Сборник задач по алгебре и элементарным функциям для 9—10 классов (Худобины, Шуршалов) 1966 год - старые учебники

§ 10. Неравенства второй степени 72

§ 11. Иррациональные уравнения 77

IV. Степень с рациональным показателем. Степенная функция 79

§ 12. Степень с целым показателем —

§ 13. Степень с дробным показателем 86

§ 14. Преобразование корней 97

§ 15. Действия над корнями 103

§ 16. Общие свойства степенной функции 116

V. Тригонометрические функции любого аргумента 118

§ 17. Векторы на плоскости —

§ 18. Проекции и координаты вектора 120

§ 19. Измерение углов и дуг 122

§ 20. Единичная окружность 128

§ 21. Тригонометрические функции любого аргумента 130

§ 22. Графики тригонометрических функций 144

§ 23. Алгебраические соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента 155

§ 24. Формулы приведения 162

VI. Прогрессии 163

§ 25. Числовая последовательность —

§ 26. Арифметическая прогрессия 173

§ 27. Геометрическая прогрессия 181

§ 28. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 185

VII. Задачи для повторения куpca IX класса 189

VIII. Тригонометрические теоремы сложения и их следствия 213

§ 29. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов

§ 30. Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента 222

§ 31. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму; обратное преобразование 229

§ 32. Гармонические колебания 236

IX. Показательная и логарифмическая функции 248

§ 33. Показательная функция —

§ 34. Логарифмическая функция 254

§ 35. Логарифмы 257

§ 36. Логарифмирование и потенцирование 260

§ 37. Десятичные логарифмы 265

§ 38. Показательные и логарифмические уравнения 276

X. Функции и пределы 290

§ 39. Общие сведения о функциях —

§ 40. Обзор свойств и графиков элементарных функций 297

§ 41. Предел функции 305

XI. Производная и ее применение к исследованию функций

§ 42. Производная функция 310

§ 43. Дифференцирование по формулам 315

§ 44. Применение производной к исследованию функций 321

XII. Обобщение понятия числа. Комплексные числа 330

§ 45. Расширение понятия числа —

§ 46. Комплексные числа и их геометрическая интерпретация 333

§ 47. Действия над комплексными числами 337

§ 48. Применение комплексных чисел к решению двучленных уравнений 345

XIII. Задачи на повторение курса «Алгебра и элементарные функции» 350

Ответы 361

I. Задачи и упражнения для повторения курса V—VIII классов 3

§ 1. Арифметика

1. Одно слагаемое увеличили на 98 единиц. Как надо изменить другое слагаемое, чтобы сумма:

1) увеличилась на 18 единиц;

2) уменьшилась на 28 единиц?

5. Как изменится произведение двух сомножителей, если один из сомножителей: 1) увеличить в 5 раз; 2) увеличить на 3 единицы; 3) уменьшить на одну единицу?

6. Как изменится частное и остаток, если к делимому прибавить делитель?

7. При делении числа на 108 в остатке получилось 90. Как изменится частное и сколько получится в остатке, если то же число разделить на 36?

15. Поезд идет с постоянной скоростью. Он проходит мост длиной 450 м за 45 сек и за 15 сек проходит мимо телеграфного столба. Найти длину поезда и его скорость.

17. Струг (прицепная землеройная машина Д-264) движется со скоростью 1,5 км/ч, срезая пласт грунта шириной 3 м и толщиной 35 см. Определить, сколько железнодорожных вагонов можно загрузить грунтом, вынутым стругом за 8 ч, если в один вагон вмещается 20 куб. м грунта.

19. Точное число 9752 руб. 52 коп. округлено до 9800 руб. Найти абсолютную и относительную погрешности округления.

20. Определенный опытным путем удельный вес железа оказался равным 7,6 Г/смъ. Сравнив полученный результат с табличным, найти абсолютную и относительную погрешности измерения.

§ 2. АЛГЕБРА

Рациональные числа. Алгебраические выражения

42. 1) Какой цифрой не может оканчиваться квадрат натурального числа?

2) В каких случаях квадрат натурального числа является числом четным; нечетным?

3) Какими цифрами оканчиваются кубы последовательных натуральных чисел? В какой последовательности повторяются эти цифры?

4) Найти двузначное число, куб которого равен: а) 21 952; б) 185 193; в) 571 787; г) 238 328.

110. На элеватор поступило 350 т пшеницы двух сортов. Первый сорт пшеницы содержал 2% отходов, а второй — 3% отходов. После очистки получили 341 т чистой пшеницы. Сколько пшеницы каждого сорта поступило на элеватор?

111. Смешивают 20 кг воды при температуре 15° С и 8 кг воды при 100° С. Определить температуру смеси.

112. Определить ширину реки, зная, что звук с другого берега приходит по воздуху на 2 сек позже, чем по воде. Скорость звука в воздухе принять равной 340 м/сек, а в воде — 1450 м/сек.

121. От дома до почты колхозник шел со скоростью 4 км/ч, а от почты до станции ехал на автомобиле со скоростью 30 км/ч и затратил на весь путь от дома до станции 1 ч. Обратно от станции до почты он ехал на автомобиле со скоростью 36 км/ч, а от почты до дома он шел со скоростью 3 км/ч и затратил на обратный путь 1ч 5 мин. Найти расстояние от дома колхозника до почты и от почты до станции.

122. Если длину прямоугольного участка уменьшить на 20 м, а ширину увеличить на 20 м, то площадь участка увеличится на 0,1 га; если же длину увеличить на 30 м, а ширину уменьшить на 10 м, то площадь участка увеличится на 0,2 га. Определить площадь земельного участка.

123. За 4 ч катер прошел 50 км по течению реки и 24 км против течения. В другой раз тот же катер за 6 ч прошел 70 км по течению и 40 км против течения. Определить скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки.

129. При совместной работе двух подъемных кранов различной мощности самоходная баржа была загружена за 4 ч 12 мин. Сколько потребуется времени на загрузку такой же баржи каждым краном в отдельности, если более мощным краном баржу можно загрузить на 8 ч быстрее, чем одним краном меньшей мощности.

130. Мотоциклист проезжает 1 нм на 4 мин скорее, чем велосипедист. Сколько километров проезжает каждый из них за 5 ч, если известно, что мотоциклист проезжает за это время на 100 км больше велосипедиста?

132. Из города А в город Б, расстояние между которыми равно 250 км, выехал автомобиль. Через 48 мин из города А в том же направлении выехал второй автомобиль, который в 1 ч проезжал на 2,5 км больше, чем первый. Найти скорость каждого автомобиля, если второй автомобиль догнал первый, не доезжая 30 км до города Б.

II. Уравнения и неравенства первой степени

§ 3. УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

172. 1) Всегда ли положительный корень уравнения, составленного по условию задачи, дает ответ на вопрос задачи? Привести примеры.

2) Всегда ли отрицательный корень уравнения, составленного по условию задачи, указывает на невозможность задачи? Привести примеры.

3) На что указывает нулевое решение, если оно получено при решении уравнения, составленного по условию задачи? Привести примеры.

173. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если прибавить к нему 32, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти двузначное число.

Почему заранее можно сказать, что положительное решение уравнения, составленного по условию задачи, не дает ответа на ее вопрос?

174. От двух кусков сплава в 6 кГ и 12 кГ с различным процентным содержанием меди отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков?

§ 4. НЕРАВЕНСТВА

Числовые неравенства и их свойства

180. Выписать в порядке возрастания все трехзначные числа, каждое из которых содержит цифры 2; 0; 5, и соединить их знаком неравенства.

181. 1) При однократном измерении некоторой длины I нашли, что она больше 217 см, но меньше 218 см. Записать результат измерения, взяв эти числа в качестве границ значения длины I.

2) При взвешивании предмета оказалось, что он тяжелее 19,5 Г, но легче .20,0 Г. Записать результат взвешивания с указанием границ.

186. Какое число, кратное 9, заключено между числами 141 и 152? Дать иллюстрацию на числовой оси.

186. Определить, какое из двух чисел больше, если известно, что каждое из них больше 103 и меньше 115, причем первое число кратно 13, а второе кратно 3. Привести геометрическую иллюстрацию.

187. Между какими ближайшими целыми числами заключаются правильные дроби? Можно ли указать два целых числа, между которыми заключены все неправильные дроби?

188. Куплено 6 книг по математике, физике и истории. Сколько книг куплено по каждому предмету, если по математике книг куплено больше, чем по истории, а по физике меньше, чем по истории?

189. На уроке алгебры были проверены знания трех учеников. Какую оценку получил каждый ученик, если известно, что первый получил балл больше второго, а второй больше, чем третий, и число баллов, полученных каждым учеником, больше двух?

190. В шахматном турнире лучших результатов добились шахматисты А, В, С и D. Можно ли узнать, какое место занял каждый из участников турнира, если известно, что А набрал большз очков, чем D, а В меньше, чем С?

230. Доказать, что в треугольнике сумма стороны с высотой, опущенной на эту сторону, больше полупериметра.

231. Доказать, что произведение суммы трех положительных чисел на сумму обратных величин этих чисел не менее девяти.

233. Теплоход совершил путь АВ по течению реки и путь В А против течения. Доказать, что средняя скорость теплохода в этом движении меньше его собственной скорости (собственную скорость теплохода и скорость течения реки считать постоянными).

234*. Самолет пролетел путь от А до В по ветру и путь от В до Л против ветра, причем скорость ветра не изменялась. Затем самолет совершил рейс по тому же маршруту в безветренную погоду. В обоих случаях моторы самолета развивали одинаковую мощность. В каком случае на весь полет ушло меньше времени? Как зависит время, расходуемое на весь полет, от скорости ветра?

235*. Катер проплыл расстояние АВ по течению реки и вернулся обратно, причем во время движения катера дул ветер в направлении течения.

1) Показать, что время, затраченное катером на этот рейс, больше того времени, которое потребуется ему на такой же рейс в безветренную погоду. Скорости течения и ветра, а также собственную скорость катера считать постоянной.

2) Выяснить, как изменится время, необходимое на этот рейс, если ветер направлен против течения и имеет ту же скорость.

244. Каково множество всех решений непротиворечивого неравенства первой степени с одним неизвестным? Как это множество изображается на числовой оси?

246. Может ли неравенство первой степени с одним неизвестным иметь единственное решение?

283. В двузначном числе цифра единиц на два больше цифры десятков, само число больше 30 и меньше 40. Найти это число.

264. Если бы велосипедист проезжал в день на 5 км больше того, что он в действительности проезжает, то за 6 дней он проехал бы меньше 400 км. Если бы он проезжал на 10 км менее, чем на самом деле, то за 12 дней он проехал бы более 400 км. Сколько километров проезжает в день велосипедист?

272. Один рабочий обрабатывает в день на 5 деталей больше, чем второй. Если первый будет каждый день обрабатывать на 1 деталь, а второй на 9 деталей больше, чем они обрабатывают, то за 6 дней первый обработает столько деталей, сколько обработает второй за а полных дней. Сколько деталей обрабатывает каждый рабочий в день?

§ 5. СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

291. Если разделить двузначное число на сумму его цифр, то в частном получим 6, а в остатке 3. Если же разделить эго число на сумму его цифр, увеличенную на 2, то в частном и в остатке получим по 5. Найти это двузначное число.

292. Дорога из А в В длиной 11,5 км идет сначала в гору, потом по ровной местности и затем под гору. Пешеход, идя из А в Ву прошел всю дорогу за 2 ч 54 мин, а на обратную дорогу затратил 3 ч 6 мин. Скорость пешехода в гору 3 км/ч, по ровной местности 4 км/ч, под гору 5 км/ч. На каком протяжении дорога идет по ровной местности?

296. Всадник отправился из пункта А в пункт jВ, отстоящий от А на 60 км. Его лошадь шла 4 н рысью и 3 ч шагом. На обратном пути лошадь шла рысью а полных часов, а шагом на 2 ч больше, чем рысью. Определить скорость движения лошади рысью и шагом.

III. Действительные числа. Квадратные уравнения

§ 6. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

302. Седьмая часть единицы длины укладывается в измеряемом отрезке 13 раз.

1) Конечной или бесконечной периодической десятичной дробью выразится длина этого отрезка?

2) Найти приближенные значения длины отрезка с точностью до 1; 0,1; 0,01 по недостатку и по избытку и записать с помощью знаков неравенства, что эта длина заключена между соответствующими ее приближениями.

3) Дать геометрическую иллюстрацию на числовой оси процесса сближения точек, изображающих приближенные значения длины отрезка.

303. 1) При измерении некоторого отрезка оказалось, что единица длины отложилась на измеряемом отрезке 4 раза с остатком, меньшим этой единицы; 0,1 единицы длины отложилась в остатке 5 раз с новым остатком, меньшим 0,1 единицы; 0,01 единицы длины отложилась во втором остатке 3 раза с остатком, меньшим 0,01 единицы. Найти длину измеряемого отрезка по недостатку и по избытку с точностью до 0,01 единицы длины.

2) Найти длину отрезка по недостатку и по избытку с точностью до 0,001 единицы длины, если известно, что 0,1 единицы уложилась в измеряемом отрезке 2 раза с остатком, меньшим 0,1 единицы; 0,01 единицы длины уложилась в остатке 7 раз с новым остатком, меньшим 0,01 единицы; 0,001 единицы длины уложилась в новом остатке 3 раза с остатком, меньшим 0,001 единицы.

304*. Доказать, что при десятичном измерении отрезков никогда не может получиться бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, стоят одни девятки.

Понятие об иррациональном числе

306. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°.

1) Приняв меньший катет этого треугольника за единицу, найти длину гипотенузы.

2) Доказать, что при выбранной единице измерения длину большего катета этого треугольника нельзя выразить никаким рациональным числом.

3) Найти приближенные значения длины большего катета треугольника с точностью до 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 по недостатку и по избытку и записать при помощи знаков неравенства, что эта длина заключена между соответствующими ее приближениями.

4) Дать геометрическую иллюстрацию на числовой оси процесса сближения точек, изображающих приближенные значения длины большего катета треугольника.

310. 1) Правильно ли утверждение, что квадратный корень из рационального числа всегда число иррациональное?

2) Привести примеры, показывающие, что квадратный корень из рационального числа может быть выражен: а) целым числом;

б) конечной десятичной дробью; в) бесконечной десятичной периодической дробью.

311. Привести примеры таких уравнений, для решения которых требуются иррациональные числа.

315. 1) Если два отрезка несоизмеримы друг с другом, то могут ли оказаться соизмеримыми один из этих отрезков и а) половина второго; б) третья часть второго; в) п-я часть второго?

2) Соизмеримы ли медиана гипотенузы и гипотенуза прямоугольного треугольника?

316. Известно, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Как можно, используя это свойство, построить сколько угодно много различных по длине отрезков, несоизмеримых со стороной данного квадрата?

317. Может ли отношение двух отрезков, несоизмеримых с единицей длины, выражаться рациональным числом?

318. Соизмеримы ли отрезки, если их отношение выражается дробью:

1) 0,777...; 2) 2,121122111222...?

320*. Из вершины А квадрата ABCD начали одновременно двигаться с одинаковой постоянной скоростью две точки: одна — по периметру квадрата, без изменения направления движения, а другая — по диагонали, между вершинами Л и С, не задерживаясь в них. Определить, встретятся ли когда-либо эти две точки.

Действительные числа. Геометрическое представление действительных чисел

322. Как при помощи построения точек на числовой оси, изображающих приближенные значения какого-либо иррационального числа, например 2,757757775... по недостатку и по избытку

показать, что этому иррациональному числу соответствует определенная точка числовой оси?

323. Доказать, что: 1) если концы А и В отрезка АВ числовой оси изображают рациональные числа, то середина отрезка АВ также изображает рациональное число; 2) между каждыми двумя точками числовой оси существует бесконечное множество точек, изображающих: а) рациональные числа, б) иррациональные числа.

324. 1) В каком смысле говорят, что между множеством точек числовой оси и множеством всех действительных чисел существует взаимно однозначное соответствие?

2) Почему соответствие между множеством всех точек числовой оси и множеством всех рациональных чисел нельзя назвать взаимно однозначным? Какие числа необходимо добавить к множеству рациональных чисел, чтобы всякой точке числовой оси соответствовало определенное число?

327. Назвать несколько элементов множества: 1) натуральных чисел; 2) положительных чисел; 3) отрицательных чисел; 4) целых чисел; 5) рациональных чисел; 6) иррациональных чисел; 7) действительных чисел.

328. Назвать несколько общих элементов: 1) множества отрицательных чисел и множества рациональных чисел; 2) множества рациональных чисел и множества действительных чисел.

Понятие о действиях над действительными числами

331. Может ли сумма или разность двух иррациональных чисел быть числом рациональным? Ответ подтвердить примерами.