Алгебра - полный сборник упражнений и задач по элементарному курсу (Бем, Волков, Струве) 1924 год - старые учебники

• 4. Знак числа и знак действия. 75
• 5. Упражнения 77
• 6. Умножение и деление относительных чисел. Умножение многочленов. Законы действий. Деление многочленов. Уравнения . . 81
• 7. Исследование формул. 91

Отдел третий.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА.

Дроби.

• 1. Понятие о дроби. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. 93
• 2. Преобразование дробей. Сокращение дробей. Разложение на множители. Общее на низшее кратное и общий наивысший делитель. Сокращение дробей 96
• 3. Сложение и вычитание дробей. Исключение целого выражения из алгебраической дроби. Уравнения 103
• 4. Умножение и деление дробей. Умножение и деление. Двойные дроби 114

ПЯТАЯ ГЛАВА.

• 1. Пропорции. Пропорция и основное свойство ее членов. Знаменатель пропорции и коэффициент пропорциональности. Среднее арифметическое и среднее геометрическое. Применения теории пропорций. 126

Отдел четвертый.

ШЕСТАЯ ГЛАВА.

Уравнения первой степени.

• 1. Уравнения первой степени с одним неизвестным. Смешанные задачи 136
• 2. Задачи на составление уравнений первой степени с одним неизвестным. Задачи геометрического содержания. Задачи на движение. Задачи из физики. Задачи, заимствованные из старинных книг по математике и старых учебников. Задачи-шутки и загадки 150
• 3. Системы уравнений первой степени с двумя и многими неизвестными. Уравнения с двумя неизвестными. Системы уравнений с тремя и более неизвестными. 173
• 4. Составление систем уравнений. Задачи из геометрии. Задачи на движение. Задачи из физики. Задачи на работу. Задачи, заимствованные из старых сочинений по математике, и задачи- шутки 187

Отдел пятый.

СЕДЬМАЯ ГЛАВА.

Таблицы и графики.

Стр.

• 1. Определение средних значений 205
• 2. Построения, употребляемые обычно для наглядного представления данных статистического характера. Изображение сравнительных размеров величин при помощи отрезков. Сравнительное представление величин при помощи площадей 206
• 3. Координатная бумага. Применение координатной (клетчатой) бумаги для графического представления опытных данных. Ступенчатые кривые. Графическое изображение законов явлений на основании ряда наблюдений (измерений).

ВОСЬМАЯ ГЛАВА.

Графическое представление и исследование функций.

• 1. Координаты точки. 221
• 2. Уравнение прямой . 223
• 3. Обратная пропорциональность. Гипербола. 228
• 4. Исследование уравнений 230

Оглавление 2-й части.

Стр.

Предисловие 243

Отдел первый.

ПЕРВАЯ ГЛАВА.

Приближенные и сокращенные вычисления.

• 1. Приближенное значение числа 245
• 2. Сложение и вычитание. 246
• 3. Умножение 248

8 4. Деление . 249

• 5. Приложения 251

Отдел второй.

ВТОРАЯ ГЛАВА.

Степени с натуральным показателем.

• 1. Понятие степени. 254
• 2. Действие над степенями. Умножение степеней. Деление степеней. Введение в степень произведения и частного. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями. Возведение степени в степень 257
• 3. Степенная функция и ее графическое представление. Параболы . 261
• 4. Системы счисления 268
• 5. Решение уравнений 267

ТРЕТЬЯ ГЛАВА.

Радикалы а действия над ними. Иррациональное число.

Стр.

• 1. Понятие корня 269
• 2. Квадратный корень. Извлечение квадратного корня. Извлечение квадратного корня из чисел 270
• 3. Иррациональное число 274
• 4. Действия над квадратными корнями. Преобразование радикалов.

Вывод рационального множителя из-под знака корня. Приведение корней к нормальному виду. Сложение и вычитание корней (приведение). Умножение и деление квадратных корней. Преобразование У'а-± У Ь . 277

• 5. Приближенные вычисления с квадратными корнями. Задачи из геометрии 284
• 6. Графическое представление функций ц = ч- i/ж . 288
• 7. Общее понятие корня 290
• 8. Действия над корнями с любым показателем. Преобразование

корней. Сложение и вычитание (приведение) корней. Умножение и деление корней. Возведение корней в степень и извлечение из них корня . . . 291

• 9. Уравнения, содержащие радикалы (приводимые к уравнениям первой степени) 295

Отдел третий.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА.

Квадратные уравнения.

• 1. Решение уравнений разложением левой части на множители . . 297
• 2. Неполные и двухчленные квадратные уравнения. Понятие о мни

мом числе 298

• 3. Полные квадратные уравнения 300
• 4. Свойства корней квадратного уравнения. Исследование квадрат

ного уравнения. 306

• 5. Задачи. 310

S 6. Исследование функции второй степени (квадратного трехчлена). 313

• 7. Задачи на составление квадратных уравнений второй степени

с одним неизвестным. Планиметрические задачи. Задачи из стереометрии. Задачи смешанного характера. Задачи из физики.

Задачи, заимствованные из старинных книг по математике учебников 320

равнения, решение которых приводится к решению квадратных уравнений, уравнения с легко угадываемыми (одним или несколькими) корнями. Уравнения, решаемые введением вспомогательного неизвестного: трехчленные уравнения. Системы, решаемые введением вспомогательных неизвестных. Возвратные уравнения . 332

• 9. Простейшие дробные функции. Гиперболы. Элементарные дроби . 336
• 10. Простейшие алгебраические функции 340
• 11. Квадратные уравнения со многими неизвестными. 345
• 12. Общее уравнение второй степени с двумя неизвестными. Пере

сечение двух кривых в общем случае. Пересечение двух кривых при их особом относительном расположении. Системы уравнений со многими неизвестными. 351

• 13. Задачи на составление систем уравнений второй степени . . . 359

Отдел четвертый.

ПЯТАЯ ГЛАВА.

Ряды (прогрессии).

Стр.

• 1. Арифметические ряды (прогрессии) первого порядка. Сумма

членов арифметической прогрессии. Возрастание абсолютного значения n-ого члена прогрессии и суммы ее членов при возрастании п. 367

• 2. Примеры. Приложения. Задачи из физики. Задачи, заимствованные из старинных книг по математике. 371
• 3. Арифметические ряды высших порядков. 376
• 4. Конечные геометрические прогрессии. Сумма членов геометрической прогрессии. Примеры. Интерполяция. Приложения . . 378
• 5. Сравнение арифметической и геометрической прогрессии 386
• 6. Бесконечные геометрические ряды. Сумма бесконечного геометрического ряда. Примеры. Задачи из геометрии. Задачи из арифметики. 388

Отдел пятый.

ШЕСТАЯ ГЛАВА.

Расширение понятия степени. Логарифм.

• 1. Определение степени с нулевым и отрицательным показателем . 396
• 2. Определение степени с дробным показателем. 399
• 3. Показательная и логарифмическая функции. Показательная функция. Понятие логарифма. Логарифмическая функция. Понятие об иррациональном показателе (логарифме). Элементарный прием вычислений бригговых логарифмов 402
• 4. Преобразование выражений, содержащих логарифмы 407
• 5. Употребление логарифмических таблиц Бриггса. Применение логарифмических таблиц к вычислениям. Логарифмические шкалы Логарифмическая линейка 409
• 6. Относительная и абсолютная погрешность числа. Точность логарифмических вычислений 419
• 7. Смешанные задачи. Показательные и логарифмические уравнения 422

СЕДЬМАЯ ГЛАВА.

Тригонометрические функции.

• 1. Синус и косинус дуги и угла 424
• 2. Проекции. Синус и косинус суммы двух дуг (углов) 427

9 3. Функции тангенс и котангенс. Графическое решение тригонометрических уравнений. 429

Отдел шестой.

ВОСЬМАЯ ГЛАВА.

Комбинаторика (теория соединений).'

• 1. Соединения .
• 2. Перестановки: Перестановки без повторений. Выражение п! Перестановки с повторениями.
• 3. Размещение. Размещение без повторений. Размещение , с повторениями .
• 4. Сочетание. Сочетание без повторений. Сочетание с повторениями
• 5. Смешанные задачи.
• 6. Бином Ньютона для натурального показателя. Вывод формулы бинома Ньютона. Свойства коэффициентов разложения по биному Ньютона (биномиальных коэффициентов). Примеры. Доказательство формулы бинома методом полной индукций. Задачи. Общий член разложения бинома

Отдел седьмой.

ДЕВЯТАЯ ГЛАВА.

Комплексные числа.

• 1. Мнимая единица. Комплексное число
• 2. Действия над комплексными числами
• 3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Полярные координаты .

Отдел восьмой.

ДЕСЯТАЯ ГЛАВА.

Рациональные целые и дробные функции.

• 1. Пределы.
• 2. Функции первой и второй степени. Производная. Minimum и maximum целой функции второй степени.
• 3. Целая рациональная функция третьей степени. Maxima и minima функций. Вторая производная. Точки перегиба и касательные в точках перегиба. Геометрические приложения.
• 4. Некоторые общие свойства целой рациональной функции (многочлена) n-ой степени. Теорема Безу и ее приложения. Корни уравнения n-ой степени. Рациональные (целые) корни уравнения n-ой степени .
• 5. Уравнения третьей и четвертой степени. Уравнения третьей и четвертой степени приведенного вида и графическое их решение. Исторические «задачи.
• 6. Дифференцирование целых рациональных функций. Определение непрерывной функции. Производная степени и постоянной. Производная произведения. Производная суммы и разности. Смешанные задачи. '. 496
• 7. Понятие об интеграле. 500
• 8. Дробные рациональные функции. Нули и бесконечности функций. Производные. Maxima и minima. Смешанные задачи. Исследование кривых 504

ОДИННАДЦАТАЯ ГЛАВА.

Простейшие иррациональные и трансцендентные функции.

• 1. Производные простейших иррациональных функций 508
• 2. Тригонометрические функции. Производные функций sinus

и cosinus. Производные остальных тригонометрических функций. Смешанные примеры. Задачи из физики 509

Отдел девятый.

Дополнительные главы.

ПЕРВАЯ ГЛАВА.

Приложения теории соединений и формулы Ньютона.

• 1. Элементы теории вероятностей. Определение вероятности. Простейшие примеры. Опытная поверка результатов, даваемых теорией вероятностей. Сложение и умножение вероятностей. Смешанные задачи. Геометрические вероятности 515
• 2. Вычисление сложных процентов и рент. Сложные проценты. Задачи на ежегодные взносы в конце года. Срочные уплаты. Взносы и уплаты в начале каждого года. Начисление процентов не в годичные сроки. Ренты. Смешанные задачи . . 519

ВТОРАЯ ГЛАВА.

Неравенства.

Свойства неравенств. Решение неравенств 529

ТРЕТЬЯ ГЛАВА.

Неопределенные уравнения.

Нахождение целых решений неопределенного уравнения с двумя неизвестными. Решение неопределенного уравнения способом последовательного деления. Задачи, приводящие к решению неопределенных уравнений 535

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА.

Непрерывные дроби.

Стр.

Конечные и бесконечные непрерывные дроби. Свойства подходящих дробей и их числителей и знаменателей. Решение неопределенных уравнений при помощи непрерывных дробей. 542

Четырехзначные таблицы логарифмов чисел от 1 до 1009 547

Семизначные таблицы логарифмов некоторых чисел (для вычислений сложных %%, рент и проч.). . 550

Значений тригонометрических функций для целых градусов 551

Железнодорожный график. 552

559. Составить уравнение прямой, проходящей через точки Д, В. (прямой В), относительно той же системы координат. Чему равен угловой коэффициент этой прямой? Как расположатся прямые А и В при 1) 0=1, 2) q ^ 1, 3) q 1? В каждом случае определить абсциссу точки пересечения прямых А и В.

560. Спроектировать точки B_iy В₉. на продолжение А_хВ_г и таким образом графически представить сумму членов ряда.

561. В каком из трех указанных в задаче 559 случаев абсцисса точки пересечения прямых А п В представляет предел суммы членов прогрессии при безграничном возрастании числа ее членов?

562. Пользуясь чертежом (фиг. 1ф, пояснить, почему такой ряд называется сходящимся.

563. На основании результатов задач 561, 562 определить, какой ряд называется сходящимся?

564. На основании результатов указанных задач решить вопрос, при каких значениях знаменателя q прогрессия с неограниченно возрастающим числом членов будет представлять ряд сходящийся и при каких значениях q—расходящийся.

565. Формула суммы членов геометрической прогрессии может быть представлена в виде:

При каком значении q формула S_n не имеет смысла? При каких значениях q второй член правой части уменьшается с увеличением п? Почему? Можно ли подобрать такое значение для числа я, чтобы второй член правой части оказался меньше наперед заданного числа е? Как это сделать (см. зад. № 546—551)?

566. На основании результата предыдущей задачи показать, что предел суммы членов убывающей геометрической прогрессии при неограниченном возрастании их числа определяется формулой:

1) Выразить и_х, как функцию S и а.

2) Выразить q, как функцию и S.

3) Сколько величин необходимо и достаточно для полного определения бесконечно - убывающей геометрической прогрессии? Почему?

Примеры.

567. Вычислить сумму членов бесконечного геометрического ряда:

2) На одной из сторон острого угла от вершины его отложен отрезок а. Из конца этого отрезка опущен на другую сторону перпендикуляр ж, который отсекает от нее отрезок Ь. Из конца, отрезка b опущен на отрезок, а перпендикуляр х_х, из основания этого перпендикуляра новый перпендикуляр х_г на отрезок бит. д. Найти предел длины ломаной, образованной перпендикулярами

^ш , если неограниченно продолжать их построение.

3) Решить предыдущую задачу, зная лишь длину первого перпендикуляра = с и длину второго перпендикуляра = c_t.

4) Отрезок AB=s увеличен на ВС, равное его половине, отрезок ВС снова увеличен на CD, равное его поло-

а вине и т. д. На полученных

отрезках АВ, ВС, CD, . пи-' ф_иг Ц саны полуокружности. Вычислить общую длину (предел) получаемой при неограниченном продолжении построения кривой линии.

5) Основание равнобедренного треугольника равно Ь, боковая сторона его = а. В треугольник вписывают круги следующим образом: первый круг вписан в данный треугольник, второй касается боковых сторон и первого крута, третий — боковых сторон и второго круга и т. д. Определить предел суммы радиусов всех кругов и предел суммы их площадей.

6) Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна а. В треугольник вписан круг, в крут вписан снова равносторонний треугольник, в треугольник — круг и т. д. Определить предел суммы радиусов всех кругов и предел суммы площадей: 1) всех кругов, 2) всех треугольников.

7) Дан равносторонний треугольник. Из высот этого треугольника образован новый равносторонний треугольник; из высот второго треугольника образован снова равносторонний треугольник и т. д. Определить сумму площадей всех полученных треугольников при неограниченном продолжении построения.

8) Как выразится результат предыдущей задачи, если данный треугольник разносторонний, площадь его равна р, а площадь второго треугольника равна д.

9) В круг радиуса г вписан квадрат, в квадрат вписан круг,, в круг — квадрат и т. д. Вычислить сумму (предел) площадей всех кругов, не считая первого, и сумму площадей всех квадратов.

10) В куб, ребро которого равно а, вписан шар, в шар вписан куб, в куб снова шар и т. д. Определить: 1) сумму объемов всех кубов, 2) сумму объемов всех шаров, 3) как изменится результат 1) и 2), если каждый куб заменить цилиндром, осевое сечение которого есть квадрат, а для первого цилиндра Л=2г—а?

Софизм философа Зенона Алейского (ок. 450 до нашей эры).

11) Ахиллес преследует черепаху со скоростью, в 10 раз большей скорости черепахи. Когда Ахиллес достигнет того места, где черепаха была, когда он ее увидел, последняя продвинется на X первоначального расстояния между ними; когда Ахиллес достигнет и этого места, черепаха продвинется на первоначального расстояния ит. д.; таким образом, Ахиллес должен сначала достигнуть того места, которое черепаха уже покинула, и никогда уже черепахи не догонит. Указать ошибочность такого рассуждения и определить, где Ахиллес догонит черепаху, если первоначальное расстояние между ними = а.

Задачи из арифметики.

583. 1) Записать в более коротком виде сумму прогрессии (не вычисляя ее предела):

а) 1 + 0,1 + 0,01 0,001 + 0,0001.

б) 0,7 + 0,07 4- 0,007 4- 0,0007 4~.

в) 0,29 4- 0,0029 4- 0,000029 4- .

2) Чистую периодическую десятичную дробь 0,2727. представить как сумму членов бесконечно - убывающего геометрического ряда. Определить первый член и знаменатель.

3) Решить ту же задачу для следующих дробей:

а) 0,438438., б) 0,06120612., в) 0,428571428571.

4) Воспользоваться указанным в задачах 2) и 3) приемом для обращения чистой периодической дроби в обыкновенную и затем вывести отсюда общее правило для такого преобразования.

5) Смешанную периодическую дробь 0,3575757. разбить на две части так, чтобы одна из частей представляла бесконечно- убывающую геометрическую прогрессию. Определить первый член и знаменатель этой прогрессии.

6) Поступить таким же образом с дробью 0,8174242.

7) Приложить указанный выше прием к преобразованию любой смешанной периодической дроби в обыкновенную.

8) Вывести общее правило для преобразования смешанной периодической дроби в простую.

9) Рассматривая знаменатели обыкновенных дробей, 1) обращающихся в конечную десятичную дробь, 2) в чистую периода больших размеров получаемого чертежа последнее (2) построение следует сделать в меньшем масштабе). 3) Отметить на кривой точки, соответствующие значениям х =1,5; 2,5 и т. д. Полученная таким образом на оси у шкалы называется логарифмической.

654. Отметить на логарифмической шкале: 1) точки, соответствующие числам 2, 4, 8, 16, 32, 64. 2) 3, 9, 27, 81. Что можно, сказать относительно размеров интервалов?

655. На логарифмической шкале от ее начала отложен ряд равных отрезков. Конец первого отрезка соответствует числу 1,1. Написать ряд чисел, которые соответствуют построенным указанным образом точкам.

656. Построить логарифмическую шкалу, принимая для интервала от 1 до 2 (т.-е. для lg2) масштаб в 1 см. 1) Где при этом расположатся точки, соответствующие числам 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024? 2) Отметить на-глаз точки, соответствующие числам 100, 200, 300 и т. д. до 1000.

657. Построить логарифмическую шкалу, выбрав для интервала от 1 до 2 (т.-е. для логарифма 2) масштаб в 1 миллиметр. Принимая 1024 оо 1000, таким же образом продолжить шкалу до 1.000.000. 3) до 10⁹, 4) до 10¹², 5) до 10¹⁸.

658. Построить на одном и том же чертеже две равных логарифмических шкалы так, чтобы они располагались на двух параллельных прямых, имели одно и то же направление и чтобы начало одной шкалы (т.-е точка с пометкой 1) оказалось против пометки 2 другой шкалы. Какие пометки второй шкалы окажутся против пометок 2, 3, 4,6.; 7,5; 2,25 первой шкалы? Как следует поместить начало первой шкалы, чтобы ее пометки оказались против пометок другой шкалы, имеющих значения в 3 раза большие? в 3 раза меньшие?

659. Как, имея две равных логарифмических шкалы, могущих скользить одна по другой, можно производить умножение и деление? Почему при перемножении чисел соответствующие числам отрезки шкал складываются, а при делении вычитаются?

660. Построить на двух параллельных прямых в одном и том же направлении две логарифмические шкалы так, чтобы начала их оказались одно против другого, а масштаб на нижней из них был вдвое крупнее масштаба верхней. Какие пометки верхней шкалы окажутся против пометок 1, 2, 3, 4. нижней? Как при помощи этих шкал производить возведение в степень? извлечение квадратного корня?

671. На основании выражения относительной ошибки произведения показать, что относительная ошибка степени равна относительной ошибке основания, умноженной на показатель степени.

672. На основании выведенного выражения относительной ошибки степени показать, что относительная ошибка корня меньше относительной ошибки подкоренного числа.

673. Вычислить, сколько процентов составит относительная ошибка, которую мы допустим, если примем за значение отношения метра к аршину (1,406) отношение диагонали квадрата к его диагонали (с/э 1,414).

674. Увеличить числа 100, 200, 300, 420, 530, 720, 860, 425, 725, 863 на 1%; на какое число умножается при этом каждое из данных чисел? на какое число изменяется его четырехзначный (пятизначный) логарифм? Уменьшить каждое из данных чисел на 1%. На какое число умножается при этом каждое из данных чисел? На какое число уменьшается его логарифм (четырехзначный, пятизначный)? Вычислить приращение логарифма, соответствующее изменению (увеличению, уменьшению) числа на 0,1%, на 0,01% при четырехзначных и пятизначных таблицах? В каком из этих случаев абсолютное значение приращения логарифма не зависит от знака изменения соответствующего числа? Какой погрешности числа соответствует абсолютная погрешность логарифма? Вычислить коэффициент пропорциональности между этими погрешностями.

675. Чему равна наибольшая абсолютная погрешность четырехзначного табличного логарифма? пятизначного табличного логарифма? С какой относительной погрешностью определяет табличный логарифм соответствующее ему число? (Указание: воспользоваться результатами предыдущей задачи).

676. На сколько может увеличиться абсолютная ошибка логарифма, получаемого интерполяцией, при его округлении? С какой относительной погрешностью определяет число соответствующий ему логарифм, если он не находится в таблицах и требует поэтому для определения числа применения интерполяции? Какую относительную ошибку вносит в результат вычисления с логарифмами каждое логарифмирование (если при этом не приходится производить вычитания чисел) при четырехзначных таблицах, при пятизначных таблицах?

677. Чему равна наибольшая возможная относительная ошибка результата вычисления, требующего в общей сложности не более пяти логарифмирований (логарифм / -й1 степени при этом следует считать за п логарифмов).

678. Не производя вычислений, определить в %, какую относительную ошибку будут содержать результаты вычисления в задачах:

№ 652 6), 7), 9), 11), 19), 20), 21), 23), 29), 37), 57), 81), 87), 89), 94),

а) при пользовании четырехзначными таблицами?

б) при пользовании пятизначными таблицами?

в) при пользовании логарифмической линейкой, если предположить, что каждый отсчет на последней может быть произведен с точностью до 0,1%?

Частное, получающееся от деления абсолютной погрешности числа на самое число, называется относительной погрешностью (ошибкой) числа.

При вычислении относительной ошибки, вместо того чтобы делить абсолютную ошибку (или ее верхнюю границу) на самое число (которое обычно оказывается неизвестным), обыкновенно делят абсолютную ошибку числа на его приближенное значение.

Относительная ошибка суммы равна или меньше наибольшей из относительных ошибок слагаемых.

Относительная ошибка разности двух чисел может оказаться значительно больше относительных ошибок уменьшаемого и вычитаемого.

Относительная ошибка произведения не больше суммы относительных ошибок сомножителей *).

Относительная ошибка частного не больше относительных ошибок делимого или делителя *).

Относительная ошибка степени равна относительной ошибке основания, умноженной на показатель степени *).

Относительная ошибка корня не больше относительной ошибки подкоренного числа.

Абсолютная ошибка логарифма пропорциональна относительной ошибке числа.

Четырехзначный табличный логарифм определяет соответственное число с относительной ошибкой со 0,012%; пятизначный — с относительной ошибкой со 0,0012%.

Если мантисса не находится в таблице логарифмов, то, благодаря ошибке, вносимой округлением последнего знака мантиссы, относительная ошибка, с которой логарифм определяет соответствующее число, может увеличиться вдвое (против табличного логарифма) и равна или меньше для четырехзначных таблиц со 0,024% (точнее 0,023%), а для пятизначных со 0,0024% (точнее 0,0023%).

*) Обратить внимание на те условия, при которых эти утверждения оказываются справедливыми. См. примечание на стр. 251.

тив часовой стрелки, найти абсциссу и ординату точки окружности, соответствующей дуге в:

1) 30°; 2) 60°; 3) 45°; 4) 0°; 5) 90°;

6) 150°; 7) 120°; 8) 135°; 9) 180°; 10) 215°;

11) 270°; 12) —60°; 13) 360°; -14) 390°; 15) 480°.

В каждом случае выразить дугу в радиальной мере.

689. Ордината и абсцисса точки окружности радиуса 1, если их рассматривать как функции дуги s этой окружности, называются тригонометрическими функциями, при чем ордината точки окружности называется синусом $ и обозначается sins, а абсцисса называется косинусом s и обозначается coss. Каким соотношением связаны синус и косинус одной и той же дуги (на основании уравнения окружности)?

Примечание. Так как центральный угол содержит всегда столько угловых единиц, сколько его дуга соответствующих дуговых единиц, то s (отношение дуги к радиусу; при окружности радиуса 1 оно равно числовому значению длины дуги) можно принять и за число угловых единиц в (цен* тральном) угле, соответствующем этой дуге (в этом случае за угловую единицу принимается центральный угол, дуга которого равна радиусу). В дальнейшем мы будем обозначать дугу через s, когда она должна быть выражена в радиальной мере, и через % когда за единицу измерения принят градус или же когда будет безразлично, в каких единицах измерена дуга или соответствующий ей угол.

690. Как располагаются на окружности точки, соответствующие дугам s, $ -j- 2тс, s -|- 4тс, s — 2тс, s — 4тс., s4~ 2 тс [ р, р -|- 360°, 720°, ? -j- 36O⁰] (при любом целом относительном значении к)? Что можно поэтому сказать про значения синуса и косинуса для указанных значений дуги. Почему синус и косинус называются периодическими функциями дуги? Чему равен период sins и coss?

691. 1) На основании зависимости между координатами точек окружности, симметричных относительно оси у, найти выражения sin(ir — s) и cos (тс — s) через sins и coss [sin(180° — р) и cos(180°— р) через sin p и cosp].

692. На основании зависимости между координатами точек окружности, симметричных относительно оси л?, найти выражения sin(—s) и cos(—s) через sins и coss [sin(— p) и cos(— p) через sin p и cos^].

693. На основании зависимости между координатами точек окружности, симметричных относительно начала, выразить sin(ic4"^s) ^и cos(iv 4~$) через sins и coss [sin(180°4“?) ^и cos(180°4- p) через sintp и cos p].

694. На основании зависимости между координатами точек окружности, симметричных относительно биссектрисы нормального

Оглавление 1-й части.