Сборник задач по геометрии для 6-9 классов - часть 1 - Планиметрия (Рыбкин) 1956 год - старые учебники

 § 1. Прямая линия.

(Задачи этого параграфа решать геометрическим построением; решения проверять арифметически.)

Измерение отрезков и действия над ними.

1. На чертеже 1 изображена часть станка. Измерить, пользуясь данным мас-штабом, отрезки, обозначенные на чертеже размерными линиями, и записать полученные числа в тетради.

2. Сращены впритык три деревянные балки: длина первой 4,8 ж, второй 3,4 м и третьей 5,8 м. Найти их общую длину арифметически и построением, изображая 1 м отрезком в 1 см.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

10 5 О Ю 70 30 40 50 €0 70 00 90 Ю0мм

Черт. 1.

3. Ель имела 20,25 м длины; от неё отпилили снизу отрезок („лапу") длиной в 3,75 м, а затем бревно в 7,40 м. Какую длину имеет оставшаяся часть ели?

4. На отрезке АВ длиной в 20 ж от конца А отложена часть ДС=5,1 ж, от конца В — часть BD = 1$ м. Определить длину отрезка CD.

5. Решить задачу 4, изменив числа так: ДВ = 4,8 ж, Л С =2,8 ж, ВР = 3 ж.

в. Начертить отрезок, равный За-}-2Ь, где а и b — длины данных отрезков.

7. Начертить отрезок, равный 4/п—Зл, где /лил — длины данных отрезков (/л^>л).

8. От точки М отложены на одной прямой и в одном направлении два отрезка: Л4А/ = -100 см и МР= 160 см. Найти расстояние между серединами этих отрезков.

9. Отрезок АВ разделён на две неравные части. Расстояние между серединами этих частей равно 2,75 м. Найти длину АВ.

Пропорциональное деление в применении к отрезкам.

10. Объяснить по чертежу (черт. 2), как по данной сумме 5 двух отрезков и их разности d найти построением оба отрезка (5=7 см\ d = 1,5 см).

11. Отрезок АВ равен 2,8 м. Найти расстояние между серединой этого отрезка и точкой, которая делит его в от- 2 4 ношении

О 1Э

12. Отрезок АВ продолжен на длину ВС

так, что АС в т раз более АВ (ли = 5). Найти отношение АВ: ВС.

13. Отрезок АВ разделён на три части в отношении 2:3:4. Расстояние между серединами крайних частей равно 5,4 м. Определить дли- С

ну АВ.

14. Отрезок АВ делится точкой С в отношении 5:7, а точ- В кой D в отношении 5:11; расстояние между С и D равно 10 м. Определить длину АВ.

15. Дана ломаная ABCDE (черт. 3). Най- - ти сумму от- Черт.З.

резкое ломаной, измерив каждый отрезок. Выпрямив ломаную (построением), измерить длину получившегося отрезка. Сравнить оба полученных ответа.

Длина ломаной.

16. На чертеже 4 дана карта воздушных сообщений Сравнить (посредством выпрямления ломаных) расстояния о г Москвы до Киева, Свердловска и Ташкента. Найти, пользуясь масштабом, каждое из этих расстояний.

Москва

Казань

Свердловск

Актюбинск

жусалы

300 О 300 600 км

Куйбыше

Киев

Чкалов

Ташкент

Точки и прямые, их взаим- ное расположение.

1) АВ = 20 л, АС= 13 м,ВС=7м. 2) АВ = 4 м, АС =7 м, ВС=3 м. 3) АВ=1,8ж, АС= 1,3 ж, ВС=Зм. 18. 1) Даны три точки, не лежащие

Янаул

Черт. 4.

17. Узнать, лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если расстояния между ними таковы:

на одной прямой. Сколько различных прямых линий можно провести через эти точки, беря их попарно?

2) Сколькими прямыми можно соединить попарно 4 точки,

из которых никакие 3 не расположены на одной Тот же вопрос относительно 5 точек, 20 точек,

прямой? п точек.

Построение и измерение углов и действия над ними.

§ 2. Углы.

1. Построить угол, равный данному углу.

2. При помощи транспортира построить углы в 60°; 75°; 125°; 150°.

3. Построить на глаз углы в 30°; 45°; 120° и 135°. Проверить построенные углы транспортиром.

Задачи № 4—16 решать сначала геометрическим построением при помощи транспортира, а затем проверить решение арифметически.

4. Построить угол, равный сумме двух данных углов.

б. Найти сумму трёх данных углов.

6. Найти сумму углов: 1) 45°36' и 78°57'; 2) 26°16'45" и 117°52'30"; 3) 15°40', 37с50'30", 88°45" и 20°30'40".

7. Построить угол, равный разности двух данных углов.

8. Найти разность углов: 1) 96°35'15" и 48°45'45"; 2) 71°10' и 29°52'30”; 3) 153°17'42" и 68°29'.

9. Найти дополнение до прямого угла к следующим острым углам: 1) 70°; 2) 34°23'; 3) 22°42'38".

10. По данным сумме и разности двух углов построить эти углы.

11. Данный острый угол увеличить в 3 раза.

12. Найти произведение: 1) 35°42' • 5; 2) 17°23'45”-4; 3) 55°32'30” • 3.

13. Разделить данный угол на 2, 4, 8, 16 равных частей.

14. Найти частное: 1) 93°15’:3; 2) 147°45':2;

3) 98°2Г50":4; 4) 161°40": 8.

15. Начертить острый и тупой углы. Узнать, сколько раз острый угол содержится в тупом.

16. Найти частное: 1) 105°: 30°; 2) 66°55': 24°20';

3) 28°35': 40°50'.

17. Внутри тупого угла восставлены из его вершины перпендикуляры к его сторонам; угол между этими перпендикуля-

4

рами равен у d. Определить тупой угол.

Сделать точный чертеж, пользуясь транспортиром.

18. Даны два прилежащих угла: острый и тупой. Прямая, проведенная через их вершину перпендикулярно к их общей

5

стороне, отклонена от другой стороны острого угла на -у d, з

а от другой стороны тупого угла на у d. Найти сумму данных углов и сделать точный чертеж.

19. Запасной путь на железнодорожной станции отходит от главного пути под углом в 20°. Начертить расположение путей.

20. Начертить угол, который в сумме

с данным углом АВС составляет два прямых угла.

21. На прямой АВ взята точка С и из нее проведен луч CD так, что угол ACD в 4 раза более угла BCD, Определить величину этих углов.

Прилежащие углы.

Смежные углы.

22. Определить 2 смежных угла, из которых один на 2 , х

а более другого.

з

23. Определить угол, который равен у своего смежного.

24. Из двух прилежащих углов АВС и CBD первый равен 108°, а второй меньше его в 1 у раза. Составляют ли стороны ВА и BD одну прямую линию?

25. Отношение двух прилежащих углов равно 7:3, а разность их равна 72°. Будут ли эти углы смежными?

26. Углы АВС и CBD смежные, угол CBD = 0,375 d. Определить угол между перпендикуляром, проведённым из точки В к прямой АВ, и биссектрисой угла АВС. Сделать чертёж.

27. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов вза

имно перпендикулярны.

28. Определить два прилежащих угла АОВ и ВОС, зная, что их сумма равна 216° и что продолжение стороны АО (за вершину) делит угол ВОС пополам. Сделать точный чертёж.

29. Из четырёх прилежащих углов АОВ, ВОС, COD, DOB каждый следующий больше предыдущего на у d\ стороны

АО и ОЕ составляют одну

прямую. Вычислить и построить эти углы.

30. Верхняя часть окна имеет вид, показанный на чертеже 5. Определить, сколько градусов содержит угол между

Углы с общей вершиной, расположенные по обе стороны прямой.

двумя соседними лучами.

31. Сколько градусов содержит угол между двумя соседними спицами колеса, которое имеет 18 спиц? 16 спиц?

32. Угол АВС равен d\ из вершины В проведён вне угла АВС луч BD,

равноотклонённый от прямых ВА и ВС. Вычислить вели

чину этого отклонения.

33. Четыре угла, образуемые четырьмя лучами, выходящими из одной точки, таковы, что каждый следующий угол

Противоположные (вертикальные) углы.

вдвое больше предыдущего. Найти величину каждого из них и построить эти углы.

34. Один из четырех углов, образуемых двумя пересекающимися прямыми, з

равен d. Как велик каждый из остальных углов?

35. С помощью одной линейки начертить угол, равный данному углу и имеющий с ним общую вершину.

36. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Сумма углов AOD и СОВ равна 220°. Определить угол АОС.

37. Данный угол и два смежных с ним составляют з

в сумме 2 jrf. Определить данный угол.

§ 3. Треугольники и многоугольники* Перпендикуляр и наклонные. Осевая симметрия.

Равнобедренный треугольник.

1. Построить равнобедренный треугольник:

1) по основанию и боковой стороне;

2) по основанию и углу при основании;

3) по боковой стороне и углу при вершине;

4) по боковой стороне и углу при основании.

2. На боковой стороне равнобедренного треугольника построен равносторонний треугольник; периметр этого второго треугольника равен 45 м, а периметр первого треугольника 40 м. Определить основание заданного треугольника.

3. Построить треугольник:

1) по стороне и двум прилежащим углам;

2) по двум сторонам и углу между ними;

3) по трём сторонам.

4. В равнобедренном треугольнике

биссектрисы углов при основании равны. Доказать.

5. Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к боковым сторонам, равны.

6. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, между которыми нельзя пройти с мерной цепью (черт. 6), выбирают такую точку С, из которой были бы видны как точка А, так и В и из которой можно было

Построение треугольников и равенство их.

бы к ним пройти. Провешивают *) АС и ВС, продолжают их за точку С и отмеряют CD = AC и ЕС=СВ. Тогда отрезок ED равен искомому расстоянию АВ. Почему?

7. Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками А и В, из которых одна (точка Л) недоступна, провешивают направление отрезка АВ (черт. 7) и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок BE. Выбирают на местности точку D, из которой можно было бы видеть точку А и пройти к точкам В и Е. Провешивают прямые BDG и EDF и отмеряют FD = DE и DQ = BD. Затем идут по прямой FG, смотря на точку А, пока не найдут такую точку Н, которая лежит на прямой AD. Тогда HG равно искомому расстоянию. Доказать.

8. На каждой стороне равностороннего треугольника АВС отложены отрезки АВХ = BCi=CAx. Точки Ар Вх и С| соединены прямыми. Доказать, что треугольник А^В^С^ тоже равносторонний.

9. Каждая из сторон равностороннего треугольника АВС продолжена: АВ — за вершину В\ ВС — за вершину С, СА — за вершину А; на продолжениях отложены отрезки одинаковой длины, и концы их соединены между собой. Определить вид полученного треугольника.

10. 1) Построить треугольник по двум сторонам и углу, лежащему против большей из них.

2) Доказать теорему: если две стороны и угол против большей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу против большей из них другого треугольника, то треугольники равны.

11. 1) Построить треугольник по двум сторонам и углу, лежащему против меньшей из них.

Черт. 6. Черт. 7.

О То есть отмечают направление шестами-вехами.

Зависимость между сторонами треугольника.

2) Показать, что если две стороны и угол против меньшей из них одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу против меньшей из них другого треугольника, то треугольники могут быть как равными, так и неравными.

12. Доказать теорему: если две стороны и медиана одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны. Рассмотреть 2 случая: 1) медиана проведена к одной из данных сторон; 2) медиана проведена между данными сторонами.

13. Может ли быть треугольник с такими сторонами: 1) 5 м, 10 м, 12 м\ 2) 1 м, 2 м, 3,3 м\ 3) 1,2 ж, 1 м, 2,2 м?

14. Могут ли стороны треугольника относиться, как: 1) 1:2:3; 2) 2:3:4?

15. В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая 0,7 м. Определить третью сторону, зная, что она выражается в целых метрах.

16. Периметр равнобедренного треугольника равен 1 ж, а основание равно 0,4 м. Определить длину боковой стороны.

17. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 ж, а другая 10 м. Какая из них служит основанием?

18. Медиана, проведённая к одной из боковых сторон равнобедренного треугольника, делит его периметр на две части длиной в 15 см и 6 см. Определить стороны треугольника.

19. Доказать, что в треугольнике каждая сторона менее половины периметра.

20. Доказать, что сумма расстояний какой-нибудь точки внутри треугольника до его вершин более половины периметра.

21. Внутри треугольника АВС проведена к стороне ВС прямая AD так, что угол CAD равен углу ACD. Периметры треугольника АВС и ABD равны 37 м и 24 м. Определить длину АС.

22. В равнобедренном треугольнике АВС проведена высота BD. Периметр треугольника АВС равен 50 м, а пери- ABD равен 40 м. Определить высоту BD.

23. В равнобедренном треугольнике ЛВС боковая сторона АВ равна 14 см\ из её середины D проведён к ней перпендикуляр DE до пересечения со стороной ВС, и точка Е соединена с А; периметр

треугольника АЕС равен 24 см. Определить длину АС.