузы и ГОСТ 8.417—81 (СТ СЭВ 1052—78) «Единицы физических величин». В конце книги приведен ряд таблиц, полезных при решении задач.

Раздел сборника «Механика», кроме задач по кинема тике, написан Г. Я. Мякишевым, раздел «Теплота и моле кулярная физика» и задачи по кинематике — В. В Керженцевым, раздел «Электричество и магнетизм» — Г. А. Бендриковым, раздел «Оптика» — Б. Б. Буховцевым. Общее редактирование сборника выполнено Б. Б. Буховцевым.

Авторы выражают глубокую благодарность В. Г. Зу бову и Г. Е. Пустовалову, немало способствовавшим улуч шению сборника.

Авторы

ЗАДАЧИ

I. МЕХАНИКА

• 1. Прямолинейное равномерное

и равнопеременное движение

Изучение механики обычно начинают с кинематики. Кинематика описывает механическое движение тел с геометрической точки зрения, без рассмотрения действующих на них сил.

Задачей кинематики является определение кинематических харак теристик движения тел — их положения (координат), скоростей, уско рений, времени движения и т. д.— и получение уравнений, связываю щих эти характеристики между собой. Эти уравнения позволяют по одним известным характеристикам находить другие и тем самым дают возможность при минимальном числе исходных данных полностью описывать движение тел.

При решении задач механики, в частности кинематики, нужно в первую очередь выбрать систему координат (систему отсчета), задать ее начало и положительные направления координатных осей и выбрать начало отсчета времени. Без выбора системы координат описать движение невозможно. В соответствии с характером задач, рассматриваемых в дальнейшем, мы будем пользоваться в случае"прямолинейного движе ния системой координат, состоящей из одной координатной оси OS, вдоль которой происходит движение, с началом отсчета в точке О. В бо лее сложных случаях будет применяться декартова прямоугольная сис тема координат с взаимно перпендикулярными осями ОХ и OY, пересекающимися в точке О, которая является началом отсчета.

Равномерное и равнопеременное прямолинейное движение описывается кинематическими уравнениями (так называемыми законами движения), дающими зависимость координаты s и скорости и от времени:

s = $o+^+^²/2, v = v₀-j-at, (1)

где а — ускорение, t — время, протекшее с начала отсчета, т. е. с мо мента, когда тело имело начальную координату Sq и начальную скорость р₀. При а= const уравнения (1) описывают равнопеременное движение, при а=0 — равномерное. Все остальные формулы равнопеременного движения, например связь между начальной скоростью и координатой тела в момент полной остановки: s₀=vl/2a_t можно легко получить из этих уравнений.

Число уравнений типа (1) зависит как от характера движения, так и от выбора системы координат. Например, при выборе в качестве системы координат оси OS (рис. 1) для тела, движущегося из точки А в точку В по прямой с начальной скоростью и ускорением а, направленным против положительного направления координатной оси, уравнения (1) будут иметь вид $ = а/²/2, u = v₀—ot.

Для описания движения этого же тела можно взять также прямо

угольную систему координат с осями ОХ и OY, расположенными, как

Рис. 1.

показано на рис. 1. Координата s₀ тела в этом случае будет определять ся проекциями х₀ и y_Q на оси ОХ и OY. При движении тела эти проекции на оси координат изменяются. Скорость v тела можно представить в виде суммы двух составляющих и_х и v_yi направленных вдоль координатных осей. Модули этих составляющих равны модулям проекций и_х и и_у скорости на соответствующие оси. Аналогично, модули составляющих ускорения равны модулям

проекций а_х и а_у. Для каждой проекции координаты и скорости на со ответствующую ось может быть написана своя пара кинематических

уравнений:

X = | *0 | +1 Vox 11 — I а_х I ²/2, v_x = I I — I a_x | /;

У= I Уо |— I Щу | /4-1 a_v | Z²/2, v_y= — | v_Oy |4-| a_y 11.

Здесь x₀, y_Q и t'_Ox, v_Qy — проекции начальной координаты и начальной скорости тела на координатной оси. (О выборе знаков перед у_Ох, v_Qyi а_х и а_у см. ниже.)

Описания движения в различных системах координат эквивалент ны между собой в том смысле, что при известном расположении двух систем координат относительно друг друга по величинам, найденным в одной системе, можно определить соответствующие величины в другой. Например, легко убедиться, что расстояние АВ (рис. 1), пройденное телом и равное s—s₀, выражается через расстояния х—х₀ и у₀, на которые переместились за это время проекции координаты тела:

s—s₀=k (X— Х_О)²4-0О.

Начальная скорость о₀ и ускорение а тела могут быть найдены, если известны их проекции на оси координат:

1о = Ч- VQyt ^а — ^ах+^ау-

При решении задач следует выбирать такую систему коордИн’ат; в которой уравнения, описывающие движение, получаются простыми.

Ясно, что при прямолинейном движении система уравнений, описываю щая это движение, выглядит проще, если берется одна ось координат, направленная вдоль движения. При криволинейном движении приходится брать прямоугольную систему координат с двумя осями и представлять движение в виде суммы двух движений, происходящих вдоль координатных осей. Уравнения имеют более простой вид, когда направления осей выбираются так, что некоторые из проекций в течение всего времени движения равны нулю.

При составлении уравнений очень важен вопрос о знаках перед модулями проекций s, v и а. Если координата отсчитывается в положи тельную сторону от начала отсчета (положительное направление оси координат указывается стрелкой на конце оси), то ей приписывается знак плюс. Проекции ускорений и скоростей считаются положительны ми, если направление соответствующей составляющей совпадает с поло жительным направлением оси, в противном случае в уравнениях они пишутся со знаком минус. Например, на рис. 1 проекция ускорения на ось OY положительна, а проекция скорости на ту же ось отрицательна. Неизвестные величины лучше писать со знаком плюс. При нахождении этих величин в процессе решения задачи их знак определится сам собой. Например, для тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью г₀, если ось OS направлена вертикально вверх и начало от счета совпадает с поверхностью земли, s=v_Qt—gt^{1 2}/2 (ускорение свобод ного падения g направлено вниз). В этом случае знак координаты s зависит от t: для f2u₀/g координата s отрицательна.

Иногда пройденный телом путь отождествляют с координатой s, а уравнение (1) называют уравнением пути. В общем случае это неправильно. Путь — это сумма всех расстояний, пройденных вдоль траектории. В частности, в только что приведенном примере координата s в момент времени t=2v_Q/g будет равна нулю (тело упадет на землю), в то время как пройденный телом к этому времени путь / будет равен сумме расстояний от земли до наивысшей точки, достигнутой телом, и от этой точки до земли (l=vl/g).

При решении задач на движение нескольких тел рекомендуется пользоваться одной системой координат. В некоторых случаях бывает удобно систему координат связать с одним из движущихся тел и рассматривать движение остальных тел относительно избранного.

Эти указания относятся прежде всего к §§ 1—3, однако они могут понадобиться и при решении других задач во всем разделе «Механика».

1. Товарный поезд идет со скоростью а,=36 км/ч. Спустя время т=30 мин с той же станции по тому же направлению вышел экспресс со скоростью у,=72 км/ч. Через ка

кое время t после выхода товарного поезда и на каком рас стоянии $ от станции экспресс нагонит товарный поезд? Задачу решить аналитически и графически.

2. Из городов Л и В, расстояние между которыми

= 120 км, одновременно выехали навстречу друг другу две автомашины со скоростями ih=20 км/ч и и₂=60км/ч. Каждая автомашина, пройдя 120 км, остановилась. Через какое

время i и на каком расстоянии s от города С, находящегося ка полпути между Л и В, встретятся автомашины? Задачу

решить аналитически и графически. Пост роить график зависимости расстояния I

между автомашинами от времени t.

3. Стержень АВ длины I опирается концами о пол и стену. Найти зависимость координаты у конца стержня В от времени i при движении конца стержня Л с постоянной скоростью v в направлении, указанном на рис. 2, если первоначально конец Л имел координату х₀-

4. Товарный поезд длины /1=630 м и

Рис. 2. экспресс длины /₂=120 м идут по двум

параллельным путям в одном направлении со скоростями Ui=48,6 км/ч и f₂=102,6 км/ч со ответственно. В течение какого времени экспресс будет обгонять товарный поезд?

5. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями =36 км/ч и f₂=54 км/ч. Пассажир в первом поезде замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение времени /=6 с. Какова длина второго поезда?

6. Теплоход, имеющий длину /=300 м, движется по прямому курсу в неподвижной воде со скоростью fi. Катер, имеющий скорость у₂=90 км/ч, проходит расстояние от

кормы движущегося теплохода до его носа и обратно за время /=37,5 с. Найти скорость fi теплохода.

7. На наклонную плоскость, со ставляющую с горизонтом угол а, опирается стержень, который может перемещаться только по вертикали благодаря направляющему устрой ству АВ (рис. 3). С какой скоростью v поднимается стержень, если наклонная плоскость движется влево со скоростью и?

8. Капли дождя на окнах неподвижного трамвая оставляют полосы, наклоненные под углом а=30° к вертикали. При движении трамвая со скоростью w = 18 км/ч полосы от дождя вертикальны. Найти скорость капель дождя v в безветренную погоду и скорость ветра ш.

9. Пловец переплывает реку, имеющую ширину h. Под

каким углом а к направлению течения он должен плыть, чтобы переправиться на противоположный берег в крат чайшее время? Где он в этом случае окажется и какой путь

s проплывет, если скорость течения реки равна и, а скорость пловца относительно воды равна v?

10. Лодочник, переправляясь че рез реку ширины h из пункта А в пункт В, все время направляет лодку под углом а к берегу (рис. 4). Найти скорость лодки v относительно воды,

Рис. 4.

если скорость течения реки равна и, а лодку снесло ниже пункта В

на расстояние I.

11. Корабль идет на запад со скоростью v. Известно, что ветер дует с юго-запада. Скорость ветра, измеренная на палубе корабля, равна и₀. Найти скорость ветра и относи тельно земли.

12. Тело 1 начинает двигать ся из точки А по направлению к точке В со скоростью одно временно тело 2 начинает двигаться из точки В по направлению к точке С со скоростью v₂ (рис. 5). Расстояние AB=L. Острый угол АВС=а. В какой момент времени t расстояние I метру телами 1 и 2 будет минимальным и каково это расстояние?

13. Один поезд шел половину пути s со скоростью Vi= =80 км/ч, а половину пути — со скоростью ^=40 км/ч.

Другой поезд шел половину времени t со скоростью и_а= =80 км/ч, а половину времени— со скоростью и₂=40 км/ч. Какова средняя скорость каждого поезда?

14. Тело, имея начальную скорость v₀=2 м/с, двигалось в течение времени /₄=3 с равномерно, /_а=2 с с ускорением а_а=2 м/с², /₃=5с с ускорением а₃=1 м/с², /₄=2с сускоре- нием а₄=—3 м/с², /_s=2 с равномерно со скоростью, полу ченной в конце промежутка времени /₄. Найти конечную скорость v, пройденный путь s и среднюю скорость v_cp на этом пути. Задачу решить аналитически и графически.

15. Самолет, летящий горизонтально со скоростью и,

попадает в полосу дождя, капли которого падают верти кально со скоростью w. Кабина пилота имеет два стекла: верхнее — горизонтальное и переднее — наклоненное к го ризонту под углом а (рио. 6). Каждое из стекол имеет

площадь S. Найти отношение числа капель воды, падаю

щих в единицу времени на переднее стекло, к числу

капель, падающих в единицу времени на верхнее стекло.

16. Тело, имея начальную скорость о₀=1 м/с, двигалось равноускоренно и приобрело, пройдя некоторое расстояние, скорость у_к=7 м/с. Какова была скорость тела на половине этого расстояния?

17. Тело, имея некоторую начальную скорость, движет ся равноускоренно из некоторого положения. Известны

координаты тела Xf, х₂, х₃, отсчитанные вдоль направления движения от произвольного начала отсчета в моменты времени /₂, t₃- Найти ускорение тела.

18. Парашютист спускается с постоянной скоростью = 5м/с. На расстоянии й=10 м от земли у него выпал пред мет. На сколько позже приземлится парашютист, чем этот предмет? Сопротивлением воздуха для падающего предмета пренебречь. Считать ускорение свободного падения g— = 10 м/с².

19. Тело, имея некоторую начальную скорость, движет ся равноускоренно. За время t тело прошло путь s, причем его скорость увеличилась в п раз. Найти ускорение тела.

20. По одному направлению из одной точки одновременно начали двигаться два тела- одно — равномерно со скоростью 0=980 см/с, а другое — равноускоренно без на чальной скорости с ускорением а=9,8 см/с². Через какое время второе тело догонит первое?

21. Два поезда прошли одинаковый путь s за одно и то же время /, однако один поезд, имея начальную скорость, равную нулю, прошел весь путь с ускорением а=3 см/с^, а другой поезд половину пути шел со скоростью ui=18 км/ч, а половину пути — со скоростью Пг=54 км/ч. Найти путь $, пройденный поездами.

22. Автомобиль, трогаясь с места, едет с ускорением ц. Достигнув скорости и, он некоторое время едет равномерно, а затем тормозит с ускорением at до остановки. Найти время t движения автомобиля, если он прошел путь s.

23. Поезд прошел путь s=60 км за время /=52 мин. Сначала он шел с ускорением 4-а, в конце с ускорением —а, остальное время с максимальной скоростью и=72 км/ч. Найти модуль ускорения, если начальная и конечная скорости равны нулю.

24. Какая предельная скорость приземления v парашютиста допустима, если человек, не имея парашюта, мо жет безопасно прыгать с высоты м?

25. Камень брошен с высоты Л=28 м вертикально вверх с начальной скоростью v₀=8 м/с. Найти скорость v падения камня на землю.

26. Тело падает без начальной скорости с высоты =45 м. Найти среднюю скорость v_cp падения на второй по ловине пути.

27. За какое время t свободно падающее без начальной скорости тело пройдет сотый сантиметр своего пути?

28. Свободно падающее без начальной скорости тело в последнюю секунду падения прошло 2/3 своего пути. Найти путь s, пройденный телом.

29. Тело брошено с некоторой высоты вертикально вверх с начальной скоростью v₀=30 м/с. Найти координату h и скорость v тела через время /= 10 с, а также пройден ный за это время путь $. Считать ускорение свободного па дения g=10 м/с².

30. Свободно падающее без начальной скорости тело спустя некоторое время после начала падения находилось на высотеAj= 1100 м, а еще через время Д/ = 10с — на вы соте Л₂=120 м над поверхностью земли. С какой высоты h падало тело?

31. Тело, брошенное вертикально вверх, дважды про ходит через точку на высоте h. Промежуток времени меж ду этими прохождениями равен Д/. Найти начальную скорость тела Vo и время Д/_о от начала движения тела до воз врата в начальное положение.

32. Одно тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью v₀, другое падает с высоты h без начальной скорости. Движения начались одновременно и происходят по одной прямой. Найти зависимость расстояния s между те лами от времени t.

33. С башни, имеющей высоту й, бросают одновременно два шарика: один — вертикально вверх со скоростью v_b другой— вертикально вниз со скоростью v₂. Найти про межуток времени Д/, отделяющий моменты их падения на землю.

34. С крыши падают одна за другой две капли. Через время /₂=2 с после начала падения второй капли расстояние между каплями стало равным s=25 м. На сколько рань ше первая капля оторвалась от крыши?

35; С высоты hj=10 м без начальной скорости падает камень. Одновременно с высоты /г_а=5 м вертикально вверх

бросают другой камень. С какой начальной скоростью брошен второй камень, если камни встретились на высоте h=l м над землей?

36. Два тела брошены вертикально вверх с одинаковы ми начальными скоростями с интервалом времени Л/. С ка кой скоростью будет двигаться второе тело относительно первого?

37. Лодка подтягивается к высокому берегу озера при

помощи веревки, которую

наматывают с постоянной скоростью у=1 м/с на цилиндрический барабан, находящийся, на высоте Л=6 м над уровнем воды (рис. 7). Найти зависимость скорости лодки ц_л от длины веревки /. Найти также скорость лодки в момент времени, когда Z=10 м, и пере мещение лодки из этого поло жения за время 1=1 с.

38. По наклонной плоскости одновременно начали двигаться два тела: одно — вверх с начальной скоростью и_о=О,5 м/с, другое — вниз без начальной скорости. Через какое время t тела встретятся и какой будет их относительная скорость в месте встречи, если первоначальное рас стояние между телами /=2,5 м?

39. Тело соскальзывает без трения с наклонной плоскости. Найти угол а наклона плоскости к горизонту, если средняя скорость тела за первые 0,5 с на 2,45 м/с меньше, чем средняя скорость тела за первые 1,5 с.

40. Стальной шарик, упавший с высоты ft=l,5 м на стальную доску, отскакивает от нее с потерей 25% скорости. Найти время /, которое проходит от начала движения шарика до его второго падения на доску.

41. Мяч свободно падает с высоты Л = 120 м на горизонтальную плоскость. При каждом отскоке скорость его уменьшается в и=2 раза. Построить график скорости и найти пройденный мячом путь от начала движения до остановки.

42. На движущуюся вертикально вверх со скоростью и горизонтальную гладкую плиту свободно падает шарик. Расстояние от точки начала падения шарика до его места встречи с плитой равно h_Q. На какую высоту h от этого места подскочит шарик после соударения с плитой? Плита, обладая очень большой массой, не изменяет своей скорости в результате соударения с шариком. Считать соударение абсолютно упругим.

43. Вертикальная гладкая плита движется горизонтально со скоростью и. Летящий в горизонтальной плоскости со скоростью v₀ шарик соударяется с плитой. Направление полета шарика со ставляет угол а с перпендикуляром к плите (рис. 8). Найти скорость V шари ка после соударения с плитой. Плита, обладая очень большой массой, не из меняет своей скорости в результате со ударения с шариком. Считать соударение ругим. Силой тяжести пренебречь.

Рис. 8.

абсолютно уп-

• 2. Криволинейное движение

При прямолинейном движении направление скорости тела остается неизменным. Если же тело движется по криволинейной траектории, его скорость в любой точке направлена по касательной к траектории в этой точке. Криволинейное движение является всегда ускоренным, так как изменяется направление скорости, даже если не изменяется ее модуль.

Для расчета движения по криволинейной траектории удобно ис пользовать прямоугольную систему координат с двумя осями. Одну из осей направляют обычно параллельно ускорению, другую — перпендикулярно к нему.

44. Тело брошено с высоты h горизонтально с начальной скоростью я₀. Как зависят от времени координаты тела и его полная скорость? Вывести уравнение траектории.

45. С башни, имеющей высоту h=25 м, горизонтально брошен камень с начальной скоростью и₀=Ю м/с. На каком расстоянии s от основания башни он упадет на землю?

46. Камень, брошенный с башни горизонтально с на чальной скоростью и_о=1О м/с, упал на расстоянии $= = 10 мот башни. С какой высоты h был брошен камень?

47. Тело брошено со стола горизонтально. При падении на пол его скорость и=7,8 м/с. Высота стола й=1,5 м. Найти начальную скорость тела v₀-

48. Камень брошен с горы горизонтально с начальной скоростью и₀=15 м/с. Через какое время t его скорость бу дет направлена под углом а=45° к горизонту?

49. Камень, брошенный с крыши дома горизонтально с начальной скоростью у₀= 15 м/с, упал на землю под углом сх=60° к горизонту. Какова высота h дома?

50. Тело брошено с высоты Л=2 м горизонтально так, что к поверхности земли оно подлетает под углом а=45°

к горизонту. Какое расстояние по горизонтали пролетает тело?

51. Тело брошено горизонтально. Через время /=5 с после броска направления полной скорости v и полного ускорения а составили угол 0=45°. Найти полную скорость V тела в этот момент. Считать ускорение свободного падения g=10 м/с².

52. Камень брошен с высоты h вверх под углом а к горизонту с начальной скоростью 0_О. Под каким углом 0 к горизонту и с какой скоростью v камень упадет на землю?

53. Тело брошено горизонтально с начальной скоростью v₀=15 м/с. Найти нормальное а_п и касательное а_х ускоре ния через время /=1 с после начала движения тела.

54. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с на чальной скоростью 0_О. Как зависят от времени скорость v тела и угол 0 ее наклона к горизонту?

55. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с начальной скоростью 0_О. Найти законы движения для ко ординат тела и получить уравнение траектории.

56. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с на чальной скоростью 0_О. На какую высоту h поднимется тело? В .течение какого времени t будет продолжаться подъем тела?

57. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с начальной скоростью 0_О. Какое время t тело будет находиться в полете? Какое расстояние s по горизонтали от ме ста бросания пролетит тело?

58. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с на чальной скоростью 0_О. Построить графики зависимости вер тикальной проекции скорости v_y от: времени координаты у (высоты); координаты х (расстояния по горизонтали от места бросания).

59. Камень брошен под углом а=30° к горизонту с на чальной скоростью 0_О=10 м/с. Через какое время t камень будет на высоте ft=l м?

60. Камень, брошенный под углом а=30° к горизонту, дважды был на одной высоте Л: спустя время ^=3 с и время /₂=5 с после начала движения. Найти начальную ско рость 0_О и высоту h.

61. Тело, брошенное под углом а=60° к горизонту, через время /=4 с после начала движения имело верти кальную проекцию скорости 0^=9,8 м/с. Найти расстояние s между местом бросания и местом падения.

62. Камень брошен с башни, имеющей высоту h, о начальной скоростью 0_О, направленной под углом а к го- 16

ризонту. На каком расстоянии s от основания башни упадет камень?

63. Два тела брошены под углами и at к горизонту из одной точки. Каково отношение сообщенных им начальных скоростей, если они упали на землю в одном и том же месте?

64. Тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью и_о=1Ом/с. Найти скорость v тела в момент, когда оно оказалось на высоте /г=3 м.

65. Камень брошен с высоты h под углом к горизонту с начальной скоростью и₀. С какой скоростью и камень упадет на землю?

66. Тело брошено под углом а к горизонту с начальной скоростью о₀. Через какие промежутки времени после бро сания скорость тела будет составлять с горизонтом углы р₁₌45° и р₂=315°?

67. Какую начальную скорость и₀ имел снаряд, вылетевший из пушки под углом а=30° к горизонту, если он пролетел расстояние s=17 300 м? Известно, что сопротивление воздуха уменьшило даль ность полета в четыре раза.

68. Мотоциклист въезжает на высокий берег рва, параметры которого указаны на рис. 9. Какую минимальную скорость v должен иметь мотоциклист в

момент отрыва от берега, чтобы р_ис 9

перескочить через ров?

69. Камень брошен с башни под углом а=30° к гори зонту с начальной скоростью и_о«1О м/с. Каково крат чайшее расстояние I между местом бросания и местом нахождения камня спустя время /=4 с после бросания?

70. Сверхзвуковой самолет летит горизонтально со скоро стью v=1440 км/ч на высоте й=20 км. Когда самолет про летает над зенитной установкой, из орудия производится выстрел (рис. 10). Какова должна быть минимальная начальная скорость Vo снаряда и угол а ее с горизонтом, чтобы снаряд попал в само лет?

71. Два тела брошены одно временно из одной точки—одно вверх, другое вниз, оба с начальной скоростью и_о=ЗО м/с под углом а—60° к вертикали. Найти разность уровней, на которых будут находиться тела спустя время 1=2 с.

72. С самолета, летящего горизонтально со скоростью у₀, на высоте h₀ сброшен груз. На какой высоте h скорость груза будет направлена под углом а к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

73. Самолет, оторвавшись от взлетной дорожки, летит по прямой линии, составляющей с горизонтом угол а = =30°, с начальной скоростью и_о=5О м/с и ускорением а=3 м/с². Из самолета спустя время /₀=5с после отрыва его от земли выброшен по вертикали вниз ключ с начальной скоростью и₀—3 м/с относительно самолета. На каком рас стоянии от места взлета упадет ключ?

74. С высоты /г=2 м вниз под углом а=60° к горизонту брошен мяч с начальной скоростью у₀=8,7 м/с. Найти рас стояние s между двумя последовательными ударами мяча о землю. Удары считать абсолютно упругими.

_х75. Шарик свободно падает по вертикали на наклонную плоскость. Пролетев расстояние h = l м, он упруго отражается и второй раз падает на ту же плоскость. Найти рас стояние s между первым и вторым ударами шарика о плоскость, если последняя составляет с горизонтом угол а=30°.

• 3. Вращательное движение

Изменение положения тела при движении по окружности характеризуют углом поворота радиуса, проведенного к телу. Угол поворота чаще всего выражают в радианах:

2л рад « 360°, 1 рад= 180°/л, 1° = л/180рад.

Угловая скорость со равномерно движущегося по окружности тела — отношение угла поворота радиуса, проведенного к телу, к промежутку времени, в течение которого совершен этот поворот, Единицей угловой скорости является радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость v тела — отношение длины пройденного пути к промежутку времени, в течение которого пройден этот путь. Она определяется угловой скоростью со тела и его расстоянием R от оси вращения: и=со/?.

Быстроту движения тела по окружности характеризуют также ча стотой вращения п — числом оборотов, совершаемых телом в единицу времени, и выражают в оборотах в секунду (об/с), Частота вращения п связана с угловой скоростью со соотношением со=2лп.

Период вращения Т — время, в течение которого тело делает пол ный оборот: 7'=1/л=2л/со.

При равномерном движении тела по окружности ускорение тела в любой точке направлено перпендикулярно к скорости движения, т. в по радиусу окружности к ее центру. Это ускорение называется центростремительным. Его модуль tz_n=y²//?=CD²/?.

При равноускоренном движении тела по окружности центростремительное (нормальное) ускорение а_п вместе с касательным (тангенциальным) ускорением а_т (изменяющим модуль скорости у) определяют полное ускорение а тела.

76. Найти радиус R маховика, если при вращении ли нейная скорость точек на его ободе ц_х=6 м/с, а точек, находящихся на расстоянии г=15 см ближе к оси вращения, и₂=5,5 м/с.

77. Линейная скорость точек обода вращающегося дис

ка v_x=3 м/с, а точек, находящихся на расстоянии г=10 см

ближе к оси вращения, и₂=2 м/с. Найти частоту вращения диска.

78. Велосипедист едет с постоянной скоростью v по прямолинейному участку дороги. Найти мгновенные линейные скорости точек Д, В, С, D, Е, лежащих на ободе колеса (рис. 11), относительно земли.

79. Материальная точка движет ся по окружности радиуса R =20 см

В

Рис. 11.

равноускоренно с касательным ускорением а_х=5 см/с². Через какое время t после начала движения центростремительное ускорение а_п будет боль ше а_х в п=2 раза?

80. Материальная точка, двигаясь равноускоренно по окружности радиуса 7? = 1 м, прошла за время ^ = 10 с путь $=50 м. С каким центростремительным ускорением а_п дви галась точка спустя время /₂=5 с после начала движения?

81. Ось вращающегося диска движется поступательно в горизонтальном направлении со скоростью v. Ось горизонтальна, направление ее движения перпендикулярно к ней самой. Найти мгновенную скорость и_х верхней точки диска, если мгновенная скорость нижней точки диска равна v₂.

82. При равноускоренном движении тела по окружности полное ускорение а и линейная скорость v тела образуют угол а=30°. Найти отношение центростремительного и касательного ускорений.

83. Найти линейную скорость v и центростремительное ускорение а_п точек на экваторе и на широте р=60°. Считать радиус Земли R=6400 км.

84. Маховое колесо, вращающееся с частотой п — =»240 об/мин, останавливается в течение промежутка времени /=0,5 мин. Найти число оборотов N, сделанных колесом до полной остановки.

85. Поезд въезжает на закругленный участок пути с на чальной скоростью и₀=54 км/ч и проходит равноускоренно расстояние s=600 м за время 7=30 с. Радиус закругления /? = 1 км. Найти скорость v и полное ускорение а поезда

в конце этого участка пути.

86. С колеса автомобиля, движущегося с постоянной скоростью v, слетают комки грязи. Радиус колеса равен R. На какую высоту h над дорогой будет отбрасываться грязь, оторвавшаяся от точки А колеса, указан- ной на рис. 12? Изменится ли высота Л, / если колесо будет катиться с пробуксовкой?

Рис. 13.

Рис. 12.

87. В винтовой желоб (рис. 13) положен тяжелый шарик. С каким ускорением а нужно тянуть нить, намотанную на цилиндр с желобом, чтобы шарик падал свободно, если диа метр цилиндра равен £), а шаг винтового желоба равен й?

• 4. Динамика прямолинейного движения

При решении динамических задач нужно прежде всего выяснить, какие силы действуют на тело, движением которого мы интересуемся. Необходимо изобразить эти силы на чертеже. При этом нужно отчет ливо представлять себе, со стороны каких тел действуют рассматриваемые Следует помнить, что силы «действия» и «противодействия», фигурирующие в третьем законе Ньютона, приложены к разным телам. Поэтому на данное тело может действовать лишь одна из этих двух сил.

В задачах обычно встречаются следующие типы сил.

1. Сила тяжести mg (рис. 14) — сила, действующая на тело со сто роны Земли. Эта сила приложена к центру масс тела. Если других сил нет, то сила тяжести сообщает телу массы т ускорение свободного па дения £=9,80665 м/с²»9,81 м/с². Если пренебречь вращением Земли, 20

а также отклонениями от сферической симметрии распределения' со ставляющих ее масс, то силу тяжести можно считать направленной к центру Земли.

2. Сила реакции опоры W (рис. 15, а) — сила, в которой опора дей ствует на тело. Эта сила перпендикулярна к поверхности соприкосновения тел. Зависимость силы реакции опоры от деформации в задачах обычно не рассматривается.

3. Сила нормального давления Г_{н д} (рис. 15, б) — сила, с которой тело давит на опору. Эта сила перпендикулярна к поверхности сопри косновения тел, равна по модулю (согласно третьему закону Ньютона) силе реакции опоры и противоположна ей по направлению, так что для модулей этих сил справедливо равенство

4. Сила натяжения подвеса Т (рис. 16) —

сила, с которой подвес действует на тело. Эта Рис. 16.

сила направлена вдоль оси подвеса. Если тела

связаны невесомой нитью (веревкой, тросом и т. п.), то натянутая нить действует с одинаковыми силами как на одно, так и на другое тело. При этом нить может быть перекинута через систему невесомых блоков. Обычно нить считается нерастяжимой и зависимость силы натяжения нити от деформации не рассматривается.

Сила натяжения подвеса (сила реакции подвеса), так же как и сила реакции опоры, относится к силам упругости, особенность которых со

стоит в том, что они направлены перпендикуляр но к поверхности соприкосновения взаимодействующих тел или вдоль их осей.

5. Сила трения f (рис. 17) — сила сопротивления, возникающая при относительном переме щении прижатых друг к другу тел. Эта сила направлена по касательной к поверхности соприкосновения тел и противоположно направлению перемещения данного тела. Важно обратить внимание на неоднозначность силы трения покоя. При покое сила трения в зависимости от других сил, приложенных к телу, может меняться от

нуля до некоторого максимального значения, определяемого силой нормального давления Гн.д^: /тах⁼^н.д* где коэффициент трения*). При скольжении обычно принимается, что /=/_тах (рис. 18). Учитывая, что модули сил нормального давления и реакции опоры равны, можно выразить максимальную силу трения /_тах через силу реакции опоры N: (для модулей сил). Это соотношение будет часто использоваться при решении задач.

^!. Для того чтобы определить направление силы трения, можно при менить [следующий прием: предположить, что сила трения мгновенно исчезла, и найти направления относительных скоростей трущихся тел. Направления сил трения будут противоположны направлениям относи тельных скоростей.

: ₍ После того как найдены действующие на тело силы, следует записать уравнение движения (второй закон Ньютона). При движении по прямой второй закон Ньютона имеет вид"/па = Е1 + Е_а+.+F_M, где F_f, F₂, . , ., F_n— проекции сил на прямую, по которой происходит движение. Положительное направление отсчета удобно выбирать совпадающим с направлением ускорения. Если направление составляющей силы совпадает с направлением ускорения, то соответствующая проекция силы берется со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус. До того как задача решена, направление ускорения, вообще го воря, неизвестно и может быть выбрано произвольно. Если полученное в процессе решения задачи ускорение положительно, то его направление выбрано правильно, если отрицательно — то неправильно.

В направлении, перпендикулярном к прямолинейному движению, сумма проекций сил равна нулю, так как ускорение в этом направлении отсутствует. Этими равенствами можно воспользоваться в случае, когда надо найти силу реакции опоры, определяющую силу трения.

Если рассматривается движение системы тел, то уравнение движения нужно записать для каждого тела системы. Задача может быть ре шена лишь тогда, когда число независимых уравнений равно числу не известных. В число неизвестных часто кроме величин, которые требуется найти по условию задачи, входят еще силы реакции опоры, трения и на тяжения подвеса, возникающие при взаимодействии тел системы.

Для решения задачи о движении системы связанных друг с другом тел одних уравнений движения, вообще говоря, недостаточно. Нужно записать еще так называемые кинематические условия, выражающие собой соотношения между ускорениями тел системы, обусловленные связями внутри нее. Например: 1) тела, связанные нерастяжимой нитью, имеют одинаковые по модулю ускорения: |а_г[=|з₂1 (обычно это соотношение подразумевается непосредственно при записи уравнений движения); 2) при наличии подвижного блока ускорение тела А по модулю в два раза меньше ускорения тела В (рис. 19): |а_в|=2|а_л[.

*) В настоящее время для обозначения коэффициента сухого трения чаще используется буква р.

Решение следует первоначально получить в общем виде и лишь затем подставлять числовые значения в избранной системе единиц. По лезно проследить, как будут изменяться найденные величины в зависимости от величин, заданных в условии задачи.

Если в задаче требуется найти не только силы и ускорения, но также координаты (или пройденные пути) тел и их скорости, то кроме уравнений движения нужно использовать кинематические уравнения для координат и скоростей.

88. Поезд массы т=500 т после прекращения тяги паровоза останавливается под действием силы трения /=0,1 МН через время /=1 мин. С какой скоростью v шел поезд до момента прекращения тяги паровоза?

89. Паровоз на горизонтальном участке пути, имеющем длину s=600 м, развивает силу тяги F=147 кН. Скорость поезда массы т=1000 т возрастает при этом от у₀=36 км/ч до v=54 км/ч. Найти силу сопротивления f движению поезда, считая ее постоянной.

90. Воздушный шар массы М опускается с постоянной скоростью. Какой массы т балласт нужно выбросить, что бы шар поднимался с той же скоростью? Подъемная сила воздушного шара Q известна.

91. С какой силой F нужно действовать на тело массы /п=5 кг, чтобы оно падало вертикально вниз с ускорением а=15 м/с²?

92. Автомобиль движется с ускорением а=\ м/с². С ка кой силой F человек массы т=70 кг давит на спинку си денья?

93. Проволока выдерживает груз массы ^_гаах=450 кг. С каким максимальным ускорением можно поднимать груз массы /72=400 кг, подвешенный на этой проволоке, чтобы она не оборвалась?

94. Веревка выдерживает груз массы m_t=\ 10 кг при

подъеме его с некоторым ускорением, направленным по вертикали, и груз массы т₂=690 кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса т груза, который можно поднять на этой веревке, двигая его с постоянной скоростью?

95. Найти силу натяжения Т каната, к которому подвешена клеть подъемной машины, если клеть массы т=300 кг движется: с ускорением ^=1,6 м/с², направленным вверх; с ускорением а₂=0,8 м/с², направленным вниз.

96. Масса лифта с пассажирами Л4=800 кг. Найти ускорение лифта и его направление, если сила натяжения троса» на котором подвешена кабина лифта, такая же, как у неподвижного лифта массы /п=600 кг.

97. К потолку движущегося лифта на нити подвешена гиря массы //?! = ! кг. К этой гире привязана другая нить, на которой подвешена гиря массы т₂=2 кг. Найти силу натяжения Т верхней нити, если сила натяжения нити между гирями 7^,₀=9,8 Н.

98. С какой силой F_njk будет давить на дно шахтной клети груз массы т== 100 кг, если клеть поднимается с ускорением а=24,5 см/с²? ,._:

99. Груз массы /и=140 кг, лежащий на полу кабины опускающегося лифта, давит на пол с силой F_Hft=1440 Н. Найти ускорение лифта и его направление.

100. В лифте установлен динамометр, на котором подвешено тело массы /и=1 кг. Что будет показывать динамо метр если: 1) лифт движется вверх с ускорением «1=4,9 м/с²; 2) лифт движется вверх замедленно с ускорением а₂=4,9м/с²; 3) лифт движется вниз с ускорением а₃ =2,45 м/с²; 4) лифт движется вниз замедленно с ускорением а₄=2,45 м/с²?

■ 101. Какая горизонтальная сила F требуется, чтобы тело массы /п=2 кг, лежащее на горизонтальной поверхности, начало скользить по ней с ускорением «=0,2 м/с²? Коэффициент трения между телом и поверхностью &=0,02.

102. При быстром торможении трамвай, имевший скорость и =25 км/ч, начал двигаться «юзом» (заторможенные колеса, не вращаясь, начали скользить по рельсам). Ка кой участок, пути s пройдет трамвай с момента начала тор можения до полной остановки? Коэффициент трения меж ду колесами и рельсами й=0,2.

103. Камень, скользящий по горизонтальной поверхности, остановился, пройдя расстояние s=20,4 м. Найти на чальную скорость камня v. Сила трения f между камнем и поверхностью составляет 6% силы тяжести, действующей на камень.

104. На горизонтальной доске лежит груз. Какое ускорение а в горизонтальном направлении следует сообщить доске, чтобы груз соскользнул с нее? Коэффициент трения между грузом и доской fe=0,2.

105. На горизонтальной поверхности лежит доска мас сы Л4=10 кг, а на доске — брусок массы т=1 кг. Какую минимальную силу F в горизонтальном направлении надо приложить к доске, чтобы брусок соскользнул с нее? Коэф фициент трения между бруском и доской Л=0,1. .

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ» ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.

ГОТОВИТСЯ К ИЗДАНИЮ в 1988 году:

Для учащихся общеобразовательных и профессиональных школ, а также лиц, занимающихся самообразованием и ведущих внеклассную работу по физике и математике.

АЛЕНИЦЫН А. Г., БУТИКОВ Е. И„ КОНДРАТЬЕВ А. С. Краткий физико-математический справочник. — 1988. — 20 л. — (В nep.)i 1 р. 40 к.

Охватывает все разделы современных начальных курсов физики и математики. Содержит определения основных понятий, физических и математических величин, формулировки физических законов, математических аксиом и теорем, важнейшие формулы. Основное назначение — помочь читателю быстро найти или восстановить в памяти необходимую информацию. Наличие сведений как по фи зике, так и по математике, приведенных в согласованную систему, создает удобства в практическом применении справочника, напри мер, при решении задач.

Для широкого круга читателей — учащихся и преподавателей средних школ, профессионально-технических училищ, техникумов, слушателей подготовительных отделений вузов, а также студентов педагогических и технических вузов,

Предварительные заказы принимаются магазинами Союзкниги и Академкниги, распространяющими литературу данной тематики.