Преподавание алгебры в восьмом классе школы рабочей молодежи (Гельфанд) 1957 год - старые учебники

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящем пособии, предназначенном для учителей школ рабочей молодежи, рассматривается курс алгебры VIII класса. В этом курсе продолжают свое развитие основные понятия школьной алгебры — число, уравнение, функция.

В VIII классе вводятся иррациональные числа в противоположность ранее известным рациональным. Те и другие объединяются и образуют систему действительных (вещественных) чисел. Обобщается понятие «возведение числа в степень» — определяется операция возведения любого положительного числа в степень с произвольным рациональным показателем. Изучаются уравнения второй степени. К уравнениям этого вида приводится весьма большое число теоретических и практических задач из самой математики, а также из многих других отраслей знания и практики. Даются определения функции и аргумента и изучается квадратная функция и ее график-парабола.

Прочное усвоение учащимися курса алгебры VIII класса имеет решающее значение для всего последующего изучения математики в школе.

На базе системы действительных чисел в X классе будут введены в противоположность действительным числам мнимые, которые затем объединятся в единую систему комплексных чисел. На правильном понимании операции возведения положительного числа в степень с рациональным показателем основано в курсе IX класса понятие степени с иррациональным показателем и, следовательно, с произвольным действительным показателем, а это — основа для формирования понятия показательной функции.

Твердые навыки в построении графика квадратного трехчлена в значительной мере помогут сознательному решению в X классе квадратных неравенств. На этом

графике впервые в школе иллюстрируется понятие максимума и минимума функции в точке.

Хорошее овладение учебным материалом алгебры VIII класса имеет также важное значение в свете задач политехнического обучения — в этом классе вырабатываются навыки в пользовании таблицами, в построении графиков, в решении геометрических, физических и многих других практических задач.

Большое число теоретических положений, содержащихся в программе алгебры VIII класса, и обилие предлагаемых в стабильном задачнике упражнений ставят учителя перед рядом методических задач, от решения которых зависит успех обучения алгебре.

В настоящей работе рекомендуется следующее примерное распределение материала по темам.

1. Повторение материала VI—VII классов — 4 часа.

2. Извлечение квадратного корня из числа. Понятие о действительном (вещественном) числе—6 часов.

3. Уравнения второй степени с числовыми коэффициентами — 8 часов.

4. Степени и корни— 18 часов.

5. Уравнения второй степени и приводимые к ним — 18 часов.

6. Функции и графики — 8 часов.

7. Системы уравнений второй степени — 8 часов.

8. Повторение материала VIII класса —2 часа.

Всего — 72 часа.

В работе для каждой темы даются:

1. Общие методические замечания к теме в целом.

2. Примерное распределение материала темы по урокам и поурочные методические указания.

В 1-м пункте, наряду с общими методическими замечаниями, разъясняются некоторые теоретические положения.

Во 2-м пункте поурочные методические указания иногда переходят в краткий конспект урока, приводится решение некоторых задач и примеров, указываются домашние задания, наиболее важные упражнения для учащихся школ рабочей молодежи.

В школах рабочей молодежи важную роль играет систематически организуемое и непрерывно контролируемое повторение учебного материала. В течение первых 10 ча- 4

сов (1-я и 2-я темы) можно повторять решение линейных уравнений и решать задачи на составление этих уравнений, что подготовит базу для решения задач на составление квадратных уравнений. В 3-й теме, кроме рекомендованного в программе решения уравнения ах²=д, следует пройти полное квадратное уравнение с выводом общей формулы, так как последнее необходимо при изучении механики в курсе физики в начале VIII класса.

При прохождении темы «Степени и корни» можно на каждом уроке предлагать одну задачу на составление квадратного уравнения. Благодаря этому учащиеся приступят к изучению следующей темы, освещающей вопросы теории квадратного уравнения, хорошо владея знанием общей формулы корней уравнения. При изучении темы «Уравнения второй степени и приводимые к ним» рекомендуется организовать на каждом уроке повторение только что пройденного материала—действия над степенями и корнями.

В связи с изучением графика квадратного трехчлена можно повторить построение графика обратной пропорциональной зависимости, одновременно решая задачи на составление систем линейных уравнений. Все это обеспечит возможность в следующей, последней теме проводить графическое решение многих систем уравнений второй степени и облегчит учащимся усвоение приемов решения задач на составление систем уравнений второй степени.

Разумеется, умелое сочетание изучения учащимися нового материала с повторением ими пройденного усложняет организацию процесса обучения, но зато оно как бы удлиняет время прохождения тем программы.

Предлагаемое пособие написано в соответствии с новой программой по алгебре, вступающей в восьмых классах в действие с 1956/57 уч. г., применительно к учебнику А. П. Киселева «Алгебра», части 1 и 2, и к 7-му переработанному изданию стабильных задачников П. А. Ларичева «Сборник задач по алгебре», часть 1, для 6—7 классов, издание 1955 г. и «Сборник задач по алгебре для восьмого класса», издание 1956 г.

Тема 1. ПОВТОРЕНИЕ МАТЕРИАЛА VI—VII КЛАССОВ

Повторение материала предыдущих лет необходимо э условиях школ рабочей молодежи, ибо поступающие в VIII класс часто имеют длительный перерыв в учебе. Но отводить на это более четырех часов нет возможности. Опыт школ показывает, что учителям, затягивающим повторение на целый месяц, а иногда и больше, на изучение последних тем курса уже почти не остается времени.

Материал для повторения можно распределить примерно так:

1-й урок. Уравнения первой степени с одним неизвестным (с числовыми коэффициентами).

2-й уро к. Системы уравнений первой степени (с числовыми коэффициентами).

3-й урок. Графическое решение систем линейных уравнений.

4-й урок. Проверочная работа.

На 1-м уроке вначале следует напомнить основную терминологию.

Равенство между двумя числовыми выражениями может иметь место (быть верным, справедливым), если обе части выражения представляют одно и то же число, например 2 4-4 = 2-3. В случае ошибки мы приходим к неверному числовому равенству.

Равенство между двумя выражениями, содержащими в одной из двух частей или в обеих частях только одну букву, значение которой не указано, может быть при одних числовых значениях буквы верным, а при других — неверным.

Уравнением с одним неизвестным называется такое равенство, для которого ставится задача узнать, при каких значениях входящей буквы равенство оказывается верным. Числовое значение неизвестного, при котором 6

равенство становится верным, называется корнем или решением уравнения. (См. В. Л. Гончаров. Начальная алгебра, 1955, стр. 25—26, 358.)

Уравнение с одним неизвестным может не иметь корней (пример: х-f-1 = 2-f-х); может иметь один корень 2 (х-}-2=1); два корня (уравнение х-{-1 = —, корни:

1 и — 2); три корня (уравнение х -f- — = 6 + —, корни: 1, 2, 3); наконец, уравнение может иметь бесчисленное множество корней (пример: х 2 = 2 + х).

Уточнив понятие уравнения, следует разъяснить, что означает решить уравнение. Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться в том, что оно не имеет корней.

После этого надо перейти к решению уравнений с числовыми коэффициентами. В классе можно решить примеры: 221, 231 и 24ь

Задание на дом: решить примеры: 22г, 23₂ 24₂ и 13. Повторить по учебнику А. П. Киселева «Алгебра», ч. 1, § 88.

Н а 2-м уроке вначале следует напомнить основную терминологию.

Равенство между двумя выражениями, содержащими в одной из двух частей или в обеих частях только две буквы, значения которых не указаны, может быть верным при одной паре числовых значений букв и неверным — при другой паре.

Уравнением с двумя неизвестными называется такое равенство, для которого ставится задача узнать, при каких парах числовых значений входящих букв равенство становится верным. Пара значений неизвестных, при которых удовлетворяется равенство, называется решением уравнения.

Пример: уравнение 2х — Зу = 8 имеет решения (1;—2), (7; 2) и т. д. Одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесчисленное множество решений.

Два уравнения с двумя неизвестными образуют систему уравнений, если ставится задача узнать, при каких парах числовых значений входящих букв каждое из двух уравнений становится верным. Пара значений неизвестных, которыми удовлетворяются одновременно оба уравнения, называется решением системы.

1) I

Система двух уравнений с двумя неизвестными может не иметь решений, может иметь одно или несколько решений и может иметь бесчисленное множество решений. Примеры:

= 1 | ху - 6 = 0 (4х —6у=2

2х 4- 2у = 3 ’ ( х — 2у = 4 ' | 6л — 9у = 3.

Вторая система (не линейная) имеет решения (6, 1) и (— 2, — 3), в чем можно убедиться подстановкой.

Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или убедиться в отсутствии решений системы.

После этого надо приступить к решению систем двух линейных уравнений с числовыми коэффициентами. В классе можно решить примеры: 39i (40i) и 40i (411).

Задание на дом: решить примеры: 39₂ (40₂), 412 (42₂) и 14 (14). Повторить по учебнику А. П. Киселева «Алгебра», ч. 1, §§ 92—96 (включительно).

Примечание. Номера в скобках здесь и в дальнейшем будут обозначать примеры по старому изданию задачника П. А. Ларичева. Они указываются потому, что не все школы рабочей молодежи будут быстро обеспечены новым 7-м переработанным изданием задачника. Конечно, для задач, помещенных впервые, будет указан номер только по последнему изданию 1956 г.

На 3-м уроке следует возобновить в памяти учащихся понятие графика уравнения первой степени с двумя неизвестными. Уравнение такого вида имеет бесчисленное множество решений, поэтому термин неизвестная (буква) или неизвестное (число) заменяется словом переменная (величина) и говорят об уравнении первой степени с двумя переменными.

Повторение этого вопроса, изучаемого в соответствии с новой программой, в VII классе важно потому, что с применением графиков линейной функции учащиеся встречаются с самого начала обучения в VIII классе на уроках физики.